From a310c9290f64d938e87226db84d524a7a817ec68 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Reto <reto.fritsche@ost.ch>
Date: Thu, 29 Jul 2021 23:07:18 +0200
Subject: reorganized files, started work on Einleitung, Aufbau

---
 buch/papers/mceliece/aufbau.tex | 128 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 128 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/mceliece/aufbau.tex

(limited to 'buch/papers/mceliece/aufbau.tex')

diff --git a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
new file mode 100644
index 0000000..08ef037
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
@@ -0,0 +1,128 @@
+%
+% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Aufbau\label{mceliece:section:Aufbau}}
+\rhead{Aufbau}
+Das McEliece-Kryptosystem besteht aus folgenden Elementen:
+
+\subsection{Datenvektor $d_k$
+\label{mceliece:subsection:d_k}}
+In diesem Vektor der Länge $k$ sind die zu verschlüsselnden Daten enthalten.
+Beispielsweise
+\[d_4=
+\begin{pmatrix}
+    1\\
+    1\\
+    1\\
+    0 
+\end{pmatrix}
+\]
+
+\subsection{Binäre Zufallsmatrix $S_k$
+\label{mceliece:subsection:s_k}}
+$S_k$ ist eine Binäre Zufallsmatrix der Grösse $k \times k$.
+Auch muss diese Matrix in $\mathbb{F}_2$ invertierbar sein.
+Für kleine Matrizen kann durchaus jedes Matrizenelement zufällig generiert werden,
+wobei danach mithilfe des Gauss-Algorythmusses deren Inverse bestimmt werden kann.
+Da eine solche Matrix möglicherweise singulär ist, muss in diesem Fall eine neue Zufallsmatrix erzeugt werden.
+Für grössere Matrizen existieren bessere Methoden, auf welche hier nicht weiter eingegangen wird \cite{mceliece:GenerationRandMatrix}.
+Beispielsweise
+\[S_4=
+\begin{pmatrix}
+    0 & 1 & 1 & 1\\
+    0 & 1 & 1 & 0\\
+    0 & 0 & 1 & 1\\
+    1 & 0 & 0 & 1
+\end{pmatrix}
+\]
+
+\[
+    S_4^{-1}=
+    \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 1 & 0\\
+        1 & 1 & 0 & 1\\
+        1 & 1 & 1 & 0\\
+        1 & 1 & 0 & 0
+    \end{pmatrix}
+\]
+
+\subsection{Linear-Code-Generatormatrix $G_{n,k}$
+\label{mceliece:subsection:g_m}}
+Das wichtigste Element des McEliece-Systems ist ein fehlerkorrigierender Code,
+der in der Lage ist, $t$ Fehler zu korrigieren.
+Im Zusammenhang mit McEliece werden dabei meist Goppa-Codes verwendet,
+es können prinzipiell auch andere Codes wie beispielsweise Reed-Solomin verwendet werden,
+jedoch besitzen einige Codes Schwachstellen \cite{mceliece:lorenz}.
+Das Codieren mit diesem linearen Code kann mithilfe dessen Generatormatrix $G_{n,k}$ erfolgen.
+Da es sich um einen fehlerkorrigierenden Code handelt,
+wird das Codewort länger als das Datenwort,
+es wird also Redundanz hinzugefügt,
+um die Fehlerkorrektur möglich zu machen.
+
+Beispiel
+\[
+    G_{7,4}=
+    \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0 & 0\\
+        1 & 1 & 0 & 0\\
+        0 & 1 & 1 & 0\\
+        1 & 0 & 1 & 1\\
+        0 & 1 & 0 & 1\\
+        0 & 0 & 1 & 0\\
+        0 & 0 & 0 & 1
+    \end{pmatrix}
+\]
+
+\subsection{Permutations-Matrix $P_n$
+\label{mceliece:subsection:p_m}}
+Mit der zufällig generierten Permutationsmatrix $P_n$ wird die Reihenfolge der Bits geändert.
+Mit der Inversen $P_n^{-1}$ kann die Bitvertauschung rückgängig gemacht werden.
+Beispiel
+\[
+    P_7=
+    \begin{pmatrix}
+        0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+        0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
+        0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
+        0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+        0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+        1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+        0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0
+    \end{pmatrix}
+\]
+,
+\[
+    P_7^{-1}=P_7^t=
+    \begin{pmatrix}
+        0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
+        1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+        0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
+        0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
+        0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
+        0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
+        0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
+    \end{pmatrix}
+\]
+
+\subsection{Fehler-Vektor $e_n$
+\label{mceliece:subsection:p_m}}
+Dieser Vektor der Länge $n$ besteht aus $t$ Einsen, welche zufällig innerhalb des Vektors angeordnet sind,
+alle anderen Einträge sind Null.
+Dieser Fehlervektor besitzt also gleich viele Einer,
+wie die Anzahl Fehler, die der Linearcode zu korrigieren vermag.
+
+Beispiel
+\[
+    E_7=
+    \begin{pmatrix}
+        0\\
+        0\\
+        1\\
+        0\\
+        0\\
+        0\\
+        0
+    \end{pmatrix}
+\]
-- 
cgit v1.2.1


