From e074541797bc60b033746a1680f694b55695df47 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: fabioviecelli <80270098+fabioviecelli@users.noreply.github.com> Date: Wed, 8 Sep 2021 09:13:07 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Erg=C3=A4nzungen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Alles bis zum Kapitel "Versuch im Standardfall" kann man lesen. Alles was ab "Versuch im Standardfall" kommt, bin ich heute noch am bearbeiten --- buch/papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall.PNG | Bin 0 -> 64877 bytes .../papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall_Zoom.PNG | Bin 0 -> 132637 bytes .../erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" | Bin 0 -> 403201 bytes .../erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" | Bin 0 -> 529085 bytes buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom_leicht.PNG | Bin 0 -> 152078 bytes buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG | Bin 0 -> 316962 bytes .../erdbeben/Systemparameter_ge\303\244ndert.PNG" | Bin 0 -> 228847 bytes buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex | 298 +++++++++------------ 8 files changed, 127 insertions(+), 171 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall.PNG create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall_Zoom.PNG create mode 100644 "buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" create mode 100644 "buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom_leicht.PNG create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG create mode 100644 "buch/papers/erdbeben/Systemparameter_ge\303\244ndert.PNG" (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall.PNG b/buch/papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall.PNG new file mode 100644 index 0000000..6aed433 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall.PNG differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall_Zoom.PNG b/buch/papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall_Zoom.PNG new file mode 100644 index 0000000..e3a6286 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall_Zoom.PNG differ diff --git "a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" "b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" new file mode 100644 index 0000000..20b1587 Binary files /dev/null and "b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" differ diff --git "a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" "b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" new file mode 100644 index 0000000..c70428e Binary files /dev/null and "b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom_leicht.PNG b/buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom_leicht.PNG new file mode 100644 index 0000000..5885d77 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom_leicht.PNG differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG b/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG new file mode 100644 index 0000000..0f0e0b8 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG differ diff --git "a/buch/papers/erdbeben/Systemparameter_ge\303\244ndert.PNG" "b/buch/papers/erdbeben/Systemparameter_ge\303\244ndert.PNG" new file mode 100644 index 0000000..84249af Binary files /dev/null and "b/buch/papers/erdbeben/Systemparameter_ge\303\244ndert.PNG" differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex index 9f5d092..f8cbe48 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex @@ -1,202 +1,158 @@ -\section{Kalman-Filter} -\subsection{Was ist ein Erdbeben?} -Für das Verständnis möchten wir zuerst erklären, was ein Erdbeben genau ist. -Das soll uns helfen, eine Verknüpfung zwischen dem Naturphänomen und der mathematischen Problemstellung herzustellen. +\section{Anwendung des Kalman-Filters} +\subsection{Ziel} +Bis jetzt haben wir gelesen, was das Kalman-Filter bewirkt und wie es funktioniert. +Nun möchten wir mit einem Beispiel herausfinden, ob das Filter unsere gesuchte Grösse $f(t)$ bestimmen kann +\subsection{Künstliche Erdbebendaten} +Da wir keine Rohdaten über vergangene Erdbeben zur Hand haben, müssen wir mittels Matlab künstliche Daten erzeugen und sie dann in das Filter eingeben. +Diese Vorgehensweise erlaubt uns das Erdbeben beliebig zu gestalten und weil es digital simuliert wird, haben wir keine Bauschäden zu beklagen. -Unter einem Erdbeben verstehen wir eine Erschütterung des Erdkörpers. -Dabei reiben zwei tektonische Platten aneinander, welche sich durch die Gesteinsverzahnung gegenseitig blockieren. -Aufgrund dieser Haftreibung entstehen Spannungen, die sich immer mehr bis zum Tipping Point aufbauen. -Irgendwann ist der Punkt erreicht, in dem die Scherfestigkeit der Gesteine überwunden wird. -Wenn dies passiert, entlädt sich die aufgebaute Spannung und setzt enorme Energien frei, die wir als Erdbeben wahrnehmen. - -Ein Erdbeben breitet sich vom Erdbebenherd in allen Richtungen gleich aus. -Vergleichbar ist, wenn man einen Stein in einen Teich wirft und die Wellen beobachten kann, die sich ausbreiten. +\subsection{Wahl der Schwingung} +Wir müssen uns überlegen, mit welcher Schwingung wir ein realitätsnahes Beben erzeugen können. -Wir möchten nun mittels Kalman-Filter die Erdbebenbeschleunigung herausfinden. -Die Erdbebenbeschleunigung ist in der Praxis zur Entwicklung von Erdbebengefährdungskarten, sowie der Ausarbeitung von Baunormen für erdbebengerechte Bauweise von Bedeutung. +Mit einer ungedämpften harmonischen Schwingung können wir zwar die meisten Vorgänge in der Physik erklären. +Da aber unser Erdbeben irgendwann abklingen muss, wählen wir die gedämpfte harmonische Schwingung. +Die dazugehörige Schwingungsgleichung lautet +\begin{equation} + y = A \sin(\omega t e^{-\lambda t}) +\end{equation} -\subsection{Künstliche Erdbebendaten} -Nun möchten wir anhand eines eigenen Beispiels das Kalman-Filter anwenden. -Da wir keine Rohdaten über vergangene Erdbeben zur Hand haben, müssen wir künstliche Daten erzeugen, um sie in das Filter einzugeben und somit den Prozess starten. -Dafür nehmen wir die Formel für harmonisch gedämpfte Schwingungen, die +Für die Variablen der harmonisch gedämpften Schwingung setzen wir die Werte \begin{equation} - y = A \sin(\omega t e^{-lambda t}) +A = 5 \end{equation} -lautet. +ein. -A ist die Amplitude der Schwingung und beschreibt die Heftigkeit eines Erdbebens, die Magnitude. -Omega repräsentiert die Erdbebenfrequenz, die in der Realität zwischen 1 Hz und 30 Hz beträgt. -Wir wählen als Erwartungswert 15 Herz und für die Standardabweichung 1 Hz. -Lambda ist die Bodendämpfung, für die wir 0.2 wählen. -Wir haben diese Zahl aus der Literatur entnommen, denn sie ist für das Bauwesen bedeutend. -Lambda ist ein Materialparameter von Böden. +$A$ ist die Amplitude der Schwingung, die uns die Heftigkeit des Erdebebens beschreibt. +Sie ist vergleichbar mit der Magnitude. -Je grösser Lambda gewählt wird, desto stärker wirkt die Dämpfung der Massenschwingung. -Die Funktion ist zeitabhängig und wir lassen pro Sekunde zehn Messwerte generieren. +$\omega$ definiert sich durch -Die Frequenz basiert auf einer random-Funktion, da wir das Erdbeben unberechenbar gestalten möchten. -Mit dem Golay-Filter können wir hohe Frequenz-Anteile in die Berechnung mit einfliessen lassen, anstatt sie abzuschneiden. -Die Bildung eines üblichen Mittelwerts wäre hier weniger geeignet. +\begin{equation} + \omega = 2 \pi f +\end{equation} -\begin{lstlisting} -freq = sgolayfilt(randn(size(Time)),0,11)*freqstd... -+freqmean; -\end{lstlisting} +wobei die Frequenz f mit -Mit der Frequenz erhalten wir die Winkelbeschleunigung und damit können wir die Amplitude berechnen. +\begin{equation} + f = E(Frequenz) + \sigma^2(Frequenz) +\end{equation} +erzeugt wird. -\begin{lstlisting} -w = 2 * pi * freq; -a = Amplitude*sin(cumsum(w.