From dfb9b5075e428e41f02cdf2d758a02899eea7e1e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 4 Jun 2021 18:55:37 +0200
Subject: New Chapter IFS

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 128 +++++++++++++++++++++++++++++++++++-----------
 1 file changed, 98 insertions(+), 30 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index bfd1684..a3d5ee1 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -3,38 +3,106 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 2 
+\section{Fraktale mit IFS 
 \label{ifs:section:teil2}}
 \rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann.
+Zur veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
+\begin{figure}
+	\label{ifs:sierpinski10}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski}
+	\caption{Sierpinski-Dreieck}
+\end{figure}
+Wenn man das Dreieck genau anschaut, erkennt man schnell, dass es aus drei kleineren Kopien seiner selbst besteht.
+Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt.
+Diese Eigenschaft wollen wir uns zunutze machen.
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{ifs:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
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-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
 
+Wir definieren das Dreieck mit kantenlänge 1 als Menge $X$.
+Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen, welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet
+\begin{align*}
+	f_1(x,y)
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{2} & 0 \\
+		0 & \frac{1}{2} \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	,\quad
+	f_2(x,y)
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{2} & 0 \\
+		0 & \frac{1}{2} \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{2} \\
+		0
+	\end{pmatrix}
+	, \quad
+	f_3(x,y)
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{2} & 0 \\
+		0 & \frac{1}{2} \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{4} \\
+		\frac{1}{2}
+	\end{pmatrix}\\
+\end{align*}
+$f_1$ bildet das Dreieck auf das Teilstück unten links ab, $f_2$ auf das Teilstück unten rechts und $f_3$ auf das obere Teilstück.
+Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wieder ein Sierpinski-Dreieck.
+\begin{align*}
+	X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X)
+\end{align*}
+Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergeiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
+\begin{figure}
+	\label{ifs:sierpconst}
+	\centering
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:sierpconsta}
+		\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski1}}
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:sierpconstb}
+		\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski2}} 
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:sierpconstc}
+		\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski3}}
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:sierpconstd}
+		\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski6}}
+	\caption{Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks mit einem Schwarzen Quadrat als Start\\
+		(a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 3. Iteration (d) 5. Iteration}
+\end{figure}
+Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird.
+Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Iterationen gegen null.
+
+\subsection{Iterierte Funktionensysteme
+\label{ifs:subsection:bonorum}}
+In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntniss, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck genereieren können, verallgemeinern.
+TODO TEXT
 
+$S_1_...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
+\begin{align}
+	|S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y|
+\end{align}
+für jedes i mit einem $c_i < 1$. Dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$ für die gilt
+\begin{equation}
+	F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F)
+\end{equation}
+TODO Text
-- 
cgit v1.2.1


From 74bbee4492a76486091554e24625767440018056 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 6 Jun 2021 14:03:33 +0200
Subject: typos

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index a3d5ee1..a728340 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \label{ifs:section:teil2}}
 \rhead{Teil 2}
 Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann.
-Zur veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
+Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
 \begin{figure}
 	\label{ifs:sierpinski10}
 	\centering
@@ -19,7 +19,7 @@ Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt.
 Diese Eigenschaft wollen wir uns zunutze machen.
 
 
-Wir definieren das Dreieck mit kantenlänge 1 als Menge $X$.
+Wir definieren das Dreieck mit Kantenlänge 1 als Menge $X$.
 Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen, welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet
 \begin{align*}
 	f_1(x,y)
@@ -70,7 +70,7 @@ Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wie
 \begin{align*}
 	X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X)
 \end{align*}
-Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergeiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
+Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
 \begin{figure}
 	\label{ifs:sierpconst}
 	\centering
@@ -94,10 +94,10 @@ Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Itera
 
 \subsection{Iterierte Funktionensysteme
 \label{ifs:subsection:bonorum}}
-In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntniss, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck genereieren können, verallgemeinern.
+In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
 TODO TEXT
 
-$S_1_...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
+$S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
 \begin{align}
 	|S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y|
 \end{align}
-- 
cgit v1.2.1


From 021d83730d896b7cef1050fbdd4c4c766992a9b0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 6 Jun 2021 17:36:05 +0200
Subject: ifs work

