From 9b35f4a7087b2b81dae45cc07956d636f6553581 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Malarius1999 <malarius1999@gmail.com>
Date: Sun, 22 Aug 2021 00:34:09 +0200
Subject: Verbesserungen umgesetzt
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

- Referenzen zum Teil noch nicht aufgelösst, da Thierry Labels noch nicht in seinem Abschnitt eingefügt.
- Was bedeutet in Ihrer Korrektur «\qeahem « vor dem Abschnitt komplexe Zahlen?
- Die Korrektur: «Nach dem vorherigen Kapitel überrascht wahrscheinlich nicht, dass es möglich ist, mehr…?» am Anfang des Abschnitts komplexe Zahlen verstehe ich nicht ganz. ich habe es aber anderes umgeschrieben…
- Bilder eingefügt und in Textstelle darauf referenziert (darf ich das Bild vom Fifaspiel überhaupt reinnehmen? (copyright))
- Sie scheinen ein gutes Auge für sin \sin Fehler zu haben. Die wären mir nie aufgefallen.
- Das Quaternion verbessert.
---
 buch/papers/clifford/8_Rotation.tex | 187 +++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 99 insertions(+), 88 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/clifford/8_Rotation.tex')

diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
index 1d5e889..edab9ef 100644
--- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
+++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
@@ -3,64 +3,76 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Rotation}
-\rhead{Rotation}
+\section{Drehung}
+\rhead{Drehung}
 
-Eine Rotation kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das kann vielleicht zuerst eine verwirrende Aussage sein, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Rotation, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich beispielsweise ein Objekt im Dreidimensionalen vor und spiegelt dieses an einer Fläche, dann ist es unmöglich nur durch eine Rotation (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde.
-\\(Hier wird noch ein Bild für das Verständnis eingefügt)
+Eine Drehung kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das kann vielleicht zuerst eine verwirrende Aussage sein, da man aus den vorherig gezeigten Formeln annehmen könnte, dass die Spiegelung schon für eine Drehung ausreicht. Obwohl sich die Längen, Winkel und Volumen sich bei einer Spiegelung, wie bei einer Drehung, nicht ändert, sind sie doch verschieden, da die Orientierung bei der Spiegelung invertiert wird. Stellt man sich, wie im Bild \ref{BildSpiegRot} dargestellt, beispielsweise ein Objekt vor und spiegelt dieses an einer Ebene, dann ist es unmöglich, nur durch eine Drehung (egal an welchem Punkt) das ursprüngliche Objekt deckungsgleich auf das Gespiegelte zu drehen. Hingegen ist es wiederum möglich ein zweifach gespiegeltes Objekt durch eine Drehung zu erreichen. Das liegt daran, da die Orientierung zweimal invertiert wurde.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png}
+	\caption{Der wesentliche Unterschied zwischen Spiegelung und Drehung ist die Inversion der Orientierung}
+	\label{BildSpiegRot}
+\end{figure}
 
 \begin{figure}
 	\centering
 	\begin{tikzpicture}
-		\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
-		\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
-		\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
-		\draw[line width=1.0pt,green,-stealth](2,2)--(-2,2) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{-2v_{\parallel u}}$};
-		\draw[line width=1.0pt,green,-stealth](-2,2)--(-2.828,0) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{-2v'_{\parallel w}}$};
-		\draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$};
-		\draw[red, line width=1.0pt] (-3,1.24)--(2.21,-1) node[anchor=south]{$\sigma_w$};
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
-		\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(2.5, 0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
-		\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(0.957, 2.31) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$};
-		\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
-		\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
-		
-		\coordinate (A) at (0,0);
-		\coordinate (B) at (2.5,0);
-		\coordinate (C) at (0.957, 2.31);
-		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw,  thick, angle radius=1cm}}
-		\draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C};
-		\coordinate (D) at (0,0);
-		\coordinate (E) at (1,1);
-		\coordinate (F) at (-1, 0);
-		\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple,  draw,  thick, angle radius=1.25cm}}
-		\draw pic ["$2\theta$", anglestyle] {angle = E--D--F};
+	\draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3);
+	\draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$};
+	\draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$};
+	\draw[line width=1.0pt,green,-stealth](2,2)--(-2,2) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{-2v_{\parallel u}}$};
+	\draw[line width=1.0pt,green,-stealth](-2,2)--(-2.828,0) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{-2v'_{\parallel w}}$};
+	\draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$};
+	\draw[red, line width=1.0pt] (-3,1.24)--(2.21,-1) node[anchor=south]{$\sigma_w$};
+	\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$};
+	\draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(2.5, 0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$};
+	\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$};
+	\draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(0.957, 2.31) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$};
+	\draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$};
+	\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$};
+	\draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$};
+	
+	\coordinate (A) at (0,0);
+	\coordinate (B) at (2.5,0);
+	\coordinate (C) at (0.957, 2.31);
+	\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw,  thick, angle radius=1cm}}
+	\draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C};
+	\coordinate (D) at (0,0);
+	\coordinate (E) at (1,1);
+	\coordinate (F) at (-1, 0);
+	\tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple,  draw,  thick, angle radius=1.25cm}}
+	\draw pic ["$2\theta$", anglestyle] {angle = E--D--F};
 	\end{tikzpicture}
-	\caption{Rotation des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$}
-	\label{BildRotation}
+	\caption{Drehung des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$}
+	\label{BildDrehung}
 \end{figure}
 
