From dfb9b5075e428e41f02cdf2d758a02899eea7e1e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 4 Jun 2021 18:55:37 +0200
Subject: New Chapter IFS

---
 buch/papers/ifs/teil3.tex | 46 ++++++++++++++++------------------------------
 1 file changed, 16 insertions(+), 30 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index 23fabbc..bba6e32 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -3,38 +3,24 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 3
+\section{Fraktale Bildkomprimierung
 \label{ifs:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+\rhead{Fraktale Bildkomprimierung}
+Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich Bilder zu Komprimieren.
+Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen beitrag zum verständnis von Fraktalen geiefert hat.
+Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat.
+In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
+\subsection{Titel
 \label{ifs:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+Bis jetzt wurde in Zusammenhnag mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden.
+Dies muss jedoch nicht so sein. 
+Es gibt auch einen Attraktor, wenn die Transformationen nur Teile der Menge auf die ganze Menge abbilden.
+Diese Eigenschaft wollen wir uns in der Fraktalen Bildkompression zunutze machen.
+Sie ermöglicht uns Ähnlichkeiten zwischen kleineren Teilen des Bildes zunutze machen.
+Es ist wohl nicht Falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Fern gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind.
+Doch wie Finden wir die richtigen Affinen Transformationen, welche als IFS das Bild als Attraktor haben.
+
+
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 1bfb8ee184dad8fec1aee19cd7d57f62374f9c2a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sat, 5 Jun 2021 14:00:27 +0200
Subject: chap3 a bit

---
 buch/papers/ifs/teil3.tex | 68 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 65 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index bba6e32..d31eee7 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -11,16 +11,78 @@ Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Frac
 Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat.
 In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.
 
-\subsection{Titel
-\label{ifs:subsection:malorum}}
+
 Bis jetzt wurde in Zusammenhnag mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden.
 Dies muss jedoch nicht so sein. 
 Es gibt auch einen Attraktor, wenn die Transformationen nur Teile der Menge auf die ganze Menge abbilden.
 Diese Eigenschaft wollen wir uns in der Fraktalen Bildkompression zunutze machen.
 Sie ermöglicht uns Ähnlichkeiten zwischen kleineren Teilen des Bildes zunutze machen.
 Es ist wohl nicht Falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Fern gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind.
-Doch wie Finden wir die richtigen Affinen Transformationen, welche als IFS das Bild als Attraktor haben.
+Doch wie Finden wir die richtigen Affinen Transformationen, welche als IFS das Bild als Attraktor haben?
+
+\subsection{Titel
+\label{ifs:subsection:malorum}}
+In der Beschreibung des Verfahrens wird sich auf Graustufenbilder bezogen. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert.
+
+In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$
+Im nächesten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. 
+Im dritten und letzten Schritt wird für jeden Range-Block $R_i$ ein Domain-Block $D_j$ gesucht, welcher ihm am ähnlichsten ist.
+
+\subsubsection{Finden des ähnlichsten $D_j$}
+Zuerst braucen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden.
+\begin{align*}
+	T(x,y,z) = 
+	\begin{pmatrix}
+		a & b & 0 \\
+		c & d & 0 \\
+		0 & 0 & s
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x \\
+		y \\
+		z
+	\end{pmatrix}
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		\alpha \\
+		\beta \\
+		g
+	\end{pmatrix}
+\end{align*}
+Diese Transformation bildet den Pixel $P$ auf Koordinate $(x,y)$ und Graustufe $z$ auf den Pixel $P'$ ab.
 
+Da wir mit Pixeln arbeiten, sind die Transformationen in der Ebene Beschränkt.
+Diese wird durch die Paramenter $a,b,c$ und $d$ bestimmt.
+Mögliche Transfomrationen sind auf folgende Liste Beschränkt:
+\begin{itemize}
+	\item Identische Transformation, keine änderung
+	\item Drehung um 90, 180 oder 270 Grad.
+	\item Spiegelung an der vertikalen, horizontalen und den Diagonalachsen.
+\end{itemize}
+$\alpha$ und $\beta$ verschieben den Pixel an die richtige Stelle.
+Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möcheen, müssen wir zuerst $G_j$ um $1/2$ skalieren.
+Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ px Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen.
+Skaliert und transformiert erhalten wir $\tilde{D_j}$
 
+Die Parameter $s$ und $g$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Töne auf die richtige Helligkeit. 
+$s$ und $g$ werden mit der linearen Regression ermittelt. 
+\begin{align*}
+	z' = sz + g \\
+	f(\tilde{D_j}) \text{, Funktion um Grauton von Pixel zu erhalten}  \\
+	s = \frac{cov(f(R_i), f(\tilde{D_j}))}{var(\tilde{D_j})} \\
+	g = E(f(R_i)) - s E(f(\tilde{D_j}))
+\end{align*}
+Mit diesen Parameteren haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt.
+Um zu beurteilen ob der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transfromation $T$ dem Range-Block $R_i$ genügend ähnlich ist, berechnet man den quadratischen Abstand $e$.
+\begin{align*}
+	e = d(f(R_i), f(T(D_j)))
+\end{align*}
+Dieser Abstand sollte so klein wie möglich sein.
+Die beste Kombination von $D_j$ und $T_i$ ist also diese, welche den kleinsten Abstand zum Block $R_i$ hat, und somit am ähnlichsten ist.
 
