From c851dd6c16b3fb22de5cd3aeeb49a68d124ad849 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 6 Sep 2021 11:42:09 +0200
Subject: Verbesserungen Kapitel 18.1

---
 buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex | 29 +++++++++++++++++++++-------
 1 file changed, 22 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex')

diff --git a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
index 80fb49f..fa5e703 100644
--- a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
+++ b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
@@ -3,21 +3,24 @@ Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme
 \begin{equation}
     \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{\alpha}
 \end{equation}
-beschrieben werden. Wobei $\alpha$ den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt.
-\newline
-Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term beschreiben
+beschrieben werden. Wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ ist.
+
+Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term
 \begin{equation}
     \textbf{u} \wedge \textbf{v}
     = 
+    \sum_{i<j}
     \begin{vmatrix} 
         u_i & v_i \\
         u_j & v_j
-    \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j  
+    \end{vmatrix}\textbf{b}_i\textbf{b}_j  
     = 
     \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
 \end{equation}
-Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{e}_i$ und $\textbf{e}_j$ aufgespannten Ebene liegen.\newline
-Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen
+beschreiben.
+Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{b}_i$ und $\textbf{b}_j$ aufgespannten Ebene liegen.
+
+Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt
 \begin{equation}
     \textbf{u}\textbf{v}
     = 
@@ -26,4 +29,16 @@ Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen
     |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{e}_i\textbf{e}_j
     = 
     |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{e}_i\textbf{e}_j)
-\end{equation}
\ No newline at end of file
+\end{equation}
+vereinen.
+Daraus kann geschlussfolgert werden, dass
+\begin{equation}
+	\textbf{u} \textbf{v}=-\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u}\perp \textbf{v} 
+	\label{uperpv}
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}
+	\textbf{u} \textbf{v}=\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u} \parallel \textbf{v} 
+	\label{uparallelv}
+\end{equation}
+gilt.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 3664b43dc7ef6a8e3edde4c330c9ea0df14a051a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tschwall <55748566+tschwall@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 6 Sep 2021 11:53:05 +0200
Subject: Update 5_PolareDarstellung.tex

---
 buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex')

diff --git a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
index fa5e703..436659f 100644
--- a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
+++ b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
@@ -13,12 +13,12 @@ Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläc
     \begin{vmatrix} 
         u_i & v_i \\
         u_j & v_j
-    \end{vmatrix}\textbf{b}_i\textbf{b}_j  
+    \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j  
     = 
-    \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
+    \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{b}_1\textbf{b}_2
 \end{equation}
 beschreiben.
-Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{b}_i$ und $\textbf{b}_j$ aufgespannten Ebene liegen.
+Die Fläche des Parallelogramms liegt dabei auf der von $\textbf{b}_1$ und $\textbf{b}_2$ aufgespannten Ebene.
 
 Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt
 \begin{equation}
@@ -26,9 +26,9 @@ Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt
     = 
     |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{(\alpha)} 
     + 
-    |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{e}_i\textbf{e}_j
+    |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{b}_1\textbf{b}_2
     = 
-    |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{e}_i\textbf{e}_j)
+    |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{b}_1\textbf{b}_2)
 \end{equation}
 vereinen.
 Daraus kann geschlussfolgert werden, dass
-- 
cgit v1.2.1


From 55f1d6047f738272e41035c13167b6fd0c0b03d6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 6 Sep 2021 21:58:54 +0200
Subject: editorial edits clifford

---
 buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex | 33 +++++++++++++++-------------
 1 file changed, 18 insertions(+), 15 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex')

diff --git a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
index 436659f..500b03e 100644
--- a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
+++ b/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
@@ -1,12 +1,15 @@
 \subsection{Polare Darstellung des geometrischen Produktes}
-Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme beschreiben. Das Skalarprodukt kann als 
-\begin{equation}
-    \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{\alpha}
-\end{equation}
-beschrieben werden. Wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ ist.
+\index{Polardarstellung}%
+Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme beschreiben.
+Das Skalarprodukt kann als 
+\begin{equation*}
+    \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}|\,|\textbf{v}|\cos{\alpha}
+\end{equation*}
+beschrieben werden, wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ ist.
 
-Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term
-\begin{equation}
+Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelograms und einer Umlaufrichtung beschrieben wird.
+Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus-Term
+\begin{equation*}
     \textbf{u} \wedge \textbf{v}
     = 
     \sum_{i<j}
@@ -15,21 +18,21 @@ Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläc
         u_j & v_j
     \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j  
     = 
-    \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{b}_1\textbf{b}_2
-\end{equation}
+    \underbrace{|\textbf{u}|\,|\textbf{v}|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{b}_1\textbf{b}_2
+\end{equation*}
 beschreiben.
 Die Fläche des Parallelogramms liegt dabei auf der von $\textbf{b}_1$ und $\textbf{b}_2$ aufgespannten Ebene.
 
 Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     \textbf{u}\textbf{v}
     = 
-    |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{(\alpha)} 
+    |\textbf{u}|\,|\textbf{v}|\cos{(\alpha)} 
     + 
-    |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{b}_1\textbf{b}_2
+    |\textbf{u}|\,|\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{b}_1\textbf{b}_2
     = 
-    |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{b}_1\textbf{b}_2)
-\end{equation}
+    |\textbf{u}|\,|\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{b}_1\textbf{b}_2)
+\end{equation*}
 vereinen.
 Daraus kann geschlussfolgert werden, dass
 \begin{equation}
@@ -41,4 +44,4 @@ und
 	\textbf{u} \textbf{v}=\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u} \parallel \textbf{v} 
 	\label{uparallelv}
 \end{equation}
-gilt.
\ No newline at end of file
+gilt.
-- 
cgit v1.2.1

