From d8739e97661fc362324a8d7affed830a4f9c2e92 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 12 Sep 2021 22:20:48 +0200 Subject: editorial edits erdbeben --- buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex | 109 ++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 62 insertions(+), 47 deletions(-) (limited to 'buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex index 76dfaa7..86422e6 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex @@ -1,12 +1,13 @@ \section{Anwendung des Kalman-Filters} +\rhead{Anwendung des Kalman-Filters} Bis jetzt haben wir gesehen, was das Kalman-Filter bewirkt und wie es funktioniert. Nun möchten wir mit einem konkreten Beispiel herausfinden, -ob das Filter unsere gesuchte Grösse $f(t)$ bestimmen kann. +ob das Filter unsere gesuchte Grösse $F(t)$ bestimmen kann. Da wir keine Rohdaten über vergangene Erdbeben zur Hand haben, müssen wir mittels Simulation künstliche Daten erzeugen. Diese können wir dann mit unserem Filter verarbeiten. -Diese Vorgehensweise erlaubt uns das Erdbeben beliebig zu gestalten +Diese Vorgehensweise erlaubt uns, das Erdbeben beliebig zu gestalten und weil es digital simuliert wird, haben wir auch keine Bauschäden zu beklagen. \subsection{Wahl der Schwingung} @@ -29,23 +30,30 @@ Für die Frequenz $f$ wählen wir eine Zufallssquenz mit Erwartungswert und Stan \sigma = \SI{10}{\hertz}. \end{equation} Zusätzlich haben wir $f$ mit einem Savitzky-Golay-Filter gefiltert. +\index{Savitzky-Golay-Filter}% Ein Savitzky-Golay-Filter schaut sich immer eine definierte Anzahl von Datenpunkte an und bildet ein Polynom $n$-ter Ordnung. In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschiebbaren Fensters, jeweils elf aufeinanderfolgende Datenpunkte an und bildet ein Polynom $0$-ter Ordnung, also eine Konstante. Somit erhalten wir mit Matlab-Standardfunktionen einen gleitenden Mittelwert, +\index{gleitender Mittelwert}% um all zu schnelle Änderungen der Frequenz zu unterdrücken. $\lambda$ ist die Bodendämpfung, für die wir $0.2$ wählen. +\index{Bodendämpfung}% Sie ist dafür verantwortlich, dass unser Erdbeben abklingt und kreiert bei der gedämpften Schwingung die typische Hüllkurve. +\index{Hüllkurve}% Wir nehmen an, dass $\lambda$ ein Materialparameter von geologischen Böden ist. \subsection{Versuch im Standardfall} Im nächsten Schritt müssen wir sinnvolle Systemparameter für unseren Seismographen definieren. Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca.\ \SI{100}{\gram} hat. +\index{Masse}% Zur Federkonstante $D$ und Dämpfung $k$ konnten wir leider keine brauchbaren Grössen finden. +\index{Federkonstante}% +\index{Dämpfung}% Wir treffen die Annahmen $D = 1$ und $k = 0.01$. Für die Masse definieren wir $m = 0.01$. @@ -65,6 +73,7 @@ Für das Prozessrauschen werden die Bedingungen \end{equation} angesetzt. Die Annahme, dass sich die Erdbebenkraft $F$ nicht ändert, +\index{Erdbebenkraft}% kompensieren wir hier endlich durch einen grossen Wert von $\sigma_F^2$. Auch für die Messung setzen wir ein Rauschen voraus und definieren \begin{equation} @@ -79,18 +88,6 @@ Damit sind nun die benötigten Systemparameter und das Rauschen definiert. Als nächstes erzeugen wir ein Erdbeben und schauen, wie gut das Kalman-Filter die äussere Beschleunigung schätzen kann. -\subsection*{Ergebnis} - -Wie wir in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-alles} im Positions-Zeit-Diagramm sehen, erzeugen unsere vorher gewählten Parameter eine realistische Erdbebenaufzeichnung. -Leiten wir die Position einmal ab, erhalten wir die Geschwindigkeit. -Die zweite Ableitung