 \subsection{Linearen Algebra}
 In der linearen Algebra haben wir Drehungen durch die Matrizen der Gruppe $\text{SO}(n)$ beschrieben. Beispielsweise besteht $\text{SO}(2)$  aus den Matrizen
 \begin{align}
-	D = 
-	\begin{pmatrix}
-		\cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\
-		-\sin(\alpha) & \cos(\alpha) 
-	\end{pmatrix},\quad
-	\alpha \in [0, 2\pi).
-\end{align}
-Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Diese Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace \det(D)=1$. Da $\det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge heraus. $\det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet.  
-\\(BILD Mengen Spezieller Matrizen von Herrn Müller Präsentation)
+D = 
+\begin{pmatrix}
+\cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\
+-\sin(\alpha) & \cos(\alpha) 
+\end{pmatrix},\quad
+\alpha \in [0, 2\pi).
+\end{align}
+Diese Drehmatrizen gehören der speziellen orthogonalen Matrizengruppe $D\in \text{SO}(n) = \text{SL}_n(\mathbb{R})\enspace \cap \enspace \text{O}(n)$ an. $\text{SL}_n(\mathbb{R})$ beinhaltet die Matrizen mit scherenden Eigenschaften. Die Drehmatrizen haben die Eigenschaft $D^t D = E \enspace \land \enspace \det(D)=1$. Da $\det(D) = 1$ und nicht $-1$ sein kann fallen alle Spiegelungen aus der Menge heraus. $\det(D) = -1$ bedeutet, dass eine Orientierungsinversion stattfindet. Eine übersichtliche Darstellung der beschriebenen Matrizengruppen sieht man in der Abbildung \ref{BildMatrizenGruppen}
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/Bilder/MatrizenGruppen.png}
+	\caption{Matrizengruppen}
+	\label{BildMatrizenGruppen}
+\end{figure}
 
