From dfb9b5075e428e41f02cdf2d758a02899eea7e1e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 4 Jun 2021 18:55:37 +0200
Subject: New Chapter IFS

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 buch/papers/ifs/teil2.tex | 128 +++++++++++++++++++++++++++++++++++-----------
 1 file changed, 98 insertions(+), 30 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index bfd1684..a3d5ee1 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -3,38 +3,106 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 2 
+\section{Fraktale mit IFS 
 \label{ifs:section:teil2}}
 \rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
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-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
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-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
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-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann.
+Zur veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
+\begin{figure}
+	\label{ifs:sierpinski10}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski}
+	\caption{Sierpinski-Dreieck}
+\end{figure}
+Wenn man das Dreieck genau anschaut, erkennt man schnell, dass es aus drei kleineren Kopien seiner selbst besteht.
+Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt.
+Diese Eigenschaft wollen wir uns zunutze machen.
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{ifs:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
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-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
 
+Wir definieren das Dreieck mit kantenlänge 1 als Menge $X$.
+Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen, welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet
+\begin{align*}
+	f_1(x,y)
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{2} & 0 \\
+		0 & \frac{1}{2} \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	,\quad
+	f_2(x,y)
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{2} & 0 \\
+		0 & \frac{1}{2} \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{2} \\
+		0
+	\end{pmatrix}
+	, \quad
+	f_3(x,y)
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{2} & 0 \\
+		0 & \frac{1}{2} \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{4} \\
+		\frac{1}{2}
+	\end{pmatrix}\\
+\end{align*}
+$f_1$ bildet das Dreieck auf das Teilstück unten links ab, $f_2$ auf das Teilstück unten rechts und $f_3$ auf das obere Teilstück.
+Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wieder ein Sierpinski-Dreieck.
+\begin{align*}
+	X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X)
+\end{align*}
+Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergeiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
+\begin{figure}
+	\label{ifs:sierpconst}
+	\centering
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:sierpconsta}
+		\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski1}}
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:sierpconstb}
+		\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski2}} 
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:sierpconstc}
+		\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski3}}
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:sierpconstd}
+		\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski6}}
+	\caption{Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks mit einem Schwarzen Quadrat als Start\\
+		(a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 3. Iteration (d) 5. Iteration}
+\end{figure}
+Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird.
+Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Iterationen gegen null.
+
+\subsection{Iterierte Funktionensysteme
+\label{ifs:subsection:bonorum}}
+In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntniss, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck genereieren können, verallgemeinern.
+TODO TEXT
 
+$S_1_...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
+\begin{align}
+	|S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y|
+\end{align}
+für jedes i mit einem $c_i < 1$. Dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$ für die gilt
+\begin{equation}
+	F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F)
+\end{equation}
+TODO Text
-- 
cgit v1.2.1


From 74bbee4492a76486091554e24625767440018056 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 6 Jun 2021 14:03:33 +0200
Subject: typos

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 buch/papers/ifs/teil2.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index a3d5ee1..a728340 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \label{ifs:section:teil2}}
 \rhead{Teil 2}
 Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann.
-Zur veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
+Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
 \begin{figure}
 	\label{ifs:sierpinski10}
 	\centering
@@ -19,7 +19,7 @@ Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt.
 Diese Eigenschaft wollen wir uns zunutze machen.
 
 
-Wir definieren das Dreieck mit kantenlänge 1 als Menge $X$.
+Wir definieren das Dreieck mit Kantenlänge 1 als Menge $X$.
 Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen, welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet
 \begin{align*}
 	f_1(x,y)
@@ -70,7 +70,7 @@ Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wie
 \begin{align*}
 	X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X)
 \end{align*}
-Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergeiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
+Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
 \begin{figure}
 	\label{ifs:sierpconst}
 	\centering
@@ -94,10 +94,10 @@ Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Itera
 
 \subsection{Iterierte Funktionensysteme
 \label{ifs:subsection:bonorum}}
-In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntniss, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck genereieren können, verallgemeinern.
+In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
 TODO TEXT
 
-$S_1_...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
+$S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
 \begin{align}
 	|S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y|
 \end{align}
-- 
cgit v1.2.1


From 021d83730d896b7cef1050fbdd4c4c766992a9b0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 6 Jun 2021 17:36:05 +0200
Subject: ifs work

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 26 +++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 25 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index a728340..8a7f76f 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -105,4 +105,28 @@ für jedes i mit einem $c_i < 1$. Dann existiert eine eindeutige kompakte Menge
 \begin{equation}
 	F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F)
 \end{equation}
-TODO Text
+Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen ohne die leere Menge.
+\begin{equation}
+	S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E)
+\end{equation}
+Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, und für jedes $i$ $S_i(E) \subset E$, gilt
+\begin{equation}
+	F = \bigcap\limits_{k = 1}^{\infty} S^k(E).
+\end{equation}
+In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert.
+Dies für jede Startmenge, solange diese ihre Transformierten wieder beinhaltet.
+Auf den Beweis wird verzichtet.
+\subsection{Beispiel: Barnsley-Farn}
+\begin{figure}
+	\label{ifs:farn}
+	\centering
+	\makebox[\textwidth][c]{
+		\includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}}
+	\caption{Barnsley-Farn}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+	\label{ifs:farncolor}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor}
+	\caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn}
+\end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From f0006b3ae7eb70a1fc33b26f482308a43445969e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Mon, 7 Jun 2021 17:26:10 +0200
Subject: Farn und Compression