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 26 +++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 25 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index a728340..8a7f76f 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -105,4 +105,28 @@ für jedes i mit einem $c_i < 1$. Dann existiert eine eindeutige kompakte Menge
 \begin{equation}
 	F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F)
 \end{equation}
-TODO Text
+Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen ohne die leere Menge.
+\begin{equation}
+	S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E)
+\end{equation}
+Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, und für jedes $i$ $S_i(E) \subset E$, gilt
+\begin{equation}
+	F = \bigcap\limits_{k = 1}^{\infty} S^k(E).
+\end{equation}
+In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert.
+Dies für jede Startmenge, solange diese ihre Transformierten wieder beinhaltet.
+Auf den Beweis wird verzichtet.
+\subsection{Beispiel: Barnsley-Farn}
+\begin{figure}
+	\label{ifs:farn}
+	\centering
+	\makebox[\textwidth][c]{
+		\includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}}
+	\caption{Barnsley-Farn}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+	\label{ifs:farncolor}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor}
+	\caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn}
+\end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From f0006b3ae7eb70a1fc33b26f482308a43445969e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Mon, 7 Jun 2021 17:26:10 +0200
Subject: Farn und Compression

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 61 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index 8a7f76f..5e36f97 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -117,6 +117,67 @@ In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausge
 Dies für jede Startmenge, solange diese ihre Transformierten wieder beinhaltet.
 Auf den Beweis wird verzichtet.
 \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn}
+Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein weiteres Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann.
+Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben.
+\begin{align*}
+	{S_1(x,y)}
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		0 & 0 \\
+		0 & 0.16 \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix}, \quad
+	{S_2(x,y)}
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		0.85 & 0.04 \\
+		-0.04 & 0.85 \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		0 \\
+		1.6
+	\end{pmatrix}\\
+	{S_3(x,y)}
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		0.2 & -0.26 \\
+		0.23 & 0.22 \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		0 \\
+		1.6
+	\end{pmatrix}, \quad
+	{S_4(x,y)}
+	= 
+	\begin{pmatrix}
+		-0.15 & 0.28 \\
+		0.26 & 0.24 \\
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x\\
+		y\\
+	\end{pmatrix} 
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		0 \\
+		0.44
+	\end{pmatrix}\\
+\end{align*}
+In der Abbildung \ref{ifs:farncolor} sehen wir die vier Transformationen farblich dargestellt.
+$S_1$
 \begin{figure}
 	\label{ifs:farn}
 	\centering
-- 
cgit v1.2.1


From 6b86c10028987f4e08ca3e25ac13291f256375fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Tue, 8 Jun 2021 14:53:07 +0200
Subject: Barnsley Farn & Kompression bsp

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 19 ++++++++++++++++++-
 1 file changed, 18 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index 5e36f97..d25004f 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -177,7 +177,24 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross
 	\end{pmatrix}\\
 \end{align*}
 In der Abbildung \ref{ifs:farncolor} sehen wir die vier Transformationen farblich dargestellt.
-$S_1$
+
+$S_1$ erstellt den Stiel des Farnblattes (rot).
+Die Transformation bildet das Gesamte Blatt auf die Y-Achse ab.
+$S_2$ (grün) erstellt den Hauptteil des Farnes. 
+Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels aus $S_1$.
+$S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab.
+$S_4$ Spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.  
+
+Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen.
+Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden.
+Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist diese Methode ziemlich rechenintensiv.
+Eine Alternative ist das Chaos-Game. 
+Bei dieser Methode werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt.
+Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein.
+Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet.
+Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaos-Game gewichtet.
+Die Gewichtung erfolgt über den Anteil der Gesamtmasse.
+Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. 
 \begin{figure}
 	\label{ifs:farn}
 	\centering
-- 
cgit v1.2.1


From 99d2ddf90c75e83fc8ee82f5d0145a17db9a6338 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 13 Jun 2021 15:59:24 +0200
Subject: minor changes, refernezen

