From fedb213d00379ad0e50fc77b05b2ba9ae096d1cc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Malarius1999 Date: Mon, 2 Aug 2021 12:27:36 +0200 Subject: Verbesserungen aus Besprechung Kapitel 18.3, 18.4 MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit + Abbildung in GA bewiesen + Vektor n neu Vektor u + grössen Klammern angepasst + Graphiken angepasst In Kapitel 18.2 \\ in Gleichung entfernt --- buch/papers/clifford/8_Rotation.tex | 39 +++++++++++++++++++++++-------------- 1 file changed, 24 insertions(+), 15 deletions(-) (limited to 'buch/papers/clifford/8_Rotation.tex') diff --git a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex index b960b56..1d5e889 100644 --- a/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex +++ b/buch/papers/clifford/8_Rotation.tex @@ -15,19 +15,28 @@ Eine Rotation kann man aus zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen bilden. Das ka \draw[thin,gray!40] (-3,-1) grid (3,3); \draw[<->] (-3,0)--(3,0) node[right]{$a_1$}; \draw[<->] (0,-1)--(0,3) node[above]{$a_2$}; + \draw[line width=1.0pt,green,-stealth](2,2)--(-2,2) node[anchor=south west]{$\boldsymbol{-2v_{\parallel u}}$}; + \draw[line width=1.0pt,green,-stealth](-2,2)--(-2.828,0) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{-2v'_{\parallel w}}$}; + \draw[blue, line width=1.0pt] (0,3)--(0,-1) node[anchor=south east]{$\sigma_u$}; + \draw[red, line width=1.0pt] (-3,1.24)--(2.21,-1) node[anchor=south]{$\sigma_w$}; \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v}$}; - \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(0,2.5) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$}; + \draw[line width=1.5pt,blue,-stealth](0,0)--(2.5, 0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{u}$}; \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2,2) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v'}$}; - \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(-2.31, 0.957) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$}; + \draw[line width=1.5pt,red,-stealth](0,0)--(0.957, 2.31) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{w}$}; \draw[line width=2pt,black,-stealth](0,0)--(-2.828,0) node[anchor=south east]{$\boldsymbol{v''}$}; \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(1,0) node[anchor=north]{$\boldsymbol{e_1}$}; - \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north west]{$\boldsymbol{e_2}$}; + \draw[line width=1.5pt,gray,-stealth](0,0)--(0,1) node[anchor=north east]{$\boldsymbol{e_2}$}; \coordinate (A) at (0,0); - \coordinate (B) at (0,2.5); - \coordinate (C) at (-2.31, 0.957); - \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, draw, thick, angle radius=1.25cm}} + \coordinate (B) at (2.5,0); + \coordinate (C) at (0.957, 2.31); + \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw, thick, angle radius=1cm}} \draw pic ["$\theta$", anglestyle] {angle = B--A--C}; + \coordinate (D) at (0,0); + \coordinate (E) at (1,1); + \coordinate (F) at (-1, 0); + \tikzset{anglestyle/.style={angle eccentricity=1.25, purple, draw, thick, angle radius=1.25cm}} + \draw pic ["$2\theta$", anglestyle] {angle = E--D--F}; \end{tikzpicture} \caption{Rotation des Vektors $\textbf{v}$ um $2\theta$} \label{BildRotation} @@ -51,13 +60,13 @@ Da wir jetzt aus der Geometrie wissen, dass eine Rotation durch zwei Spiegelunge \begin{satz} Durch zwei nacheinander auf einen Vektor $\mathbf{v}$ angewendete Spiegelungen lässt sich eine Rotation \begin{align} \label{rotGA} - \mathbf{v}'' = \mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = \mathbf{w}(\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) + \mathbf{v}'' = -\mathbf{wv}'\mathbf{w}^{-1} = -\mathbf{w}(-\mathbf{uvu}^{-1})\mathbf{w}^{-1} = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) \end{align} beschreiben. \end{satz} Die Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ bilden hier wiederum die Spiegelachsen. Diese Formel versuchen wir jetzt noch durch Umstrukturierung zu verbessern. \subsubsection{Exponentialform} -Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{12}$ Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{ij}, i\not=j$ Ebenen erreicht werden. Für die Herleitung ersetzen wir als erstes in der