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Date: Sun, 12 Sep 2021 22:20:48 +0200
Subject: editorial edits erdbeben

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@@ -1,12 +1,13 @@
 \section{Anwendung des Kalman-Filters}
+\rhead{Anwendung des Kalman-Filters}
 Bis jetzt haben wir gesehen, was das Kalman-Filter bewirkt und wie es funktioniert.
 Nun möchten wir mit einem konkreten Beispiel herausfinden,
-ob das Filter unsere gesuchte Grösse $f(t)$ bestimmen kann.
+ob das Filter unsere gesuchte Grösse $F(t)$ bestimmen kann.
 
 Da wir keine Rohdaten über vergangene Erdbeben zur Hand haben,
 müssen wir mittels Simulation künstliche Daten erzeugen.
 Diese können wir dann mit unserem Filter verarbeiten.
-Diese Vorgehensweise erlaubt uns das Erdbeben beliebig zu gestalten
+Diese Vorgehensweise erlaubt uns, das Erdbeben beliebig zu gestalten
 und weil es digital simuliert wird, haben wir auch keine Bauschäden zu beklagen.
 
 \subsection{Wahl der Schwingung}
@@ -29,23 +30,30 @@ Für die Frequenz $f$ wählen wir eine Zufallssquenz mit Erwartungswert und Stan
   \sigma = \SI{10}{\hertz}.
 \end{equation}
 Zusätzlich haben wir $f$ mit einem Savitzky-Golay-Filter gefiltert.
+\index{Savitzky-Golay-Filter}%
 Ein Savitzky-Golay-Filter schaut sich immer eine definierte Anzahl von Datenpunkte an
 und bildet ein Polynom $n$-ter Ordnung.
 In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschiebbaren Fensters,
 jeweils elf aufeinanderfolgende Datenpunkte an und bildet ein Polynom $0$-ter Ordnung,
 also eine Konstante.
 Somit erhalten wir mit Matlab-Standardfunktionen einen gleitenden Mittelwert,
+\index{gleitender Mittelwert}%
 um all zu schnelle Änderungen der Frequenz zu unterdrücken.
 
 $\lambda$ ist die Bodendämpfung, für die wir $0.2$ wählen.
+\index{Bodendämpfung}%
 Sie ist dafür verantwortlich, dass unser Erdbeben abklingt
 und kreiert bei der gedämpften Schwingung die typische Hüllkurve.
+\index{Hüllkurve}%
 Wir nehmen an, dass $\lambda$ ein Materialparameter von geologischen Böden ist.
 
 \subsection{Versuch im Standardfall}
 Im nächsten Schritt müssen wir sinnvolle Systemparameter für unseren Seismographen definieren.
 Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca.\ \SI{100}{\gram} hat.
+\index{Masse}%
 Zur Federkonstante $D$ und Dämpfung $k$ konnten wir leider keine brauchbaren Grössen finden.
+\index{Federkonstante}%
+\index{Dämpfung}%
 Wir treffen die Annahmen $D = 1$ und $k = 0.01$.
 Für die Masse definieren wir $m = 0.01$.
 
@@ -65,6 +73,7 @@ Für das Prozessrauschen werden die Bedingungen
 \end{equation}
 angesetzt.
 Die Annahme, dass sich die Erdbebenkraft $F$ nicht ändert,
+\index{Erdbebenkraft}%
 kompensieren wir hier endlich durch einen grossen Wert von $\sigma_F^2$.
 Auch für die Messung setzen wir ein Rauschen voraus und definieren
 \begin{equation}
@@ -79,18 +88,6 @@ Damit sind nun die benötigten Systemparameter und das Rauschen definiert.
 Als nächstes erzeugen wir ein Erdbeben und schauen,
 wie gut das Kalman-Filter die äussere Beschleunigung schätzen kann.
 