+Am Ende des Verfahrens haben wir also für jeden $R_i$ einen passenden $D_i$ mit der zugehörigen Abbildung $T_i$ gefunden.
 
+\subsubsection{Rekonstruktion des Bildes}
+Mit den Gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren.
+Wir beginnen wie schon im letzten Kapitel mit einer beliebigen Startmenge.
+In unserem Fall ist dieses ein Bild derselben Grösse.
-- 
cgit v1.2.1


From 668b065f377691fde6727ba10fc979a82c1e5c7b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sat, 5 Jun 2021 15:15:57 +0200
Subject: La Reconstruction Text.

---
 buch/papers/ifs/teil3.tex | 11 +++++++++--
 1 file changed, 9 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index d31eee7..bc848bc 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -68,7 +68,7 @@ Die Parameter $s$ und $g$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ veränder
 $s$ und $g$ werden mit der linearen Regression ermittelt. 
 \begin{align*}
 	z' = sz + g \\
-	f(\tilde{D_j}) \text{, Funktion um Grauton von Pixel zu erhalten}  \\
+	f(\tilde{D_j}) \text{, Funktion um das Bild eins Blockes zu erhalten}  \\
 	s = \frac{cov(f(R_i), f(\tilde{D_j}))}{var(\tilde{D_j})} \\
 	g = E(f(R_i)) - s E(f(\tilde{D_j}))
 \end{align*}
@@ -85,4 +85,11 @@ Am Ende des Verfahrens haben wir also für jeden $R_i$ einen passenden $D_i$ mit
 \subsubsection{Rekonstruktion des Bildes}
 Mit den Gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren.
 Wir beginnen wie schon im letzten Kapitel mit einer beliebigen Startmenge.
-In unserem Fall ist dieses ein Bild derselben Grösse.
+In unserem Fall ist dieses ein Bild  $f_0$ derselben Grösse.
+Nun ersetzen wir jedes $R_i$ mit der Transformierten des zugehörigen Domain-Blocks $T(G_j)$.
+Dies wird verkürzt als Operator $W$ geschrieben.
+So erhalten wir ein neues Bild $f_1 = W(f_0)$.
+Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen unterschied fesstellen. Die Iteration hat nun ihren Fixpunkt, das Bild, erreicht.
+
+TODO Bilder Beispiel
+TODO Performance und Kompressonsverhältnis
-- 
cgit v1.2.1


From 74bbee4492a76486091554e24625767440018056 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 6 Jun 2021 14:03:33 +0200
Subject: typos

---
 buch/papers/ifs/teil3.tex | 22 +++++++++++-----------
 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index bc848bc..c3e8a65 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -7,12 +7,12 @@
 \label{ifs:section:teil3}}
 \rhead{Fraktale Bildkomprimierung}
 Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich Bilder zu Komprimieren.
-Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen beitrag zum verständnis von Fraktalen geiefert hat.
+Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat.
 Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat.
 In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.
 
 
-Bis jetzt wurde in Zusammenhnag mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden.
+Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden.
 Dies muss jedoch nicht so sein. 
 Es gibt auch einen Attraktor, wenn die Transformationen nur Teile der Menge auf die ganze Menge abbilden.
 Diese Eigenschaft wollen wir uns in der Fraktalen Bildkompression zunutze machen.
@@ -25,11 +25,11 @@ Doch wie Finden wir die richtigen Affinen Transformationen, welche als IFS das B
 In der Beschreibung des Verfahrens wird sich auf Graustufenbilder bezogen. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert.
 
 In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$
-Im nächesten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. 
+Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. 
 Im dritten und letzten Schritt wird für jeden Range-Block $R_i$ ein Domain-Block $D_j$ gesucht, welcher ihm am ähnlichsten ist.
 
 \subsubsection{Finden des ähnlichsten $D_j$}
-Zuerst braucen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden.
+Zuerst brauchen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden.
 \begin{align*}
 	T(x,y,z) = 
 	\begin{pmatrix}
@@ -52,15 +52,15 @@ Zuerst braucen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element von
 Diese Transformation bildet den Pixel $P$ auf Koordinate $(x,y)$ und Graustufe $z$ auf den Pixel $P'$ ab.
 