*[0;diff(Time)])).*exp(-lambda*Time); -\end{lstlisting} +Zusätzlich haben wir $f$ mit dem Savitzky-Golay-Filter gefiltert. +Das Savitzky-Golay-Filter schaut sich immer eine definierte Anzahl von Datenpunkte an und bildet ein Polygon n-ter Ordnung. +In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschieblichen Fensters, jeweils zehn aufeinanderfolgende Datenpunkte an und bildet ein Polygon 0-ter Ordnung. +Da wir den Grad 0 gewählt haben, erhalten wir pro zehn Punkte nur eine Gerade mit der Steigung 0. +Diese Art von Mittelwertbildung nennt sich auch moving average oder auf Deutsch gleitender Mittelwert. -Mit der Matlab-Funktion ode45 haben wir eine Funktion gefunden, um die Differentialgleichung aufzulösen. ode45 basiert auf dem Runge-Kutta-Verfahren, einem Einschrittverfahren, bei dem die Lösung ausgehend von einem gegebenen Anfangswert, in einer Näherung gesucht wird. +Für den Erwartungswert und die Standardabweichung setzen wir die Zahlen -\begin{lstlisting} -[T,Y] = ode45(@(t,x)ErzeugteSchwingung(t,x,m,k,d,a,Time),[0 tend], IC, SolverOptions); -\end{lstlisting} +\begin{equation} +E(f) = 15 Hz +\end{equation} -Grafik einfügen +und +\begin{equation} +\sigma^2 = 10 Hz +\end{equation} -In der Grafik erkennen wir in den Sekunden 0 bis 10, dass die Sinuskurve gezackt ist. -Das deutet darauf hin, dass die Frequenz des Erdbebens einen hohen Einfluss auf die Masse des Seismographen hat. -Ab der 10. Sekunde bis zu tend, pendelt sich die Masse in ihre Eigenfrequenz ein und verhält sich unabhängiger vom Erdbeben. +ein. -\subsection{Versuch (bin noch dran)} +$\lambda$ ist die Bodendämpfung, für die wir 0.2 wählen. +Sie ist dafür verantwortlich, dass unser Erdbeben abklingen wird und kreiert bei der gedämpften Schwingung die typische Hüllkurve der Amplitude. +Wir nehmen an, dass $\lambda$ ein Materialparameter von geologischen Böden ist. -Um den Kalman-Filter auszuprobieren, setzen wir nun Werte ein. -Für die Systemparameter wählen wir m=1.0, D = 0.3 und k = 0.1 und fügen es in die Differentialgleichung +\subsection{Ab hier bin ich noch dran/ Versuch im Standardfall} +Im nächsten Schritt müssen wir sinnvolle Systemparameter für unseren Seismographen definieren. +Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca. 100 g hat. +Da wir das Erdbeben nach Augenmass realistisch darstellen möchten, geben wir der realistischen Masse eher weniger Gewichtung und definieren $m = 0.01$ +Zur Federkonstante D und Dämpfung k konnten wir leider keine brauchbaren Grössen finden und treffen die Annahme, dass $D = 1$ und $k = 0.01$. + +Da unser Seismograph von der Umgebung durch Wind, Temperatur oder menschgemachten Vibrationen beeinflusst wird, müssen wir ein Prozessrauschen definieren. +Die dazugehörige Matrix $Q$ beinhaltet die Standardabweichung für die Position, Geschwindigkeit und äussere Kraft. +Wir nehmen an, dass \begin{equation} - m\ddot x + 2k \dot x + Dx = f + Q = \left( + \begin{array}{ccc} + {\sigma_x }^2& 0& 0 \\ + 0 & {\sigma_v }^2& 0\\ + 0 & 0& {\sigma_f }^2\\ + \end{array}\right)= \left( + \begin{array}{ccc} + {0.00001 }^2& 0& 0 \\ + 0 & {0.00001 }^2& 0\\ + 0 & 0& {1 }^2\\ + \end{array}\right) \end{equation} -ein und erhalten +Auch für die Messung setzen wir ein Rauschen voraus und definieren \begin{equation} - 1\ddot x + 0.1 \dot x + 0.3x = f -\end{equation} +R= ({\sigma_x}^2)= +({0.00001}^2) +\end{equation} + +Sind nun die benötigten Systemparameter und das Rauschen definiert, erzeugen wir das Erdbeben und schauen wie gut das Kalman-Filter die äussere Beschleunigung schätzen kann. + +Wie wir in Abbildung 20.4 sehen, liegen wir mit unseren definierten Werten ziemlich gut. +Das Positions-Zeit-Diagramm stellt eine realistische Erdbebenschwingung auf. +Das Ziel, ein künstliches Erdbeben zu kreieren haben wir somit erreicht. +Nun möchten wir noch herausfinden, ob auch das Kalman-Filter eine gute Schätzung hervorbringen konnte. +Wir betrachten in Abbildung 20.5 das vergrösserte Kraft-Zeit-Diagramm und erkennen, dass die Schätzung sehr nahe an die Erdbebenschwingung kommt. + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=15cm]{papers/erdbeben/Standard_alles.PNG} + \caption{Die Grafik Position vs. Zeit zeigt die typische Aufzeichnung eines Erdbebens. In der Grafik Kraft vs. Zeit wird unteranderem die äussere Beschleunigung mittels Kalman Filters bestimmt.} + \end{center} +\end{figure} + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=15cm]{papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall_Zoom.PNG} + \caption{Erst das Vergrössern des Diagrammes zeigt uns auf, wie gut die Schätzung des Kalman-Filters funktioniert.} + \end{center} +\end{figure} + +Wir können nun an den Systemparametern Werte verändern oder das Rauschen des Prozesses und der Messung verstärken. + +\subsection{Veränderung der Systemparameter} + + + + +\subsection{Verstärkung des Prozessrauschens} +Vertrauen wir dem Seismographen weniger als beim Standardfall, erhöhen wir das Prozessrauschen. +Mit der Erhöhung des Rauschens teilen wir dem Filter mit, dass wir + +Gründe dafür könnten den Standort oder die Bauweise des Seismographen sein. +Seismographen sind meistens an Orten verbaut, wo es aus der Umgebung wenig Einflüsse gibt. +Steht der Seismograph in der Nähe einer grösseren Stadt, werden viel mehr Vibrationen aufgezeichnet, die aber nicht von einem Erdbeben stammen und somit die Aufzeichnung verfälschen. +Auch die Qualität des Seismographen spielt eine Rolle, wie genau die Position oder Geschwindigkeit aufgezeichnet wird. + +Wir verstärken das Prozessrauschen um den Faktor 10'000 aber belassen den Rest gleich wie beim Standardfall. +Wir erwarten nun, dass die Geschwindigkeit und Position der Masse verrauschter und somit unkenntlicher erfasst wird. + +Das Seismogramm zeichnet nun +Wir erwarten, dass die Aufzeichnung der Position und Geschwindigkeit ungenauer wird, + +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=15cm]{papers/erdbeben/Prozessrauschen_geändert.PNG} + \caption{Das verstärkte Rauschen dominiert über der Erdbebenschwingung. Die Aufzeichnung wird unbrauchbar.} + \end{center} +\end{figure} + +\subsection{Verstärkung des Messrauschens} + + + -\subsection{Matlab Code} - - -\begin{lstlisting} - %% Initialisierte Werte - t0 = 0.00; % Anfangszeit - deltat = 0.01; % Zeitschritt - tend = 50.00; % Endzeit -\end{lstlisting} -Ein natürliches Erdbeben dauert zwischen wenigen Sekunden bis etwa eine Minute an. -50 Sekunden genügen für unsere Daten. -Pro Sekunde erhalten wir 100 Messpunkte, die für den Prozess des Filters eine präzise Anwendung ermöglichen. - -\begin{lstlisting} - % Standard-Abweichungen Prozess - sigmax = 0.05e-3; % Position - sigmav = 0.01e-3; % Geschwindigkeit - sigmaf = 1; % (Äussere) Kraft - - % Standard-Abweichung Messung - sigmam = 0.01e-3; -\end{lstlisting} - -Wir vertrauen dem System und geben kleine Standardabweichungen für die Position, Geschwindigkeit und Kraft ein. -Bei der Messung erwarten wir auch, dass die Sensoren genau funktionieren. -Jedoch hängt das vom Hersteller ab oder muss statistisch ermittelt werden. - - -\begin{lstlisting} - % Systemparameter -m = 1.00; % Masse -D = 0.30; % Federkonstante -k = 0.10; % Dämpfung -\end{lstlisting} -Hier werden die Spezifikationen des Seismographen definiert. - -\begin{lstlisting} -%% Kalmanfilter -% Initialisierung - -% Anfangszustand (Position, Geschwindigkeit, Kraft) -x0 = [0; 0; 0]; - -% Unsicherheit des Anfangszustand -P0 = [0, 0, 0; ... -0, 0, 0; ... -0, 0, 0]; - -% Systemmatrizen -A = [0, 1, 0;... % Dynamikmatrix --D/m, -2*k/m, 1;... -0, 0, 0]; % Ableitungen von f(t) unbekant. Annahme: 0 -A = expm(A * deltat); - -Q = [sigmax^2, 0, 0;... -0, sigmav^2, 