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 20 ++++++++++----------
 1 file changed, 10 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index d25004f..143317a 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -9,10 +9,10 @@
 Wollen wir nun eine bestimmte Art anschauen, wie man Fraktale machen kann.
 Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
 \begin{figure}
-	\label{ifs:sierpinski10}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski}
 	\caption{Sierpinski-Dreieck}
+	\label{ifs:sierpinski10}
 \end{figure}
 Wenn man das Dreieck genau anschaut, erkennt man schnell, dass es aus drei kleineren Kopien seiner selbst besteht.
 Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt.
@@ -71,8 +71,7 @@ Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wie
 	X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X)
 \end{align*}
 Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
-\begin{figure}
-	\label{ifs:sierpconst}
+\begin{figure}	
 	\centering
 	\subfigure[]{
 		\label{ifs:sierpconsta}
@@ -88,6 +87,7 @@ Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktion
 		\includegraphics[width=0.25\textwidth]{papers/ifs/images/sierpinski6}}
 	\caption{Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks mit einem Schwarzen Quadrat als Start\\
 		(a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 3. Iteration (d) 5. Iteration}
+	\label{ifs:sierpconst}
 \end{figure}
 Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird.
 Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Iterationen gegen null.
@@ -95,7 +95,7 @@ Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Itera
 \subsection{Iterierte Funktionensysteme
 \label{ifs:subsection:bonorum}}
 In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
-TODO TEXT
+
 
 $S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
 \begin{align}
@@ -185,26 +185,26 @@ Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels
 $S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab.
 $S_4$ Spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.  
 
-Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen.
+Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn \cite{ifs:barnsleyfern} noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen.
 Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden.
 Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist diese Methode ziemlich rechenintensiv.
-Eine Alternative ist das Chaos-Game. 
+Eine Alternative ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. 
 Bei dieser Methode werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt.
 Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein.
 Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet.
-Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaos-Game gewichtet.
+Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet.
 Die Gewichtung erfolgt über den Anteil der Gesamtmasse.
 Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. 
-\begin{figure}
-	\label{ifs:farn}
+\begin{figure}	
 	\centering
 	\makebox[\textwidth][c]{
 		\includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farn}}
 	\caption{Barnsley-Farn}
+	\label{ifs:farn}
 \end{figure}
 \begin{figure}
-	\label{ifs:farncolor}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor}
 	\caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn}
+	\label{ifs:farncolor}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 81d11a125976ab6c877b934cdeb79806a1105bca Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 18 Jun 2021 10:47:53 +0200
Subject: reworks

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 34 ++++++++++++++++++++++------------
 1 file changed, 22 insertions(+), 12 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index 143317a..5de3d4b 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -14,13 +14,13 @@ Zur Veranschaulichung dieser Methode nehmen wir das Sierpinski Dreieck.
 	\caption{Sierpinski-Dreieck}
 	\label{ifs:sierpinski10}
 \end{figure}
-Wenn man das Dreieck genau anschaut, erkennt man schnell, dass es aus drei kleineren Kopien seiner selbst besteht.
-Es ist also ein Selbstähnliches Konstrukt.
+Es besteht aus drei kleineren Kopien von sich selbst.
+Es ist also ein Selbstähnliches Gebilde.
 Diese Eigenschaft wollen wir uns zunutze machen.
 
 
 Wir definieren das Dreieck mit Kantenlänge 1 als Menge $X$.
-Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen, welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet
+Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen
 \begin{align*}
 	f_1(x,y)
 	= 
@@ -63,13 +63,15 @@ Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen, welche die gesamte Menge auf eine ihrer
 	\begin{pmatrix}
 		\frac{1}{4} \\
 		\frac{1}{2}
-	\end{pmatrix}\\
+	\end{pmatrix},
 \end{align*}
+welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet
 $f_1$ bildet das Dreieck auf das Teilstück unten links ab, $f_2$ auf das Teilstück unten rechts und $f_3$ auf das obere Teilstück.
-Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an, entsteht also wieder ein Sierpinski-Dreieck.
+Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an
 \begin{align*}
-	X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X)
+	X = \bigcup\limits_{i = 1}^{3} f_i(X),
 \end{align*}
+entsteht also wieder ein Sierpinski-Dreieck.
 Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktionen auf eine beliebige Startmenge anwenden, konvergiert die Menge gegen das Sierpinski-Dreieck.
 \begin{figure}	
 	\centering
@@ -90,11 +92,11 @@ Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen, und sagen: Wenn wir die Funktion
 	\label{ifs:sierpconst}
 \end{figure}
 Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jeder Iteration dem Sierpinski-Dreieck ähnlicher wird.
-Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert bei unendlich Iterationen gegen null.
+Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null.
 