 \subsection{Geometrische Algebra}
-Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Rotation mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten.
+Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Drehung durch zwei Spiegelungen gebildet werden kann, können wir die Drehung mit der Formel \eqref{RefGA} einfach herleiten.
 \begin{satz}
-	Durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen lässt sich eine Rotation 
+	Durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen lässt sich eine Drehung 
 	\begin{align} \label{rotGA}
-		\mathbf{v}'' = -\mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = -\mathbf{w}(-\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1})
+	\mathbf{v}'' = -\mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = -\mathbf{w}(-\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1})
 	\end{align}
 	beschreiben.
 \end{satz}
@@ -68,120 +80,119 @@ Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachse
 \subsubsection{Exponentialform}
 Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{1}$-$\mathbf{e}_{2}$-Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{i}$-$\mathbf{e}_{j}$-Ebenen $(i\not=j)$ erreicht werden. Für die Herleitung ersetzen wir als erstes in der Polarform
 \begin{align}
-	\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right)
+\mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right)
 \end{align}
 eines Vektors einen Faktor 1 durch $1=\mathbf{e}_1^2$ und erhalten beim Sinus
 \begin{align}\label{e1ausklammern}
-	\mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right). 
+\mathbf{w} &= |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\right). 
 \end{align}
 In einem zweiten Schritt klammern wir $\mathbf{e}_1$ aus, dies ergibt
 \begin{align}
-	\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right). \label{ExponentialGA}
+\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}\right). \label{ExponentialGA}
 \end{align}
 Die Ähnlichkeit des Klammerausdrucks in der Formel \eqref{ExponentialGA} zu der Eulerschen Formel bei den komplexen Zahlen ist nun schon gut erkennbar. Versuchen wir nun mithilfe der Reihenentwicklungen
 \begin{align}
-	\sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\
-	\cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots
+\sin(\theta_w)\mathbf{e}_{12}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n+1}}{(2n+1)!}}\mathbf{e}_{12} =\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots \\
+\cos(\theta_w)&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\theta_w^{2n}}{(2n)!}} =1-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}-\cdots
 \end{align}
 diesen Zusammenhang auch hier herzustellen. Setzt man diese beiden Reihenentwicklungen in \eqref{ExponentialGA} ein, erhält man
 \begin{align}
-	\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots
+\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12} &= 1+\theta_w\mathbf{e}_{12}-{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}-{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}-\cdots
 \end{align}
 Dies sieht noch nicht wie eine Exponentialreihe aus, da $\mathbf{e}_{12}$ nur in jedem zweiten Term auftritt. Da aber $\mathbf{e}_{12}=-1$ gibt, erhält man für
 \begin{align}
-	e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}} = 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots
-	\label{ExponentialGA2}
+e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}} = 1 \mathbf{e}_{12}^0+\theta_w\mathbf{e}_{12}^1+{\frac {\theta_w^{2}}{2!}}\mathbf{e}_{12}^2+{\frac {\theta_w^{3}}{3!}}\mathbf{e}_{12}^3+{\frac {\theta_w^{4}}{4!}}\mathbf{e}_{12}^4+{\frac {\theta_w^{5}}{5!}}\mathbf{e}_{12}^5+\cdots
+\label{ExponentialGA2}
 \end{align}
 Man sieht, dass die beiden Reihen übereinstimmen. Es folgt somit
 \begin{align}\label{EulerGA}
-	e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12},
+e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12},
 \end{align} 
-es gibt eine Euler-Formel mit $\mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$.
+was zeigt, dass es eine Euler-Formel mit $\mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$ gibt.
 
