From 337c10d8861718c88b1c8e4d365a4dd7d678153a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 26 May 2021 12:08:46 +0200
Subject: initeur

---
 buch/papers/ifs/teil1.tex | 11 +++--------
 1 file changed, 3 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex
index c824cb4..76bc828 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil1.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -3,16 +3,11 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 1
+\section{Fraktale
 \label{ifs:section:teil1}}
 \rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
+Bevor wir die IFS genauer ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an.
+
 \begin{equation}
 \int_a^b x^2\, dx
 =
-- 
cgit v1.2.1


From a1a45cd5bd0e487cb69916f8c3e636a5e326c935 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 26 May 2021 17:41:38 +0200
Subject: Fraktale Kapitel Fertig

---
 buch/papers/ifs/teil1.tex | 116 ++++++++++++++++++++++++++++++++--------------
 1 file changed, 81 insertions(+), 35 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex
index 76bc828..327a082 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil1.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -8,43 +8,89 @@
 \rhead{Problemstellung}
 Bevor wir die IFS genauer ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an.
 
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{ifs:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
+\subsection{Was sind Fraktale?
+\label{ifs:subsection:finibus}}
+Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker noch nicht einig. 
+In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigneschaften welche Kenneth Flaconer in seinem Buch Fractal Geometry beschreibt.
+Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigneschaften erwarten:
+\begin{enumerate}
+	\item $F$ hat eine unendlich feine Struktur
+	\item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden.
+	\item Oftmals haf $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit.
+	\item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die Topologische Dimension
+	\item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben
+\end{enumerate}
+\subsection{Koch Kurve
+	\label{ifs:subsection:lilkoch}}
+Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen.
+In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht die aus lauter kleineren Kopien von sich selber. 
+Den Konstruktionvorgang sehen wir in \ref{ifs:kochconst}.
+Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$.
+Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt.
+In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtilich. 
+Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt.
+Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
 
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{ifs:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
+\begin{figure}
+	\label{ifs:kochkurve8}
+	\centering
+	\includegraphics{papers/ifs/images/koch8}
+	\caption{Koch Kurve}
+\end{figure}
 
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{ifs:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{ifs:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+\begin{figure}
+	\label{ifs:kochconst}
+	\centering
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:kochconsta}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch0}}
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:kochconstb}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch1}} 
+	\subfigure[]{
+		\label{kochconstc}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch2}}
+	\caption{(a) Start (b) 1. Iteration (c) 2. Iteration}
+	\label{fig:foobar}
+\end{figure}
 
+Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften.
+Die Länge der Kurve lasst sich einfach berechnen.
+\begin{align*}
+	l_0 = a ,\quad l_1 = a  \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a  \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad ... , \quad
+	l_n = a * \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad
+	\Rightarrow \quad
+	\lim_{n\to\infty} a  \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty
+\end{align*}
+In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verglängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. 
+Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
+\begin{align*}
+	A_0 = 0 , \quad A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
+	A_2 = A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ 
+	A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1	 
+\end{align*}
+Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist.
+Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Rheie.
+\begin{align*}
+	A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n =  a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\
+	\lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2
+\end{align*}
+Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang.
+Zu guter letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. 
+Es gibt viele verschidene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
+Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten.
+In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension.
+\begin{align*}
+	D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)}
+\end{align*}
+Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen.
+Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge.
+Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$.
+Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon = 1/3$.
+\begin{align*}
+	D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} = - \frac{log(4)}{log(1/3)} \approx 1.2619
+\end{align*}
+Wie wir nun sehen besitzt die Kochkurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. 
+Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 74bbee4492a76486091554e24625767440018056 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 6 Jun 2021 14:03:33 +0200
Subject: typos