 Da wir mit Pixeln arbeiten, sind die Transformationen in der Ebene Beschränkt.
-Diese wird durch die Paramenter $a,b,c$ und $d$ bestimmt.
-Mögliche Transfomrationen sind auf folgende Liste Beschränkt:
+Diese wird durch die Parameter $a,b,c$ und $d$ bestimmt.
+Mögliche Transformationen sind auf folgende Liste Beschränkt:
 \begin{itemize}
-	\item Identische Transformation, keine änderung
+	\item Identische Transformation, keine Änderung
 	\item Drehung um 90, 180 oder 270 Grad.
 	\item Spiegelung an der vertikalen, horizontalen und den Diagonalachsen.
 \end{itemize}
 $\alpha$ und $\beta$ verschieben den Pixel an die richtige Stelle.
-Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möcheen, müssen wir zuerst $G_j$ um $1/2$ skalieren.
+Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müssen wir zuerst $G_j$ um $1/2$ skalieren.
 Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ px Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen.
 Skaliert und transformiert erhalten wir $\tilde{D_j}$
 
@@ -72,8 +72,8 @@ $s$ und $g$ werden mit der linearen Regression ermittelt.
 	s = \frac{cov(f(R_i), f(\tilde{D_j}))}{var(\tilde{D_j})} \\
 	g = E(f(R_i)) - s E(f(\tilde{D_j}))
 \end{align*}
-Mit diesen Parameteren haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt.
-Um zu beurteilen ob der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transfromation $T$ dem Range-Block $R_i$ genügend ähnlich ist, berechnet man den quadratischen Abstand $e$.
+Mit diesen Parametern haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt.
+Um zu beurteilen ob der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block $R_i$ genügend ähnlich ist, berechnet man den quadratischen Abstand $e$.
 \begin{align*}
 	e = d(f(R_i), f(T(D_j)))
 \end{align*}
@@ -89,7 +89,7 @@ In unserem Fall ist dieses ein Bild  $f_0$ derselben Grösse.
 Nun ersetzen wir jedes $R_i$ mit der Transformierten des zugehörigen Domain-Blocks $T(G_j)$.
 Dies wird verkürzt als Operator $W$ geschrieben.
 So erhalten wir ein neues Bild $f_1 = W(f_0)$.
-Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen unterschied fesstellen. Die Iteration hat nun ihren Fixpunkt, das Bild, erreicht.
+Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Fixpunkt, das Bild, erreicht.
 
 TODO Bilder Beispiel
 TODO Performance und Kompressonsverhältnis
-- 
cgit v1.2.1


From f0006b3ae7eb70a1fc33b26f482308a43445969e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Mon, 7 Jun 2021 17:26:10 +0200
Subject: Farn und Compression

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 buch/papers/ifs/teil3.tex | 12 ++++++++++++
 1 file changed, 12 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index c3e8a65..fa4130b 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -91,5 +91,17 @@ Dies wird verkürzt als Operator $W$ geschrieben.
 So erhalten wir ein neues Bild $f_1 = W(f_0)$.
 Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Fixpunkt, das Bild, erreicht.
 
+\subsubsection{Farbbilder}
+Dieses Verfahren mit Graustufenbilder lässt sich ganz einfach auf Farbbilder erweitern.
+Jeder Pixel eines Farbbildes besteht aus einem Rot, Grün und Blauwert (RGB).
+Teilt man ein Bild in die drei Farbkanäle auf, das heisst, es wird nur noch ein Farbwert benutzt, erhält man drei Bilder, welche wie ein Graustufenbild sind.
+Nun wendet man auf jeden dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an, und fügt nach der Rekonstruktion die Kanäle wieder zusammen. 
+
+\subsubsection{Performance des Verfahren}
+Dieser Grundalgorithmus der Fraktalen Bildkompression ist offensichtlich recht langsam und skaliert auch schlecht mit grösseren Bilder.
+Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nie so schnell wie zum Beispiel das jpeg verfahren.
+
+\subsection{Beispiel}
+Kommen wir nun zu einem Beispiel
 TODO Bilder Beispiel
 TODO Performance und Kompressonsverhältnis
-- 
cgit v1.2.1


From 6b86c10028987f4e08ca3e25ac13291f256375fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Tue, 8 Jun 2021 14:53:07 +0200
Subject: Barnsley Farn & Kompression bsp

---
 buch/papers/ifs/teil3.tex | 42 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 39 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index fa4130b..515fd81 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -102,6 +102,42 @@ Dieser Grundalgorithmus der Fraktalen Bildkompression ist offensichtlich recht l
 Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nie so schnell wie zum Beispiel das jpeg verfahren.
 