ergibt uns die Kraft, die in unserer Aufgabenstellung gesucht ist. - -Zoomen wir näher ran, erkennen wir wieder im Positions-Diagramm eine Überlagerung der Massen-Eigenschwingung mit der Erdbebenschwingung. -Die Masse schwingt mit einer tiefen Frequenz und hoher Amplitude, hingegen das Erdbeben mit einer hohen Frequenz und tiefer Amplitude. - -Vergleichen wir nun die Position mit der Kraft, stellen wir fest, dass das Kalman-Filter eine Schätzung wiedergibt, die auch eine Frequenz von \SI{15}{\hertz} hat. -Das Filter war imstande die Eigenfrequenz zu eliminieren und die tatsächliche Kraft des Erdbebens wiederzugeben. - \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=.95\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/images/standard.PDF} @@ -106,22 +103,17 @@ Das Filter war imstande die Eigenfrequenz zu eliminieren und die tatsächliche K \end{center} \end{figure} -\subsection{Veränderung der Systemparameter} -Wir möchten nun testen, was die Auswirkungen sind, wenn zum Beispiel der Seismograph andere Systemparameter aufweist. -Wir nehmen an, dass sich im Vergleich zum Standardfall die Masse erhöht, die Federkonstante schwächer und die Bodendämpfung doppelt so stark wirkt. -Somit gilt neu -\[ -m = 0.05, -\qquad \qquad -D = 0.5 -\qquad \text{und} \qquad -k = 0.02. -\] -Da wir mit dieser Anpassung die Trägheit des Seismogrammes erhöht haben, -erwarten wir eine langsamere Bewegung der Masse, das heisst die Eigenfrequenz wird reduziert. +\subsection*{Ergebnis} -Betrachten wir Abbildung~\ref{erdbeben:fig:systemparameter-geaendert} können wir diese Erwartung bestätigen. -Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir auf die höhere Energie der Masse und geringeren Rücklenkkraft der Feder begründen können. +Wie wir in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-alles} im Positions-Zeit-Diagramm sehen, erzeugen unsere vorher gewählten Parameter eine realistische Erdbebenaufzeichnung. +Leiten wir die Position einmal ab, erhalten wir die Geschwindigkeit. +Die zweite Ableitung ergibt uns die Kraft, die in unserer Aufgabenstellung gesucht ist. + +Zoomen wir näher heran, erkennen wir wieder im Positions-Diagramm eine Überlagerung der Massen-Eigenschwingung mit der Erdbebenschwingung. +Die Masse schwingt mit einer tiefen Frequenz und hoher Amplitude, hingegen das Erdbeben mit einer hohen Frequenz und tiefer Amplitude. + +Vergleichen wir nun die Position mit der Kraft, stellen wir fest, dass das Kalman-Filter eine Schätzung wiedergibt, die auch eine Frequenz von \SI{15}{\hertz} hat. +Das Filter war imstande die Eigenfrequenz zu eliminieren und die tatsächliche Kraft des Erdbebens wiederzugeben. \begin{figure} \begin{center} @@ -137,15 +129,6 @@ Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir auf die h \end{center} \end{figure} -\subsection{Verstärkung des Prozessrauschens} -Falls wir unseren Seismographen in der Nähe einer grösseren Stadt aufstellen, so müssen wir aufgrund der Vibrationen mit einem stärkeren Prozessrauschen rechnen. -Dieses Rauschen beeinflusst die Varianzen der Position und Geschwindigkeit in der Matrix $Q$. -Aus diesem Grund erhöhen wir die Standardabweichungen der Positions $\sigma_s$ und Geschwindigkeit $\sigma_v$ in der Matrix $Q$ um den Faktor $100$. -Die Auswertung in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} zeigt auf, -dass das Kalman-Filter die Schätzung der Kraft nur gering an den Messwerten anpasst, -da wir den Schätzungen für die Position nun wenig Vertrauen schenken und stärker der Modell-Annahme $\dot F = 0$ folgen. -Die Theorie dazu haben wir im