0;... -0, 0, sigmaf^2]; % Prozessrauschen (Covarianz) - - -\begin{lstlisting} -% Messprozess -H = [1, 0, 0]; % Messmatrix -R = sigmam^2; % Messrauschen (Könnte durch Versuche bestimmt werden) -\end{lstlisting} -Tritt ein Erdbeben ein, wird die Position der Masse in die Messmatrix eingetragen. - - -I = eye(3); % Identity matrix (Einheitsmatrix) - -\begin{lstlisting} -% Filterprozess - -% Initialisieren der Variablen -N = length(t); % Anzahl Punkte im Einheitsvektor (= Anzahl Messwerte) -xhat = zeros(3, N); % Matrix mit geschätzten Zuständen - -% Index ':' bedeutet: 'alles' -% Index '(1, :)' bedeutet: 'alles aus der 1. Zeile' - -% Anfangszustand setzen -xhat(:, 1) = x0; -P = P0; -\end{lstlisting} - -\begin{lstlisting} - -% Kalman-Matrizen konvergiert. Vorab-Berechnung in 'genügenden' Iterationen -for idx = 1:100 -Ppred = A * P * A' + Q; % Prädizieren der Kovarianz -S = (H * Ppred * H' + R); % Innovationskovarianz -K = Ppred * H' / S; % Filter-Matrix (Kalman-Gain) -P = (I - K * H) * Ppred; % Aktualisieren der Kovarianz -end -\end{lstlisting} - -In diesem Schritt wird die Kovarianz vorhergesagt, mit der Messung verglichen und nach jeder Berechnung aktualisiert. - -\begin{lstlisting} -% Anfangszustand gegeben -% Erster zu berechnender Wert ist der zweite -for idx = 2:N -% Vorhersage -xpred = A * xhat(:, idx-1); % Prädizierter Zustand aus Bisherigem und System -% Ppred = A * P * A' + Q; % Prädizieren der Kovarianz - -% Korrektur -y = xt(idx) - H * xpred; % Messungen/ Kraft aus System - Vohersage -% S = (H * Ppred * H' + R); % Innovationskovarianz -% K = Ppred * H' / S; - -xhat(:, idx) = xpred + K * y; % Aktualisieren des Systemzustands -% P = (I - K * H) * Ppred; % Aktualisieren der Kovarianz -end -\end{lstlisting} - -\subsection{Resultate} +\subsection{Fazit} Grafik einfügen Wir erkennen, dass wir mit dem Kalman-Filter eine gute Methode gefunden haben, die äussere Beschleunigung zu schätzen. Die Schätzung der nächsten Position der Federmasse liegt immer ziemlich nahe der tatsächlichen Messung. Man muss aber auch berücksichtigen, dass die Federschwingung ziemlich kontrolliert verläuft und das Kalman-Filter somit präzise Vorhersagen treffen kann. -- cgit v1.2.1 From c3ec25f528ea6fbe3f86eaa289273e00da48760b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Wed, 8 Sep 2021 10:32:43 +0200 Subject: Typos. --- buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG | Bin 0 -> 403201 bytes .../erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" | Bin 403201 -> 0 bytes buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG | Bin 0 -> 529085 bytes .../erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" | Bin 529085 -> 0 bytes buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex | 29 ++++++++++++--------- 5 files changed, 17 insertions(+), 12 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG delete mode 100644 "buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG delete mode 100644 "buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG new file mode 100644 index 0000000..20b1587 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG differ diff --git "a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" "b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" deleted file mode 100644 index 20b1587..0000000 Binary files "a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" and /dev/null differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG new file mode 100644 index 0000000..c70428e Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG differ diff --git "a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" "b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" deleted file mode 100644 index c70428e..0000000 Binary files "a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" and /dev/null differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex index f8cbe48..036ceee 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex @@ -1,11 +1,14 @@ \section{Anwendung des Kalman-Filters} \subsection{Ziel} Bis jetzt haben wir gelesen, was das Kalman-Filter bewirkt und wie es funktioniert. -Nun möchten wir mit einem Beispiel herausfinden, ob das Filter unsere gesuchte Grösse $f(t)$ bestimmen kann +Nun möchten wir mit einem Beispiel herausfinden, +ob das Filter unsere gesuchte Grösse $f(t)$ bestimmen kann. \subsection{Künstliche Erdbebendaten} Da wir keine Rohdaten über vergangene Erdbeben zur Hand haben, müssen wir mittels Matlab künstliche Daten erzeugen und sie dann in das Filter eingeben. -Diese Vorgehensweise erlaubt uns das Erdbeben beliebig zu gestalten und weil es digital simuliert wird, haben wir keine Bauschäden zu beklagen. +Diese Vorgehensweise erlaubt uns das Erdbeben beliebig zu gestalten +und weil es digital simuliert wird, +haben wir keine Bauschäden zu beklagen. \subsection{Wahl der Schwingung} Wir müssen uns überlegen, mit welcher Schwingung wir ein realitätsnahes Beben erzeugen können. @@ -15,7 +18,7 @@ Da aber unser Erdbeben irgendwann abklingen muss, wählen wir die gedämpfte har Die dazugehörige Schwingungsgleichung lautet \begin{equation} - y = A \sin(\omega t e^{-\lambda t}) + y = A \sin(\omega t) e^{-\lambda t} \end{equation} Für die Variablen der harmonisch gedämpften Schwingung setzen wir die Werte @@ -38,37 +41,39 @@ $\omega$ definiert sich durch wobei die Frequenz f mit \begin{equation} - f = E(Frequenz) + \sigma^2(Frequenz) + f = E(\mathrm{Frequenz}) + \sigma^2(\mathrm{Frequenz}) \end{equation} erzeugt wird. Zusätzlich haben wir $f$ mit dem Savitzky-Golay-Filter gefiltert. -Das Savitzky-Golay-Filter schaut sich immer eine definierte Anzahl von Datenpunkte an und bildet ein Polygon n-ter Ordnung. -In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschieblichen Fensters, jeweils zehn aufeinanderfolgende Datenpunkte an und bildet ein Polygon 0-ter Ordnung. -Da wir den Grad 0 gewählt haben, erhalten wir pro zehn Punkte nur eine Gerade mit der Steigung 0. +Das Savitzky-Golay-Filter schaut sich immer eine definierte Anzahl von Datenpunkte an +und bildet ein Polynom $n$-ter Ordnung. +In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschieblichen Fensters, +jeweils zehn aufeinanderfolgende Datenpunkte an und bildet ein Polynom $0$-ter Ordnung. +Da wir den Grad $0$ gewählt haben, erhalten wir pro zehn Punkte nur eine Gerade mit der Steigung $0$. Diese Art von Mittelwertbildung nennt sich auch moving average oder auf Deutsch gleitender Mittelwert. Für den Erwartungswert und die Standardabweichung setzen wir die Zahlen \begin{equation} -E(f) = 15 Hz +E(f) = \SI{15}{\hertz} \end{equation} und \begin{equation} -\sigma^2 = 10 Hz +\sigma^2 = \SI{10}{\hertz} \end{equation} ein. -$\lambda$ ist die Bodendämpfung, für die wir 0.2 wählen. +$\lambda$ ist die Bodendämpfung, für die wir $0.2$ wählen. Sie ist dafür verantwortlich, dass unser Erdbeben abklingen wird und kreiert bei der gedämpften Schwingung die typische Hüllkurve der Amplitude. Wir nehmen an, dass $\lambda$ ein Materialparameter von geologischen Böden ist. \subsection{Ab hier bin ich noch dran/ Versuch im Standardfall} Im nächsten Schritt müssen wir sinnvolle Systemparameter für unseren Seismographen definieren. -Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca. 100 g hat. +Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca. \SI{100}{\gram} hat. Da wir das Erdbeben nach Augenmass realistisch darstellen möchten, geben wir der realistischen Masse eher weniger Gewichtung und definieren $m = 0.01$ Zur Federkonstante D und Dämpfung k konnten wir leider keine brauchbaren Grössen finden und treffen die Annahme, dass $D = 1$ und $k = 0.01$. @@ -143,7 +148,7 @@ Wir erwarten, dass die Aufzeichnung der Position und Geschwindigkeit ungenauer w \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=15cm]{papers/erdbeben/Prozessrauschen_geändert.PNG} + \includegraphics[width=15cm]{papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG} \caption{Das verstärkte Rauschen dominiert über der Erdbebenschwingung. Die Aufzeichnung wird unbrauchbar.