From d96533cc4a5157d6bae247e88d8ec61f256a48f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Reto <reto.fritsche@ost.ch>
Date: Tue, 3 Aug 2021 18:11:59 +0200
Subject: working...

---
 buch/papers/mceliece/aufbau.tex | 41 +++++++++++++++++++++++++++++++----------
 1 file changed, 31 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/mceliece/aufbau.tex')

diff --git a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
index 08ef037..0ee95fa 100644
--- a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
+++ b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
@@ -30,21 +30,21 @@ Da eine solche Matrix möglicherweise singulär ist, muss in diesem Fall eine ne
 Für grössere Matrizen existieren bessere Methoden, auf welche hier nicht weiter eingegangen wird \cite{mceliece:GenerationRandMatrix}.
 Beispielsweise
 \[S_4=
-\begin{pmatrix}
-    0 & 1 & 1 & 1\\
-    0 & 1 & 1 & 0\\
-    0 & 0 & 1 & 1\\
-    1 & 0 & 0 & 1
-\end{pmatrix}
+    \begin{pmatrix}
+        0 & 0 & 1 & 1\\
+        0 & 0 & 0 & 1\\
+        0 & 1 & 0 & 1\\
+        1 & 0 & 0 & 1
+    \end{pmatrix}
 \]
 
 \[
     S_4^{-1}=
     \begin{pmatrix}
-        1 & 0 & 1 & 0\\
-        1 & 1 & 0 & 1\\
-        1 & 1 & 1 & 0\\
-        1 & 1 & 0 & 0
+        0 & 1 & 0 & 1\\
+        0 & 1 & 1 & 0\\
+        1 & 1 & 0 & 0\\
+        0 & 1 & 0 & 0\\
     \end{pmatrix}
 \]
 
@@ -126,3 +126,24 @@ Beispiel
         0
     \end{pmatrix}
 \]
+
+\subsection{Public-Key $K_{n,k}$
+\label{mceliece:subsection:k_m}}
+Der öffentliche Schlüssel, welcher zum Verschlüsseln verwendet wird,
+berechnet sich mit
+\[
+    K_{n,k}=P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\,.
+\]
+Beispiel
+\[
+    K_{7,4}=
+    \begin{pmatrix}
+        0 & 0 & 1 & 0\\
+        1 & 0 & 0 & 1\\
+        0 & 0 & 1 & 1\\
+        1 & 1 & 1 & 1\\
+        0 & 1 & 0 & 1\\
+        0 & 1 & 0 & 0\\
+        1 & 0 & 0 & 0
+    \end{pmatrix}
+\]
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 098cc6c392283476e84a47f3a193b8f5f79ec413 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Reto Fritsche <reto.fritsche@ost.ch>
Date: Mon, 9 Aug 2021 11:47:16 +0200
Subject: searching latex error

---
 buch/papers/mceliece/aufbau.tex | 56 +++++++++++++++++++++++------------------
 1 file changed, 32 insertions(+), 24 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/mceliece/aufbau.tex')

diff --git a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
index 0ee95fa..f8533d6 100644
--- a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
+++ b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
@@ -49,7 +49,7 @@ Beispielsweise
 \]
 
 \subsection{Linear-Code-Generatormatrix $G_{n,k}$
-\label{mceliece:subsection:g_m}}
+\label{mceliece:subsection:g_nk}}
 Das wichtigste Element des McEliece-Systems ist ein fehlerkorrigierender Code,
 der in der Lage ist, $t$ Fehler zu korrigieren.
 Im Zusammenhang mit McEliece werden dabei meist Goppa-Codes verwendet,
@@ -76,7 +76,7 @@ Beispiel
 \]
 
 \subsection{Permutations-Matrix $P_n$
-\label{mceliece:subsection:p_m}}
+\label{mceliece:subsection:p_n}}
 Mit der zufällig generierten Permutationsmatrix $P_n$ wird die Reihenfolge der Bits geändert.
 Mit der Inversen $P_n^{-1}$ kann die Bitvertauschung rückgängig gemacht werden.
 Beispiel
@@ -106,12 +106,33 @@ Beispiel
     \end{pmatrix}
 \]
 