-\subsection*{Ergebnis}
-
-Wie wir in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-alles} im Positions-Zeit-Diagramm sehen, erzeugen unsere vorher gewählten Parameter eine realistische Erdbebenaufzeichnung.
-Leiten wir die Position einmal ab, erhalten wir die Geschwindigkeit.
-Die zweite Ableitung ergibt uns die Kraft, die in unserer Aufgabenstellung gesucht ist.
-
-Zoomen wir näher ran, erkennen wir wieder im Positions-Diagramm eine Überlagerung der Massen-Eigenschwingung mit der Erdbebenschwingung.
-Die Masse schwingt mit einer tiefen Frequenz und hoher Amplitude, hingegen das Erdbeben mit einer hohen Frequenz und tiefer Amplitude.
-
-Vergleichen wir nun die Position mit der Kraft, stellen wir fest, dass das Kalman-Filter eine Schätzung wiedergibt, die auch eine Frequenz von \SI{15}{\hertz} hat.
-Das Filter war imstande die Eigenfrequenz zu eliminieren und die tatsächliche Kraft des Erdbebens wiederzugeben.
-
 \begin{figure}
   \begin{center}
     \includegraphics[width=.95\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/images/standard.PDF}
@@ -106,22 +103,17 @@ Das Filter war imstande die Eigenfrequenz zu eliminieren und die tatsächliche K
   \end{center}
 \end{figure}
 
-\subsection{Veränderung der Systemparameter}
-Wir möchten nun testen, was die Auswirkungen sind, wenn zum Beispiel der Seismograph andere Systemparameter aufweist.
-Wir nehmen an, dass sich im Vergleich zum Standardfall die Masse erhöht, die Federkonstante schwächer und die Bodendämpfung doppelt so stark wirkt.
-Somit gilt neu
-\[
-m = 0.05,
-\qquad \qquad
-D = 0.5
-\qquad \text{und} \qquad
-k = 0.02.
-\]
-Da wir mit dieser Anpassung die Trägheit des Seismogrammes erhöht haben,
-erwarten wir eine langsamere Bewegung der Masse, das heisst die Eigenfrequenz wird reduziert.
+\subsection*{Ergebnis}
 
-Betrachten wir Abbildung~\ref{erdbeben:fig:systemparameter-geaendert} können wir diese Erwartung bestätigen.
-Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir auf die höhere Energie der Masse und geringeren Rücklenkkraft der Feder begründen können.
+Wie wir in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-alles} im Positions-Zeit-Diagramm sehen, erzeugen unsere vorher gewählten Parameter eine realistische Erdbebenaufzeichnung.
+Leiten wir die Position einmal ab, erhalten wir die Geschwindigkeit.
+Die zweite Ableitung ergibt uns die Kraft, die in unserer Aufgabenstellung gesucht ist.
+
+Zoomen wir näher heran, erkennen wir wieder im Positions-Diagramm eine Überlagerung der Massen-Eigenschwingung mit der Erdbebenschwingung.
+Die Masse schwingt mit einer tiefen Frequenz und hoher Amplitude, hingegen das Erdbeben mit einer hohen Frequenz und tiefer Amplitude.
+
+Vergleichen wir nun die Position mit der Kraft, stellen wir fest, dass das Kalman-Filter eine Schätzung wiedergibt, die auch eine Frequenz von \SI{15}{\hertz} hat.
+Das Filter war imstande die Eigenfrequenz zu eliminieren und die tatsächliche Kraft des Erdbebens wiederzugeben.
 
 \begin{figure}
   \begin{center}
@@ -137,15 +129,6 @@ Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir auf die h
   \end{center}
 \end{figure}
 
-\subsection{Verstärkung des Prozessrauschens}
-Falls wir unseren Seismographen in der Nähe einer grösseren Stadt aufstellen, so müssen wir aufgrund der Vibrationen mit einem stärkeren Prozessrauschen rechnen.
-Dieses Rauschen beeinflusst die Varianzen der Position und Geschwindigkeit in der Matrix $Q$.
-Aus diesem Grund erhöhen wir die Standardabweichungen der Positions $\sigma_s$ und Geschwindigkeit $\sigma_v$ in der Matrix $Q$ um den Faktor $100$.
-Die Auswertung in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} zeigt auf,
-dass das Kalman-Filter die Schätzung der Kraft nur gering an den Messwerten anpasst,
-da wir den Schätzungen für die Position nun wenig Vertrauen schenken und stärker der Modell-Annahme $\dot F = 0$ folgen.
-Die Theorie dazu haben wir im Abschnitt~\ref{erdbeben:Wahrscheindlichkeit} angeschaut.
-
 \begin{figure}
   \begin{center}
     \includegraphics[width=.95\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/images/Prozessrauschen_geaendert.PDF}
@@ -163,13 +146,25 @@ Die Theorie dazu haben wir im Abschnitt~\ref{erdbeben:Wahrscheindlichkeit} anges
   \end{center}
 \end{figure}
 
