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Date: Mon, 6 Sep 2021 21:58:54 +0200
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@@ -1,6 +1,7 @@
 \subsection{Quadrat von Vektoren}
 \subsubsection{Ziel der Multiplikation}
-Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen wie in Abbildung \ref{figure:addition}. Was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt mag anfänglich unintuitiv wirken.
+\index{Multiplikation}%
+Was eine Addition von Vektoren bedeutet ist sehr intuitiv und auch leicht geometrisch darzustellen wie in Abbildung \ref{figure:addition}. Was allerdings das Produkt von Vektoren ergibt, mag anfänglich unintuitiv wirken.
 \begin{figure}[tb]
 	\centering
 		\begin{tikzpicture}
@@ -20,20 +21,22 @@ Um sinnvoll eine neue Operation zwischen zwei Elementen einer Algebra, in diesem
 	\label{clifford:ziel}
 	Der Vektorraum der $n$-dimensionalen Vektoren soll zu einer Algebra so erweitert werden, dass das Quadrat von Vektoren durch die Länge des Vektors ausgedrückt werden kann.
 \end{ziel}
-Zusätzlich soll auch das Assoziativgesetz für die Multiplikation von Vektoren gelten, dass heisst wir dürfen wie in
-\begin{equation}
+Zusätzlich soll auch das Assoziativgesetz für die Multiplikation von Vektoren gelten, das heisst wir dürfen wie in
+\index{Assoziativgesetz}%
+\begin{equation*}
     \label{eq:assoziativ}
     \textbf{e}_i(\textbf{e}_j + \textbf{e}_k) 
     = 
     \textbf{e}_i\textbf{e}_j + \textbf{e}_i\textbf{e}_k
-\end{equation}
+\end{equation*}
 ausklammern.
-Allerdings gilt das Kommutativgesetz leider, oder wie man sehen wird zum Glück, nur für skalare Elemente wie in
+Allerdings gilt das Kommutativgesetz leider oder, wie man sehen wird, zum Glück nur für skalare Elemente wie in
+\index{Kommutativgesetz}%
 \begin{equation}
     \label{eq:kommSkalar}
     a\textbf{e}_ib\textbf{e}_j 
     = 
-    ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j \qquad a,b \in \mathbb{R}
+    ab\textbf{e}_i\textbf{e}_j \qquad a,b \in \mathbb{R},
 \end{equation}
 aber nicht für Vektoren. Im Allgemeinen wird
 \begin{equation}
@@ -44,15 +47,17 @@ aber nicht für Vektoren. Im Allgemeinen wird
 \end{equation}
 sein.
 \subsubsection{Quadrieren eines Vektors}
-Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors. Zuerst werden die Vektoren als Linearkombinationen geschrieben:
+\index{Quadrieren}%
+Betrachten wir nun mit diesen Regeln das Quadrat eines Vektors.
+Zuerst werden die Vektoren als Linearkombinationen geschrieben:
 \begin{equation}
 	    \textbf{a}^2 = 
-		\left ( 
+		\biggl( 
 		\sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i 
-		\right ) 
-		\left ( 
+		\biggr) 
+		\biggl( 
 		\sum_{i=1}^{n} a_i \textbf{e}_i 
-		\right )
+		\biggr)
 		\label{eq:quad_a_1}.
 \end{equation}
 Das Quadrat kann nun in zwei Summen 
@@ -64,46 +69,48 @@ Das Quadrat kann nun in zwei Summen
 	\label{eq:quad_a_2}
 \end{equation}
 aufgeteilt werden, wobei die roten Summe die quadrierten Terme und die blaue Summe die Mischterme beinhaltet.
-Wie zuvor in \ref{clifford:ziel} definiert, ergibt das Quadrat eines Vektors dessen Länge. Da die Basisvektoren orthonormiert sind muss $\textbf{e}_i^2 = 1$ gelten.