} \end{center} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From 1cfc50e95b0118016c28db2f56e7128329415c51 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: fabioviecelli <80270098+fabioviecelli@users.noreply.github.com> Date: Wed, 8 Sep 2021 20:25:03 +0200 Subject: Verbesserungen + 2. Teil --- .../erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" | Bin 403201 -> 609092 bytes .../erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" | Bin 529085 -> 228837 bytes .../erdbeben/Systemparamter_ge\303\244ndert_2.PNG" | Bin 0 -> 280132 bytes buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex | 92 ++++++++++++--------- 4 files changed, 54 insertions(+), 38 deletions(-) create mode 100644 "buch/papers/erdbeben/Systemparamter_ge\303\244ndert_2.PNG" (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git "a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" "b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" index 20b1587..eedfbcd 100644 Binary files "a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" and "b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_ge\303\244ndert.PNG" differ diff --git "a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" "b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" index c70428e..cc7926f 100644 Binary files "a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" and "b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_ge\303\244ndert.PNG" differ diff --git "a/buch/papers/erdbeben/Systemparamter_ge\303\244ndert_2.PNG" "b/buch/papers/erdbeben/Systemparamter_ge\303\244ndert_2.PNG" new file mode 100644 index 0000000..d4f530e Binary files /dev/null and "b/buch/papers/erdbeben/Systemparamter_ge\303\244ndert_2.PNG" differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex index f8cbe48..131a703 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex @@ -38,39 +38,39 @@ $\omega$ definiert sich durch wobei die Frequenz f mit \begin{equation} - f = E(Frequenz) + \sigma^2(Frequenz) + f = E(\mathrm{Frequenz}) + \sigma^2(\mathrm{Frequenz}) \end{equation} erzeugt wird. Zusätzlich haben wir $f$ mit dem Savitzky-Golay-Filter gefiltert. -Das Savitzky-Golay-Filter schaut sich immer eine definierte Anzahl von Datenpunkte an und bildet ein Polygon n-ter Ordnung. -In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschieblichen Fensters, jeweils zehn aufeinanderfolgende Datenpunkte an und bildet ein Polygon 0-ter Ordnung. +Das Savitzky-Golay-Filter schaut sich immer eine definierte Anzahl von Datenpunkte an und bildet ein Polynom n-ter Ordnung. +In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschieblichen Fensters, jeweils zehn aufeinanderfolgende Datenpunkte an und bildet ein Polynom 0-ter Ordnung. Da wir den Grad 0 gewählt haben, erhalten wir pro zehn Punkte nur eine Gerade mit der Steigung 0. -Diese Art von Mittelwertbildung nennt sich auch moving average oder auf Deutsch gleitender Mittelwert. +Diese Art von Mittelwertbildung nennt sich gleitender Mittelwert. Für den Erwartungswert und die Standardabweichung setzen wir die Zahlen \begin{equation} -E(f) = 15 Hz +E(f) = \SI{15}{\hertz} \end{equation} und \begin{equation} -\sigma^2 = 10 Hz +\sigma^2 = \SI{10}{\hertz} \end{equation} ein. -$\lambda$ ist die Bodendämpfung, für die wir 0.2 wählen. +$\lambda$ ist die Bodendämpfung, für die wir $0.2$ wählen. Sie ist dafür verantwortlich, dass unser Erdbeben abklingen wird und kreiert bei der gedämpften Schwingung die typische Hüllkurve der Amplitude. Wir nehmen an, dass $\lambda$ ein Materialparameter von geologischen Böden ist. \subsection{Ab hier bin ich noch dran/ Versuch im Standardfall} Im nächsten Schritt müssen wir sinnvolle Systemparameter für unseren Seismographen definieren. -Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca. 100 g hat. -Da wir das Erdbeben nach Augenmass realistisch darstellen möchten, geben wir der realistischen Masse eher weniger Gewichtung und definieren $m = 0.01$ +Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca. $100 g$ hat. Zur Federkonstante D und Dämpfung k konnten wir leider keine brauchbaren Grössen finden und treffen die Annahme, dass $D = 1$ und $k = 0.01$. +Für die Masse definieren wir $m = 0.01$. Da unser Seismograph von der Umgebung durch Wind, Temperatur oder menschgemachten Vibrationen beeinflusst wird, müssen wir ein Prozessrauschen definieren. Die dazugehörige Matrix $Q$ beinhaltet die Standardabweichung für die Position, Geschwindigkeit und äussere Kraft. @@ -99,60 +99,76 @@ R= ({\sigma_x}^2)= Sind nun die benötigten Systemparameter und das Rauschen definiert, erzeugen wir das Erdbeben und schauen wie gut das Kalman-Filter die äussere Beschleunigung schätzen kann. -Wie wir in Abbildung 20.4 sehen, liegen wir mit unseren definierten Werten ziemlich gut. -Das Positions-Zeit-Diagramm stellt eine realistische Erdbebenschwingung auf. -Das Ziel, ein künstliches Erdbeben zu kreieren haben wir somit erreicht. -Nun möchten wir noch herausfinden, ob auch das Kalman-Filter eine gute Schätzung hervorbringen konnte. -Wir betrachten in Abbildung 20.5 das vergrösserte Kraft-Zeit-Diagramm und erkennen, dass die Schätzung sehr nahe an die Erdbebenschwingung kommt. +\subsection*{Ergebnis} + +Wie wir in Abbildung 20.4 im Positions-Zeit-Diagramm sehen, erzeugen unsere vorher gewählten Parameter eine realistische Erdbebenaufzeichnung. +Leiten wir die Position einmal ab, erhalten wir die Geschwindigkeit. +Die zweite Ableitung ergibt uns die Kraft, welche für unsere Aufgabenstellung relevant wird. +Sehr gut ersichtlich ist die Hüllkurve der Amplitude, die wir bei einer gedämpften Schwingung erwarten. +Die blaue Kurve ist die geschätzte äussere Kraft des Kalman-Filters. +Erst wenn wir näher zoomen, erkennen wir in der Abb. 20.5 wie nahe die Schätzung an der idealen Schwingung liegt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=15cm]{papers/erdbeben/Standard_alles.PNG} - \caption{Die Grafik Position vs. Zeit zeigt die typische Aufzeichnung eines Erdbebens. In der Grafik Kraft vs. Zeit wird unteranderem die äussere Beschleunigung mittels Kalman Filters bestimmt.} + \caption{Das Position-Zeit-Diagramm zeigt uns die typische Aufzeichnung eines Seismographen während eines Erdbebens. Um die Geschwindigkeit zu erhalten müssen wir die Positionsveränderung einmal ableiten. Ein weiteres Ableiten erzeugt uns die Beschleunigung resp. die Kraft.} \end{center} \end{figure} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=15cm]{papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall_Zoom.PNG} - \caption{Erst das Vergrössern des Diagrammes zeigt uns auf, wie gut die Schätzung des Kalman-Filters funktioniert.} + \caption{Erst das Vergrössern an die Datenpunkte zeigt uns auf, wie gut die Schätzung des Kalman-Filters funktioniert.} \end{center} \end{figure} -Wir können nun an den Systemparametern Werte verändern oder das Rauschen des Prozesses und der Messung verstärken. - \subsection{Veränderung der Systemparameter} +Was wir nun austesten möchten, sind die Auswirkungen wenn z.B. der Seismograph andere Systemparameter aufweist. +Wir nehmen an, dass sich im Vergleich zum Standardfall die Masse erhöht, die Federkonstante schwächer und die Bodendämpfung doppelt so stark wirkt. +Somit gilt neu +\[ +m = 0.05 +\qquad \qquad +D = 0.5 +\qquad \text{und} \qquad +k = 0.02. +\] + +Da wir mit dieser Anpassung die Trägheit des Seismogrammes erhöht haben, erwarten wir sicher eine langsamere Bewegung der Masse, das heisst die Frequenz wird sich reduzieren. + +Betrachten wir die Abb. 20.6 können wir diese Erwartung bestätigen. +Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir auf die höhere Energie der Masse und geringeren Rücklenkkraft der Feder begründen können. - +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=15cm]{papers/erdbeben/Systemparameter_geändert_2.PNG} + \caption{Im Geschwindigkeits-Diagramm erkennen wir in den ersten $6-7$ Sekunden, wie die Erdbebenschwingung die Masse beeinflusst. Gleichzeitig und vorallem im gesamten Zeitverlauf, pendelt sich die Masse in die Eigenschwingung ein.