 \subsection{Beispiel}
-Kommen wir nun zu einem Beispiel
-TODO Bilder Beispiel
-TODO Performance und Kompressonsverhältnis
+Kommen wir nun zu einem Beispiel.
+Wir Verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus.
+Die Range-Blöcke wurden $4\times4$ gewählt und die Dommain dementsprechend $8\times8$.
+Um etwas Zeit bei der Komprimierung zu ersparen, wurden nur disjunkte Domain-Blöcke gebraucht.
+Als erstes Beispiel wählen wir das 360x360px Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}.
+Der Algorithmus liefert uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter.
+Mit diesen lässt sich das Bild im Anschluss wieder Rekonstruieren.
+
+Als Startbild wird ein mittelgraues 360x360px Bild gewählt, Abbildung \ref{ifs:bild0}.
+Nun lassen wir das IFS laufen.
+Wie wir in Abbildung \ref{ifs:rappirecoa} sehen, ist schon nach der ersten Iteration das Bild schon erkennbar.
+Nach der fünften Iteration , Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen Unterschied mehr zur letzten Iteration, wir können die Rekonstruktion beenden.
+\begin{figure}
+	\label{ifs:original}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/ifs/images/original}
+	\caption{Original Bild von Rapperswil}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+	\label{ifs:bild0}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil}
+	\caption{Startbild}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+	\label{ifs:rappireco}
+	\centering
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:rappirecoa}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil01}}
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:rappirecob}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil001}} 
+	\subfigure[]{
+		\label{ifs:rappirecoc}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil04}}
+	\caption{(a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 5. Iteration}
+\end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 99d2ddf90c75e83fc8ee82f5d0145a17db9a6338 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 13 Jun 2021 15:59:24 +0200
Subject: minor changes, refernezen

---
 buch/papers/ifs/teil3.tex | 14 +++++++-------
 1 file changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index 515fd81..24f0751 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
 Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich Bilder zu Komprimieren.
 Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat.
 Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat.
-In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.
+In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.\cite{ifs:Rousseau2012}
 
 
 Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden.
@@ -17,10 +17,10 @@ Dies muss jedoch nicht so sein.
 Es gibt auch einen Attraktor, wenn die Transformationen nur Teile der Menge auf die ganze Menge abbilden.
 Diese Eigenschaft wollen wir uns in der Fraktalen Bildkompression zunutze machen.
 Sie ermöglicht uns Ähnlichkeiten zwischen kleineren Teilen des Bildes zunutze machen.
-Es ist wohl nicht Falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Fern gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind.
+Es ist wohl nicht falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Farn gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind.
 Doch wie Finden wir die richtigen Affinen Transformationen, welche als IFS das Bild als Attraktor haben?
 
-\subsection{Titel
+\subsection{das Kompressionsverfahren
 \label{ifs:subsection:malorum}}
 In der Beschreibung des Verfahrens wird sich auf Graustufenbilder bezogen. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert.
 
@@ -114,21 +114,20 @@ Als Startbild wird ein mittelgraues 360x360px Bild gewählt, Abbildung \ref{ifs:
 Nun lassen wir das IFS laufen.
 Wie wir in Abbildung \ref{ifs:rappirecoa} sehen, ist schon nach der ersten Iteration das Bild schon erkennbar.
 Nach der fünften Iteration , Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen Unterschied mehr zur letzten Iteration, wir können die Rekonstruktion beenden.
-\begin{figure}
-	\label{ifs:original}
+\begin{figure}	
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/ifs/images/original}
 	\caption{Original Bild von Rapperswil}
+	\label{ifs:original}
 \end{figure}
 \begin{figure}
-	\label{ifs:bild0}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil}
 	\caption{Startbild}
+	\label{ifs:bild0}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
-	\label{ifs:rappireco}
 	\centering
 	\subfigure[]{
 		\label{ifs:rappirecoa}
@@ -140,4 +139,5 @@ Nach der fünften Iteration , Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen
 		\label{ifs:rappirecoc}
 		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/ifs/images/rapperswil04}}
 	\caption{(a) 1. Iteration (b) 2. Iteration (c) 5. Iteration}
+		\label{ifs:rappireco}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 81d11a125976ab6c877b934cdeb79806a1105bca Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Fri, 18 Jun 2021 10:47:53 +0200
Subject: reworks

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 buch/papers/ifs/teil3.tex | 109 +++++++++++++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 70 insertions(+), 39 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index 24f0751..39a808f 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -12,30 +12,35 @@ Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat.
 In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.\cite{ifs:Rousseau2012}
 
 
-Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen auf die ganze Menge angewendet werden.
+Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen, welche das IFS bilden, auf die gesamte Menge.
 Dies muss jedoch nicht so sein. 
 Es gibt auch einen Attraktor, wenn die Transformationen nur Teile der Menge auf die ganze Menge abbilden.
 Diese Eigenschaft wollen wir uns in der Fraktalen Bildkompression zunutze machen.
 Sie ermöglicht uns Ähnlichkeiten zwischen kleineren Teilen des Bildes zunutze machen.
 Es ist wohl nicht falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Farn gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind.
-Doch wie Finden wir die richtigen Affinen Transformationen, welche als IFS das Bild als Attraktor haben?
+Doch wie finden wir die richtigen affinen Transformationen, welche als IFS das Bild als Attraktor haben?
 