 Wenn man jetzt den Vektor \eqref{ExponentialGA} durch die eulersche Schreibweise
 \begin{align}
-	\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}}
+\mathbf{w} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1e^{\theta_w\mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
 ersetzt, kann die Exponentialform des Vektors ähnlich wie die der komplexen Zahlen interpretieren. Der Einheitsvektor $\mathbf{e}_1$ wird um die Länge $|\mathbf{w}|$ gestreckt und um $\theta_w$ gedreht.
 \subsubsection{Vektormultiplikation}
 Nun werden wir das Vektorprodukt
 \begin{align} \label{VektorproduktformelGA}
-	\mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}
+\mathbf{wu} = |\mathbf{w}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}|\mathbf{u}|\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
 so umformen, dass wir die Drehung nur durch Exponentialterme beschreiben können. Wir tauschen dafür zuerst beim Vektor $\mathbf{w}$ die Reihenfolge von 
-$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern} $1=\mathbf{e}_1^2$ an einer anderen Position
+$\mathbf{e}_1$ mit dem Exponentialterm $e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}}$, indem wir bei der Gleichung \eqref{e1ausklammern} $1=\mathbf{e}_1^2$ an einer anderen Position einsetzten. Wir erhalten
 \begin{align} 
-	\mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1
+\mathbf{w} &= |\mathbf{w}|\left(\cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\mathbf{e}_1\right)\mathbf{e}_1.
 \end{align}
-einsetzten. Mithilfe der Formel \eqref{EulerGA} und dem Wissen, dass $\mathbf{e}_{21}= -\mathbf{e}_{12}$ können wir die Umformung
+Mithilfe der Formel \eqref{EulerGA} und dem Wissen, dass $\mathbf{e}_{21}= -\mathbf{e}_{12}$ können wir die Umformung
 \begin{align}
-	|\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1
+|\mathbf{w}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1
 \end{align}
 ausführen. Diese wichtige Umstrukturierung können wir wieder in die Vektorproduktformel \eqref{VektorproduktformelGA} einsetzen un erhalten
 \begin{align}
-	\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\
-	&= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}.
+\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\
+&= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}.
 \end{align}
 Das inverse Vektorprodukt
 \begin{align}
-	\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}}
+\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
 kann durch die selbe Methode vereinfacht werden.
 Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren  $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir als endgültige Form der Vektorprodukte
 \begin{align}\label{wuExpo}
-	\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\
-	\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}.
+\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\
+\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}.
 \end{align}
 \subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung}
-Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein
+Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein, erhalten wir
 \begin{align}
-	\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr),
+\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr)
 \end{align}
-erhalten wir durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung
-\begin{align}
-	\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}}.
+und können durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung
+\begin{align} \label{GAvereinfRot}
+\mathbf{v''} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} v e^{\theta \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-
-Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei Teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. Wir bekommen durch Einsetzten nun diese Form
+bilden. Wir wissen nun, dass das diese beidseitige Multiplikation die Länge von $\mathbf{v}$ nicht verändert, da sich die Längen von $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ kürzen. Betrachten wir nun den Effekt der Exponentialterme auf $\mathbf{v}$. Dabei teilen wir den Vektor $\mathbf{v}$ auf in einen Anteil $\mathbf{v_\parallel}$, welcher auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ liegt, und einen Anteil $\mathbf{v_\perp}$, welcher senkrecht zu der Ebene steht. Wir bekommen durch Einsetzten nun diese Form
 \begin{align} \label{RotAufPerpPar}
-	\mathbf{v}'' = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e}_{12}}.
+\mathbf{v}'' = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} (\mathbf{v_\perp + v_\parallel}) e^{\theta \mathbf{e}_{12}} = e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\perp} e^{\theta \mathbf{e}_{12}} + e^{-\theta \mathbf{e}_{12}} \mathbf{v_\parallel} e^{\theta \mathbf{e}_{12}}.
 \end{align}
-Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass die Reihenfolge so umstrukturiert werden kann
+Auf eine allgemeine Herleitung wird hier zwar verzichtet, aber man kann zeigen, dass man die Reihenfolge der Vektoranteile $\mathbf{v_\perp}$ und $\mathbf{v_\parallel}$ mit dem Exponentialterm $e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}$ so vertauschen kann, dass sich 
 \begin{align}
-	\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}  e^{\theta \mathbf{e}_{12}} +  \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}},
+\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}  e^{\theta \mathbf{e}_{12}} +  \mathbf{v_\parallel} e^{-(-\theta) \mathbf{e}_{12}} e^{\theta \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
-dass der Winkel beim parallelen Anteil negiert wird. An der Zusammengefassten Gleichung
+ergibt. Der Winkel wird beim parallelen Anteil negiert. An der Zusammengefassten Gleichung
 \begin{align}\label{RotParPerp}
-	\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} +  \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e}_{12}}
+\mathbf{v}'' = \mathbf{v_\perp} +  \mathbf{v_\parallel} e^{2\theta \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
 kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors $\mathbf{v}$ auf der Ebene $\mathbf{e}_{12}$ um $2\theta$ gedreht wird. Der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}$ bleibt gleich. Wichtig dabei zu sehen ist, dass nur der Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ von Bedeutung ist. Die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren spielt keine Rolle. Zeigen wir nun diese Eigenschaften an einem Beispiel
 \begin{beispiel} 
-	Gegeben sei ein Vektor $\mathbf{v} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$ mit zur $\mathbf{e}_{12}$-Ebene parallelen Anteil $\mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2$ und senkrechten Anteil $\mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3$. Zusätzlich sind die Spiegelachsen $\mathbf{u} = \mathbf{e}_1$ und $\mathbf{w} = 2\mathbf{e}_2$ gegeben. Gesucht ist der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$. Bestimmen wir als erstes das Vektorprodukt $\mathbf{wu}$
+	Gegeben sei ein Vektor $\mathbf{v} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 + 3\mathbf{e}_3$ mit zur $\mathbf{e}_{12}$-Ebene parallelen Anteil $\mathbf{v_\parallel} = 1\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2$ und senkrechten Anteil $\mathbf{v_\perp} = 3\mathbf{e}_3$. Zusätzlich sind die Spiegelachsen $\mathbf{u} = \mathbf{e}_1$ und $\mathbf{w} = 2\mathbf{e}_2$ gegeben. Gesucht ist der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$. Bestimmen wir als erstes das Vektorprodukt
 	\begin{align}
-		\mathbf{wu} = (2\mathbf{e}_2)(\mathbf{e}_1) = -2\mathbf{e}_{12}
+	\mathbf{wu} = (2\mathbf{e}_2)(\mathbf{e}_1) = -2\mathbf{e}_{12}
 	\end{align}
-	und das Produkt der Inversen $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$
+	und das Produkt der Inversen
 	\begin{align}
-		\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \biggl(\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2}\biggr) \left(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}\right) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}.
+	\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \biggl(\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2}\biggr) \left(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}\right) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}.
 	\end{align}
-	Der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$ können wir nun durch das einsetzten und auflösen der Produkte in die Gleichung \eqref{rotGA}
+	Den gedrehten Vektor $\mathbf{v}''$ können wir nun durch Einsetzen und Auflösen der Produkte in die Gleichung \eqref{rotGA} bestimmen. Der Rechnenvorgang ist
 	\begin{align}
-		\mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
-		&= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
-		&= -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3
+	\mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
+	&= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\
+	&= -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3.
 	\end{align}
-	finden. Aus dem Resultat $\mathbf{v}''= -1\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3$ können wir bestätigen, dass
+	Aus dem Resultat $\mathbf{v}''= -1\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3$ können wir bestätigen, dass
 	\begin{itemize}
 		\item die Länge $|\mathbf{v}| = \sqrt{3}$ zur Länge $|\mathbf{v}''|=\sqrt{3}$ gleich blieb.
 		\item sich der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}'' = -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2$ gedreht hat und der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}'' = 1\mathbf{e}_3$ unverändert blieb.
 		\item der parallele Teil sich genau um $2\theta=180$° gedreht hat. $\theta$ kann übrigens durch die Umformung des Produkt $\mathbf{wu}$ in die Exponentialschreibweise
 		\begin{align}
-			&\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) + \sin\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr)\mathbf{e}_{12}) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}}
+		&\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) + \sin\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr)\mathbf{e}_{12}) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}}
 		\end{align}
 		durch einen Vergleich mir der Formel \eqref{wuExpo}
 		\begin{align}
-			\theta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2}
+		\theta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2}
 		\end{align}
 		ausgelesen werden.
 	\end{itemize}
-\end{beispiel}
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+\end{beispiel} 
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From: Malarius1999 <malarius1999@gmail.com>
Date: Mon, 23 Aug 2021 11:04:41 +0200
Subject: letzter Commit?
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

