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Date: Mon, 6 Sep 2021 11:42:09 +0200
Subject: Verbesserungen Kapitel 18.1

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@@ -4,15 +4,26 @@ Die Multiplikation von zwei Vektoren nennt man in der Clifford Algebra das geome
     \textbf{u}\textbf{v} = \textbf{u}\cdot \textbf{v} + \textbf{u} \wedge \textbf{v}.
 \end{equation}
 Dieses Additionszeichen zwischen diesen zwei Produkten mag vielleicht ein wenig eigenartig wirken, da uns das Skalarprodukt ein Skalar und das äussere Produkt einen Bivektor zurück gibt. Was bedeutet es nun also diese beiden Elemente zu addieren?
-Man kann sich die Addition wie bei den komplexen Zahlen vorstellen, wobei die imaginäre Einheit auch nicht explizit zu dem reelen Teil addiert werden kann, sondern die zwei Teile zusammen ein Objekt, eine komplexe Zahl bilden. 
+Man kann sich die Addition wie bei den komplexen Zahlen vorstellen, wobei die imaginäre Einheit auch nicht explizit zu dem reellen Teil addiert werden kann, sondern die zwei Teile zusammen ein Objekt, eine komplexe Zahl bilden. 
 Dieses Objekt, also die Summe von verschiedenen Elemente der Clifford Algebra, wird Multivektor genannt.
 \begin{definition}
-Ein Multivektor besteht aus den verschiedenen Bauteilen, wie zum Beispiel Vektoren, Bivektoren oder Trivektoren (Volumen mit einer Richtung), der Clifford Algebra.
-\begin{equation}
-    M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right)
-\end{equation}
+Neben dem eindimensionalen Vektor, dem zweidimensionalen Bivektor gibt es noch höher dimensionale Vektoren, wie zum Beispiel der dreidimensionale Trivektor.
+\end{definition}
+\begin{definition}
+	Für das Produkt von Basisvektoren wird die Notation
+	\begin{equation}
+		e_ie_j = e_{ij}
+	\end{equation}
+	 definiert.
 \end{definition}
-Besteht eine Clifford Algebra aus n Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $G_n(\mathbb{R})$ beschrieben. Dies wird so geschrieben da man eine neue Algebrastruktur um die Vektoren einführt.
+\begin{definition}
+	Die Linearkombination von Vektoren, Bivektoren und höher dimensionalen Vektoren
+	\begin{equation}
+		M = \sum \left ( \prod a_i\textbf{e}_j \right )
+	\end{equation}
+  bildet einen Multivektor.
+\end{definition}
+Besteht eine Clifford Algebra aus $n$ Basisvektoren so hat sie n Dimensionen, dies wird nicht wie in der linearen Algebra mit $\mathbb{R}^n$ sondern mit $G_n(\mathbb{R})$ beschrieben. Dies wird so geschrieben da man eine neue Algebrastruktur um die Vektoren einführt.
 \begin{beispiel}
 Allgemeiner Multivektor in $G_3(\mathbb{R})$
 \begin{equation}
@@ -25,31 +36,25 @@ Allgemeiner Multivektor in $G_3(\mathbb{R})$
     \underbrace{k\textbf{e}_1\textbf{e}_2\textbf{e}_3}_{\text{Trivektorteil}}
 \end{equation}
 \end{beispiel}
-\begin{definition}
-Für das Produkt von Basisvektoren wird folgende Notation definiert
-    \begin{equation}
-        e_ie_j = e_{ij}.
-    \end{equation}
-\end{definition}
-Nun da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $G_n(\mathbb{R})$ erstellt werden. In Tabelle \ref{tab:multip} ist dies für  $G_3(\mathbb{R})$ gemacht.
 \begin{table}
     \label{tab:multip}
     \begin{center}
     \begin{tabular}{ |c|ccc|ccc|c| } 
      \hline
-     1 & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\
+     $1$ & $\textbf{e}_1$ & $\textbf{e}_2$ &$\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{123}$\\
      \hline
      $\textbf{e}_1$ & 1 & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_3$ & $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$\\
-     $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & 1 & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\
-     $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & 1 & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\
+     $\textbf{e}_2$ & $-\textbf{e}_{12}$ & $1$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$\\
+     $\textbf{e}_3$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{23}$ & $1$ & $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_1$ & $-\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_{12}$\\
      \hline
-     $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & -1 & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ &  $-\textbf{e}_{3}$\\
-     $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & -1 & $-\textbf{e}_{12}$ &  $\textbf{e}_{2}$\\
-     $\textbf{e}_{23}$ &  $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & -1 & $-\textbf{e}_{1}$ \\
+     $\textbf{e}_{12}$ & -$\textbf{e}_2$ & $\textbf{e}_1$& $\textbf{e}_{123}$ & $-1$ & $-\textbf{e}_{23}$ & $\textbf{e}_{13}$ &  $-\textbf{e}_{3}$\\
+     $\textbf{e}_{13}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $-\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{1}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-1$ & $-\textbf{e}_{12}$ &  $\textbf{e}_{2}$\\
+     $\textbf{e}_{23}$ &  $\textbf{e}_{123}$ & $-\textbf{e}_{3}$ & $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-1$ & $-\textbf{e}_{1}$ \\
      \hline
-     $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & -1 \\
+     $\textbf{e}_{123}$ & $\textbf{e}_{23}$ & $-\textbf{e}_{13}$ & $\textbf{e}_{12}$ & $-\textbf{e}_{3}$& $\textbf{e}_{2}$ & $-\textbf{e}_{1}$ & $-1$ \\
      \hline
     \end{tabular}
     \end{center}
  	\caption{Multiplikationstabelle für $G_3(\mathbb{R})$}
 \end{table}
+Nun, da das geometrische Produkt vollständig definiert wurde, können Multiplikationstabellen für verschiedene Dimensionen $G_n(\mathbb{R})$ erstellt werden. In Tabelle \ref{tab:multip} ist dies für  $G_3(\mathbb{R})$ gemacht.
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