 \subsection{das Kompressionsverfahren
 \label{ifs:subsection:malorum}}
-In der Beschreibung des Verfahrens wird sich auf Graustufenbilder bezogen. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert.
-
+Wir beschränken das Verfahren für Graustufenbilder. Wie das Verfahren für Farbbilder verwendet werden kann, wird später erläutert.
+Ein Graustufenbild kann man als Pixelraster mit einer x und y Achse verstehen.
+Jedem dieser Pixel wird ein Grauwert zugeordnet.
+Ein Bild ist also eine Funktion, die jedem Pixel einen Grauwert $z$ zuweist
+\begin{align*}
+	z = f(x,y).
+\end{align*} 
 In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$
 Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. 
 Im dritten und letzten Schritt wird für jeden Range-Block $R_i$ ein Domain-Block $D_j$ gesucht, welcher ihm am ähnlichsten ist.
 
 \subsubsection{Finden des ähnlichsten $D_j$}
-Zuerst brauchen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden.
+Zuerst brauchen wir die Transformation 
 \begin{align*}
-	T(x,y,z) = 
+	T_i(x,y,z) = 
 	\begin{pmatrix}
-		a & b & 0 \\
-		c & d & 0 \\
-		0 & 0 & s
+		a_i & b_i & 0 \\
+		c_i & d_i & 0 \\
+		0 & 0 & s_i
 	\end{pmatrix}
 	\begin{pmatrix}
 		x \\
@@ -44,52 +49,80 @@ Zuerst brauchen wir die Transformation um ein Element aus $D$ auf ein Element vo
 	\end{pmatrix}
 	+
 	\begin{pmatrix}
-		\alpha \\
-		\beta \\
-		g
+		\alpha_i \\
+		\beta_i \\
+		g_i
 	\end{pmatrix}
 \end{align*}
-Diese Transformation bildet den Pixel $P$ auf Koordinate $(x,y)$ und Graustufe $z$ auf den Pixel $P'$ ab.
-
-Da wir mit Pixeln arbeiten, sind die Transformationen in der Ebene Beschränkt.
-Diese wird durch die Parameter $a,b,c$ und $d$ bestimmt.
-Mögliche Transformationen sind auf folgende Liste Beschränkt:
+um ein Element aus $D$ auf ein Element von $R$ Abzubilden.
+Wenn wir die Grauwerte ausser acht lassen, haben wir die affine Abbildung
+\begin{align}
+	t_i(x,y) = 	
+	\begin{pmatrix}
+		a_i & b_i \\
+		c_i & d_i
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		x \\
+		y
+	\end{pmatrix}
+	+
+	\begin{pmatrix}
+		\alpha_i \\
+		\beta_i
+	\end{pmatrix}.
+\label{ifs:affTrans}
+\end{align}
+Da wir mit Pixeln arbeiten, ist die Auswahl der möglichen Abbildungen begrenzt.
+Wir sind auf folgende acht Abbildungen beschränkt:
 \begin{itemize}
 	\item Identische Transformation, keine Änderung
 	\item Drehung um 90, 180 oder 270 Grad.
 	\item Spiegelung an der vertikalen, horizontalen und den Diagonalachsen.
 \end{itemize}
-$\alpha$ und $\beta$ verschieben den Pixel an die richtige Stelle.
 Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müssen wir zuerst $G_j$ um $1/2$ skalieren.
 Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ px Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen.
-Skaliert und transformiert erhalten wir $\tilde{D_j}$
 