---
 buch/papers/ifs/teil1.tex | 16 ++++++++--------
 1 file changed, 8 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex
index 327a082..f02aff6 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil1.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -11,8 +11,8 @@ Bevor wir die IFS genauer ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an.
 \subsection{Was sind Fraktale?
 \label{ifs:subsection:finibus}}
 Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker noch nicht einig. 
-In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigneschaften welche Kenneth Flaconer in seinem Buch Fractal Geometry beschreibt.
-Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigneschaften erwarten:
+In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry beschreibt.
+Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten:
 \begin{enumerate}
 	\item $F$ hat eine unendlich feine Struktur
 	\item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden.
@@ -24,10 +24,10 @@ Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigneschaften erwarten:
 	\label{ifs:subsection:lilkoch}}
 Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen.
 In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht die aus lauter kleineren Kopien von sich selber. 
-Den Konstruktionvorgang sehen wir in \ref{ifs:kochconst}.
+Den Konstruktionsvorgang sehen wir in \ref{ifs:kochconst}.
 Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$.
 Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt.
-In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtilich. 
+In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. 
 Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt.
 Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
 
@@ -63,7 +63,7 @@ Die Länge der Kurve lasst sich einfach berechnen.
 	\Rightarrow \quad
 	\lim_{n\to\infty} a  \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty
 \end{align*}
-In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verglängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. 
+In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. 
 Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
 \begin{align*}
 	A_0 = 0 , \quad A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
@@ -71,14 +71,14 @@ Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
 	A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1	 
 \end{align*}
 Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist.
-Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Rheie.
+Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Reihe.
 \begin{align*}
 	A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n =  a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\
 	\lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2
 \end{align*}
 Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang.
-Zu guter letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. 
-Es gibt viele verschidene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
+Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. 
+Es gibt viele verschiedene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
 Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten.
 In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension.
 \begin{align*}
-- 
cgit v1.2.1


From 99d2ddf90c75e83fc8ee82f5d0145a17db9a6338 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 13 Jun 2021 15:59:24 +0200
Subject: minor changes, refernezen

---
 buch/papers/ifs/teil1.tex | 18 ++++++++----------
 1 file changed, 8 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex
index f02aff6..54089ec 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil1.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -8,10 +8,9 @@
 \rhead{Problemstellung}
 Bevor wir die IFS genauer ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an.
 
-\subsection{Was sind Fraktale?
-\label{ifs:subsection:finibus}}
-Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker noch nicht einig. 
-In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry beschreibt.
+
+Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker nicht einig. 
+In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry \cite{ifs:fractal-geometry} beschreibt.
 Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten:
 \begin{enumerate}
 	\item $F$ hat eine unendlich feine Struktur
@@ -23,8 +22,8 @@ Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten:
 \subsection{Koch Kurve
 	\label{ifs:subsection:lilkoch}}
 Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen.
-In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht die aus lauter kleineren Kopien von sich selber. 
-Den Konstruktionsvorgang sehen wir in \ref{ifs:kochconst}.
+In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht sie aus lauter kleineren Kopien von sich selber. 
+Den Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt.
 Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$.
 Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt.
 In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. 
@@ -33,14 +32,13 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch
 
 
 \begin{figure}
-	\label{ifs:kochkurve8}
 	\centering
 	\includegraphics{papers/ifs/images/koch8}
 	\caption{Koch Kurve}
+	\label{ifs:kochkurve8}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
-	\label{ifs:kochconst}
 	\centering
 	\subfigure[]{
 		\label{ifs:kochconsta}
@@ -52,7 +50,7 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch
 		\label{kochconstc}
 		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch2}}
 	\caption{(a) Start (b) 1. Iteration (c) 2. Iteration}
-	\label{fig:foobar}
+	\label{ifs:kochconst}
 \end{figure}
 
 Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften.
@@ -80,7 +78,7 @@ Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendl
 Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. 
 Es gibt viele verschiedene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
 Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten.
-In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension.
+In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry}.
 \begin{align*}
 	D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)}
 \end{align*}
-- 
cgit v1.2.1


From 81d11a125976ab6c877b934cdeb79806a1105bca Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 18 Jun 2021 10:47:53 +0200
Subject: reworks

