From 0c073915585da20db52db82958d50e159559e5c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Nunigan Date: Fri, 20 Aug 2021 08:50:43 +0200 Subject: update --- buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 62 ++++++++++++------------- 1 file changed, 31 insertions(+), 31 deletions(-) (limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex') diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex index ac7cb85..90cb9ff 100755 --- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex +++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex @@ -7,12 +7,12 @@ \section{Algorithmen} \rhead{Algorithmen} -In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. +In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur unkomplizierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt. \subsection{Standard Algorithmus} -Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} gsehen werden. -Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert. +Die Standardmethode ist im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} implementiert. +Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt umgesetzt. Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten. \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrizenmultiplikation} \label{multiplikation:alg:smm} @@ -37,7 +37,7 @@ Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, \EndFunction \end{algorithmic} \end{algorithm} -Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$ +Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{for} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$. \subsubsection{Divide and Conquer Methode} @@ -65,8 +65,8 @@ Das Matrizen Produkt \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22} \end{bmatrix}, \end{equation} -\begin{equation} -\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj} +mit \begin{equation} +\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}, \label{multiplikation:eq:MM_block} \end{equation} ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet. @@ -105,11 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algorithmen. Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit. -In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt +In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt zu \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac} - \mathcal{T}(n) = 8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O} (n^{3} ) + \mathcal{T}(n) = 8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2 = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O} (n^{3} ), \end{equation} -zu einer kubischen Laufzeit. +also einer kubischen Laufzeit. Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden. In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt. @@ -187,7 +187,7 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht. Strassens Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt. Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird. -Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$. +Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \ldots, V}$. Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition. \begin{figure} \center @@ -246,7 +246,7 @@ Im Vergleich mit der Methode von Winograd, \end{split} \end{align} %\end{equation} -werden für die berechnung des Skalarproduktes weniger Multiplikationen benötigt, falls $N\leq T$. +werden für die Berechnung des Skalarproduktes weniger Multiplikationen benötigt, falls $N\leq T$. Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet. Dies f\"uhrt zu \begin{equation} @@ -266,7 +266,7 @@ sein, damit man etwas einspart. Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden. Falls $m=n=p$, werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt. Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und - somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$. + somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$. \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation} \setlength{\lineskip}{7pt} \label{multiplikation:alg:winograd} @@ -406,21 +406,21 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \begin{table} \begin{center} - \begin{tabular}{l l l l l l} + \begin{tabular}{r l l l l l} \hline \hline \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} & \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})} & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\ \hline \multicolumn{6}{c}{} \\ - \textbf{32} & 0.000089 & 0.000594 & 0.0005 & 0.00008 & 0.000021 \\ - \textbf{64} & 0.00069 & 0.0044 & 0.0036 & 0.00064 & 0.00018 \\ - \textbf{128} & 0.0057 & 0.035 & 0.025 & 0.0052 & 0.0012 \\ - \textbf{256} & 0.052 & 0.29 & 0.178 & 0.053 & 0.0096 \\ - \textbf{512} & 0.51 & 2.22 & 1.25 & 0.55 & 0.077 \\ - \textbf{1024} & 4.50 & 17.65 & 8.83 & 4.67 & 0.764 \\ - \textbf{2048} & 129.28 & 141.61 & 61.901 & 136.67 & 7.63 \\ - \textbf{4096} & 1111.31 & 1147.10 & 414.64 & 1179.26 & 55.84 \\ - \textbf{8192} & 9376.17 & 9606.40 & 3014.23 & 10071.51& 478.42 \\ + \textbf{32} & \phantom{000}0.000089 & \phantom{000}0.000594 & \phantom{000}0.0005 & \phantom{0000}0.00008 & \phantom{00}0.000021 \\ + \textbf{64} & \phantom{000}0.00069 & \phantom{000}0.0044 & \phantom{000}0.0036 & \phantom{0000}0.00064 & \phantom{00}0.00018 \\ + \textbf{128} & \phantom{000}0.0057 & \phantom{000}0.035 & \phantom{000}0.025 & \phantom{0000}0.0052 & \phantom{00}0.0012 \\ + \textbf{256} & \phantom{000}0.052 & \phantom{000}0.29 & \phantom{000}0.178 & \phantom{0000}0.053 & \phantom{00}0.0096 \\ + \textbf{512} & \phantom{000}0.51 & \phantom{000}2.22 & \phantom{000}1.25 & \phantom{0000}0.55 & \phantom{00}0.077 \\ + \textbf{1024} & \phantom{000}4.50 & \phantom{00}17.65 & \phantom{000}8.83 & \phantom{0000}4.67 & \phantom{00}0.764 \\ + \textbf{2048} & \phantom{0}129.28 & \phantom{0}141.61 & \phantom{00}61.901 & \phantom{00}136.67 & \phantom{00}7.63 \\ + \textbf{4096} & 1111.31 & 1147.10 & \phantom{0}414.64 & \phantom{0}1179.26 & \phantom{0}55.84 \\ + \textbf{8192} & 9376.17 & 9606.40 & 3014.23 & 10071.51 & 478.42 \\ \multicolumn{6}{c}{} \\ \hline \hline @@ -434,20 +434,20 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul \begin{table} \begin{center} - \begin{tabular}{l l l l l l} + \begin{tabular}{r l l l l l} \hline \hline \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} & \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})} & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{NumPy(\textit{s})} \\ \hline \multicolumn{6}{c}{} \\ - \textbf{32} & 0.0240 &0.0271 & 0.04852& 0.01871 & 0.0000426 \\ - \textbf{64} & 0.186 & 0.265& 0.2204& 0.1530& 0.000118 \\ - \textbf{128} & 1.563 & 1.777& 1.447& 1.1947 & 0.000244 \\ - \textbf{256} & 11.006 & 13.27 & 9.938 & 8.298& 0.000695 \\ - \textbf{512} & 85.476 & 105.397 & 63.961 & 68.36 & 0.00221\\ - \textbf{1024} & 750.757 & 847.321& 461.494 & 537.374 & 0.0188 \\ - \textbf{2048} & 6154.18 & 7375.93& 3860.57 & 4884.61 & 0.215 \\ - \textbf{4096} & 46813.3 & 58466 & 22904.3 & 43597.1 & 1.49 \\ + \textbf{32} & \phantom{000}0.0240 & \phantom{0000}0.0271& \phantom{0000}0.04852 & \phantom{0000}0.01871 & 0.0000426 \\ + \textbf{64} &\phantom{000} 0.186 & \phantom{0000}0.265 & \phantom{0000}0.2204 & \phantom{0000}0.1530& 0.000118 \\ + \textbf{128} &\phantom{000} 1.563 & \phantom{0000}1.777 & \phantom{0000}1.447 & \phantom{0000}1.1947 & 0.000244 \\ + \textbf{256} &\phantom{00} 11.006 & \phantom{000}13.27 & \phantom{0000}9.938 & \phantom{0000}8.298& 0.000695 \\ + \textbf{512} &\phantom{00} 85.476 & \phantom{00}105.397 & \phantom{000}63.961 & \phantom{000}68.360 & 0.00221\\ + \textbf{1024} &\phantom{0} 750.757 & \phantom{00}847.321 & \phantom{00}461.494 & \phantom{00}537.374 & 0.0188 \\ + \textbf{2048} & 6154.18 & \phantom{0}7375.93 & \phantom{0}3860.57 & \phantom{0}4884.61 & 0.215 \\ + \textbf{4096} & 46813.30 & 58466.00 & 22904.30 & 43597.10 & 1.49 \\ \multicolumn{6}{c}{} \\ \hline \hline -- cgit v1.2.1