-Die Parameter $s$ und $g$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Töne auf die richtige Helligkeit. 
-$s$ und $g$ werden mit der linearen Regression ermittelt. 
+
+Die Parameter $s_i$ und $g_i$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Töne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion
+\begin{align*}
+	z' = s_i z + g_i.
+\end{align*}
+Für die Bestimmung dieser Parameter führen wir zuerst die Bildfunktionen $f_{R_i}$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ein.
+$f_{R_i}$ ist die Bildfunktion des Range-Blockes $R_i$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ist die Bildfunktion des zuerst Skalierten und dann mit \ref{ifs:affTrans} transformierten Domain-Blocks $D_j$.
+$s$ und $g$ werden mit der einfachen linearen Regression ermittelt. 
+Wir suchen $s_i$ und $g_i$ so das
 \begin{align*}
-	z' = sz + g \\
-	f(\tilde{D_j}) \text{, Funktion um das Bild eins Blockes zu erhalten}  \\
-	s = \frac{cov(f(R_i), f(\tilde{D_j}))}{var(\tilde{D_j})} \\
-	g = E(f(R_i)) - s E(f(\tilde{D_j}))
+	f_{R_i} = s_i \tilde{f_{R_i}} + g_i = \bar{f_{R_i}}.
 \end{align*}
+Die Parameter lassen sich mit
+\begin{align*}	
+	s = \frac{\operatorname{cov}(f_{R_i}), f(\tilde{f_{R_i}}))}{\operatorname{var}(\tilde{f_{R_i}})} \\
+	g = E(f_{R_i}) - s E(f(\tilde{f_{R_i}}))
+\end{align*}
+berechnen.
 Mit diesen Parametern haben wir nun die Transformation vollständig bestimmt.
-Um zu beurteilen ob der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block $R_i$ genügend ähnlich ist, berechnet man den quadratischen Abstand $e$.
+Um zu beurteilen wie ähnlich der Domain-Block $D_j$ mit der gefundenen Transformation $T$ dem Range-Block ist, berechnet man den quadratischen Abstand
 \begin{align*}
-	e = d(f(R_i), f(T(D_j)))
+	e = d(f_{R_i}, \bar{f_{R_i}}).
 \end{align*}
 Dieser Abstand sollte so klein wie möglich sein.
-Die beste Kombination von $D_j$ und $T_i$ ist also diese, welche den kleinsten Abstand zum Block $R_i$ hat, und somit am ähnlichsten ist.
 
-Am Ende des Verfahrens haben wir also für jeden $R_i$ einen passenden $D_i$ mit der zugehörigen Abbildung $T_i$ gefunden.
+Wir bestimmen die Parameter $s$ und $g$ für jede der acht möglichen affinen Abbildungen und das mit jedem Domain-Block.
+Die Kombination von $D_j$ und $T_i$, welche den kleinsten Abstand $e$ hat, ist die beste.
+
+Diese Schritte führen wir für jeden Range-Block $R_i$ aus.
+Am Ende des Algorithmus haben wir für jeden Range-Block den zugehörigen Domain-Block und Transformation gefunden.
+
 
 \subsubsection{Rekonstruktion des Bildes}
-Mit den Gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren.
+Mit den gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren.
 Wir beginnen wie schon im letzten Kapitel mit einer beliebigen Startmenge.
 In unserem Fall ist dieses ein Bild  $f_0$ derselben Grösse.
 Nun ersetzen wir jedes $R_i$ mit der Transformierten des zugehörigen Domain-Blocks $T(G_j)$.
 Dies wird verkürzt als Operator $W$ geschrieben.
 So erhalten wir ein neues Bild $f_1 = W(f_0)$.
-Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Fixpunkt, das Bild, erreicht.
+Dieses Vorgehen führen wir iteriert aus bis wir von $f_n = W(f_{n-1})$ zu $f_{n-1}$ kaum mehr einen Unterschied feststellen. Die Iteration hat nun ihren Attraktor, das Bild, erreicht.
 
 \subsubsection{Farbbilder}
 Dieses Verfahren mit Graustufenbilder lässt sich ganz einfach auf Farbbilder erweitern.
@@ -98,19 +131,17 @@ Teilt man ein Bild in die drei Farbkanäle auf, das heisst, es wird nur noch ein
 Nun wendet man auf jeden dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an, und fügt nach der Rekonstruktion die Kanäle wieder zusammen. 
 
 \subsubsection{Performance des Verfahren}
-Dieser Grundalgorithmus der Fraktalen Bildkompression ist offensichtlich recht langsam und skaliert auch schlecht mit grösseren Bilder.
-Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nie so schnell wie zum Beispiel das jpeg verfahren.
+Dieser Grundalgorithmus der fraktalen Bildkompression ist recht langsam und skaliert auch schlecht für grössere Bilder.
+Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nie so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren.
 
 \subsection{Beispiel}
-Kommen wir nun zu einem Beispiel.
-Wir Verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus.
+Wir Verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus, welcher uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter liefert.
+Mit diesen lässt sich das Bild im Anschluss wieder Rekonstruieren.
 Die Range-Blöcke wurden $4\times4$ gewählt und die Dommain dementsprechend $8\times8$.
 Um etwas Zeit bei der Komprimierung zu ersparen, wurden nur disjunkte Domain-Blöcke gebraucht.
 Als erstes Beispiel wählen wir das 360x360px Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}.
-Der Algorithmus liefert uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter.
-Mit diesen lässt sich das Bild im Anschluss wieder Rekonstruieren.
-
-Als Startbild wird ein mittelgraues 360x360px Bild gewählt, Abbildung \ref{ifs:bild0}.
+Das Startbild ist ein mittelgraues 360x360px Bild, Abbildung \ref{ifs:bild0}.
+Es kann jedoch ein beliebiges Startbild
 Nun lassen wir das IFS laufen.
 Wie wir in Abbildung \ref{ifs:rappirecoa} sehen, ist schon nach der ersten Iteration das Bild schon erkennbar.
 Nach der fünften Iteration , Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen Unterschied mehr zur letzten Iteration, wir können die Rekonstruktion beenden.
-- 
cgit v1.2.1


