From 593bc095b1b794cecca3421b4bc9c5d91e12bf1e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Lukaszogg <82384106+Lukaszogg@users.noreply.github.com> Date: Thu, 29 Apr 2021 16:15:01 +0200 Subject: Auszug1_Kalman Text nicht abschliessen, Multiplikationszeichen werden angepasst, Graphen werden noch mit Latex gezeichnet --- buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg | Bin 0 -> 66346 bytes buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux | 17 ++ buch/papers/erdbeben/Auszug1.log | 168 +++++++++++++++++++ buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf | Bin 0 -> 276468 bytes buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz | Bin 0 -> 47433 bytes buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex | 280 ++++++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg | Bin 0 -> 28088 bytes buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg | Bin 0 -> 31448 bytes buch/papers/erdbeben/teil1.tex | 55 ------- 9 files changed, 465 insertions(+), 55 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.log create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/teil1.tex (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg b/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg new file mode 100644 index 0000000..d25381e Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Apperatur.jpg differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux new file mode 100644 index 0000000..07bfc0e --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux @@ -0,0 +1,17 @@ +\relax +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {1}Kalman Filter}{1}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.1}Geschichte}{1}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.2}Wahrscheinlichkeit}{1}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Zwei Gauss-Verteilungen}}{1}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Produkt der Gauss-Verteilungen}}{2}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.3}Anwendungsgrenzen}{2}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Aufbau}{2}\protected@file@percent } +\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces System}}{3}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Optionen}{3}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3}Systemgleichung}{3}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {4}Kalman Filter}{4}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Anfangsbedingungen}{4}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.2}Fiter Algorithmus}{5}\protected@file@percent } +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {5}Anfügen der Schwingung}{6}\protected@file@percent } +\newlabel{erdbeben:equation1}{{19}{6}} +\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {6}Erreger-Schwingung}{6}\protected@file@percent } diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log new file mode 100644 index 0000000..46aa28d --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log @@ -0,0 +1,168 @@ +This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020) (preloaded format=pdflatex 2021.2.24) 29 APR 2021 16:12 +entering extended mode + restricted \write18 enabled. + file:line:error style messages enabled. + %&-line parsing enabled. +**Auszug1.tex +(./Auszug1.tex +LaTeX2e <2020-02-02> patch level 5 +L3 programming layer <2020-03-06> +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls +Document Class: article 2019/12/20 v1.4l Standard LaTeX document class +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/size11.clo +File: size11.clo 2019/12/20 v1.4l Standard LaTeX file (size option) +) +\c@part=\count167 +\c@section=\count168 +\c@subsection=\count169 +\c@subsubsection=\count170 +\c@paragraph=\count171 +\c@subparagraph=\count172 +\c@figure=\count173 +\c@table=\count174 +\abovecaptionskip=\skip47 +\belowcaptionskip=\skip48 +\bibindent=\dimen134 +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty +Package: inputenc 2018/08/11 v1.3c Input encoding file +\inpenc@prehook=\toks15 +\inpenc@posthook=\toks16 +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty +Package: graphicx 2019/11/30 v1.2a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty +Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC) +\KV@toks@=\toks17 +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty +Package: graphics 2019/11/30 v1.4a Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) + +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty +Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC) +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg +File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration +) +Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 105. + +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def +File: pdftex.def 2018/01/08 v1.0l Graphics/color driver for pdftex +)) +\Gin@req@height=\dimen135 +\Gin@req@width=\dimen136 +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/generic/german/german.sty +v2.5e 1998-07-08 +Package: german 1998/07/08 v2.5e Support for writing german texts (br) +\grmnU@D=\dimen137 +german -- \language number for Austrian undefined, default 32 used. +) +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdfmode.def +File: l3backend-pdfmode.def 2020-03-12 L3 backend support: PDF mode +\l__kernel_color_stack_int=\count175 +\l__pdf_internal_box=\box45 +) +(./Auszug1.aux) +\openout1 = `Auszug1.aux'. + +LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. +LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 43. +LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. + +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii +[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] +\scratchcounter=\count176 +\scratchdimen=\dimen138 +\scratchbox=\box46 +\nofMPsegments=\count177 +\nofMParguments=\count178 +\everyMPshowfont=\toks18 +\MPscratchCnt=\count179 +\MPscratchDim=\dimen139 +\MPnumerator=\count180 +\makeMPintoPDFobject=\count181 +\everyMPtoPDFconversion=\toks19 +) (/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/epstopdf-pkg/epstopdf-base.sty +Package: epstopdf-base 2020-01-24 v2.11 Base part for package epstopdf +Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 4 +85. + +(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/epstopdf-sys.cfg +File: epstopdf-sys.cfg 2010/07/13 v1.3 Configuration of (r)epstopdf for TeX Liv +e +)) + +File: Gausskurve2.jpg Graphic file (type jpg) + +Package pdftex.def Info: Gausskurve2.jpg used on input line 56. +(pdftex.def) Requested size: 142.26378pt x 105.72829pt. +LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size +(Font) <10.95> on input line 64. +LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size +(Font) <8> on input line 64. +LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size +(Font) <6> on input line 64. + +[1 + +{/usr/local/texlive/2020/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map} <./Gauss +kurve2.jpg>] + +File: Gausskurve3.jpg Graphic file (type jpg) + +Package pdftex.def Info: Gausskurve3.jpg used on input line 82. +(pdftex.def) Requested size: 142.26378pt x 104.13438pt. + +File: Apperatur.jpg Graphic file (type jpg) + +Package pdftex.def Info: Apperatur.jpg used on input line 98. +(pdftex.def) Requested size: 284.52756pt x 92.32858pt. + + +LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'. + +[2 <./Gausskurve3.jpg>] [3 <./Apperatur.jpg>] [4] [5] [6] [7] (./Auszug1.aux) + +LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right. + + ) +Here is how much of TeX's memory you used: + 1379 strings out of 480608 + 19915 string characters out of 5903630 + 261075 words of memory out of 5000000 + 17301 multiletter control sequences out of 15000+600000 + 536948 words of font info for 39 fonts, out of 8000000 for 9000 + 1141 hyphenation exceptions out of 8191 + 30i,7n,25p,712b,258s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s + +< +/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb> +Output written on Auszug1.pdf (7 pages, 276468 bytes). +PDF statistics: + 79 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) + 54 compressed objects within 1 object stream + 0 named destinations out of 1000 (max. 500000) + 16 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) + diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf new file mode 100644 index 0000000..1755a09 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.pdf differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz new file mode 100644 index 0000000..b695e08 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex new file mode 100644 index 0000000..aeade0a --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.tex @@ -0,0 +1,280 @@ +% +% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +% +% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\documentclass[11pt,a4paper]{article} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{german} + + +\pagestyle{myheadings} +\pagenumbering{arabic} + +\setlength{\textwidth}{15cm} +\setlength{\textheight}{22cm} +\setlength{\topmargin}{-1cm} +\setlength{\oddsidemargin}{0,5cm} +\setlength{\parindent}{0cm} +\setlength{\headsep}{1,5cm} + + +\begin{titlepage} % Titelseite einrichten +\title{\bf {Beispieldatei}} + +\author{\vspace{2cm} + Autor} + +\date{\vspace{3cm} % Datumsfeld einrichten + letzte Aktualisierung: \today} + +\thispagestyle{empty} % Die Titelseite soll keine Seitenzahl bekommen...