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 61 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index 8a7f76f..5e36f97 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -117,6 +117,67 @@ In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausge
 Dies für jede Startmenge, solange diese ihre Transformierten wieder beinhaltet.
 Auf den Beweis wird verzichtet.
 \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn}
+Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein weiteres Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann.
+Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben.
+\begin{align*}
+	{S_1(x,y)}
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		0 & 0 \\
+		0 & 0.16 \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix}, \quad
+	{S_2(x,y)}
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		0.85 & 0.04 \\
+		-0.04 & 0.85 \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		0 \\
+		1.6
+	\end{pmatrix}\\
+	{S_3(x,y)}
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		0.2 & -0.26 \\
+		0.23 & 0.22 \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		0 \\
+		1.6
+	\end{pmatrix}, \quad
+	{S_4(x,y)}
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		-0.15 & 0.28 \\
+		0.26 & 0.24 \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		0 \\
+		0.44
+	\end{pmatrix}\\
+\end{align*}
+In der Abbildung \ref{ifs:farncolor} sehen wir die vier Transformationen farblich dargestellt.
+$S_1$
 \begin{figure}
 	\label{ifs:farn}
 	\centering
-- 
cgit v1.2.1


From 6b86c10028987f4e08ca3e25ac13291f256375fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Tue, 8 Jun 2021 14:53:07 +0200
Subject: Barnsley Farn & Kompression bsp

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 19 ++++++++++++++++++-
 1 file changed, 18 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index 5e36f97..d25004f 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -177,7 +177,24 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross
 	\end{pmatrix}\\
 \end{align*}
 In der Abbildung \ref{ifs:farncolor} sehen wir die vier Transformationen farblich dargestellt.
-$S_1$
+
+$S_1$ erstellt den Stiel des Farnblattes (rot).
+Die Transformation bildet das Gesamte Blatt auf die Y-Achse ab.
+$S_2$ (grün) erstellt den Hauptteil des Farnes. 
+Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels aus $S_1$.
+$S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab.
+$S_4$ Spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.  
+
+Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen.
+Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden.
+Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist diese Methode ziemlich rechenintensiv.
+Eine Alternative ist das Chaos-Game. 
+Bei dieser Methode werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt.
+Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein.
+Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet.
+Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaos-Game gewichtet.
+Die Gewichtung erfolgt über den Anteil der Gesamtmasse.
+Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. 
 \begin{figure}
 	\label{ifs:farn}
 	\centering
-- 
cgit v1.2.1


From 99d2ddf90c75e83fc8ee82f5d0145a17db9a6338 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 13 Jun 2021 15:59:24 +0200
Subject: minor changes, refernezen

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 20 ++++++++++----------
 1 file changed, 10 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index d25004f..143317a 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -9,10 +9,10 @@
 Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann.
 Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
 \begin{figure}
-	\label{ifs:sierpinski10}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski}
 	\caption{Sierpinski-Dreieck}
+	\label{ifs:sierpinski10}
 \end{figure}
 Wenn man das Dreieck genau anschaut, erkennt man schnell, dass es aus drei kleineren Kopien seiner selbst besteht.
 Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt.
@@ -71,8 +71,7 @@ Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wie
 	X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X)
 \end{align*}
 Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
-\begin{figure}
-	\label{ifs:sierpconst}
+\begin{figure}	
 	\centering
 	\subfigure[]{
 		\label{ifs:sierpconsta}
@@ -88,6 +87,7 @@ Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktion
 		\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski6}}
 	\caption{Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks mit einem Schwarzen Quadrat als Start\\
 		(a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 3. Iteration (d) 5. Iteration}
+	\label{ifs:sierpconst}
 \end{figure}
 Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird.
 Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Iterationen gegen null.
@@ -95,7 +95,7 @@ Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Itera
 \subsection{Iterierte Funktionensysteme
 \label{ifs:subsection:bonorum}}
 In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
-TODO TEXT
+
 
 $S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
 \begin{align}
@@ -185,26 +185,26 @@ Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels
 $S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab.
 $S_4$ Spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.  
 
-Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen.
+Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn \cite{ifs:barnsleyfern} noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen.
 Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden.
 Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist diese Methode ziemlich rechenintensiv.
-Eine Alternative ist das Chaos-Game. 
+Eine Alternative ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. 
 Bei dieser Methode werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt.
 Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein.
 Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet.
-Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaos-Game gewichtet.
+Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet.
 Die Gewichtung erfolgt über den Anteil der Gesamtmasse.
 Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. 
-\begin{figure}
-	\label{ifs:farn}
+\begin{figure}	
 	\centering
 	\makebox[\textwidth][c]{
 		\includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}}
 	\caption{Barnsley-Farn}
+	\label{ifs:farn}
 \end{figure}
 \begin{figure}
-	\label{ifs:farncolor}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor}
 	\caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn}
+	\label{ifs:farncolor}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1