} + \end{center} +\end{figure} \subsection{Verstärkung des Prozessrauschens} -Vertrauen wir dem Seismographen weniger als beim Standardfall, erhöhen wir das Prozessrauschen. -Mit der Erhöhung des Rauschens teilen wir dem Filter mit, dass wir - -Gründe dafür könnten den Standort oder die Bauweise des Seismographen sein. -Seismographen sind meistens an Orten verbaut, wo es aus der Umgebung wenig Einflüsse gibt. -Steht der Seismograph in der Nähe einer grösseren Stadt, werden viel mehr Vibrationen aufgezeichnet, die aber nicht von einem Erdbeben stammen und somit die Aufzeichnung verfälschen. -Auch die Qualität des Seismographen spielt eine Rolle, wie genau die Position oder Geschwindigkeit aufgezeichnet wird. - -Wir verstärken das Prozessrauschen um den Faktor 10'000 aber belassen den Rest gleich wie beim Standardfall. -Wir erwarten nun, dass die Geschwindigkeit und Position der Masse verrauschter und somit unkenntlicher erfasst wird. - -Das Seismogramm zeichnet nun -Wir erwarten, dass die Aufzeichnung der Position und Geschwindigkeit ungenauer wird, +Falls wir unseren Seismographen in der Nähe einer grösseren Stadt aufstellen, so müssen wir aufgrund der Vibrationen mit einem stärkeren Prozessrauschen rechnen. +Dieses Rauschen beeinflusst die Position und Geschwindigkeit in der Zustands-Matrix $Q$. +Aus diesem Grund erhöhen wir die Standardabweichungen in der Matrix $Q$ um den Faktor $1'000$. +Die Auswertung in Abb. 20.7 zeigt auf, dass die Kalman-Schätzung der Kraft nur gering an den Messwerten anpasst. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=15cm]{papers/erdbeben/Prozessrauschen_geändert.PNG} - \caption{Das verstärkte Rauschen dominiert über der Erdbebenschwingung. Die Aufzeichnung wird unbrauchbar.} + \caption{} \end{center} \end{figure} \subsection{Verstärkung des Messrauschens} +Als letztes verstärken wir das Messrauschen um den Faktor 100 und belassen wieder den Rest wie im Standardfall. +Diese Anpassung bewirkt bei der Position und Geschwindigkeit grosse Abweichungen zwischen der Messgrösse und des Schätzwertes. +Im ganzen ist der Output sehr ungenau und somit nicht mehr brauchbar. +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=15cm]{papers/erdbeben/Messrauschen_geändert.PNG} + \caption{Das verstärkte Messrauschen dominiert über der Erdbebenschwingung. Die Aufzeichnung wird unbrauchbar und die Schätzung zu ungenau.} + \end{center} +\end{figure} - - -\subsection{Fazit} -Grafik einfügen -Wir erkennen, dass wir mit dem Kalman-Filter eine gute Methode gefunden haben, die äussere Beschleunigung zu schätzen. Die Schätzung der nächsten Position der Federmasse liegt immer ziemlich nahe der tatsächlichen Messung. Man muss aber auch berücksichtigen, dass die Federschwingung ziemlich kontrolliert verläuft und das Kalman-Filter somit präzise Vorhersagen treffen kann. -- cgit v1.2.1 From ee57f2d8a0da365451ef753fc2e87746af88e3ec Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Thu, 9 Sep 2021 09:14:36 +0200 Subject: Add missing image. --- buch/papers/erdbeben/Systemparameter_geaendert_2.PNG | Bin 0 -> 280132 bytes 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Systemparameter_geaendert_2.PNG (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Systemparameter_geaendert_2.PNG b/buch/papers/erdbeben/Systemparameter_geaendert_2.PNG new file mode 100644 index 0000000..d4f530e Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Systemparameter_geaendert_2.PNG differ -- cgit v1.2.1 From 1cb5d209e1f025303466833c51fda049d9bbf188 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: fabioviecelli <80270098+fabioviecelli@users.noreply.github.com> Date: Thu, 9 Sep 2021 17:05:58 +0200 Subject: =?UTF-8?q?Update=20Grafiken=20+=20Erg=C3=A4nzungen=20Text?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG | Bin 609092 -> 405571 bytes .../erdbeben/Messrauschen_geaendert_zoom.PNG | Bin 0 -> 266512 bytes buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG | Bin 228837 -> 275492 bytes .../erdbeben/Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG | Bin 0 -> 165891 bytes buch/papers/erdbeben/Standard_F-T.PNG | Bin 0 -> 119276 bytes buch/papers/erdbeben/Standard_V-T.PNG | Bin 0 -> 87859 bytes buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom.PNG | Bin 0 -> 192496 bytes buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG | Bin 316962 -> 302362 bytes buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex | 51 +++++++++++++++------ 9 files changed, 36 insertions(+), 15 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert_zoom.PNG create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Standard_F-T.PNG create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Standard_V-T.PNG create mode 100644 buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom.PNG (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG index eedfbcd..f46354d 100644 Binary files a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG and b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert_zoom.PNG b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert_zoom.PNG new file mode 100644 index 0000000..971ee82 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert_zoom.PNG differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG index cc7926f..aff9ed8 100644 Binary files a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG and b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG new file mode 100644 index 0000000..f2c1d3b Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Standard_F-T.PNG b/buch/papers/erdbeben/Standard_F-T.PNG new file mode 100644 index 0000000..9da5f5e Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Standard_F-T.PNG differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Standard_V-T.PNG b/buch/papers/erdbeben/Standard_V-T.PNG new file mode 100644 index 0000000..b511ff4 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Standard_V-T.PNG differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom.PNG b/buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom.PNG new file mode 100644 index 0000000..4f4e770 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/Standard_Zoom.PNG differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG b/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG index 0f0e0b8..a678df2 100644 Binary files a/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG and b/buch/papers/erdbeben/Standard_alles.PNG differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex index 2ef12b5..2b4805b 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex @@ -71,9 +71,9 @@ $\lambda$ ist die Bodendämpfung, für die wir $0.2$ wählen. Sie ist dafür verantwortlich, dass unser Erdbeben abklingen wird und kreiert bei der gedämpften Schwingung die typische Hüllkurve der Amplitude. Wir nehmen an, dass $\lambda$ ein Materialparameter von geologischen Böden ist. -\subsection{Ab hier bin ich noch dran/ Versuch im Standardfall} +\subsection{Versuch im Standardfall} Im nächsten Schritt müssen wir sinnvolle Systemparameter für unseren Seismographen definieren. -Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca. \SI{100}{\gram} hat. +Eine kurze Recherche zeigt, dass die Masse ein Gewicht von ca.