From 180789bb3f452a49dca3f3769630e0899357208e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sat, 19 Jun 2021 18:17:20 +0200
Subject: imporvements

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 buch/papers/ifs/teil3.tex | 6 ++++--
 1 file changed, 4 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index 39a808f..b3dff85 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
 Mit dem Prinzip dieser IFS ist es auch möglich Bilder zu Komprimieren.
 Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Fractals Everywhere einen wichtigen Beitrag zum Verständnis von Fraktalen geliefert hat.
 Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat.
-In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen.\cite{ifs:Rousseau2012}
+In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen, wie sie in \cite{ifs:Rousseau2012} beschrieben ist.
 
 
 Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen, welche das IFS bilden, auf die gesamte Menge.
@@ -132,7 +132,9 @@ Nun wendet man auf jeden dieser Farbkanalbilder den Algorithmus an, und fügt na
 
 \subsubsection{Performance des Verfahren}
 Dieser Grundalgorithmus der fraktalen Bildkompression ist recht langsam und skaliert auch schlecht für grössere Bilder.
-Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nie so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren.
+Dies resultiert aus eigenen Experimenten.
+Man kann die Laufzeit zwar verbessern indem man die Domain-Blöcke auch disjunkt macht, und für weniger detailreiche Bilder ein grösseres $b$ wählt, jedoch wird er auch so nicht so schnell wie zum Beispiel das JPEG-Verfahren.
+Es wurden bessere Algorithmen der fraktalen Bildkompression entwickelt, doch auch diese können, vor allem in der Laufzeit, noch nicht mit herkömmlichen Komprimierungsverfahren mithalten.
 
 \subsection{Beispiel}
 Wir Verwenden dafür den oben beschriebenen Algorithmus, welcher uns für jeden Range-Block die benötigten Parameter liefert.
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cgit v1.2.1


From 8cb994306345986d642fd46759c92e7adee4e4ef Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Sun, 20 Jun 2021 22:09:47 +0200
Subject: Changes

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 buch/papers/ifs/teil3.tex | 25 +++++++++++++++++--------
 1 file changed, 17 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index b3dff85..ebae0fb 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -11,14 +11,14 @@ Diese Idee hatte der Mathematiker Michael Barnsley, welcher mit seinem Buch Frac
 Das Ziel ist es ein IFS zu finden, welches das Bild als Attraktor hat.
 In diesem Unterkapitel wollen wir eine Methode dafür anschauen, wie sie in \cite{ifs:Rousseau2012} beschrieben ist.
 
-
-Bis jetzt wurde in Zusammenhang mit IFS immer erwähnt, dass die Transformationen, welche das IFS bilden, auf die gesamte Menge.
-Dies muss jedoch nicht so sein. 
-Es gibt auch einen Attraktor, wenn die Transformationen nur Teile der Menge auf die ganze Menge abbilden.
-Diese Eigenschaft wollen wir uns in der Fraktalen Bildkompression zunutze machen.
-Sie ermöglicht uns Ähnlichkeiten zwischen kleineren Teilen des Bildes zunutze machen.
 Es ist wohl nicht falsch zu sagen, dass Ähnlichkeiten zur gesamten Menge, wie wir sie zum Beispiel beim Barnsley Farn gesehen haben, bei Bilder aus dem Alltag eher selten anzutreffen sind.
-Doch wie finden wir die richtigen affinen Transformationen, welche als IFS das Bild als Attraktor haben?
+Ein IFS, wie wir es in \ref{ifs:subsection:IteratedFunktionensysteme} definiert haben, wird uns also nicht weiter helfen.
+Die Lösung dazu sind Partitionierte IFS (PIFS) \cite{ifs:pifs}.
+In \ref{ifs:transformation} wurde definiert, dass die Kontraktionen $S_i$ bei IFS auf die gesamte Menge $E$ angewendet werden.
+Bei einem PIFS wird der Attraktor in disjunkte Teilmengen aufgeteilt. 
+Für jede dieser Teilmengen $R_i$ braucht es dann eine grössere Teilmenge, welche mit einer affinen Transformation eine zu $R_i$ ähnliche Menge bildet.
+Wir müssen nicht mehr Ähnlichkeiten zum ganzen Bild finden, sondern zwischen Teilen des Bildes.
+Doch wie finden wir das PIFS, welches das Bild als Attraktor hat?
 