 \subsection{Iterierte Funktionensysteme
 \label{ifs:subsection:bonorum}}
-In diesem Unterkapitel wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
+In diesem Abschnitt wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
 
 
 $S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
@@ -114,10 +116,11 @@ Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) =
 	F = \bigcap\limits_{k = 1}^{\infty} S^k(E).
 \end{equation}
 In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert.
+Diese Menge ist auch als Attraktor des IFS bekannt.
 Dies für jede Startmenge, solange diese ihre Transformierten wieder beinhaltet.
 Auf den Beweis wird verzichtet.
 \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn}
-Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein weiteres Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann.
+Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann.
 Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben.
 \begin{align*}
 	{S_1(x,y)}
@@ -183,9 +186,9 @@ Die Transformation bildet das Gesamte Blatt auf die Y-Achse ab.
 $S_2$ (grün) erstellt den Hauptteil des Farnes. 
 Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels aus $S_1$.
 $S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab.
-$S_4$ Spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.  
-
-Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn \cite{ifs:barnsleyfern} noch eine weitere Methode ein, um IFS auszuführen.
+$S_4$ spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.  
+\subsection{Chaosspiel}
+Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn \cite{ifs:barnsleyfern} noch eine weitere Methode ein, um ein IFS zu zeichnen.
 Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden.
 Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist diese Methode ziemlich rechenintensiv.
 Eine Alternative ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. 
@@ -208,3 +211,10 @@ Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$
 	\caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn}
 	\label{ifs:farncolor}
 \end{figure}
+\begin{figure}	
+	\centering
+	\makebox[\textwidth][c]{
+		\includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farnnotweight}}
+	\caption{Chaosspiel ohne Gewichtung}
+	\label{ifs:farnNoWeight}
+\end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 180789bb3f452a49dca3f3769630e0899357208e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sat, 19 Jun 2021 18:17:20 +0200
Subject: imporvements

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 77 ++++++++++++++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 50 insertions(+), 27 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

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index 5de3d4b..be3d354 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -65,7 +65,7 @@ Ausserdem bestimmen wir drei Funktionen
 		\frac{1}{2}
 	\end{pmatrix},
 \end{align*}
-welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet
+welche die gesamte Menge auf eine ihrer kleineren Kopien abbildet.
 $f_1$ bildet das Dreieck auf das Teilstück unten links ab, $f_2$ auf das Teilstück unten rechts und $f_3$ auf das obere Teilstück.
 Wendet man alle drei Funktionen auf das Sierpinski-Dreieck an
 \begin{align*}
@@ -99,31 +99,36 @@ Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null.
 In diesem Abschnitt wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
 