\ \SI{100}{\gram} hat. Zur Federkonstante D und Dämpfung k konnten wir leider keine brauchbaren Grössen finden und treffen die Annahme, dass $D = 1$ und $k = 0.01$. Für die Masse definieren wir $m = 0.01$. @@ -89,8 +89,8 @@ Wir nehmen an, dass 0 & 0& {\sigma_f }^2\\ \end{array}\right)= \left( \begin{array}{ccc} - {0.00001 }^2& 0& 0 \\ - 0 & {0.00001 }^2& 0\\ + {0.00001}^2& 0& 0 \\ + 0 & {0.00001}^2& 0\\ 0 & 0& {1 }^2\\ \end{array}\right) \end{equation} @@ -110,20 +110,21 @@ Wie wir in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-alles} im Positions-Zeit-Diagram Leiten wir die Position einmal ab, erhalten wir die Geschwindigkeit. Die zweite Ableitung ergibt uns die Kraft, welche für unsere Aufgabenstellung relevant ist. Sehr gut ersichtlich ist die Hüllkurve der Amplitude, wie wir sie bei einer gedämpften Schwingung erwarten. + Die blaue Kurve ist die geschätzte äussere Kraft des Kalman-Filters. Erst wenn wir näher zoomen, erkennen wir in der Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-zoom} wie nahe die Schätzung an der idealen Schwingung liegt. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Standard_alles.PNG} - \caption{Das Position-Zeit-Diagramm zeigt uns die typische Aufzeichnung eines Seismographen während eines Erdbebens. Um die Geschwindigkeit zu erhalten müssen wir die Positionsveränderung einmal ableiten. Ein weiteres Ableiten erzeugt uns die Beschleunigung resp. die Kraft.} + \caption{Das Position-Zeit-Diagramm zeigt uns die typische Aufzeichnung eines Seismographen während eines Erdbebens. Um die Geschwindigkeit zu erhalten müssen wir die Position einmal ableiten. Ein weiteres Ableiten erzeugt uns die Beschleunigung, respektive die Kraft.} \label{erdbeben:fig:standard-alles} \end{center} \end{figure} \begin{figure} \begin{center} - \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Erdbeben_Standardfall_Zoom.PNG} + \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Standard_Zoom.PNG} \caption{Erst das Vergrössern an die Datenpunkte zeigt uns auf, wie gut die Schätzung des Kalman-Filters funktioniert.} \label{erdbeben:fig:standard-zoom} \end{center} @@ -149,7 +150,7 @@ Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir auf die h \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Systemparameter_geaendert_2.PNG} - \caption{Im Geschwindigkeits-Diagramm erkennen wir in den ersten $6-7$ Sekunden, wie die Erdbebenschwingung die Masse beeinflusst. Gleichzeitig und vorallem im gesamten Zeitverlauf, pendelt sich die Masse in die Eigenschwingung ein.} + \caption{Im Geschwindigkeits-Diagramm erkennen wir, dass sich im Vergleich zum Standardfall, die Auslenkung und Frequenz vergrössert hat. Dies wird mit der Erhöhung der Masse und somit der Trägheit begründet. Auch stellen wir fest, dass die Positionsmessung überwiegend die Eigenfrequenz misst.} \label{erdbeben:fig:systemparameter-geaendert} \end{center} \end{figure} @@ -157,27 +158,47 @@ Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir auf die h \subsection{Verstärkung des Prozessrauschens} Falls wir unseren Seismographen in der Nähe einer grösseren Stadt aufstellen, so müssen wir aufgrund der Vibrationen mit einem stärkeren Prozessrauschen rechnen. -Dieses Rauschen beeinflusst die Position und Geschwindigkeit in der Zustands-Matrix $Q$. -Aus diesem Grund erhöhen wir die Standardabweichungen in der Matrix $Q$ um den Faktor $1'000$. -Die Auswertung in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} zeigt auf, dass die Kalman-Schätzung der Kraft nur gering an den Messwerten anpasst. +Dieses Rauschen beeinflusst die Varianzen der Position und Geschwindigkeit in der Matrix $Q$. +Aus diesem Grund erhöhen wir die Standardabweichungen in der Matrix $Q$ um den Faktor $100$. +Die Auswertung in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} zeigt auf, dass das Kalman-Filter die Schätzung der Kraft nur gering an den Messwerten anpasst. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert.PNG} - \caption{} + \caption{Mit dem Erhöhen des Prozessrauschens gehen wir von einer grösseren Unsicherheit der Systemmatrix aus. Aus diesem Grund folgt das Filter vor allem den Messwerten, was sichtbare Folgen für die Schätzkurve im Kraft-Zeit-Diagramm hat. Hier möchte das Filter auch den Messwerten folgen. Da wir aber für die Kraft keine Messwerte aufzeichnen, erhalten wir eine sehr schwache Kurve} \label{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} \end{center} \end{figure} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG} + \caption{Die Position kann immernoch präzise geschätzt werden und die Ableitung zur Geschwindigkeit ergibt gute Resultate. Jedoch ist die Schätzkurve der Kraft sehr weit von der idealen Kurve entfernt und nicht nutzbar.} + \label{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert-zoom} + \end{center} +\end{figure} + \subsection{Verstärkung des Messrauschens} -Als letztes verstärken wir das Messrauschen um den Faktor 100 und belassen wieder den Rest wie im Standardfall. -Diese Anpassung bewirkt bei der Position und Geschwindigkeit grosse Abweichungen zwischen der Messgrösse und des Schätzwertes. -Im ganzen ist der Output sehr ungenau und somit nicht mehr brauchbar. +Als letztes verstärken wir das Messrauschen um den Faktor $100$ und belassen wieder den Rest wie im Standardfall. +Wie man eigentlich schon erwarten kann, zeigt uns die Abbildung~\ref{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert}, dass das Signal des Messsensors vom Messrauschen gestört wird. +Weil die Messung somit ungenau wird, kann das Kalman-Filter nicht mehr genau arbeiten und produziert einen ungenauen Output. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert.PNG} - \caption{Das verstärkte Messrauschen dominiert über der Erdbebenschwingung. Die Aufzeichnung wird unbrauchbar und die Schätzung zu ungenau.} + \caption{Im Kraft-Zeit-Diagramm erhalten wir nur bis ca. $t = 10$ gute Schätzwerte. Von $t = 10$ bis $t = 30$ wirkt das Messrauschen zu stark und erhalten keine brauchbaren Werte mehr} + \label{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert} \end{center} \end{figure} +\begin{figure} + \begin{center} + \includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]{papers/erdbeben/Messrauschen_geaendert_zoom.PNG} + \caption{Im Position-Zeit-Diagramm erhielten wir bis jetzt immer genaue Schätzungen. Mit einem starken Messrauschen fällt es nun dem Filter schwerer, präzise Werte zu generieren. Die Nahaufnahme im Kraft-Zeit-Diagramm bestätigt uns aber, dass die Messfehler zu gross sind, um ein klares Bild über die äussere Kraft zu erhalten.