[1] +\end{titlepage} + + + +\begin{document} + + + +\section{Kalman Filter} +\subsection{Geschichte} +Der Kalman Filter wurde 1960 von Rudolf Emil Kalman entdeckt und direkt von der NASA für die Appollo Mission benutzt. Der Filter kommt mit wenig Rechenleistung aus und war somit dafür geeignet die Rakete bei der Navigation zu unterstützen. Der Filter schätzt den Zustand eines Systems anhand von Messungen und kann den nächsten Zustand erraten. Typische Anwendungen des Kalman-Filters sind die Glättung von verrauschten Daten und die Schätzung von Parametern und kommt heutzutage in jedem Satellit, Navigationssystem, Smartphones und Videospielen vor. + +\subsection{Wahrscheinlichkeit} +Der Kalman Filter versucht nichts anderes, als ein geeigneter Wert zwischen zwei Normalverteilungen zu schätzen. Die eine Kurve zeigt die errechnete Vorhersage des Zustands, bzw. deren Normal- Gauss-Verteilung. Die andere Kurve zeigt die verrauschte Messung des nächsten Zustand, bzw. deren Normal-Verteilung. Wie man in am Beispiel dieser zwei Gauss-Verteilungen sehen kann, ist sowohl der geschätzte Zustand als auch der gemessene Zustand nicht am selben Punkt. + +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve2} + \caption{Zwei Gauss-Verteilungen} + \end{center} +\end{figure} +Um eine genauere Schätzung des Zustandes zu machen wird nun ein Wert zwischen den beiden Verteilungen gesucht. An diesem Punkt wird nun eine Eigenschaft ausgenutzt. Durch das Multiplizieren zweier Normal-Verteilungen entsteht eine neue Normal-Verteilung. + +Wir haben eine Normalverteilung der Vorhersage: + +\begin{equation} +{y_1}(x;{\mu_1},{\sigma_1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} +\end{equation} +und für die Messung: + +\begin{equation} +{y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}. +\end{equation} + +Diesen werden nun Multipliziert und durch deren Fläche geteilt um sie wieder zu Normieren: +\begin{equation} +{y_f}(x;{\mu_f},{\sigma_f})=\frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_1})^2}{2{\sigma_1}^2}} *\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}*e^{-\frac{(x-{\mu_2})^2}{2{\sigma_2}^2}}}{\int {y_1}*{y_2}\,} +\end{equation} + +Dadurch gleicht sich die neue Kurve den anderen an. Interessant daran ist, dass die fusionierte Kurve sich der genauere Normal-Verteilung anpasst. ist ${\sigma_2}$ klein und ${\sigma_1}$ gross, so wird sich die fusionierte Kurve näher an ${y_2}(x;{\mu_2},{\sigma_2})$ begeben. + + \begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=5cm]{Gausskurve3} + \caption{Produkt der Gauss-Verteilungen} + \end{center} +\end{figure} +Was in 2 Dimensionen erklärt wurde, funktioniert auch in mehreren Dimensionen. Dieses Prinzip mach sich der Kalman Filter zu nutze, und wird von uns für die Erdbeben Berechnung genutzt. + +\subsection{Anwendungsgrenzen} +Nicht lineare Systeme %Noch nicht Fertig + + +\section{Aufbau} +Um ein Erdbeben kenntlich zumachen werden in der Regel Seismographen mit vielen Sensoren verwendet. +Der Seismograph besteht im Grunde aus einer Federgelagerten Masse. Wirkt eine Bodenerregung auf das Gerat ein, bleibt die gekoppelte Masse in der Regel stehen und das Gehäuse schwingt mit.Relativbewegung des Bodens kann damit als Längenänderung im Zeitverlauf gemessen werden. In modernen Seismographen wird die Bodenbewegung in alle Richtungen gemessen, sowohl Horizontal als auch Vertikal. +Wir konstruieren uns eine einfachere Version eines Seismographen, welcher rein Mechanisch funktioniert. Zudem kann er nur in eine Dimension Messwerte aufnehmen. Würde das System ausgebaut werden, um alle Horizontalbewegungen aufzunehmen, würde der Verwendung des Kalman Filters zu kompliziert werden. Für zwei Dimensionen (x,y) würde der Pythagoras für das System benötigt werden. Da sich der Pythagoras bekanntlich nicht linear verhält, kann kein linearer Kalman Filter implementiert werden. Da der Kalman Filter besonders effektiv und einfach für lineare Abläufe geeignet ist, würde eine Zweidimensionale Betrachtung den Rahmen dieser Arbeit sprengen. +\begin{figure}[h] + \begin{center} + \includegraphics[width=10cm]{Apperatur} + \caption{System} + \end{center} +\end{figure} + + +\subsection{Optionen} +Wollte