+Wie zuvor in Ziel~\ref{clifford:ziel} definiert, ergibt das Quadrat eines Vektors dessen Länge
+ Da die Basisvektoren orthonormiert sind, muss $\textbf{e}_i^2 = 1$ gelten:
 \begin{equation}
 	\textbf{a}^2 = \textcolor{red}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \textcolor{blue}{\sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j}.
 	\label{eq:quad_a_3}
 \end{equation}
 \begin{beispiel}
 Das Quadrat des Vektor $\textbf{a}$ in $\mathbb{R}^2$ ist
-\begin{equation}
-    \begin{split}
+\begin{align*}
     \textbf{a}^2 
-    &= (a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2) \\\
+    &= (a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2)(a_1\textbf{e}_1+a_2\textbf{e}_2) \\
     &= \textcolor{red}{a_1^2\textbf{e}_1^2 + a_2^2\textbf{e}_2^2} 
-    + \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}   \\\
+    + \textcolor{blue}{a_1\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}   \\
     & = \textcolor{red}{a_1^2 + a_2^2} + \textcolor{blue}{a_1b\textbf{e}_1a_2\textbf{e}_2 + a_2\textbf{e}_2a_1\textbf{e}_2}.
-    \end{split}
-\end{equation}
+\qedhere
+\end{align*}
 \end{beispiel}
 
-Der rote Teil von \ref{eq:quad_a_3} ist nun bereits die Länge im Quadrat, also das zuvor definierte Ziel der Multiplikation. 
+Der rote Teil von \eqref{eq:quad_a_3} ist nun bereits die Länge im Quadrat, also das zuvor definierte Ziel der Multiplikation.
 Daraus lässt sich schliessen, dass der restliche Teil dieser Gleichung
 \begin{equation}
     \label{eq:Mischterme_Null}
-    \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j  = \textcolor{red}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots =  0.
+    \sum_{\begin{subarray}{l}i,j=1\\i \neq j\end{subarray}}^n  a_ia_j\textbf{e}_i\textbf{e}_j  = \textcolor{blue}{a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1)} + a_1a_3(\textbf{e}_1\textbf{e}_3 + \textbf{e}_3\textbf{e}_1) + \dots =  0.
 \end{equation}
  ergeben muss.
  Aus dieser Erkenntnis können weitere Eigenschaften für die Multiplikation hergeleitet werden.
  
-Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt. Somit fallen alle Terme bis auf den roten weg. Wird dies weiter vereinfacht, ergibt sich
-\begin{equation}
-\begin{split}
+Da dies für beliebige $a_i$ gelten muss, werden alle Terme bis auf $a_1$ und $a_2$ gleich null gesetzt.
+Somit fallen alle Terme bis auf den blauen weg.
+Wird dies weiter vereinfacht, ergibt sich
+\begin{equation*}
+\begin{aligned}
     a_1a_2(\textbf{e}_1\textbf{e}_2 + \textbf{e}_2\textbf{e}_1) &= 0 \\
     a_1a_2\textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -a_1a_2\textbf{e}_2\textbf{e}_1 \\
     \textbf{e}_1\textbf{e}_2 &= -\textbf{e}_2\textbf{e}_1.
-\end{split}
-\end{equation}
+\end{aligned}
+\end{equation*}
 \begin{satz}
-  Die Multiplikation von orthogonalen Vektoren ist antikommutativ
-    \begin{equation}
-        \textbf{e}_i\textbf{e}_j = -\textbf{e}_j\textbf{e}_i \quad \textrm{für} \quad \textbf{e}_i \perp \textbf{e}_j.
-    \end{equation}
+  Die Multiplikation von orthogonalen Vektoren ist antikommutativ:
+    \begin{equation*}
+        \mathbf{e}_i\mathbf{e}_j = -\mathbf{e}_j\mathbf{e}_i \quad \textrm{für} \quad \mathbf{e}_i \perp \mathbf{e}_j.
+    \end{equation*}
 \end{satz}
 Dieses Wissen reicht nun bereits, um alle Produkte der Basisvektoren zu berechnen, was in Tabelle \ref{tab:multip_vec} gemacht wurde.
 \begin{table}
-- 
cgit v1.2.1

