From fedb213d00379ad0e50fc77b05b2ba9ae096d1cc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Malarius1999 <malarius1999@gmail.com>
Date: Mon, 2 Aug 2021 12:27:36 +0200
Subject: Verbesserungen aus Besprechung Kapitel 18.3, 18.4
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

+ Abbildung in GA bewiesen
+ Vektor n neu Vektor u
+ grössen Klammern angepasst
+ Graphiken angepasst

In Kapitel 18.2 \\ in Gleichung entfernt
---
 buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex | 46 ++++++++++++++++++++---------------
 1 file changed, 27 insertions(+), 19 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex')

diff --git a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
index e650d5a..549848c 100644
--- a/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
+++ b/buch/papers/clifford/7_Reflektion.tex
@@ -13,8 +13,8 @@ Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man we
 		\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
 		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
 		\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+		\draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$};
 		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
-		\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
 		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
 		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
 		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
@@ -22,35 +22,34 @@ Die Spiegelung ist eine grundlegende, geometrische Operation, aus welcher man we
 		0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$};
 		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](-2,2)--(0,2) node[xshift=-1cm, yshift=
 		0.25cm]{$\boldsymbol{v_{\perp u}}$};
-		\draw[line width=1.5pt,purple,-stealth](0,1.5)--(1,1.5) node[xshift=-0.5cm, yshift=-0.25cm]{$\boldsymbol{\hat{n}}$};
+		\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0.05)--(1,0.05) node[xshift=-0.5cm, yshift=-0.25cm]{$\boldsymbol{\hat{u}}$};
 	\end{tikzpicture}
-	\caption{Spiegelung des Vektors \textbf{v} an Spiegelachse bzw. Vektor \textbf{u}}
+	\caption{Spiegelung des Vektors $\mathbf{v}$ an der Spiegelebene $\sigma_u$ mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{u}}$}
 	\label{BildSpiegelung}
 \end{figure}
 
 \subsection{Linearen Algebra}
 Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass man eine Spiegelung an einer Ebene wie folgt beschreiben kann.
 \begin{definition}
-	Die Spiegelungsgleichung in der linearen Algebra mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{n}}$ zur Spiegelebene ist
+	Die Abbildung der Spiegelung in der linearen Algebra mit dem Normalenvektor $\mathbf{\hat{u}}$ zur Spiegelebene ist
 	\begin{equation} \label{RefLinAlg}
-		\mathbf{v^{'}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\perp u}}.
+		\mathbf{v} = \mathbf{v_{\perp u}} + \mathbf{v_{\parallel u}} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v'} =  \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}} = \mathbf{v} - 2 \cdot \mathbf{v_{\parallel u}}.
 	\end{equation}
 \end{definition}
-Per Definition sind $\mathbf{v_{\parallel \hat{n}}} = \mathbf{v_{\perp u}}$, aber in der geometrischen Algebra verwenden wir bevorzugter weise in den Formeln Vektoren, welche eine Spiegelung an einer Hyperebene beschreiben. Im zweidimensionalen repräsentiert der Vektor $\mathbf{v^{'}}$ also eine Spiegelung vom Vektor $\mathbf{v}$ an einer Gerade und im dreidimensionalen eine Spiegelung an einer Ebene.
-Es scheint für diese Formel \eqref{RefLinAlg} aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Man kann diese Abbildung aber auch als Matrix schreiben. Sei $\mathbf{\hat{n}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungs-Achse bzw. -Ebene, also $\mathbf{\hat{n}}\perp \mathbf{u}$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{n}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix
+Es scheint für diese Formel \eqref{RefLinAlg} aber umständlich zu sein, weitere Spiegelungen mit weiteren Spiegelebenen anzufügen. Weil man $\mathbf{v_{\parallel u}}$ auch als Skalarprodukt $\mathbf{v_{\parallel u}} = \mathbf{\hat{u}} \cdot \mathbf{v}$ schreiben kann, ist es leicht diese Abbildung auch als Matrix darzustellen. Sei $\mathbf{\hat{u}}$ ein Normalenvektor auf die Spiegelungsebene, also $\mathbf{\hat{u}}\perp \sigma_u$, und sei ausserdem normiert $|\mathbf{\hat{u}}| = 1$, dann kann man die Spiegelung durch die Matrix
 \begin{align}
-	S = E - 2\dfrac{1}{|\mathbf{n}|^2}\mathbf{nn}^t
+	S = E - 2\mathbf{\hat{u}\hat{u}}^t
 \end{align}
 beschrieben werden. In der zweiten und dritten Dimension ergibt die Berechnung
 \begin{align} \label{Spiegelmatrizen}
 	S_2 = \begin{pmatrix}
-		1-2n_1^2 & -2n_1n_2 \\
-		-2n_1n_2 & 1-2n_2^2
+		1-2u_1^2 & -2u_1u_2 \\
+		-2u_1u_2 & 1-2u_2^2
 	\end{pmatrix}\enspace\text{und}\enspace
 	S_3 = \begin{pmatrix}
-		1-2n_1^2 & -2n_1n_2 & -2n_1n_3\\
-		-2n_1n_2 & 1-2n_2^2 & -2n_2n_3\\
-		-2n_1n_3 & -2n_2n_3 & 1-2n_3^2\\
+		1-2u_1^2 & -2u_1u_2 & -2u_1u_3\\
+		-2u_1u_2 & 1-2u_2^2 & -2u_2u_3\\
+		-2u_1u_3 & -2u_2u_3 & 1-2u_3^2\\
 	\end{pmatrix}.
 \end{align}
 Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S_n\in \text{O}(n)$ an. Die Matrizengruppe $\text{O}(n)$ haben die Eigenschaft $S_n^t S_n = E$, was bedeutet, dass die Länge und Winkel bei der Abbildung beibehalten bleiben. Zusätzlich sind die Spiegelmatrizen symmetrisch, es gilt $S_n^t = S_n$. Somit liefert zweimal dieselbe Spiegelung wieder die identische Abbildung, wie man aus
@@ -60,7 +59,7 @@ Diese Spiegelmatrizen gehören der orthogonalen Matrizengruppe $S_n\in \text{O}(
 schliessen kann.
 