-\subsection{Verstärkung des Messrauschens}
-Als letztes verstärken wir das Messrauschen um den Faktor $100$ und belassen wieder den Rest wie im Standardfall.
-Wie man eigentlich schon erwarten kann,
-zeigt uns die Abbildung~\ref{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert},
-dass das Signal des Messsensors vom Messrauschen start gestört wird.
-Weil die Messung zu ungenau ist,
-kann das Kalman-Filter nicht mehr gut arbeiten und produziert einen ungenauen Output.
+\subsection{Veränderung der Systemparameter}
+Wir möchten nun testen, was die Auswirkungen sind, wenn zum Beispiel der Seismograph andere Systemparameter aufweist.
+Wir nehmen an, dass sich im Vergleich zum Standardfall die Masse erhöht, die Federkonstante schwächer und die Bodendämpfung doppelt so stark wirkt.
+Somit gilt neu
+\[
+m = 0.05,
+\qquad \qquad
+D = 0.5
+\qquad \text{und} \qquad
+k = 0.02.
+\]
+Da wir mit dieser Anpassung die Trägheit des Seismographen erhöht haben,
+erwarten wir eine langsamere Bewegung der Masse, das heisst die Eigenfrequenz wird reduziert.
+
+
+Betrachten wir Abbildung~\ref{erdbeben:fig:systemparameter-geaendert}, können wir diese Erwartung bestätigen.
+Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir mit der höheren Energie der Masse und geringeren Rücklenkkraft der Feder begründen können.
+
+
 
 \begin{figure}
   \begin{center}
@@ -188,11 +183,31 @@ kann das Kalman-Filter nicht mehr gut arbeiten und produziert einen ungenauen Ou
   \end{center}
 \end{figure}
 
-\subsection{Zusammenfassung}
+\subsection{Verstärkung des Prozessrauschens}
+Falls wir unseren Seismographen in der Nähe einer grösseren Stadt aufstellen, so müssen wir aufgrund der Vibrationen mit einem stärkeren Prozessrauschen rechnen.
+Dieses Rauschen beeinflusst die Varianzen der Position und Geschwindigkeit in der Matrix $Q$.
+Aus diesem Grund erhöhen wir die Standardabweichungen der Positions $\sigma_s$ und Geschwindigkeit $\sigma_v$ in der Matrix $Q$ um den Faktor $100$.
+Die Auswertung in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} zeigt auf,
+dass das Kalman-Filter die Schätzung der Kraft nur gering an den Messwerten anpasst,
+da wir den Schätzungen für die Position nun wenig Vertrauen schenken und stärker der Modell-Annahme $\dot F = 0$ folgen.
+Die Theorie dazu haben wir im Abschnitt~\ref{erdbeben:Wahrscheindlichkeit} angeschaut.
+
+
+\subsection{Verstärkung des Messrauschens}
+Als letztes verstärken wir das Messrauschen um den Faktor $100$ und belassen wieder den Rest wie im Standardfall.
+Wie man eigentlich schon erwarten kann,
+zeigt uns die Abbildung~\ref{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert},
+dass das Signal des Messsensors vom Messrauschen start gestört wird.
+Weil die Messung zu ungenau ist,
+kann das Kalman-Filter nicht mehr gut arbeiten und produziert einen ungenauen Output.
+
+
+\section{Zusammenfassung}
+\rhead{Zusammenfassung}
 Wir haben uns zum Ziel gesetzt,
 die äussere Beschleunigung $a(t)$,
 beziehungsweise die Kraft $f(t)$ eines Erdbebens
-aus den Messugnen eines Seismographen zu berechen.
+aus den Messungen eines Seismographen zu berechen.
 
 Wir haben einen Seismographen mathematisch beschrieben und
 mit der Software Matlab Messresultate während eines künstlichen Erdbebens erzeugt.
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cgit v1.2.1

