From c851dd6c16b3fb22de5cd3aeeb49a68d124ad849 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 6 Sep 2021 11:42:09 +0200
Subject: Verbesserungen Kapitel 18.1

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 buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex | 29 +++++++++++++++++++++-------
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--- a/buch/papers/clifford/5_PolareDarstellung.tex
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@@ -3,21 +3,24 @@ Beide Teile des geometrischen Produktes lassen sich durch trigonometrische Terme
 \begin{equation}
     \textbf{u}\cdot \textbf{v} = |\textbf{u}||\textbf{v}|\cos{\alpha}
 \end{equation}
-beschrieben werden. Wobei $\alpha$ den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt.
-\newline
-Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term beschreiben
+beschrieben werden. Wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $\textbf{u}$ und $\textbf{v}$ ist.
+
+Beim äusseren Produkt wurde bereits erwähnt, dass es aus dem Produkt der Fläche des von den zwei Vektoren aufgespannten Parallelogram und einer Umlaufrichtung beschrieben wird. Die Fläche eines Parallelograms lässt sich auch mit einen Sinus Term
 \begin{equation}
     \textbf{u} \wedge \textbf{v}
     = 
+    \sum_{i<j}
     \begin{vmatrix} 
         u_i & v_i \\
         u_j & v_j
-    \end{vmatrix}\textbf{e}_i\textbf{e}_j  
+    \end{vmatrix}\textbf{b}_i\textbf{b}_j  
     = 
     \underbrace{|u||v|\sin{\alpha}}_{\text{Fläche}}\textbf{e}_i\textbf{e}_j
 \end{equation}
-Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{e}_i$ und $\textbf{e}_j$ aufgespannten Ebene liegen.\newline
-Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen
+beschreiben.
+Wobei die Fläche des Parallelogram auf der von $\textbf{b}_i$ und $\textbf{b}_j$ aufgespannten Ebene liegen.
+
+Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt
 \begin{equation}
     \textbf{u}\textbf{v}
     = 
@@ -26,4 +29,16 @@ Nun kann man diese Terme wieder zum geometrischen Produkt vereinen
     |\textbf{u}||\textbf{v}|\sin{(\alpha)} \textbf{e}_i\textbf{e}_j
     = 
     |\textbf{u}||\textbf{v}|(\cos{(\alpha)} + \sin{(\alpha)}\textbf{e}_i\textbf{e}_j)
-\end{equation}
\ No newline at end of file
+\end{equation}
+vereinen.
+Daraus kann geschlussfolgert werden, dass
+\begin{equation}
+	\textbf{u} \textbf{v}=-\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u}\perp \textbf{v} 
+	\label{uperpv}
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}
+	\textbf{u} \textbf{v}=\textbf{v}\textbf{u} \quad \textrm{für} \quad \textbf{u} \parallel \textbf{v} 
+	\label{uparallelv}
+\end{equation}
+gilt.
\ No newline at end of file
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