Abschnitt~\ref{erdbeben:Wahrscheindlichkeit} angeschaut. - \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=.95\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/images/Prozessrauschen_geaendert.PDF} @@ -163,13 +146,25 @@ Die Theorie dazu haben wir im Abschnitt~\ref{erdbeben:Wahrscheindlichkeit} anges \end{center} \end{figure} -\subsection{Verstärkung des Messrauschens} -Als letztes verstärken wir das Messrauschen um den Faktor $100$ und belassen wieder den Rest wie im Standardfall. -Wie man eigentlich schon erwarten kann, -zeigt uns die Abbildung~\ref{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert}, -dass das Signal des Messsensors vom Messrauschen start gestört wird. -Weil die Messung zu ungenau ist, -kann das Kalman-Filter nicht mehr gut arbeiten und produziert einen ungenauen Output. +\subsection{Veränderung der Systemparameter} +Wir möchten nun testen, was die Auswirkungen sind, wenn zum Beispiel der Seismograph andere Systemparameter aufweist. +Wir nehmen an, dass sich im Vergleich zum Standardfall die Masse erhöht, die Federkonstante schwächer und die Bodendämpfung doppelt so stark wirkt. +Somit gilt neu +\[ +m = 0.05, +\qquad \qquad +D = 0.5 +\qquad \text{und} \qquad +k = 0.02. +\] +Da wir mit dieser Anpassung die Trägheit des Seismographen erhöht haben, +erwarten wir eine langsamere Bewegung der Masse, das heisst die Eigenfrequenz wird reduziert. + + +Betrachten wir Abbildung~\ref{erdbeben:fig:systemparameter-geaendert}, können wir diese Erwartung bestätigen. +Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir mit der höheren Energie der Masse und geringeren Rücklenkkraft der Feder begründen können. + + \begin{figure} \begin{center} @@ -188,11 +183,31 @@ kann das Kalman-Filter nicht mehr gut arbeiten und produziert einen ungenauen Ou \end{center} \end{figure} -\subsection{Zusammenfassung} +\subsection{Verstärkung des Prozessrauschens} +Falls wir unseren Seismographen in der Nähe einer grösseren Stadt aufstellen, so müssen wir aufgrund der Vibrationen mit einem stärkeren Prozessrauschen rechnen. +Dieses Rauschen beeinflusst die Varianzen der Position und Geschwindigkeit in der Matrix $Q$. +Aus diesem Grund erhöhen wir die Standardabweichungen der Positions $\sigma_s$ und Geschwindigkeit $\sigma_v$ in der Matrix $Q$ um den Faktor $100$. +Die Auswertung in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} zeigt auf, +dass das Kalman-Filter die Schätzung der Kraft nur gering an den Messwerten anpasst, +da wir den Schätzungen für die Position nun wenig Vertrauen schenken und stärker der Modell-Annahme $\dot F = 0$ folgen. +Die Theorie dazu haben wir im Abschnitt~\ref{erdbeben:Wahrscheindlichkeit} angeschaut. + + +\subsection{Verstärkung des Messrauschens} +Als letztes verstärken wir das Messrauschen um den Faktor $100$ und belassen wieder den Rest wie im Standardfall. +Wie man eigentlich schon erwarten kann, +zeigt uns die Abbildung~\ref{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert}, +dass das Signal des Messsensors vom Messrauschen start gestört wird. +Weil die Messung zu ungenau ist, +kann das Kalman-Filter nicht mehr gut arbeiten und produziert einen ungenauen Output. + + +\section{Zusammenfassung} +\rhead{Zusammenfassung} Wir haben uns zum Ziel gesetzt, die äussere Beschleunigung $a(t)$, beziehungsweise die Kraft $f(t)$ eines Erdbebens -aus den Messugnen eines Seismographen zu berechen. +aus den Messungen eines Seismographen zu berechen. Wir haben einen Seismographen mathematisch beschrieben und mit der Software Matlab Messresultate während eines künstlichen Erdbebens erzeugt. -- cgit v1.2.1