Polarform +Dazu leiten wir zuerst die Exponentialform eines Vektors her. Es wird dabei zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass alle Vektoren $\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}$ in der $\mathbf{e}_{1}$-$\mathbf{e}_{2}$-Ebene liegen. Weitere Drehungen können in höheren Dimensionen durch Linearkombinationen von Drehungen in den $\mathbf{e}_{i}$-$\mathbf{e}_{j}$-Ebenen $(i\not=j)$ erreicht werden. Für die Herleitung ersetzen wir als erstes in der Polarform \begin{align} \mathbf{w} = |\mathbf{w}| \left(\cos(\theta_w) \mathbf{e}_1 + \sin(\theta_w) \mathbf{e}_2\right) \end{align} @@ -87,7 +96,7 @@ Man sieht, dass die beiden Reihen übereinstimmen. Es folgt somit \begin{align}\label{EulerGA} e^{\theta_w \mathbf{e}_{12}} = \cos(\theta_w)+ \sin(\theta_w) \mathbf{e}_{12}, \end{align} -es gibt eine Euler-Formel mit $mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$. +es gibt eine Euler-Formel mit $\mathbf{e}_{12}$ anstelle der imaginären Einheit $j$. Wenn man jetzt den Vektor \eqref{ExponentialGA} durch die eulersche Schreibweise \begin{align} @@ -126,7 +135,7 @@ Wenn wir den Winkel zwischen den Vektoren $\mathbf{w}$ und $\mathbf{u}$ als $\t \subsubsection{Umstrukturierte Drehungsgleichung} Setzten wir nun unsere neuen Erkenntnisse in die Gleichung \eqref{rotGA} ein \begin{align} - \mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}}) \mathbf{v}( \dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}), + \mathbf{v''} = (|\mathbf{w}||\mathbf{u}|e^{-\theta \mathbf{e}_{12}})\mathbf{v}\biggl(\dfrac{1}{|\mathbf{w}||\mathbf{u}|}e^{\theta \mathbf{e}_{12}}\biggr), \end{align} erhalten wir durch die Kürzungen der Längen die vereinfachte Drehungsgleichung \begin{align} @@ -153,12 +162,12 @@ kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors \end{align} und das Produkt der Inversen $\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}$ \begin{align} - \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = (\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2})(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}. + \mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1} = \biggl(\dfrac{\mathbf{e}_1}{1^2}\biggr) \left(\dfrac{2\mathbf{e}_2}{2^2}\right) = \dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12}. \end{align} Der rotierte Vektor $\mathbf{v}''$ können wir nun durch das einsetzten und auflösen der Produkte in die Gleichung \eqref{rotGA} \begin{align} - \mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12})\\ - &= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\dfrac{1}{2}\mathbf{e}_{12})\\ + \mathbf{v}'' = (\mathbf{wu})\mathbf{v}(\mathbf{u}^{-1}\mathbf{w}^{-1}) &= (-2e_{12})(1\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3)(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\ + &= (2\mathbf{e}_2-2\mathbf{e}_1-2\mathbf{e}_{123})(\textstyle{\frac{1}{2}}\mathbf{e}_{12})\\ &= -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3 \end{align} finden. Aus dem Resultat $\mathbf{v}''= -1\mathbf{e}_1 + 1\mathbf{e}_2 + 1\mathbf{e}_3$ können wir bestätigen, dass @@ -167,11 +176,11 @@ kann man sehen, dass nur der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}$ des Vektors \item sich der parallele Anteil $\mathbf{v_\parallel}'' = -1\mathbf{e}_1 - 1\mathbf{e}_2$ gedreht hat und der senkrechte Anteil $\mathbf{v_\perp}'' = 1\mathbf{e}_3$ unverändert blieb. \item der parallele Teil sich genau um $2\theta=180$° gedreht hat. $\theta$ kann übrigens durch die Umformung des Produkt $\mathbf{wu}$ in die Exponentialschreibweise \begin{align} - &\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos(\dfrac{-\pi}{2} + \sin(\dfrac{-\pi}{2})\mathbf{e}_{12})) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}} + &\mathbf{wu} = -2\mathbf{e}_{12} = 2(0-1\mathbf{e}_{12})=2(\cos\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) + \sin\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr)\mathbf{e}_{12}) = 2e^{(-\pi/2)\mathbf{e}_{12}} \end{align} durch einen Vergleich mir der Formel \eqref{wuExpo} \begin{align} - \theta = -(\dfrac{-\pi}{2}) = \dfrac{\pi}{2} + \theta = -\biggl(\dfrac{-\pi}{2}\biggr) = \dfrac{\pi}{2} \end{align} ausgelesen werden. \end{itemize} -- cgit v1.2.1