From ce9f4591847c6bd2dc6ebaa30fc5d72714e0280c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michaelschmid13@hotmail.com>
Date: Tue, 10 Aug 2021 06:37:20 +0200
Subject: new measurements

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 48 ++++++++++++-------------
 1 file changed, 24 insertions(+), 24 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index a7612e1..464085d 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -39,13 +39,13 @@ Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$
+Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
 
 F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer}  Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten.
 Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird.
-Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
+Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O} (n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
 
 Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
 Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
@@ -68,7 +68,7 @@ Das Matrizen Produkt
 \end{bmatrix},
 \end{equation}
 \begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}2n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
 ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
@@ -109,7 +109,7 @@ Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \ci
 Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit.
 In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
-	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right )
+	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}  (n^{3} )
 \end{equation}
 zu einer kubischen Laufzeit.
 Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
@@ -202,7 +202,7 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen.
 Dies f\"uhrt nach dem \textit{Master Theorem} zu einer Laufzeit von
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen}
 \mathcal{T}(n) =
-7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right )
+7 \cdot \mathcal{T}\left(\frac{n}{2}\right) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 7} ) = \mathcal{O}(n^{2.8074}  )
 \end{equation}
 und ist somit schneller als die Standardmethode.
 Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde.
@@ -267,7 +267,7 @@ sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}/{2}$ Multiplikationen benötigt.
 Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
- somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^3 \right)$.
+ somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:winograd}
@@ -336,33 +336,33 @@ Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{M
 	\item Level 2
 	\begin{itemize}
 		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta  \mathbf{y}$
-		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ Charakteristik
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n^2)$ Charakteristik
 		\end{itemize}
 		\item Level 3
 		\begin{itemize}
 			\item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$
-			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ Charakteristik
+			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n^3)$ Charakteristik
 			\end{itemize}
 \end{itemize}
 
 Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
 
 
-\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
-
-Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als:
-
-\textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
-$$
- C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C,
- $$
- \textit{where  op( X ) is one of}
-$$
-op( X ) = X  \quad \text{ or } \quad  op( X ) = X^T,
-$$
- \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A )
- an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
- }
+%\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
+%
+%Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als:
+%
+%\textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
+%$$
+% C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C,
+% $$
+% \textit{where  op( X ) is one of}
+%$$
+%op( X ) = X  \quad \text{ or } \quad  op( X ) = X^T,
+%$$
+% \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A )
+% an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
+% }
 
 %Die Implementation von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
 %\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
@@ -379,7 +379,7 @@ $$
 Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
 \begin{itemize}
 	\item Standard Matrizenmultiplikation
-	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
+	\item \textit{Divide and Conquer} Matrizenmultiplikation
 	\item Strassens Matrizenmultiplikation
 	\item Winograds Matrizenmultiplikation
 	\item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
-- 
cgit v1.2.1


From 6bab37ba5c4d1875f3c99f338a554537219013f6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Wed, 11 Aug 2021 21:22:29 +0200
Subject: update multiplikation

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 30 ++++++++++++++++---------
 1 file changed, 20 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 464085d..be8c2d4 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -389,6 +389,14 @@ Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 Der Code kann im zum Buch gehörigem \textit{GitHub} \footnote{\url{https://github.com/AndreasFMueller/SeminarMatrizen.git}} Repository gefunden werden.
 Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten.
 In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
+
+In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C}, kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
+den. Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Gr\"osse von
+n = 2048 wohl eine Zeile der Matrix nicht an einer Cache Speicherstelle platzt. Diese beiden Al-
+Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden.
+Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen. Bei den anderen Algorith-
+men ist dies nicht der Fall.
+
 Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet.
 