---
 buch/papers/ifs/teil1.tex | 80 ++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------
 1 file changed, 59 insertions(+), 21 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex
index 54089ec..68e2e44 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil1.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -15,20 +15,20 @@ Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten:
 \begin{enumerate}
 	\item $F$ hat eine unendlich feine Struktur
 	\item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden.
-	\item Oftmals haf $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit.
-	\item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die Topologische Dimension
+	\item Oftmals hat $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit.
+	\item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension
 	\item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben
 \end{enumerate}
 \subsection{Koch Kurve
 	\label{ifs:subsection:lilkoch}}
-Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen.
-In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht sie aus lauter kleineren Kopien von sich selber. 
+Diese Eigenschaften möchten wir nun am Beispiel der Koch Kurve näher anschauen.
+In Abbildung \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Sie besteht aus lauter kleineren Kopien von sich selber. 
 Den Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt.
 Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$.
-Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt.
+Diese wird in ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt.
 In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. 
 Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt.
-Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
+Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
 
 
 \begin{figure}
@@ -54,41 +54,79 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch
 \end{figure}
 
 Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften.
-Die Länge der Kurve lasst sich einfach berechnen.
+Die Länge der Kurve der jeweiligen Iteration lässt sich mit 
 \begin{align*}
-	l_0 = a ,\quad l_1 = a  \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a  \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad ... , \quad
-	l_n = a * \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad
+	l_0 = a ,\quad l_1 = a  \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a  \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad \cdots , \quad
+	l_n = a \cdot \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad
 	\Rightarrow \quad
 	\lim_{n\to\infty} a  \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty
 \end{align*}
-In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. 
+beschreiben.
+In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Daraus resultiert, dass die Länge gegen $\infty$ divergiert. 
+
+
 Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
 \begin{align*}
-	A_0 = 0 , \quad A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
+	A_0 = 0 \\
+	A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
 	A_2 = A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ 
 	A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1	 
 \end{align*}
 Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist.
-Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Reihe.
+Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die geometrische Reihe,
 \begin{align*}
 	A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n =  a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\
-	\lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2
 \end{align*}
-Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang.
+mit dem Grenzwert
+\begin{align*}
+	\lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2. 
+\end{align*}
+Wie wir sehen ist die Koch-Kurve eine Kurve mit endlicher Fläche, aber unendlicher Umfang.
+
+
 Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. 
-Es gibt viele verschiedene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
-Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten.
+Es gibt viele verschiedene Methoden die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
+Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur unterschiedliche Arten.
 In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry}.
+Die Ähnlichkeits-Dimension ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\epsilon$
+  
 \begin{align*}
-	D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)}
+	D = - \frac{\log N}{\log \epsilon }.
 \end{align*}
 Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen.
-Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge.
+Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$, Abbildung \ref{ifs:trinagle}.
 Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$.
-Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon = 1/3$.
+Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon =l \cdot 1/3$.
 \begin{align*}
-	D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} = - \frac{log(4)}{log(1/3)} \approx 1.2619
+	D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619
 \end{align*}
-Wie wir nun sehen besitzt die Kochkurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. 
+Wie wir nun sehen besitzt die Koch-Kurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. 
 Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+		
+		% draw the background
+		\draw [line width=1.5pt, fill=gray!2] (0,0) -- (60:4) -- (4,0) -- cycle;
+		
+		\coordinate[label=left:$A$]  (A) at (0,0);
+		\coordinate[label=right:$B$] (B) at (4,0);
+		\coordinate[label=above:$C$] (C) at (2,3.464);
+		
+		\coordinate[label=below:$l$](c) at ($ (A)!.5!(B) $);
+		\coordinate[label=left:$l$] (b) at ($ (A)!.5!(C) $);
+		\coordinate[label=right:$l$](a) at ($ (B)!.5!(C) $);
+		
+		\coordinate[label=below:$l/2$](d) at ($ (b)!.5!(a)$);
+		
+		% the triangle
+		\draw [line width=1.5pt] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
+		\draw [line width=0.5pt] (a) -- (b);
+		\draw [line width=0.5pt] (a) -- (c);
+		\draw [line width=0.5pt] (c) -- (b);
+		
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Selbstähnlichkeit eines gleichseitigen Dreiecks}
+	\label{ifs:trinagle}
+\end{figure}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 180789bb3f452a49dca3f3769630e0899357208e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sat, 19 Jun 2021 18:17:20 +0200
Subject: imporvements