man einen 2D Seismographen aufbauen, ohne den Pythagroas zu verwenden, kann dies mit der Annahme, das die Feder sehr lang sind erfolgen. Da sich bei langen Federn die Auslenkungen verkleiner...!!Noch nicht fertig! + +\section{Systemgleichung} +Da der Kalman Filter zum schätzen des nächsten Zustand verwendet werden kann, wird eine Gleichung welche das System beschreibt. Im Fall unseres Seismographen kann der die Differentialgleichung zweiter Ordnung einer Erzwungene Schwingung am harmonischen Oszillator verwendet werden. Diese lautet: +\begin{equation} +m* \ddot x + 2k *\dot x + D*x = f +\end{equation} +mit den Konstanten m = Masse, k = Dämpfungskonstante und D = Federkonstante. +Um diese nun die Systemmatrix umzuwandeln, wird aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung durch eine Substitution eine DGL erster Ordnung: + +\begin{equation} +{x_1}=x, +{x_2}=\dot x, +{x_3}=\ddot x \mid Substitution +\end{equation} + + +\begin{equation} +m* {x_3}+ 2k*{x_2} + D*{x_1} = f \mid DGL \:1. Ordnung +\end{equation} + +\begin{equation} +{x_3}=-\frac{D}{m} *{x_1} -\frac{2*k}{m} *{x_2} + \frac{f} {m} \mid Nach \: {x_3} +\end{equation} + +Um die lineare Differentialgleichung in in den Kalman Filter zu Implementieren, muss dieses als Vektor-Gleichung umgewandelt werden. Dafür wird die Gleichung abgeleitet in die Zustände aufgeteilt. Die für uns relevanten Zustände sind die Position der Masse, die Geschwindigkeit der Masse und äussere Beschleunigung des ganzen System. Dabei muss unterschieden werden. um welche Beschleunigung es sich handelt. Das System beinhaltet sowohl eine Beschleunigung der Masse bzw. Feder (innere Beschleunigung), als auch eine Beschleunigung der ganzen Apparatur (äusseren Beschleunigung). In unserem Fall wird die äussere Beschleunigung gesucht, da diese der Erdbeben Anregung gleich kommt. +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \end{array}\right) = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\ +\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} {x_1} \\ {x_2} \\ {x_3} \end{array}\right). +\end{equation} + +Durch die Rücksubstituion ergibt sich: +\begin{equation} +\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} x(t) \\ v(t) \end{array}\right) = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\ +\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x(t)\\ v(t)\\ f(t) \end{array}\right). +\end{equation} + + +Da die Kraft unbekannt ist, wird die letzte Teile mit Nullen bestückt, denn genau diese Werte wollen wir. + +\section{Kalman Filter} +Um den Kalman Filter zu starten müssen gewisse Bedingungen definiert werden. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Parameter/Matrizen erläutert und Erklärt, für was sie nützlich sind. +\subsection{Anfangsbedingungen} +\subsubsection*{Anfangszustand x} +Der Filter muss wissen wie das System startet. in unserem Fall is es die Ruhelage, die Masse bewegt sich nicht. Zudem erfährt die Apparatur keine äussere Kraft. + +\begin{equation} +{x_0 }= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\end{array}\right) +\end{equation} + +\subsubsection*{Anfangsfehler / Kovarianzmatrix} +Da auch der Anfangszustand fehlerhaft sein kann, wird für den Filter eine Kovarianzmatrix eingeführt. In unserem Fall ist der Anfangszustand gut Bekannt und die Matrix kann mit Nullen bestückt werden. Somit ergibt sich für die Kovarianzmatrix +\begin{equation} +{P_0 }= +\left( +\begin{array}{ccc} +0 & 0 &0 \\ +0 &0 & 0 \\ +0 & 0 &0 \\ +\end{array} +\right). +\end{equation} +Wäre auch der Initialzustand fehlerhaft, könnte über die Diagonale die Kovarianz angegeben werden. +Diese Matrix geht am häufigsten durch den Filter. Sie wird für die Vorhersage und für den Korrekturschritt verwendet und verändert. Für einen gut bekannten Zustandsvektor können kleine Werte eingesetzt werden, für ungenaue Anfangsbedingungen sollten grosse Werte (1 Million) verwendet werden. Bei grossen Werten wird dem Filter die Möglichkeit gegeben, sich schnell einzupendeln. + +\subsubsection*{Dynamikmatrix A} +Die Dynamikmatrix bildet den Kern des Filters. Diese wurde weiter oben Bereits beschrieben. Dabei wollen wird die äussere Kraft des Systems ermitteln. +Da nichts über die äussere Kraft bekannt ist, können wir annehmen das deren Ableitung 0 ist. +Die System Vektor-Gleichung lautet daher: + + +\begin{equation} +A = \left( + \begin{array}{ccc} +0 & 1& 0 \\ +- \frac{D}{m} &-\frac{2*k}{m} & \frac{1} {m}\\ +0 & 0& 0\\ +\end{array}\right) +\end{equation} + +\subsubsection*{Prozessrauschkovarianzmatrix Q} +Die Prozessrauschmatrix teilt dem Filter mit, wie der Systemzustand vom aktuellen zum nächsten Schritt gehen kann. Dabei wird wieder ein Fehler/Rauschen dazu gerechnet. Bei unserem Modell könnte das Beispielsweise ein Windstoss an die Masse sein. für uns wäre dies: +\begin{equation} +Q = \left( + \begin{array}{ccc} +{\sigma_x }^2& 0& 0 \\ +0 & {\sigma_v }^2& 0\\ +0 & 0& {\sigma_f }^2\\ +\end{array}\right) +\end{equation} + +Die Standabweichungen müssten Statistisch ermittelt werden, da der Fehler nicht vom Sensor kommt und somit nicht vom Hersteller gegeben ist. + +\subsubsection*{Messmatrix H} +Die Messmatrix gibt an, welcher Parameter gemessen werden soll. in unsrem Fall ist es nur die Position der Masse. +\begin{equation} +H= ( \: \: 1 \: \:0 \: \:0 \: \:) +\end{equation} + +\subsubsection*{Messrauschkovarianz R} +Die Messrauschkovarianzmatrix beinhaltet, wie der Name es schon sagt, das Rauschen der Messesensoren. In unserem Fall wird nur die Position der Masse gemessen. Da wir keine anderen Sensoren haben, welche etwas messen kürzt sich diese einfach zu +\begin{equation} +R= ({\sigma_x }^2)\: \: ab. +\end{equation} +Diese Messrauchen wird meistens vom Sensorhersteller angegeben. Für unsere Theoretische Apparatur wird hier ein kleiner Fehler eingesetzt. + +\subsection{Fiter Algorithmus} +Nachdem alle Parameter aufgestellt sind, wird der Filter initialisiert und Versucht nun den Zustand der Feder Vorherzusagen, die Messung zu Präzisieren und laufend zu Aktualisieren. Dank der fortlaufender Messung Bleibt die Schätzung des Filters immer relativ genau. In diesem Abschnitt werden alle Rechenschritte, welche über die ganze Zeitdauer läuft und stetig aktualisiert wird, aufgezeigt und Aktualisiert. + + +\subsubsection*{Vorhersage} +Im Filterschritt Vorhersage wird der nächste Zustand anhand des Anfangszustand und der Systemmatrix berechnet. Dies funktioniert ganz Trivial mit dem Rechenschritt: +\begin{equation} +{x_{t+1}}=A*{x_t}. +\end{equation} + + +Die Kovarianz $P_{pred}$ wird im nächsten Schritt ebenfalls neu berechnet, da die Unsicherheit im $Vorhersage$ grösser wird als im Aktuellen. Da wir ein Mehrdimensionales System haben kommt noch die Messunsicherheit $Q$ dazu, so dass die Unsicherheit des Anfangsfehlers $P$ immer grösser wird. Dies funktioniert durch multiplizieren der Systemmatrix, deren Ableitung und mit dem aktualisierten Anfangsfehler. Dazu wird noch die Messunsicherheit addiert, somit entsteht die Gleichung + + +\begin{equation} +{P_{pred}}=A*P*A`+Q. +\end{equation} + +wird dieser Vorgang wiederholt, schaut der Filter wie genau die letzte Anpassung von $P$ zur Messung stimmt. Ist der Unterschied klein, wird die Kovarianz $P$ kleiner gewählt, ist der Unterschied gross, wird der Filter auch die Kovarianz grösser wählen. Er passt sich selber an und korrigiert sich bei grosser Abweichung. + +\subsubsection*{Messen} +Der Sensor wurde noch nicht benutz, doch genau der liefert Werte für den Filter. Die aktuellen Messwerte $Z$ werden die Innovation $w$ mit dem Zustandsvektor $x$ und der Messmatrix $H$ zusammengerechnet. +Hier bei wird lediglich die Messung mit dem Fehler behaftet, und die Messmatrix $H$ +\begin{equation} +w=Z-(H*x) +\end{equation} +Im nächsten Schritt wir analysiert, mit welcher Kovarianz weiter gerechnet wird. + +\subsubsection*{Korrigieren} +Udpdate +\section{Anfügen der Schwingung} + +Ein Erdbeben breitet sich im Boden wellenartig aus und bringt Objekte, wie zum Beispiel ein Gebäude, in Schwingung. +Diese Schwingungen pflanzen sich im Gebäude mit gleicher Amplitude, Geschwindigkeit und Beschleunigung in horizontaler und vertikaler Bewegung fort. +Wir möchten herauszufinden, wie gross die Massenbeschleunigung infolge eines Erdbeben ist. +Mit Hilfe von fiktiven Sensoren, die eine Ortsveränderung des Gebäude messen, können wir mit Anwendung von Matrizen und dem Kalman-Filter die Beschleunigung berechnen. + +\begin{equation} +\int_a^b x^2\, dx += +\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b += +\frac{b^3-a^3}3. +\label{erdbeben:equation1} +\end{equation} + +\section{Erreger-Schwingung} +Wir möchten mit einer gedämpften harmonischen Schwingung ein einfaches Erdbeben simulieren, die im Kalman Filter eingespeist wird. +Die Gleichung lautet + +\begin{equation} +x(t)=A*e^{t/2}*sin(t). +\end{equation} + +Mit dieser Schwingung können wir ein einachsiger Seismograph simulieren, der eine Ortsverschiebung auf der x-Achse