 
-$S_1,...,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
+$S_1,\dots,S_n$ sind Kontraktionen auf die Menge $D \subset \mathbb{R}^n$. Es gilt
 \begin{align}
 	|S_i(x) - S_i(y)| \leq c_i|x - y|
 \end{align}
-für jedes i mit einem $c_i < 1$. Dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$ für die gilt
+für jedes i mit einem $c_i < 1$.
+Der Banachsche Fixpunktsatz besagt, dass für solche Kontraktionen ein Eindeutiges $A$ existiert, für das $S(A) = A$ gilt.
+Den Beweis kann man in \cite{ifs:Rousseau2012} nachlesen.
+Hat man nicht nur eine sondern mehrere Kontraktionen, dann existiert eine eindeutige kompakte Menge $F$ für die gilt
 \begin{equation}
-	F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F)
+	F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F).
 \end{equation}
-Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen ohne die leere Menge.
+Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen $E$ ohne die leere Menge.
 \begin{equation}
 	S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E)
 \end{equation}
 Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, und für jedes $i$ $S_i(E) \subset E$, gilt
 \begin{equation}
 	F = \bigcap\limits_{k = 1}^{\infty} S^k(E).
+	\label{ifs:ifsForm}
 \end{equation}
 In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert.
 Diese Menge ist auch als Attraktor des IFS bekannt.
-Dies für jede Startmenge, solange diese ihre Transformierten wieder beinhaltet.
-Auf den Beweis wird verzichtet.
+Der Beweis für die Existenz eines eindeutigen Attraktors ist in \cite{ifs:fractal-geometry} beschrieben. 
+Aus diesem Beweis folgt, dass die Startmenge $E$, anders als in \ref{ifs:ifsForm} beschrieben ist, beliebig sein kann, 
 \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn}
 Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann.
 Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben.
-\begin{align*}
-	{S_1(x,y)}
+Die vier affinen Transformationen
+\begin{align}
+	& {S_1(x,y)}
 	= 
 	\begin{pmatrix}
 		0 & 0 \\
@@ -132,9 +137,9 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross
 	\begin{pmatrix}
 		x\\
 		y\\
-	\end{pmatrix}, \quad
+	\end{pmatrix}, \quad &
 	{S_2(x,y)}
-	= 
+	&= 
 	\begin{pmatrix}
 		0.85 & 0.04 \\
 		-0.04 & 0.85 \\
@@ -148,7 +153,7 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross
 		0 \\
 		1.6
 	\end{pmatrix}\\
-	{S_3(x,y)}
+	& {S_3(x,y)}
 	= 
 	\begin{pmatrix}
 		0.2 & -0.26 \\
@@ -162,9 +167,9 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross
 	\begin{pmatrix}
 		0 \\
 		1.6
-	\end{pmatrix}, \quad
+	\end{pmatrix}, \quad &
 	{S_4(x,y)}
-	= 
+	&= 
 	\begin{pmatrix}
 		-0.15 & 0.28 \\
 		0.26 & 0.24 \\
@@ -178,26 +183,44 @@ Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine gross
 		0 \\
 		0.44
 	\end{pmatrix}\\
-\end{align*}
-In der Abbildung \ref{ifs:farncolor} sehen wir die vier Transformationen farblich dargestellt.
-
+	\label{ifs:farnFormel}
+\end{align}
+, welche für die konstruktion des Farns benötigt werden sind in der Abbildung \ref{ifs:farncolor} farblich dargestellt.
+Das gesamte Farnblatt ist in der schwarzen Box.
+Auf diese werden die Transformationen angewendet
 $S_1$ erstellt den Stiel des Farnblattes (rot).
 Die Transformation bildet das Gesamte Blatt auf die Y-Achse ab.
 $S_2$ (grün) erstellt den Hauptteil des Farnes. 
 Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels aus $S_1$.
 $S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab.
 $S_4$ spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.  
-\subsection{Chaosspiel}
-Wir führen im Zusammenhang mit dem Barnsley-Farn \cite{ifs:barnsleyfern} noch eine weitere Methode ein, um ein IFS zu zeichnen.
+\subsection{Erzeugung eines Bildes mit einem IFS}
+Es gibt zwei verschiedene Methoden um ein Bild mit einem IFS zu erzeugen.
+Die erste Methode ist wahrscheinlich die intuitivste. 
+Wir beginnen mit einm Startbild, zum Beispiel ein Schwarzes Quadrat, und bilden dieses mit den affinen Transformationen des IFS ab.
+Das neue Bild, dass entsteht, ist die nächste Iterierte.
+Dieses wird wieder mit den Transformationen abgebildet.
+Wir wiederholen den letzten schritt, bis wir zufrieden mit der neusten Iterierten sind.
+Diesen Vorgang haben wir beim Sierpinski-Dreieck in Abbildung \ref{ifs:sierpconst} gebraucht.
+
+
+Die zweite Methode ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. 
 Bis jetzt wurde immer davon gesprochen, die Transformationen auf die gesamte Menge anzuwenden.
-Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist diese Methode ziemlich rechenintensiv.
-Eine Alternative ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. 
-Bei dieser Methode werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt.
+Bei komplizierteren IFS welche viele Iterationen brauchen, bis man den Attraktor erkennen kann, ist die erste Methode ziemlich rechenintensiv.
+Beim Chaosspiel werden die Transformationen nicht auf die Menge angewendet, sondern nur auf einen einzelnen Punkt.
 Der Startpunkt kann dabei ein beliebiger Punkt in $E$ sein.
 Es wird bei jedem Iterationsschritt nur eine Transformation, welche zufällig gewählt wurde, angewendet.
-Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, dass nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet.
-Die Gewichtung erfolgt über den Anteil der Gesamtmasse.
-Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt. 
+Da, wie wir beim Barnsley-Farn gut sehen, nicht jede Transformation gleich viel des Bildes ausmacht, werden diese beim Chaosspiel gewichtet.
+Je mehr eine Transformation kontrahiert, desto weniger Punkte braucht es um die resultierende Teilabbildung darzustellen.
+Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$ in $7\%$ der Iterationen ausgeführt.
+Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, $S_1$, einiges weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, $S_2$.
+
+In Abbildung \ref{ifs:farnNoWeight} wurden die vier gleich stark gewichtet.
+Man sieht, dass trotzt gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}, der Farn kaum nicht so gut abgebildet ist.
+
+
+
+
 \begin{figure}	
 	\centering
 	\makebox[\textwidth][c]{
@@ -207,8 +230,8 @@ Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$
 \end{figure}
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor}
-	\caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn}
+	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/farncolor2}
+	\caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn in unterschiedlichen Farben}
 	\label{ifs:farncolor}
 \end{figure}
 \begin{figure}	
-- 
cgit v1.2.1


