From 84b45ebb3d4788db314796095ddcca2c901d406d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: fabioviecelli <80270098+fabioviecelli@users.noreply.github.com> Date: Fri, 16 Jul 2021 16:13:27 +0200 Subject: Einleitung und Schwingungsgleichung --- buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex | 110 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/erdbeben/main.tex | 5 +- 2 files changed, 113 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex new file mode 100644 index 0000000..63b9648 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex @@ -0,0 +1,110 @@ +\section{Kalman Filter} +\subsection{Was ist ein Erdbeben?} +Für das Verständnis möchten wir zuerst klären, was ein Erdbeben genau ist. +Das soll uns helfen, eine Verknüpfung zwischen dem Naturphänomen und der mathematischen Lösungsfindung herzustellen. + +Unter einem Erdbeben verstehen wir eine Erschütterung des Erdkörpers. +Dabei reiben zwei tektonische Platten aneinander, welche aber sich durch die Gesteinsverzahnung gegenseitig blockieren. +Aufgrund dieser Haftreibung entstehen Spannungen, die sich immer mehr bis zum Tipping Point aufbauen. +Irgendwann ist der Punkt erreicht, in dem die Scherfestigkeit der Gesteine überwunden wird. +Wenn dies passiert, entladet sich die aufgebaute Spannung und setzt enorme Energien frei, die wir als Erdbeben wahrnehmen. + +Ein Erdbeben pflanzt sich vom Erdbebenherd in allen Richtungen gleich aus. +Vergleichbar ist, wenn man einen Stein in einen Teich wirft und die Wellen beobachten kann, die sich ausbreiten. + +Wir möchten nun mittels Kalman-Filter die Erdbebenbeschleunigung herausfinden. +Die Erdbebenbeschleunigung ist in der Praxis zur Entwicklung von Erdbebengefährdungskarten, sowie der Ausarbeitung von Baunormen für erdbebengerechte Bauweise von Bedeutung. + + +\subsection{Künstliche Erdbebendaten} +Nun möchten wir anhand eines eigenen Beispiels das Kalman-Filter anwenden. +Wir müssen Erdbebendaten künstlich erzeugen, um sie in das Filter zu geben und somit den Prozess zu starten. +Dafür nehmen wir die Formel für harmonische gedämpfte Schwingungen, die + +\begin{equation} + y = A \sin(\omega t e^{-lambda t}) +\end{equation} + +lautet. + + + + +A ist die Amplitude der Schwingung und beschreibt die Heftigkeit eines Erdbebens, die Magnitude. +Omega repräsentiert die Erdbebenfrequenz, die in der Realität zwischen 1 Hz und 30 Hz betragen kann. +Wir wählen als Erwartungswert 15 Herz und für die Standardabweichung 1 Hz. +Lambda ist die Bodendämpfung, für die wir 0.2 wählen. +Wir haben diese Zahl aus der Literatur entnommen und ist für das Bauwesen bedeutend. +Je grösser Lambda gewählt wird, desto stärker wirkt die Dämpfung der Massenschwingung. +Die Funktion ist zeitabhängig und wir lassen pro Sekunde zehn Messwerte generieren. + +Die Frequenz soll im Matlab als Zufallszahl generiert werden. +Mit dem Golay-Filter glätten wir unsere Werte, um unser Output näher an die Realität zu bringen. +Zusätzlich werden Ausreisser nicht vernachlässigt und wirken geglättet in unsere Datenmenge. + +Grafik einfügen + +In der Grafik erkennen wir in den Sekunden 0 bis 10, dass die Sinuskurve gezackt ist. +Das deutet darauf hin, dass die Frequenz des Erdbebens einen hohen Einfluss auf die Masse des Seismographen hat. +Ab der 10. Sekunde bis zu tend, pendelt sich die Masse in ihre Eigenfrequenz ein und verhält sich unabhängiger vom Erdbeben. + +\subsection{Versuch} +Um den Kalman-Filter auszuprobieren, setzen wir nun Werte ein. +Für die Systemparameter wählen wir m=1.0, D = 0.3 und k = 0.1 und fügen es in die Differentialgleichung + +\begin{equation} + m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f +\end{equation} + +ein und erhalten + +\begin{equation} + 1\ddot x + 0.1 \dot x + 0.3x = f +\end{equation} + + +\subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix $Q$} + + + + + +\begin{equation} + Q = \left( + \begin{array}{ccc} + (5 \cdot 10^{-5})^2 & 0 & 0 \\ + 0 & (1 \cdot 10^{-5})^2 & 0\\ + 0 & 0& ( 1 )^2\\ + \end{array}\right) +\end{equation} + + + + + +\subsection{Resultate} + +Vergleichen wir die künstlichen Messdaten mit der geschätzten Schwingung des Kalman-Filters, stellen wir fest, dass wir eine gute Methode gefunden haben, die Erdbebenbeschleunigung zu schätzen. +Obwohl die künstlichen Daten mit einer random-Funktion erzeugt werden, kann das Kalman-Filter präzise Vorhersagungen bilden. + +Für die Differentialgleichung zweiter Ordnung brauchen wir im Matlab die Funktion ode45. +Mit dieser Funktion können wir Differentialgleichungen auflösen. + + + + + + + + + + + + + +In Matlab fügen wir die Formel und unsere definierten Werte ein. +Die Frequenz generieren wir mit einem Zufallscode, +Mit einem Zufallscode und einen Zeitraum + +Matlabcode einfügen + diff --git a/buch/papers/erdbeben/main.tex b/buch/papers/erdbeben/main.tex index 83ef295..8f9c8d5 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/main.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/main.tex @@ -29,8 +29,9 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren \input{papers/erdbeben/teil0.tex} \input{papers/erdbeben/teil1.tex} -\input{papers/erdbeben/teil2.tex} -\input{papers/erdbeben/teil3.tex} +%\input{papers/erdbeben/teil2.tex} +%\input{papers/erdbeben/teil3.tex} +\input{papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} -- cgit v1.2.1