 \subsection{das Kompressionsverfahren
 \label{ifs:subsection:malorum}}
@@ -29,9 +29,12 @@ Ein Bild ist also eine Funktion, die jedem Pixel einen Grauwert $z$ zuweist
 \begin{align*}
 	z = f(x,y).
 \end{align*} 
+
+Wir suchen ein PIFS welches das zu komprimierende Bild als Attraktor hat.
 In einem ersten Schritt teilen wir das Bild in disjunkte benachbarte $b \times b$ Pixel-Quadrate auf. Diese Blöcke nennen wir Range-Blöcke der Menge $R=\{R_0,R_1,...R_m\}$
 Im nächsten Schritt teilen wir das Bild in alle möglichen $2b \times 2b$ Pixel-Quadrate auf. Diese sind die Domain-Blöcke der Menge $D = \{D_0,D_1,...D_n\}$. 
 Im dritten und letzten Schritt wird für jeden Range-Block $R_i$ ein Domain-Block $D_j$ gesucht, welcher ihm am ähnlichsten ist.
+Zwei Beispiele wie solche Domain-, und Range-Block Paare aussehen können, sehen wir in Abbildung \ref{ifs:FIC}
 
 \subsubsection{Finden des ähnlichsten $D_j$}
 Zuerst brauchen wir die Transformation 
@@ -114,6 +117,12 @@ Die Kombination von $D_j$ und $T_i$, welche den kleinsten Abstand $e$ hat, ist d
 Diese Schritte führen wir für jeden Range-Block $R_i$ aus.
 Am Ende des Algorithmus haben wir für jeden Range-Block den zugehörigen Domain-Block und Transformation gefunden.
 
+\begin{figure}	
+	\centering
+	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/ifs/images/FIC}
+	\caption{Domain-, und Range-Block Paare in Grün und Rot}
+	\label{ifs:FIC}
+\end{figure}
 
 \subsubsection{Rekonstruktion des Bildes}
 Mit den gefundenen Abbildungen lässt sich das Bild generieren.
@@ -144,7 +153,7 @@ Um etwas Zeit bei der Komprimierung zu ersparen, wurden nur disjunkte Domain-Bl
 Als erstes Beispiel wählen wir das 360x360px Bild von Rapperswil in Abbildung \ref{ifs:original}.
 Das Startbild ist ein mittelgraues 360x360px Bild, Abbildung \ref{ifs:bild0}.
 Es kann jedoch ein beliebiges Startbild
-Nun lassen wir das IFS laufen.
+Nun lassen wir das PIFS laufen.
 Wie wir in Abbildung \ref{ifs:rappirecoa} sehen, ist schon nach der ersten Iteration das Bild schon erkennbar.
 Nach der fünften Iteration , Abbildung \ref{ifs:rappirecoc} gibt es fast keinen Unterschied mehr zur letzten Iteration, wir können die Rekonstruktion beenden.
 \begin{figure}	
-- 
cgit v1.2.1


From cceb539b3b83de6cf4296e6062c8d2f6e31aec72 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Alain <mceagle117@gmail.com>
Date: Tue, 22 Jun 2021 17:28:15 +0200
Subject: minor changes

---
 buch/papers/ifs/teil3.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/ifs/teil3.tex')

diff --git a/buch/papers/ifs/teil3.tex b/buch/papers/ifs/teil3.tex
index ebae0fb..78fb935 100644
--- a/buch/papers/ifs/teil3.tex
+++ b/buch/papers/ifs/teil3.tex
@@ -87,13 +87,13 @@ Da wir ein $2b \times 2b$ Feld auf ein $b \times b$ Feld abbilden möchten, müs
 Dies erreichen wir, indem wir alle disjunkten $2 \times 2$ px Blöcke mit einem Pixel des Grautones deren Mittelwertes ersetzen.
 
 
-Die Parameter $s_i$ und $g_i$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Töne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion
+Die Parameter $s_i$ und $g_i$ beschreiben die Änderung des Grautones. $s$ verändert den Kontrast und $g$ verschiebt die Grautöne auf die richtige Helligkeit, sie bilden die lineare Funktion
 \begin{align*}
 	z' = s_i z + g_i.
 \end{align*}
 Für die Bestimmung dieser Parameter führen wir zuerst die Bildfunktionen $f_{R_i}$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ein.
 $f_{R_i}$ ist die Bildfunktion des Range-Blockes $R_i$ und $\tilde{f_{R_i}}$ ist die Bildfunktion des zuerst Skalierten und dann mit \ref{ifs:affTrans} transformierten Domain-Blocks $D_j$.
-$s$ und $g$ werden mit der einfachen linearen Regression ermittelt. 
+
 Wir suchen $s_i$ und $g_i$ so das
 \begin{align*}
 	f_{R_i} = s_i \tilde{f_{R_i}} + g_i = \bar{f_{R_i}}.
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cgit v1.2.1