From 8cb994306345986d642fd46759c92e7adee4e4ef Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 20 Jun 2021 22:09:47 +0200
Subject: Changes

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 36 +++++++++++++++++++++++++-----------
 1 file changed, 25 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index be3d354..0c957d6 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -95,7 +95,7 @@ Im Beispiel der Abbildung \ref{ifs:sierpconst} sehen wir, wie das Bild nach jede
 Der Abstand zum Original wird immer kleiner, und konvergiert gegen null.
 
 \subsection{Iterierte Funktionensysteme
-\label{ifs:subsection:bonorum}}
+\label{ifs:subsection:IteratedFunktionensysteme}}
 In diesem Abschnitt wollen wir die Erkenntnis, wie wir aus einer beliebigen Menge ein Sierpinski-Dreieck generieren können, verallgemeinern.
 
 
@@ -110,9 +110,10 @@ Hat man nicht nur eine sondern mehrere Kontraktionen, dann existiert eine eindeu
 \begin{equation}
 	F = \bigcup\limits_{i = 1}^{m} S_i(F).
 \end{equation}
-Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen $E$ ohne die leere Menge.
+Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen $E$ ohne die leere Menge
 \begin{equation}
-	S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E)
+	S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E).
+	\label{ifs:transformation}
 \end{equation}
 Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, und für jedes $i$ $S_i(E) \subset E$, gilt
 \begin{equation}
@@ -122,7 +123,8 @@ Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) =
 In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert.
 Diese Menge ist auch als Attraktor des IFS bekannt.
 Der Beweis für die Existenz eines eindeutigen Attraktors ist in \cite{ifs:fractal-geometry} beschrieben. 
-Aus diesem Beweis folgt, dass die Startmenge $E$, anders als in \ref{ifs:ifsForm} beschrieben ist, beliebig sein kann, 
+Aus diesem Beweis folgt, dass die Startmenge $E$, anders als in \ref{ifs:ifsForm} beschrieben ist, beliebig sein kann.
+
 \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn}
 Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann.
 Wie man schnell erkennen kann, besteht der Farn aus Blättern, welche eine grosse Ähnlichkeit zum ganzen Farn haben.
@@ -194,14 +196,17 @@ $S_2$ (grün) erstellt den Hauptteil des Farnes.
 Sie verkleinert und dreht das gesamte Bild und stellt es auf das Ende des Stiels aus $S_1$.
 $S_3$ bildet das gesamte Blatt auf das blaue Teilblatt unten Links ab.
 $S_4$ spiegelt das Blatt und bildet es auf das magentafarbene Teilblatt ab.  
-\subsection{Erzeugung eines Bildes mit einem IFS}
-Es gibt zwei verschiedene Methoden um ein Bild mit einem IFS zu erzeugen.
+\subsection{Erzeugung eines Bildes zu einem IFS}
+Es gibt zwei verschiedene Methoden um das Bild zu einem IFS zu erzeugen.
 Die erste Methode ist wahrscheinlich die intuitivste. 
 Wir beginnen mit einm Startbild, zum Beispiel ein Schwarzes Quadrat, und bilden dieses mit den affinen Transformationen des IFS ab.
 Das neue Bild, dass entsteht, ist die nächste Iterierte.
 Dieses wird wieder mit den Transformationen abgebildet.
 Wir wiederholen den letzten schritt, bis wir zufrieden mit der neusten Iterierten sind.
+
 Diesen Vorgang haben wir beim Sierpinski-Dreieck in Abbildung \ref{ifs:sierpconst} gebraucht.
+In Abbildung \ref{ifs:sierpinski10} ist die zehnte Iterierte zu sehen.
+Weitere Iterationen hätten in dieser Darstellungsgrösse kaum mehr einen Unterschied gemacht.
 