---
 buch/papers/ifs/teil1.tex | 15 ++++++++-------
 1 file changed, 8 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex
index 68e2e44..385abcf 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil1.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -17,7 +17,7 @@ Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten:
 	\item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden.
 	\item Oftmals hat $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit.
 	\item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension
-	\item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben
+	\item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben TODO
 \end{enumerate}
 \subsection{Koch Kurve
 	\label{ifs:subsection:lilkoch}}
@@ -29,6 +29,7 @@ Diese wird in ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Lä
 In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. 
 Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt.
 Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
+Man spricht von einer selbstähnlichen Menge, wenn sich diese Menge überdecken lässt mit echten Teilmengen, die zur ganzen Menge ähnlich sind.
 
 
 \begin{figure}
@@ -61,16 +62,16 @@ Die Länge der Kurve der jeweiligen Iteration lässt sich mit
 	\Rightarrow \quad
 	\lim_{n\to\infty} a  \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty
 \end{align*}
-beschreiben.
+berechnen.
 In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Daraus resultiert, dass die Länge gegen $\infty$ divergiert. 
 
 
 Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
 \begin{align*}
-	A_0 = 0 \\
-	A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
-	A_2 = A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ 
-	A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1	 
+	A_0 &= 0 \\
+	A_1 &= \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
+	A_2 &= A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ 
+	A_3 &= A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1.
 \end{align*}
 Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist.
 Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die geometrische Reihe,
@@ -81,7 +82,7 @@ mit dem Grenzwert
 \begin{align*}
 	\lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2. 
 \end{align*}
-Wie wir sehen ist die Koch-Kurve eine Kurve mit endlicher Fläche, aber unendlicher Umfang.
+Wie wir sehen ist die Koch-Kurve ein Objekt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang.
 
 
 Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. 
-- 
cgit v1.2.1


From 8cb994306345986d642fd46759c92e7adee4e4ef Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 20 Jun 2021 22:09:47 +0200
Subject: Changes

---
 buch/papers/ifs/teil1.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex
index 385abcf..70b0b1b 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil1.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -6,18 +6,18 @@
 \section{Fraktale
 \label{ifs:section:teil1}}
 \rhead{Problemstellung}
-Bevor wir die IFS genauer ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an.
+Bevor wir die IFS ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an.
 
 
 Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker nicht einig. 
 In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigenschaften welche Kenneth Falconer in seinem Buch Fractal Geometry \cite{ifs:fractal-geometry} beschreibt.
-Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten:
+Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten: 
 \begin{enumerate}
 	\item $F$ hat eine unendlich feine Struktur
 	\item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden.
 	\item Oftmals hat $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit.
 	\item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension
-	\item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben TODO
+	\item Viele Fraktale lassen sich auf eine simple Art definieren. Es genügen zum Beispiel nur wenige Funktionen, welche rekursiv ausgeführt werden, um ein Fraktal zu definieren.  
 \end{enumerate}
 \subsection{Koch Kurve
 	\label{ifs:subsection:lilkoch}}
@@ -74,7 +74,7 @@ Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
 	A_3 &= A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1.
 \end{align*}
 Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist.
-Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die geometrische Reihe,
+Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die konvergierende geometrische Reihe,
 \begin{align*}
 	A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n =  a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\
 \end{align*}
@@ -89,7 +89,7 @@ Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve.
 Es gibt viele verschiedene Methoden die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
 Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur unterschiedliche Arten.
 In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry}.
-Die Ähnlichkeits-Dimension ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\epsilon$
+Die Ähnlichkeits-Dimension $D$ ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\epsilon$
   
 \begin{align*}
 	D = - \frac{\log N}{\log \epsilon }.
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cgit v1.2.1


From cceb539b3b83de6cf4296e6062c8d2f6e31aec72 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Tue, 22 Jun 2021 17:28:15 +0200
Subject: minor changes

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 buch/papers/ifs/teil1.tex | 3 ++-
 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil1.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil1.tex b/buch/papers/ifs/teil1.tex
index 70b0b1b..a75b529 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil1.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -98,8 +98,9 @@ Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen.
 Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$, Abbildung \ref{ifs:trinagle}.
 Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$.
 Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon =l \cdot 1/3$.
+Ihre  Ähnlichkeits-Dimension ist somit
 \begin{align*}
-	D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619
+	D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619.
 \end{align*}
 Wie wir nun sehen besitzt die Koch-Kurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. 
 Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten.
-- 
cgit v1.2.1