} + \label{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert_zoom} + \end{center} +\end{figure} + +\subsection{Fazit} + + -- cgit v1.2.1 From f04cc89bf37a819dd98800dc87e9797257750c75 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: fabioviecelli <80270098+fabioviecelli@users.noreply.github.com> Date: Fri, 10 Sep 2021 16:40:29 +0200 Subject: Update Teil_Fabio.tex --- buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex | 10 +++++++++- 1 file changed, 9 insertions(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex index 2b4805b..3cebfbe 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex @@ -199,6 +199,14 @@ Weil die Messung somit ungenau wird, kann das Kalman-Filter nicht mehr genau arb \end{center} \end{figure} -\subsection{Fazit} +\subsection{Zusammenfassung} +Wir haben uns zum Ziel gesetzt, die äussere Beschleunigung $a(t)$, bzw. die Kraft $f(t)$ eines Erdbebens zu ermitteln. +Mit der Software Matlab haben wir einen virtuellen Seismographen gebaut und ein künstliches Erdbeben erzeugt. +Der Seismograph war fähig die Position der Masse während der Einwirkung des Erdbebens aufzuzeichnen. +$a(t)$ kann zwar nicht mit Sensoren gemessen werden, jedoch erhalten wir $a(t)$ durch zweifaches Ableiten. +Da wir so aber die innere Beschleunigung erhalten, mussten wir das Kalman-Filter anwenden. +Das Kalman-Filter half uns die äussere Beschleunigung zu schätzen und lieferte erstaunlich genaue Werte. + +Schlussendlich haben wir aufgezeigt, das Veränderungen an den System- und Rauschparametern die Genauigkeit und Zuverlässigkeit des Kalman-Filters beeinträchtigen. -- cgit v1.2.1 From ab81d492e81cd7315f0c97cc111ba91539b63abc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Roy Seitz Date: Fri, 10 Sep 2021 16:54:44 +0200 Subject: Kleinere Anpassungen. --- buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex | 109 ++++++++++++++++-------------------- 1 file changed, 47 insertions(+), 62 deletions(-) (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex index 3cebfbe..2ab6052 100644 --- a/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex +++ b/buch/papers/erdbeben/Teil_Fabio.tex @@ -12,64 +12,40 @@ haben wir keine Bauschäden zu beklagen. \subsection{Wahl der Schwingung} Wir müssen uns überlegen, mit welcher Schwingung wir ein realitätsnahes Beben erzeugen können. - Mit einer ungedämpften harmonischen Schwingung können wir zwar die meisten Vorgänge in der Physik erklären. Da aber unser Erdbeben irgendwann abklingen muss, wählen wir die gedämpfte harmonische Schwingung. Die dazugehörige Schwingungsgleichung lautet - -\begin{equation} - y = A e^{-\lambda t} \sin(\omega t) -\end{equation} - -Für die Variablen der harmonisch gedämpften Schwingung setzen wir die Werte - \begin{equation} -A = 5 + y = A e^{-\lambda t} \sin(\omega t). \end{equation} - -ein. - -$A$ ist die Amplitude der Schwingung, die uns die Heftigkeit des Erdebebens beschreibt. +Dabei ist $A=5$ die anfängliche Amplitude der Schwingung, +die uns die Heftigkeit des Erdebebens beschreibt. Sie ist vergleichbar mit der Magnitude. - -$\omega$ definiert sich durch - +$\lambda$ bezeichnet die Bodendämpfung, für die wir $0.2$ wählen. +Sie ist dafür verantwortlich, dass unser Erdbeben abklingt +und kreiert die bei gedämpften Schwingungen typische Hüllkurve. +Wir nehmen an, dass $\lambda$ ein Materialparameter von geologischen Böden ist. +Die Kreisfrequenz $\omega$ ist durch \begin{equation} \omega = 2 \pi f \end{equation} - -wobei die Frequenz $f$ mit - +gegeben, +wobei die Momentanfrequenz $f = \mathcal N(\mu_f, \sigma_f) $ einer Normalverteilung mit \begin{equation} - f = E(\mathrm{Frequenz}) + \sigma^2(\mathrm{Frequenz}) + \mu_f = \SI{15}{\hertz} + \qquad \text{und} \qquad + \sigma_f = \SI{10}{\hertz} \end{equation} +folgt. -erzeugt wird. - -Zusätzlich haben wir $f$ mit dem Savitzky-Golay-Filter gefiltert. +Zusätzlich haben wir $f$ mit einem Savitzky-Golay-Filter gefiltert. Das Savitzky-Golay-Filter schaut sich immer eine definierte Anzahl von Datenpunkte an -und bildet ein Polynom $n$-ter Ordnung. -In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschieblichen Fensters, -jeweils zehn aufeinanderfolgende Datenpunkte an und bildet ein Polynom $0$-ter Ordnung. -Da wir den Grad $0$ gewählt haben, erhalten wir pro zehn Punkte eine Gerade mit der Steigung $0$. -Diese Art von der Filterung nennt sich gleitender Mittelwert. - -Für den Erwartungswert und die Standardabweichung setzen wir die Zahlen - -\begin{equation} -E(f) = \SI{15}{\hertz} -\end{equation} - -und -\begin{equation} -\sigma^2 = \SI{10}{\hertz} -\end{equation} - -ein. - -$\lambda$ ist die Bodendämpfung, für die wir $0.2$ wählen. -Sie ist dafür verantwortlich, dass unser Erdbeben abklingen wird und kreiert bei der gedämpften Schwingung die typische Hüllkurve der Amplitude. -Wir nehmen an, dass $\lambda$ ein Materialparameter von geologischen Böden ist. +und bildet darüber ein Polynom $n$-ter Ordnung. +In unserer Anwendung schaut sich das Filter, im Sinne eines verschiebbaren Fensters, +jeweils elf aufeinanderfolgende Datenpunkte an +und approximiert diese mit ein Polynom $0$-ter Ordnung, +also einer Konstanten. +Somit erhalten wir mit Matlab-Standardfunktionen einen gleitenden Mittelwert. \subsection{Versuch im Standardfall} Im nächsten Schritt müssen wir sinnvolle Systemparameter für unseren Seismographen definieren. @@ -92,27 +68,32 @@ Wir nehmen an, dass {0.00001}^2& 0& 0 \\ 0 & {0.00001}^2& 0\\ 0 & 0& {1 }^2\\ - \end{array}\right) + \end{array}\right). \end{equation} Auch für die Messung setzen wir ein Rauschen voraus und definieren \begin{equation} R= ({\sigma_x}^2)= -({0.00001}^2) +({0.00001}^2). \end{equation} -Sind nun die benötigten Systemparameter und das Rauschen definiert, erzeugen wir das Erdbeben und schauen, wie gut das Kalman-Filter die äussere Beschleunigung schätzen kann. +Sind nun die benötigten Systemparameter und Varianzen definiert, +erzeugen wir ein Erdbeben mittels Simulation und schauen, +wie gut das Kalman-Filter die äussere Beschleunigung schätzen kann. -\subsection*{Ergebnis} +\subsubsection{Ergebnis} -Wie wir in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-alles} im Positions-Zeit-Diagramm sehen, erzeugen unsere vorher gewählten Parameter eine realistische Erdbebenaufzeichnung. -Leiten wir die Position einmal ab, erhalten wir die Geschwindigkeit. -Die zweite Ableitung ergibt uns die Kraft, welche für unsere Aufgabenstellung relevant ist. -Sehr gut ersichtlich ist die Hüllkurve der Amplitude, wie wir sie bei einer gedämpften Schwingung erwarten. +Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-alles} zeigt zuoberst unsere Messwerte, +also die Position der Masse relativ zum Seismografen. +Wir sehen, dass unsere vorher gewählten Parameter eine realistische Erdbebenaufzeichnung erzeugen. +Leiten wir die Position einmal ab, erhalten wir die Geschwindigkeit, +und die zweite Ableitung ergibt uns die Kraft, welche für unsere Aufgabenstellung relevant ist. +Sehr gut ersichtlich ist die typische Hüllkurve, wie wir sie bei einer gedämpften Schwingung erwarten. Die blaue Kurve ist die geschätzte äussere Kraft des Kalman-Filters. -Erst wenn wir näher zoomen, erkennen wir in der Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-zoom} wie nahe die Schätzung an der idealen Schwingung liegt. +Erst wenn wir näher zoomen, erkennen wir in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:standard-zoom}, +wie nahe die Schätzung an der idealen Schwingung liegt. \begin{figure} \begin{center} @@ -131,21 +112,25 @@ Erst wenn wir näher zoomen, erkennen wir in der Abbildung~\ref{erdbeben:fig:sta \end{figure} \subsection{Veränderung der Systemparameter} -Was wir nun austesten möchten, sind die Auswirkungen wenn z.B. der Seismograph andere Systemparameter aufweist. -Wir nehmen an, dass sich im Vergleich zum Standardfall die Masse erhöht, die Federkonstante schwächer und die Bodendämpfung doppelt so stark wirkt. +Was wir nun testen möchten, sind die Auswirkungen wenn zum Beispiel der Seismograph andere Systemparameter aufweist. +Wir nehmen an, dass sich im Vergleich zum Standardfall die Masse erhöht, die Federkonstante schwächer und die Federdämpfung doppelt so stark wirkt. Somit gilt neu \[ -m = 0.05 -\qquad \qquad +m = 0.05, +\qquad D = 0.5 \qquad \text{und} \qquad k = 0.02. \] -Da wir mit dieser Anpassung die Trägheit des Seismogrammes erhöht haben, erwarten wir sicher eine langsamere Bewegung der Masse, das heisst die Frequenz wird sich reduzieren. +Da wir mit dieser Anpassung die Trägheit des Seismogrammes erhöht haben, +erwarten wir eine langsamere Bewegung der Masse, +das heisst die Frequenz wird kleiner. -Betrachten wir die Abbildung~\ref{erdbeben:fig:systemparameter-geaendert} können wir diese Erwartung bestätigen. -Nebst dem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, die