 
 Die zweite Methode ist das Chaosspiel \cite{ifs:chaos}. 
@@ -216,8 +221,12 @@ Im Fall des Barnsley-Fern wird $S_1$ in $1\%$, $S_2$ in $85\%$ und $S_3 \& S_4$
 Wir sehen auch in Abbildung \ref{ifs:farncolor} gut, dass der rote Stiel, $S_1$, einiges weniger Punkte braucht als der grüne Hauptteil des Blattes, $S_2$.
 
 In Abbildung \ref{ifs:farnNoWeight} wurden die vier gleich stark gewichtet.
-Man sieht, dass trotzt gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}, der Farn kaum nicht so gut abgebildet ist.
+Man sieht, dass trotzt gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}, der Farn nicht so gut abgebildet wird.
 
+Am besten sieht man den Effekt einer schlechten Gewichtung in Abbildung \ref{ifs:farnrightWeight}.
+Hier wurde $S_4$, welches für das rechte untere Teilblatt zuständig ist, mit nur $1\%$ statt $7\%$ gewichtet.
+Man sieht, wie sich der Mangel an Punkten auf die anderen Abbildungen das Farnblattes auswirkt.
+In jeder Kopie des ganzen Farns fehlen die Punkte für dieses rechte untere Teilblatt.
 
 
 
@@ -234,10 +243,15 @@ Man sieht, dass trotzt gleich vieler Iterationen wie in Abbildung \ref{ifs:farn}
 	\caption{Vier Transformationen des Barnsley-Farn in unterschiedlichen Farben}
 	\label{ifs:farncolor}
 \end{figure}
+
 \begin{figure}	
 	\centering
-	\makebox[\textwidth][c]{
-		\includegraphics[width=1.4\textwidth]{papers/ifs/images/farnnotweight}}
-	\caption{Chaosspiel ohne Gewichtung}
-	\label{ifs:farnNoWeight}
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:farnNoWeight}
+		\includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnnotweight}}
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:farnrightWeight}
+		\includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/ifs/images/farnrightwight}}
+	\caption{(a) Chaosspiel ohne Gewichtung (b) $S_4$ zu wenig gewichtet}
+	\label{ifs:farnweight}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From cceb539b3b83de6cf4296e6062c8d2f6e31aec72 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Tue, 22 Jun 2021 17:28:15 +0200
Subject: minor changes

---
 buch/papers/ifs/teil2.tex | 5 ++---
 1 file changed, 2 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil2.tex b/buch/papers/ifs/teil2.tex
index 0c957d6..fd10634 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil2.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil2.tex
@@ -115,15 +115,14 @@ Weiter definieren wir die Transformation S auf kompakte Mengen $E$ ohne die leer
 	S(E) = \bigcup\limits_{i = 1}^m S_i(E).
 	\label{ifs:transformation}
 \end{equation}
-Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, und für jedes $i$ $S_i(E) \subset E$, gilt
+Wird diese Transformation Iterativ ausgeführt, das heisst $S^0(E) = E, S^k(E) = S(S^{k-1}(E))$, gilt
 \begin{equation}
 	F = \bigcap\limits_{k = 1}^{\infty} S^k(E).
 	\label{ifs:ifsForm}
 \end{equation}
 In Worte gefasst bedeutet das, dass jede Gruppe von Kontraktionen iterativ ausgeführt, gegen eine eindeutige Menge konvergiert.
-Diese Menge ist auch als Attraktor des IFS bekannt.
+Diese Menge ist auch als Attraktor eines IFS bekannt.
 Der Beweis für die Existenz eines eindeutigen Attraktors ist in \cite{ifs:fractal-geometry} beschrieben. 
-Aus diesem Beweis folgt, dass die Startmenge $E$, anders als in \ref{ifs:ifsForm} beschrieben ist, beliebig sein kann.
 
 \subsection{Beispiel: Barnsley-Farn}
 Der Barnsley-Farn, Abbildung \ref{ifs:farn}, ist ein Beispiel eines Fraktal, welches mit einem IFS generiert werden kann.
-- 
cgit v1.2.1