 \subsection{Geometrische Algebra}
-Um die folgenden Formeln zu verstehen, definieren wir zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in der linearen Algebra nicht existiert.
+Wir definieren zuerst die Inverse eines Vektors, welche in dieser Form nicht in der linearen Algebra nicht existiert.
 \begin{definition}
 	Die Inverse eines Vektors wird definiert als
 	\begin{align} \label{InverseGA}
@@ -72,16 +71,25 @@ Diese Definition ist sinnvoll, da wegen $\mathbf{u}^2 = |\mathbf{u}|^2$ folgt
 	\mathbf{uu}^{-1} = \mathbf{u} \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{\mathbf{u}^2}{|\mathbf{u}|^2} = \frac{|\mathbf{u}|^2}{|\mathbf{u}|^2} = 1.
 \end{align}
 Der Vektor $\mathbf{u}^{-1}$ in \eqref{InverseGA} ist also tatsächlich das inverse Element im Sinne des Produktes in der geometrischen Algebra.
-
 Die geometrische Algebra leitet aus der obigen Formel \eqref{RefLinAlg} für eine Spiegelung eine einfache und intuitive Form her, welche auch für weitere Operationen erweitert werden kann.
 \begin{definition}
-	Die Spiegelungsgleichung in der geometrischen Algebra mit der Spiegelachse $\mathbf{u}$ ist definiert als
+	Die Abbildung der Spiegelung in der geometrischen Algebra mit dem senkrechten Vektor $\mathbf{u}$ zur Spiegelungsebene $\sigma_u$ ist 
 	\begin{align}\label{RefGA}
-		\mathbf{v}' = \mathbf{uvu}^{-1}
+		\mathbf{v} \enspace\mapsto\enspace \mathbf{v}' = -\mathbf{uvu}^{-1}
 	\end{align}
 \end{definition}
-Verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung zu
+Diese Abbildung muss stimmen, weil man durch die Schlussfolgerungen \eqref{uperpv} und \eqref{uparallelv} die Zusammenhänge
+\begin{align}
+	\mathbf{uv_{\perp u}} = -\mathbf{v_{\perp u}u} \enspace\text{und}\enspace \mathbf{uv_{\parallel u}}=\mathbf{v_{\parallel u}u}
+\end{align}
+der geometrischen Produkte findet und somit die Abbildung aus der geometrischen Algebra \eqref{RefGA} wegen
+\begin{align}
+	\mathbf{v}' = -\mathbf{uvu}^{-1} = -\mathbf{uv_{\perp u}u}^{-1} - \mathbf{uv_{\parallel u}u}^{-1} = -(-\mathbf{v_{\perp u}}\underbrace{\mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}}_{1} -(\mathbf{v_{\parallel u}}\underbrace{\mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}}_{1} = \mathbf{v_{\perp u}} - \mathbf{v_{\parallel u}}
+\end{align}
+gleichbedeutend zu der Definition \eqref{RefLinAlg} der Spiegelung ist.
+
+Verwendet man für $\mathbf{u}$ nur einen Einheitsvektor $\mathbf{\hat{u}}$, welcher die Länge 1 besitzt, wird die Gleichung \eqref{RefGA} zu
 \begin{align}
-	\mathbf{v'} = \mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
+	\mathbf{v'} = -\mathbf{\hat{u}v\hat{u}}
 \end{align}
 vereinfacht. Im Gegensatz zu den Abbildungen in der linearen Algebra, welche in jeder anderen Dimension, durch andere Matrizen \eqref{Spiegelmatrizen} beschrieben werden müssen, ist es in der geometrischen Algebra immer der gleiche Vorgehensweise. Zudem ist diese kompakte Schreibweise in der linearen Algebra nicht möglich, da bis auf das Vektorprodukt in der dritten Dimension keine Multiplikation von Vektoren definiert ist. 
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1