wir auf die höhere Energie der Masse und geringeren Rücklenkkraft der Feder begründen können. +Betrachten wir Abbildung~\ref{erdbeben:fig:systemparameter-geaendert}, +können wir diese Erwartung bestätigen. +Zudem bemerken wir eine grössere Auslenkung der Position, +die wir mir durch die höhere Energie der Masse und geringeren Rücklenkkraft der Feder erklären können. \begin{figure} \begin{center} @@ -181,7 +166,7 @@ Die Auswertung in Abbildung~\ref{erdbeben:fig:prozessrauschen-geaendert} zeigt a \subsection{Verstärkung des Messrauschens} Als letztes verstärken wir das Messrauschen um den Faktor $100$ und belassen wieder den Rest wie im Standardfall. Wie man eigentlich schon erwarten kann, zeigt uns die Abbildung~\ref{erdbeben:fig:messrauschen-geaendert}, dass das Signal des Messsensors vom Messrauschen gestört wird. -Weil die Messung somit ungenau wird, kann das Kalman-Filter nicht mehr genau arbeiten und produziert einen ungenauen Output. +Weil die Messung somit ungenau wird, kann das Kalman-Filter nicht mehr genau arbeiten und produziert eine ungenaues Resultat. \begin{figure} \begin{center} -- cgit v1.2.1 From 9c0feb2595d07faec08cc09c9f25a353384b2c9b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Fri, 10 Sep 2021 19:36:27 +0200 Subject: add combined images --- buch/papers/erdbeben/images/Makefile | 15 +++++ .../erdbeben/images/messrauschen_geaendert.pdf | Bin 0 -> 481138 bytes .../erdbeben/images/messrauschen_geaendert.tex | 61 ++++++++++++++++++++ .../erdbeben/images/prozessrauschen_geaendert.pdf | Bin 0 -> 319822 bytes .../erdbeben/images/prozessrauschen_geaendert.tex | 61 ++++++++++++++++++++ buch/papers/erdbeben/images/standard.pdf | Bin 0 -> 362347 bytes buch/papers/erdbeben/images/standard.tex | 64 +++++++++++++++++++++ 7 files changed, 201 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/erdbeben/images/Makefile create mode 100644 buch/papers/erdbeben/images/messrauschen_geaendert.pdf create mode 100644 buch/papers/erdbeben/images/messrauschen_geaendert.tex create mode 100644 buch/papers/erdbeben/images/prozessrauschen_geaendert.pdf create mode 100644 buch/papers/erdbeben/images/prozessrauschen_geaendert.tex create mode 100644 buch/papers/erdbeben/images/standard.pdf create mode 100644 buch/papers/erdbeben/images/standard.tex (limited to 'buch/papers/erdbeben') diff --git a/buch/papers/erdbeben/images/Makefile b/buch/papers/erdbeben/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..3c82cb7 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/images/Makefile @@ -0,0 +1,15 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +all: standard.pdf messrauschen_geaendert.pdf prozessrauschen_geaendert.pdf + +standard.pdf: standard.tex + pdflatex standard.tex + +messrauschen_geaendert.pdf: messrauschen_geaendert.tex + pdflatex messrauschen_geaendert.tex + +prozessrauschen_geaendert.pdf: prozessrauschen_geaendert.tex + pdflatex prozessrauschen_geaendert.tex diff --git a/buch/papers/erdbeben/images/messrauschen_geaendert.pdf b/buch/papers/erdbeben/images/messrauschen_geaendert.pdf new file mode 100644 index 0000000..5056dd0 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/images/messrauschen_geaendert.pdf differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/images/messrauschen_geaendert.tex b/buch/papers/erdbeben/images/messrauschen_geaendert.tex new file mode 100644 index 0000000..a5a7509 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/images/messrauschen_geaendert.tex @@ -0,0 +1,61 @@ +% +% messrauschen_geaendert.tex -- Kombination der Messrauschen-Bilder +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\node at (0,0) {\includegraphics[width=14cm]{../Messrauschen_geaendert.PNG}}; + +\def\yten{-2.06} +\def\yfifteen{0.16} + +\def\links{12.2} +\def\rechts{14.2} + +\pgfmathparse{(\yfifteen-(\yten))/5} +\xdef\m{\pgfmathresult} +\xdef\b{\yten} + +\pgfmathparse{\m*(\links-10)+(\b)} +\xdef\Links{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\m*(\rechts-10)+(\b)} +\xdef\Rechts{\pgfmathresult} + +\begin{scope}[yshift=-9cm] +\node at (0,0) {\includegraphics[width=14cm]{../Messrauschen_geaendert_zoom.PNG}}; +\end{scope} + +\def\breite{7} +\def\hoehe{2} + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\def\unten{-4.15} + +\draw[line width=0.7pt] (\Links,\unten) rectangle (\Rechts,4.15); +\draw[line width=0.7pt] (\Links,\unten) -- (\Links,{\unten-0.05}) + -- (-6.45,-4.6) -- (-6.45,-4.9); +\draw[line width=0.7pt] (\Rechts,\unten) -- (\Rechts,{\unten-0.05}) + -- (6.86,-4.6) -- (6.86,-4.9); +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/erdbeben/images/prozessrauschen_geaendert.pdf b/buch/papers/erdbeben/images/prozessrauschen_geaendert.pdf new file mode 100644 index 0000000..e0bf605 Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/images/prozessrauschen_geaendert.pdf differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/images/prozessrauschen_geaendert.tex b/buch/papers/erdbeben/images/prozessrauschen_geaendert.tex new file mode 100644 index 0000000..ad4dcf9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/images/prozessrauschen_geaendert.tex @@ -0,0 +1,61 @@ +% +% prozessrauschen_geaendert.tex -- Kombination der Prozessrauschen-Bilder +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\node at (0,0) {\includegraphics[width=14cm]{../Prozessrauschen_geaendert.PNG}}; + +\def\yten{-2.1} +\def\yfifteen{0.12} + +\def\links{13.27} +\def\rechts{14.2} + +\pgfmathparse{(\yfifteen-(\yten))/5} +\xdef\m{\pgfmathresult} +\xdef\b{\yten} + +\pgfmathparse{\m*(\links-10)+(\b)} +\xdef\Links{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\m*(\rechts-10)+(\b)} +\xdef\Rechts{\pgfmathresult} + +\begin{scope}[yshift=-9cm] +\node at (0,0) {\includegraphics[width=14cm]{../Prozessrauschen_geaendert_zoom.PNG}}; +\end{scope} + +% Gitter +\def\breite{7} +\def\hoehe{2} +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\def\unten{-4.15} + +\draw[line width=0.7pt] (\Links,\unten) rectangle (\Rechts,4.18); +\draw[line width=0.7pt] (\Links,\unten) -- (\Links,{\unten-0.05}) + -- (-6.62,-4.6) -- (-6.62,-4.9); +\draw[line width=0.7pt] (\Rechts,\unten) -- (\Rechts,{\unten-0.05}) + -- (6.80,-4.6) -- (6.80,-4.9); + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/erdbeben/images/standard.pdf b/buch/papers/erdbeben/images/standard.pdf new file mode 100644 index 0000000..f2ca85e Binary files /dev/null and b/buch/papers/erdbeben/images/standard.pdf differ diff --git a/buch/papers/erdbeben/images/standard.tex b/buch/papers/erdbeben/images/standard.tex new file mode 100644 index 0000000..74ac7a1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/erdbeben/images/standard.tex @@ -0,0 +1,64 @@ +% +% standard.tex -- Kombination der Standard-Bilder +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\node at (0,0) {\includegraphics[width=14cm]{../Standard_alles.PNG}}; + +\def\yten{-2.12} +\def\yfifteen{0.1} + +\def\links{12.5} +\def\rechts{13.4} + +\pgfmathparse{(\yfifteen-(\yten))/5} +\xdef\m{\pgfmathresult} +\xdef\b{\yten} + +%\node at (0,7) {$m=\m$}; \node at (0,8) {$b=\b$}; + +\pgfmathparse{\m*(\links-10)+(\b)} +\xdef\Links{\pgfmathresult} + +\pgfmathparse{\m*(\rechts-10)+(\b)} +\xdef\Rechts{\pgfmathresult} + +\begin{scope}[yshift=-9cm] +\node at (0,0) {\includegraphics[width=14cm]{../Standard_Zoom.PNG}}; +\end{scope} + +\def\breite{7} +\def\hoehe{2} + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\def\unten{-4.15} + +\draw[line width=0.7pt] (\Links,\unten) rectangle (\Rechts,4.18); +\draw[line width=0.7pt] (\Links,\unten) -- (\Links,{\unten-0.05}) + -- (-6.36,-4.6) -- (-6.36,-4.9); +\draw[line width=0.7pt] (\Rechts,\unten) -- (\Rechts,{\unten-0.05}) + -- (6.87,-4.6) -- (6.87,-4.9); + +\end{tikzpicture} +\end{document} + -- cgit v1.2.1