From 81d11a125976ab6c877b934cdeb79806a1105bca Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 18 Jun 2021 10:47:53 +0200
Subject: reworks

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 buch/papers/ifs/teil1.tex | 80 ++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------
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+++ b/buch/papers/ifs/teil1.tex
@@ -15,20 +15,20 @@ Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigenschaften erwarten:
 \begin{enumerate}
 	\item $F$ hat eine unendlich feine Struktur
 	\item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden.
-	\item Oftmals haf $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit.
-	\item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die Topologische Dimension
+	\item Oftmals hat $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit.
+	\item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die topologische Dimension
 	\item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben
 \end{enumerate}
 \subsection{Koch Kurve
 	\label{ifs:subsection:lilkoch}}
-Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen.
-In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht sie aus lauter kleineren Kopien von sich selber. 
+Diese Eigenschaften möchten wir nun am Beispiel der Koch Kurve näher anschauen.
+In Abbildung \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Sie besteht aus lauter kleineren Kopien von sich selber. 
 Den Konstruktionsvorgang ist in Abbildung \ref{ifs:kochconst} dargestellt.
 Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$.
-Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt.
+Diese wird in ersten Schritt durch vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt.
 In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtlich. 
 Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt.
-Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
+Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
 
 
 \begin{figure}
@@ -54,41 +54,79 @@ Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch
 \end{figure}
 
 Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften.
-Die Länge der Kurve lasst sich einfach berechnen.
+Die Länge der Kurve der jeweiligen Iteration lässt sich mit 
 \begin{align*}
-	l_0 = a ,\quad l_1 = a  \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a  \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad ... , \quad
-	l_n = a * \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad
+	l_0 = a ,\quad l_1 = a  \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a  \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad \cdots , \quad
+	l_n = a \cdot \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad
 	\Rightarrow \quad
 	\lim_{n\to\infty} a  \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty
 \end{align*}
-In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. 
+beschreiben.
+In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verlängert. Daraus resultiert, dass die Länge gegen $\infty$ divergiert. 
+
+
 Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
 \begin{align*}
-	A_0 = 0 , \quad A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
+	A_0 = 0 \\
+	A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
 	A_2 = A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ 
 	A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1	 
 \end{align*}
 Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist.
-Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Reihe.
+Die Gesamtfläche ist daher gegeben durch die geometrische Reihe,
 \begin{align*}
 	A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n =  a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\
-	\lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2
 \end{align*}
-Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang.
+mit dem Grenzwert
+\begin{align*}
+	\lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2. 
+\end{align*}
+Wie wir sehen ist die Koch-Kurve eine Kurve mit endlicher Fläche, aber unendlicher Umfang.
+
+
 Zu guter Letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. 
-Es gibt viele verschiedene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
-Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten.
+Es gibt viele verschiedene Methoden die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
+Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur unterschiedliche Arten.
 In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension \cite{ifs:fractal-geometry}.
+Die Ähnlichkeits-Dimension ist das Verhältnis der Logarithmen der Anzahl Kopien $N$ des Originales und deren Skalierungsfaktor $\epsilon$
+  
 \begin{align*}
-	D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)}
+	D = - \frac{\log N}{\log \epsilon }.
 \end{align*}
 Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen.
-Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge.
+Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge $l$, Abbildung \ref{ifs:trinagle}.
 Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$.
-Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon = 1/3$.
+Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon =l \cdot 1/3$.
 \begin{align*}
-	D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} = - \frac{log(4)}{log(1/3)} \approx 1.2619
+	D = - \frac{\log N }{\log \epsilon } = - \frac{\log 4 }{\log 1/3 } \approx 1.2619
 \end{align*}
-Wie wir nun sehen besitzt die Kochkurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. 
+Wie wir nun sehen besitzt die Koch-Kurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. 
 Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten.
+\begin{figure}
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}
+		
+		% draw the background
+		\draw [line width=1.5pt, fill=gray!2] (0,0) -- (60:4) -- (4,0) -- cycle;
+		
+		\coordinate[label=left:$A$]  (A) at (0,0);
+		\coordinate[label=right:$B$] (B) at (4,0);
+		\coordinate[label=above:$C$] (C) at (2,3.464);
+		
+		\coordinate[label=below:$l$](c) at ($ (A)!.5!(B) $);
+		\coordinate[label=left:$l$] (b) at ($ (A)!.5!(C) $);
+		\coordinate[label=right:$l$](a) at ($ (B)!.5!(C) $);
+		
+		\coordinate[label=below:$l/2$](d) at ($ (b)!.5!(a)$);
+		
+		% the triangle
+		\draw [line width=1.5pt] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
+		\draw [line width=0.5pt] (a) -- (b);
+		\draw [line width=0.5pt] (a) -- (c);
+		\draw [line width=0.5pt] (c) -- (b);
+		
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{Selbstähnlichkeit eines gleichseitigen Dreiecks}
+	\label{ifs:trinagle}
+\end{figure}
 
-- 
cgit v1.2.1