+\subsection{Public-Key $K_{n,k}$
+\label{mceliece:subsection:k_nk}}
+Der öffentliche Schlüssel, welcher zum Verschlüsseln verwendet wird,
+berechnet sich aus den bereits bekannten Matrizen wiefolgt:
+\[
+    K_{n,k}=P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\,.
+\]
+Beispiel
+\[
+    K_{7,4}=
+    \begin{pmatrix}
+        0 & 0 & 1 & 0\\
+        1 & 0 & 0 & 1\\
+        0 & 0 & 1 & 1\\
+        1 & 1 & 1 & 1\\
+        0 & 1 & 0 & 1\\
+        0 & 1 & 0 & 0\\
+        1 & 0 & 0 & 0
+    \end{pmatrix}
+\]
+
 \subsection{Fehler-Vektor $e_n$
-\label{mceliece:subsection:p_m}}
+\label{mceliece:subsection:e_n}}
 Dieser Vektor der Länge $n$ besteht aus $t$ Einsen, welche zufällig innerhalb des Vektors angeordnet sind,
 alle anderen Einträge sind Null.
 Dieser Fehlervektor besitzt also gleich viele Einer,
-wie die Anzahl Fehler, die der Linearcode zu korrigieren vermag.
+wie die Anzahl Fehler, die der Linearcode der Generatormatrix $G_{n,k}$ zu korrigieren vermag.
 
 Beispiel
 \[
@@ -127,23 +148,10 @@ Beispiel
     \end{pmatrix}
 \]
 
-\subsection{Public-Key $K_{n,k}$
-\label{mceliece:subsection:k_m}}
-Der öffentliche Schlüssel, welcher zum Verschlüsseln verwendet wird,
-berechnet sich mit
-\[
-    K_{n,k}=P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\,.
-\]
-Beispiel
-\[
-    K_{7,4}=
-    \begin{pmatrix}
-        0 & 0 & 1 & 0\\
-        1 & 0 & 0 & 1\\
-        0 & 0 & 1 & 1\\
-        1 & 1 & 1 & 1\\
-        0 & 1 & 0 & 1\\
-        0 & 1 & 0 & 0\\
-        1 & 0 & 0 & 0
-    \end{pmatrix}
-\]
\ No newline at end of file
+\subsection{Daten-Vektor $d_k$
+\label{mceliece:subsection:d_k}}
+In diesem Vektor der länge $k$ ist die Nachricht (oder einen Teil davon) enthalten.
+
+\subsection{Code-Vektor $c_n$
+\label{mceliece:subsection:c_n}}
+In diesem Vektor der länge $n$ ist die verschlüsselte Nachricht (oder einen Teil davon) enthalten.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 180fac4090c0d412b7742b89b380fb44d3abb271 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Reto Fritsche <reto.fritsche@ost.ch>
Date: Mon, 9 Aug 2021 23:10:57 +0200
Subject: scratch ready

---
 buch/papers/mceliece/aufbau.tex | 5 ++++-
 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/mceliece/aufbau.tex')

diff --git a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
index f8533d6..521488d 100644
--- a/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
+++ b/buch/papers/mceliece/aufbau.tex
@@ -28,7 +28,8 @@ Für kleine Matrizen kann durchaus jedes Matrizenelement zufällig generiert wer
 wobei danach mithilfe des Gauss-Algorythmusses deren Inverse bestimmt werden kann.
 Da eine solche Matrix möglicherweise singulär ist, muss in diesem Fall eine neue Zufallsmatrix erzeugt werden.
 Für grössere Matrizen existieren bessere Methoden, auf welche hier nicht weiter eingegangen wird \cite{mceliece:GenerationRandMatrix}.
-Beispielsweise
+
+Beispiel:
 \[S_4=
     \begin{pmatrix}
         0 & 0 & 1 & 1\\
@@ -79,6 +80,7 @@ Beispiel
 \label{mceliece:subsection:p_n}}
 Mit der zufällig generierten Permutationsmatrix $P_n$ wird die Reihenfolge der Bits geändert.
 Mit der Inversen $P_n^{-1}$ kann die Bitvertauschung rückgängig gemacht werden.
+
 Beispiel
 \[
     P_7=
@@ -113,6 +115,7 @@ berechnet sich aus den bereits bekannten Matrizen wiefolgt:
 \[
     K_{n,k}=P_{n}\cdot G_{n,k}\cdot S_{k}\,.
 \]
+
 Beispiel
 \[
     K_{7,4}=
-- 
cgit v1.2.1

