From a1a45cd5bd0e487cb69916f8c3e636a5e326c935 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Wed, 26 May 2021 17:41:38 +0200
Subject: Fraktale Kapitel Fertig

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 buch/papers/ifs/teil1.tex | 116 ++++++++++++++++++++++++++++++++--------------
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 \rhead{Problemstellung}
 Bevor wir die IFS genauer ansehen, schauen wir uns Fraktale genauer an.
 
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{ifs:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
+\subsection{Was sind Fraktale?
+\label{ifs:subsection:finibus}}
+Über die genaue Definition von Fraktalen sind sich die Mathematiker noch nicht einig. 
+In diesem Kapitel orientieren wir uns an den Eigneschaften welche Kenneth Flaconer in seinem Buch Fractal Geometry beschreibt.
+Von einem Fraktal $F$ können wir folgende Eigneschaften erwarten:
+\begin{enumerate}
+	\item $F$ hat eine unendlich feine Struktur
+	\item $F$ kann nicht mit der klassischen Geometrie beschrieben werden.
+	\item Oftmals haf $F$ eine Form von Selbstähnlichkeit.
+	\item Die 'fraktale Dimension' ist grösser als die Topologische Dimension
+	\item Viele Fraktale lassen sich einfach beschrieben
+\end{enumerate}
+\subsection{Koch Kurve
+	\label{ifs:subsection:lilkoch}}
+Diese Eigenschaften möchten wir nun anhand der Koch Kurve näher anschauen.
+In \ref{ifs:kochkurve8} sehen wir die Koch Kurve. Wie man schon erahnen kann, besteht die aus lauter kleineren Kopien von sich selber. 
+Den Konstruktionvorgang sehen wir in \ref{ifs:kochconst}.
+Gestartet wird mit einer einzelnen Strecke der Länge $a$.
+Diese wird in ersten Schritt mit vier gleich langen Streckenabschnitte der Länge $\frac{a}{3}$ ersetzt.
+In \ref{ifs:kochconstb} ist die Anordnung dieser vier Streckenabschnitte ersichtilich. 
+Dieser Schritt wird nun für jeden der resultierten Streckenabschnitten wiederholt.
+Die Kurve besteht also aus vier kleineren Kopien von der ganzen Kurve, was auch unter Selbstähnlichkeit bekannt ist.
 
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{ifs:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
+\begin{figure}
+	\label{ifs:kochkurve8}
+	\centering
+	\includegraphics{papers/ifs/images/koch8}
+	\caption{Koch Kurve}
+\end{figure}
 
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{ifs:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{ifs:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+\begin{figure}
+	\label{ifs:kochconst}
+	\centering
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:kochconsta}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch0}}
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:kochconstb}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch1}} 
+	\subfigure[]{
+		\label{kochconstc}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/koch2}}
+	\caption{(a) Start (b) 1. Iteration (c) 2. Iteration}
+	\label{fig:foobar}
+\end{figure}
 
+Die resultierende Kurve hat ein paar interessante Eigenschaften.
+Die Länge der Kurve lasst sich einfach berechnen.
+\begin{align*}
+	l_0 = a ,\quad l_1 = a  \frac{4}{3} ,\quad l_2 = a  \left( \frac{4}{3}\right)^2 , \quad ... , \quad
+	l_n = a * \left( \frac{4}{3}\right)^n \quad
+	\Rightarrow \quad
+	\lim_{n\to\infty} a  \left( \frac{4}{3}\right)^n = \infty
+\end{align*}
+In jedem Schritt wird die Länge um den Faktor $\frac{4}{3}$ verglängert. Somit divergiert die Länge gegen Unendlich. 
+Die Fläche unter der Kurve lässt sich folgendermassen berechnen
+\begin{align*}
+	A_0 = 0 , \quad A_1 = \left( \frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = a^2 \frac{\sqrt{3}}{36}\\
+	A_2 = A_1 + 4\left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 \\ 
+	A_3 = A_1 + A_2 + 4^2 \left( \frac{a}{3^2}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4} = A_1 + \frac{4}{9} A_1 + \left( \frac{4}{9}\right)^2 A_1	 
+\end{align*}
+Wir sehen, dass mit jedem Schritt die neu dazugekommene Fläche um $\frac{4}{9}$ kleiner ist.
+Daraus resultiert eine konvergierende Geometrische Rheie.
+\begin{align*}
+	A_n = A_1 \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n =  a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n \\
+	\lim_{n\to\infty} a^2 \frac{\sqrt{3}}{36} \sum_{i = 0}^{n-1} \left( \frac{4}{9}\right)^n = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2
+\end{align*}
+Wie wir sehen ist die Kochkurve ein Konstrukt mit endlicher Fläche, aber unendlichem Umfang.
+Zu guter letzt bestimmen wir die Dimension der Kurve. 
+Es gibt viele verschidene Arten die Dimension zu definieren. Diese können dann auch unterschiedliche Resultate liefern.
+Vor allem im Zusammenhang mit Fraktalen findet man in der Literatur viele verschiedene Arten.
+In diesem Beispiel werden wir die Ähnlichkeits-Dimension.
+\begin{align*}
+	D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)}
+\end{align*}
+Mit ihr kann man einfach die Dimension selbstähnlicher Mengen bestimmen.
+Als Beispiel nehmen wir ein gleichseitiges Dreieck. Dieses besteht aus $N = 4$ Kopien mit halber ($\epsilon = 1/2$) Kantenlänge.
+Somit hat das Dreieck die Dimension $D = 2$.
+Die Koch Kurve besteht aus $N = 4$ Kopien mit Kantenlänge $\epsilon = 1/3$.
+\begin{align*}
+	D = - \frac{log(N)}{log(\epsilon)} = - \frac{log(4)}{log(1/3)} \approx 1.2619
+\end{align*}
+Wie wir nun sehen besitzt die Kochkurve alle oben beschriebenen Eigenschaften von Fraktalen. 
+Dies muss jedoch nicht bei allen Fraktalen der Fall. Sonst wäre die Frage nach einer 'richtigen' Definition einfach zu beantworten.
 
-- 
cgit v1.2.1