durchführt. +Die Dämpfung der Schwingung ist relevant, da das System beim Schwingungsvorgang durch die Federkonstante und der Reibung, Energie verliert. + +Die Ergebnisse dieser Schwingung setzen wir in die Messmatrix ein und können den Kalman-Filter starten. + + + + + +\end{document} diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg new file mode 100644 index 0000000..5c0f441 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve2.jpg differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg new file mode 100644 index 0000000..ee6b339 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Gausskurve3.jpg differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex b/buch/papers/erdbeben/teil1.tex deleted file mode 100644 index a89f303..0000000 --- a/buch/papers/erdbeben/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{erdbeben:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{erdbeben:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{erdbeben:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{erdbeben:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{erdbeben:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - -- cgit v1.2.1 From 819b9256e65a2775f44904fc25711bbc4a47435b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Fri, 30 Apr 2021 18:33:43 +0200 Subject: Dateien entfernt und ignoriert, die nicht im Git sein sollten. --- buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux | 17 ---- buch/papers/erdbeben/Auszug1.log | 168 -------------------------------- buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz | Bin 47433 -> 0 bytes 3 files changed, 185 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.log delete mode 100644 buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux deleted file mode 100644 index 07bfc0e..0000000 --- a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.aux +++ /dev/null @@ -1,17 +0,0 @@ -\relax -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {1}Kalman Filter}{1}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.1}Geschichte}{1}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.2}Wahrscheinlichkeit}{1}\protected@file@percent } -\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Zwei Gauss-Verteilungen}}{1}\protected@file@percent } -\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Produkt der Gauss-Verteilungen}}{2}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.3}Anwendungsgrenzen}{2}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {2}Aufbau}{2}\protected@file@percent } -\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces System}}{3}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Optionen}{3}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {3}Systemgleichung}{3}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {4}Kalman Filter}{4}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Anfangsbedingungen}{4}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {4.2}Fiter Algorithmus}{5}\protected@file@percent } -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {5}Anfügen der Schwingung}{6}\protected@file@percent } -\newlabel{erdbeben:equation1}{{19}{6}} -\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {6}Erreger-Schwingung}{6}\protected@file@percent } diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log deleted file mode 100644 index 46aa28d..0000000 --- a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.log +++ /dev/null @@ -1,168 +0,0 @@ -This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020) (preloaded format=pdflatex 2021.2.24) 29 APR 2021 16:12 -entering extended mode - restricted \write18 enabled. - file:line:error style messages enabled. - %&-line parsing enabled. -**Auszug1.tex -(./Auszug1.tex -LaTeX2e <2020-02-02> patch level 5 -L3 programming layer <2020-03-06> -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls -Document Class: article 2019/12/20 v1.4l Standard LaTeX document class -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/size11.clo -File: size11.clo 2019/12/20 v1.4l Standard LaTeX file (size option) -) -\c@part=\count167 -\c@section=\count168 -\c@subsection=\count169 -\c@subsubsection=\count170 -\c@paragraph=\count171 -\c@subparagraph=\count172 -\c@figure=\count173 -\c@table=\count174 -\abovecaptionskip=\skip47 -\belowcaptionskip=\skip48 -\bibindent=\dimen134 -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty -Package: inputenc 2018/08/11 v1.3c Input encoding file -\inpenc@prehook=\toks15 -\inpenc@posthook=\toks16 -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty -Package: graphicx 2019/11/30 v1.2a Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR) - -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty -Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC) -\KV@toks@=\toks17 -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty -Package: graphics 2019/11/30 v1.4a Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR) - -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty -Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC) -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg -File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration -) -Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 105. - -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def -File: pdftex.def 2018/01/08 v1.0l Graphics/color driver for pdftex -)) -\Gin@req@height=\dimen135 -\Gin@req@width=\dimen136 -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/generic/german/german.sty -v2.5e 1998-07-08 -Package: german 1998/07/08 v2.5e Support for writing german texts (br) -\grmnU@D=\dimen137 -german -- \language number for Austrian undefined, default 32 used. -) -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdfmode.def -File: l3backend-pdfmode.def 2020-03-12 L3 backend support: PDF mode -\l__kernel_color_stack_int=\count175 -\l__pdf_internal_box=\box45 -) -(./Auszug1.aux) -\openout1 = `Auszug1.aux'. - -LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. -LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 43. -LaTeX Font Info: ... okay on input line 43. - -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii -[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).] -\scratchcounter=\count176 -\scratchdimen=\dimen138 -\scratchbox=\box46 -\nofMPsegments=\count177 -\nofMParguments=\count178 -\everyMPshowfont=\toks18 -\MPscratchCnt=\count179 -\MPscratchDim=\dimen139 -\MPnumerator=\count180 -\makeMPintoPDFobject=\count181 -\everyMPtoPDFconversion=\toks19 -) (/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/epstopdf-pkg/epstopdf-base.sty -Package: epstopdf-base 2020-01-24 v2.11 Base part for package epstopdf -Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 4 -85. - -(/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/epstopdf-sys.cfg -File: epstopdf-sys.cfg 2010/07/13 v1.3 Configuration of (r)epstopdf for TeX Liv -e -)) - -File: Gausskurve2.jpg Graphic file (type jpg) - -Package pdftex.def Info: Gausskurve2.jpg used on input line 56. -(pdftex.def) Requested size: 142.26378pt x 105.72829pt. -LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size -(Font) <10.95> on input line 64. -LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size -(Font) <8> on input line 64. -LaTeX Font Info: External font `cmex10' loaded for size -(Font) <6> on input line 64. - -[1 - -{/usr/local/texlive/2020/texmf-var/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map} <./Gauss -kurve2.jpg>] - -File: Gausskurve3.jpg Graphic file (type jpg) - -Package pdftex.def Info: Gausskurve3.jpg used on input line 82. -(pdftex.def) Requested size: 142.26378pt x 104.13438pt. - -File: Apperatur.jpg Graphic file (type jpg) - -Package pdftex.def Info: Apperatur.jpg used on input line 98. -(pdftex.def) Requested size: 284.52756pt x 92.32858pt. - - -LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'. - -[2 <./Gausskurve3.jpg>] [3 <./Apperatur.jpg>] [4] [5] [6] [7] (./Auszug1.aux) - -LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right. - - ) -Here is how much of TeX's memory you used: - 1379 strings out of 480608 - 19915 string characters out of 5903630 - 261075 words of memory out of 5000000 - 17301 multiletter control sequences out of 15000+600000 - 536948 words of font info for 39 fonts, out of 8000000 for 9000 - 1141 hyphenation exceptions out of 8191 - 30i,7n,25p,712b,258s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s - -< -/usr/local/texlive/2020/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb> -Output written on Auszug1.pdf (7 pages, 276468 bytes). -PDF statistics: - 79 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) - 54 compressed objects within 1 object stream - 0 named destinations out of 1000 (max. 500000) - 16 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) - diff --git a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz b/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz deleted file mode 100644 index b695e08..0000000 Binary files a/buch/papers/erdbeben/Auszug1.synctex.gz and /dev/null differ -- cgit v1.2.1