\, zwischen ||

Bei "Fehlendes Verb" bin ich mir ein wenig unsicher. Es Handelt sich doch um eine Aufzählung:
Man
kann dabei mit zwei verschiedenen Systemen arbeiten.
- Mit den Eulerischen Winkeln, ...
- Mit den Quaternionen, ...
Falls doch ein Verb fehlen würde müsste doch bei den Eulerischen Winkeln auch noch etwas fehlen...
---
 buch/papers/clifford/8_Rotation.tex | 18 +++++++++---------
 1 file changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/clifford/8_Rotation.tex')

diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
index edab9ef..43d8f8a 100644
--- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
+++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex
@@ -10,8 +10,8 @@ Eine Drehung kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das kan
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/Bilder/RotSpieg.png}
-	\caption{Der wesentliche Unterschied zwischen Spiegelung und Drehung ist die Inversion der Orientierung}
+	\includegraphics[width=10cm]{papers/clifford/images/spiegelung.pdf}
+	\caption{Der wesentliche Unterschied zwischen Spiegelung und Drehung ist die Umkehrung der Orientierung}
 	\label{BildSpiegRot}
 \end{figure}
 
@@ -131,23 +131,23 @@ Mithilfe der Formel \eqref{EulerGA} und dem Wissen, dass $\mathbf{e}_{21}= -\mat
 \end{align}
 ausführen. Diese wichtige Umstrukturierung können wir wieder in die Vektorproduktformel \eqref{VektorproduktformelGA} einsetzen un erhalten
 \begin{align}
-\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\
-&= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}.
+\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta_w \mathbf{e}_{12}}\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 e^{\theta_u \mathbf{e}_{12}}\\
+&= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{(\theta_u-\theta_w) \mathbf{e}_{12}}.
 \end{align}
 Das inverse Vektorprodukt
 \begin{align}
-\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}}
+\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{(\theta_w-\theta_u) \mathbf{e}_{12}}
 \end{align}
 kann durch die selbe Methode vereinfacht werden.
 Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren  $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\theta = \theta_w - \theta_u$ definieren erhalten wir als endgültige Form der Vektorprodukte
 \begin{align}\label{wuExpo}
-\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\
-\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}.
+\mathbf{wu} &= |\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}\enspace\text{und}\\
+\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} &= \dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}} \label{wuExpoInv}.
 \end{align}
 \subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung}
 Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein, erhalten wir
 \begin{align}
-\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr)
+\mathbf{v''} = (|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}|\,|\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr)
 \end{align}
 und können durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung
 \begin{align} \label{GAvereinfRot}
@@ -193,6 +193,6 @@ kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors
 		\begin{align}
 		\theta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2}
 		\end{align}
-		ausgelesen werden.
+		ausgelesen werden. \qedhere
 	\end{itemize}
 \end{beispiel} 
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