From 903d9bf106456b14f7e5046410d512ed343d28a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Malarius1999 <malarius1999@gmail.com>
Date: Fri, 30 Jul 2021 11:39:21 +0200
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 =?UTF-8?q?=20&=20Rotation=20umgesetzt?=
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 buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex | 26 +++++++++++++++-----------
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@@ -6,7 +6,7 @@
 \section{Spiegelung}
 \rhead{Spiegelung}
 
-Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen.
+Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man weitere Operationen, wie beispielsweise die später beschriebene Rotation, ableiten kann. Da die geometrische Algebra für geometrische Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Spiegelung auch eine einfache, praktische Formulierung besitzen.
 \begin{figure}
 	\centering
 	\begin{tikzpicture}
@@ -35,9 +35,9 @@ Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene wi
 	\begin{equation} \label{RefLinAlg}
 		\mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}.
 	\end{equation}
-	Per Definition sind $\mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v_{\perp u}}$. In der geometrischen Algebra verwenden wir aber in den Formeln Vektoren, welche Spiegelachsen, nicht Spiegelebenen, repräsentieren.
 \end{definition}
-Es scheint für diese Formel aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Man kann diese Abbildung aber auch als Matrix schreiben. Sei $\mathbf{\hat{n}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungs-Achse bzw. -Ebene, also $\mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{n}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix
+Per Definition sind $\mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v_{\perp u}}$, aber in der geometrischen Algebra verwenden wir bevorzugter weise in den Formeln Vektoren, welche eine Spiegelung an einer Hyperebene beschreiben. Im zweidimensionalen repräsentiert der Vektor $\mathbf{v^{'}}$ also eine Spiegelung vom Vektor $\mathbf{v}$ an einer Gerade und im dreidimensionalen eine Spiegelung an einer Ebene.
+Es scheint für diese Formel \eqref{RefLinAlg} aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Man kann diese Abbildung aber auch als Matrix schreiben. Sei $\mathbf{\hat{n}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungs-Achse bzw. -Ebene, also $\mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{n}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix
 \begin{align}
 	S = E - 2\dfrac{1}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{nn}^t
 \end{align}
@@ -46,16 +46,16 @@ beschrieben werden. In der zweiten und dritten Dimension ergibt die Berechnung
 	S_2 = \begin{pmatrix}
 		1-2n_1^2 & -2n_1n_2 \\
 		-2n_1n_2 & 1-2n_2^2
-	\end{pmatrix} \quad
+	\end{pmatrix}\enspace\text{und}\enspace
 	S_3 = \begin{pmatrix}
 		1-2n_1^2 & -2n_1n_2 & -2n_1n_3\\
 		-2n_1n_2 & 1-2n_2^2 & -2n_2n_3\\
 		-2n_1n_3 & -2n_2n_3 & 1-2n_3^2\\
 	\end{pmatrix}.
 \end{align}
-Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S^t S = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S^t = S$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus
+Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S_n\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S_n^t S_n = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S_n^t = S_n$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus
 \begin{align}
-	S^t S = S^2 = E
+	S_n^t S_n = S_n^2 = E
 \end{align}
 schliessen kann.
 
@@ -63,11 +63,16 @@ schliessen kann.
 Um die folgenden Formeln zu verstehen, definieren wir zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in der linearen Algebra nicht existiert.
 \begin{definition}
 	Die Inverse eines Vektors wird definiert als
-	\begin{align}
-		\mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} \Rightarrow \mathbf{uu}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1.
+	\begin{align} \label{InverseGA}
+		\mathbf{u}^{-1} = \dfrac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2}. 
 	\end{align}
-	Wie schon aus anderen algebraischen Strukturen bekannt, ergibt ein Element, hier $\mathbf{u}$, multipliziert mit dessen Inversen, hier $\mathbf{u}^{-1}$, das neutrale Element der Struktur, hier 1.
 \end{definition}
+Diese Definition ist sinnvoll, da wegen $\mathbf{u}^2 = |\mathbf{u}|^2$ folgt
+\begin{align}
+	\mathbf{uu}^{-1} = \mathbf{u} \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{|\mathbf{u}|^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1.
+\end{align}
+Der Vektor $\mathbf{u}^{-1}$ in \eqref{InverseGA} ist also tatsächlich das inverse Element im Sinne des Produktes in der geometrischen Algebra.
+
 Die geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für eine Spiegelung eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen erweitert werden kann.
 \begin{definition}
 	Die Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra mit der Spiegelachse $\mathbf{u}$ ist definiert als
@@ -75,8 +80,7 @@ Die geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für ein
 		\mathbf{v}' = \mathbf{uvu}^{-1}
 	\end{align}
 \end{definition}
-
-verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung zu
+Verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung zu
 \begin{align}
 	\mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
 \end{align}
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