 
@@ -400,14 +408,15 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\
 							 \hline
 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-							 \textbf{32}   & 0.000081 &0.000594 &  0.00047& 0.00010 & 0.000022  \\
-							 \textbf{64}   & 0.00065  & 0.0042&  0.0033& 0.00065& 0.00017 \\
-							 \textbf{128}  & 0.0055   & 0.036&  0.024&  0.0052 & 0.0012 \\
-							 \textbf{256}  & 0.054    & 0.32 & 0.17 &  0.057& 0.010 \\
-							 \textbf{512}  & 0.48     & 2.61 & 1.20 & 0.51 &  0.074\\
-							 \textbf{1024} & 4.16     & 19.92& 8.45  & 4.53 & 0.704 \\
-							 \textbf{2048} & 125.90   & 159.33& 59.26 & 130.62 &  6.84 \\
-							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10& 414.64 & 1179.26  &  55.84\\
+							 \textbf{32}   & 0.000089 & 0.000594 & 0.0005 & 0.00008 & 0.000021  \\
+							 \textbf{64}   & 0.00069  & 0.0044   & 0.0036  & 0.00064 & 0.00018   \\
+							 \textbf{128}  & 0.0057   & 0.035    & 0.025   & 0.0052  & 0.0012    \\
+							 \textbf{256}  & 0.052    & 0.29     & 0.178    & 0.053   & 0.0096     \\
+							 \textbf{512}  & 0.51     & 2.22     & 1.25    & 0.55    & 0.077     \\
+							 \textbf{1024} & 4.50     & 17.65    & 8.83    & 4.67    & 0.764     \\
+							 \textbf{2048} & 129.28   & 141.61   & 61.901   & 136.67  & 7.63      \\
+							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10  & 414.64  & 1179.26 & 55.84     \\
+							 \textbf{8192} & 9376.17  & 9606.40  & 3014.23  & 10071.51& 478.42     \\
 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 							 \hline
 							 \hline
@@ -427,13 +436,14 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\
 	 							 \hline
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 4.26e-05  \\
+	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 0.0000426  \\
 	 							 \textbf{64}   & 0.186  & 0.265&  0.2204& 0.1530& 0.000118 \\
 	 							 \textbf{128}  & 1.563   & 1.777&  1.447&  1.1947 & 0.000244 \\
 	 							 \textbf{256}  & 11.006    & 13.27 & 9.938 &  8.298& 0.000695 \\
 	 							 \textbf{512}  & 85.476    & 105.397 & 63.961 & 68.36 &  0.00221\\
 	 							 \textbf{1024} & 750.757     & 847.321& 461.494  & 537.374 & 0.0188 \\
-								 \textbf{4096} & -     & - & -  & - & 1.633 \\
+								 \textbf{2048} & 6154.18     & 7375.93& 3860.57  & 4884.61 & 0.215 \\
+								 \textbf{4096} & 46813.3     & 58466 & 22904.3  & 43597.1 & 1.49 \\
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 	 							 \hline
 	 							 \hline
-- 
cgit v1.2.1


From 2b6637fb99a4aaebadc739b323b0ae440eb805e7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Wed, 11 Aug 2021 21:31:37 +0200
Subject: typo

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 12 ++++++------
 1 file changed, 6 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index be8c2d4..0760719 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -265,7 +265,7 @@ N=2n, \quad T = n^2 \\
 \end{equation}
 sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
-Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}/{2}$ Multiplikationen benötigt.
+Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
 Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
  somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
@@ -391,11 +391,11 @@ Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige I
 In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
 
 In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C}, kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
-den. Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Gr\"osse von
-n = 2048 wohl eine Zeile der Matrix nicht an einer Cache Speicherstelle platzt. Diese beiden Al-
-Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden.
-Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen. Bei den anderen Algorith-
-men ist dies nicht der Fall.
+den.
+Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Matrizengrösse von $n = 2048$ wohl eine Zeile der Matrize nicht an einer Cache Speicherstelle platzt.
+Diese beiden Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden.
+Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen.
+Bei den anderen Algorithmen ist dies nicht der Fall.
 
 Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 713ef9bbfa79eb2ae2b821da26271cdeea58834c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michaelschmid13@hotmail.com>
Date: Tue, 17 Aug 2021 07:41:22 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 54 ++++++++++++++-----------
 1 file changed, 30 insertions(+), 24 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 0760719..ac7cb85 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -11,10 +11,9 @@ In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultip
 
 \subsection{Standard Algorithmus}
 
-Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
+Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} gsehen werden.
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
 Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
-
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrizenmultiplikation}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
@@ -38,7 +37,6 @@ Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 		\EndFunction
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-
 Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
@@ -131,7 +129,7 @@ Die sieben grundlegenden Terme
 \text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right )
 \end{split}
 \end{equation}
-aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
+aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
 \begin{split}
 \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
@@ -233,29 +231,30 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit
 	\end{cases}
 \end{equation}
 Das Skalarprodukt kann also mit $ \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$ weiteren Multiplikationen berechnet werden.
-Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
+Angenommen man hat $N$ Vektoren, mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
 Die Summen f\"ur $\xi$ und $\eta$ m\"ussen nur einmal berechnet werden.
-Für die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
-Im Vergleich mit der neuen Methode
-\begin{equation}
-	\begin{split}\label{multiplikation:eq:eff}
-		N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor \leq Tn \\
-		\approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} \leq Tn \\
-		\frac{Nn}{2} \leq \frac{Tn}{2} \\
-		N \leq T
+Für die ursprüngliche Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} für das Skalarprodukt benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
+Im Vergleich mit der Methode von Winograd,
+%\begin{equation}\label{multiplikation:eq:eff}
+	\begin{align}\label{multiplikation:eq:eff}
+	\begin{split}
+		N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor &\leq Tn \\
+		\approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} &\leq Tn \\
+		\frac{Nn}{2} &\leq \frac{Tn}{2} \\
+		N &\leq T,
 \end{split}
-\end{equation}
-spart man etwas, falls $N\leq T$.
+\end{align}
+%\end{equation}
+werden für die berechnung des Skalarproduktes weniger Multiplikationen benötigt, falls $N\leq T$.
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
 		(m+p) \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + mp \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor = \frac{mn}{2} + \frac{pn}{2} + \frac{mpn}{2} + \frac{mp}{2}
 \end{equation}
 Multiplikationen.
-Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
-Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
-Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \ref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
+Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt, was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
+Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
 \begin{equation}
 	\begin{split}
 N=2n, \quad T = n^2 \\
@@ -265,7 +264,7 @@ N=2n, \quad T = n^2 \\
 \end{equation}
 sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
-Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
+Falls $m=n=p$, werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
 Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
  somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
@@ -390,9 +389,14 @@ Der Code kann im zum Buch gehörigem \textit{GitHub} \footnote{\url{https://gith
 Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten.
 In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
 
-In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C}, kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
+Die gezeigten Algorithmen haben alle eine Laufzeit der Form $\mathcal{O}(n^k) $.
+Bei einer logarithmischen Darstellung unterscheiden sich diese in Geraden mit unterschiedlichen Steigungen.
+Bei den grafisch gezeigten Messresultate, können diese Steigungen gut erkannt werden, wobei die tiefere Laufzeit des Strassen Algorithmus eindrücklich zu sehen ist.
+Der beötigte Overhead der Algorithmen zeigt sich in unterschiedlichen $y$-Achsenschnittpunkte.
+
+In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C} kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
 den.
-Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Matrizengrösse von $n = 2048$ wohl eine Zeile der Matrize nicht an einer Cache Speicherstelle platzt.
+Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Matrizengrösse von $n = 2048$ wohl eine Zeile der Matrix nicht an einer Cache Speicherstelle Platz.
 Diese beiden Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden.
 Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen.
 Bei den anderen Algorithmen ist dies nicht der Fall.
@@ -433,7 +437,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 	 					 \begin{tabular}{l l l l l l}
 	 							 \hline
 	 							 \hline
-	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\
+	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{NumPy(\textit{s})} \\
 	 							 \hline
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 0.0000426  \\
@@ -490,10 +494,12 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
 
-Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
+Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz der theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
 Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
 
 Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
 Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
 Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
-Sobald sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durchführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
+Der Overhead der gezeigten Alogorithmen ist in allen Fällen grösser als bei der Standardmethode (z.B. sieben rekursive Aufrufe gegenüber drei \texttt{for}-Schleifen).
+Um diesem entegenzuwirken muss der Laufzeitunterschied zwischen Addition und Multiplikation gross genug sein.
+Wenn dies gegeben ist und dazu noch grosse Matritzen multipliziert werden, kann die Verwendung der Algortihmen von Strassen oder Winograd zu einer Senkung der Laufzeit führen.
-- 
cgit v1.2.1


From 0c073915585da20db52db82958d50e159559e5c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michaelschmid13@hotmail.com>
Date: Fri, 20 Aug 2021 08:50:43 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 62 ++++++++++++-------------
 1 file changed, 31 insertions(+), 31 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index ac7cb85..90cb9ff 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -7,12 +7,12 @@
 \section{Algorithmen}
 \rhead{Algorithmen}
 
-In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
+In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur unkomplizierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
 \subsection{Standard Algorithmus}
 
-Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} gsehen werden.
-Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
+Die Standardmethode ist im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} implementiert.
+Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt umgesetzt.
 Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrizenmultiplikation}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
@@ -37,7 +37,7 @@ Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 		\EndFunction
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$
+Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{for} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$.
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
 
@@ -65,8 +65,8 @@ Das Matrizen Produkt
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
 \end{bmatrix},
 \end{equation}
-\begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
+mit \begin{equation}
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj},
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
 ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
@@ -105,11 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$
 
 Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algorithmen.
 Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit.
-In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
+In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt zu
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
-	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}  (n^{3} )
+	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}  (n^{3} ),
 \end{equation}
-zu einer kubischen Laufzeit.
+also einer kubischen Laufzeit.
 Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
 In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt.
 
@@ -187,7 +187,7 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
 Strassens Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
 Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ .
 Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
-Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
+Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \ldots, V}$.
 Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
 \begin{figure}
 	\center
@@ -246,7 +246,7 @@ Im Vergleich mit der Methode von Winograd,
 \end{split}
 \end{align}
 %\end{equation}
-werden für die berechnung des Skalarproduktes weniger Multiplikationen benötigt, falls $N\leq T$.
+werden für die Berechnung des Skalarproduktes weniger Multiplikationen benötigt, falls $N\leq T$.
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
@@ -266,7 +266,7 @@ sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 Falls $m=n=p$, werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
 Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
- somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
+ somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:winograd}
@@ -406,21 +406,21 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 
 \begin{table}
 			 \begin{center}
-					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+					 \begin{tabular}{r l l l l l}
 							 \hline
 							 \hline
 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\
 							 \hline
 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-							 \textbf{32}   & 0.000089 & 0.000594 & 0.0005 & 0.00008 & 0.000021  \\
-							 \textbf{64}   & 0.00069  & 0.0044   & 0.0036  & 0.00064 & 0.00018   \\
-							 \textbf{128}  & 0.0057   & 0.035    & 0.025   & 0.0052  & 0.0012    \\
-							 \textbf{256}  & 0.052    & 0.29     & 0.178    & 0.053   & 0.0096     \\
-							 \textbf{512}  & 0.51     & 2.22     & 1.25    & 0.55    & 0.077     \\
-							 \textbf{1024} & 4.50     & 17.65    & 8.83    & 4.67    & 0.764     \\
-							 \textbf{2048} & 129.28   & 141.61   & 61.901   & 136.67  & 7.63      \\
-							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10  & 414.64  & 1179.26 & 55.84     \\
-							 \textbf{8192} & 9376.17  & 9606.40  & 3014.23  & 10071.51& 478.42     \\
+							 \textbf{32}   & \phantom{000}0.000089 & \phantom{000}0.000594 & \phantom{000}0.0005  & \phantom{0000}0.00008 & \phantom{00}0.000021  \\
+							 \textbf{64}   & \phantom{000}0.00069  & \phantom{000}0.0044   & \phantom{000}0.0036  & \phantom{0000}0.00064 & \phantom{00}0.00018   \\
+							 \textbf{128}  & \phantom{000}0.0057   & \phantom{000}0.035    & \phantom{000}0.025   & \phantom{0000}0.0052  & \phantom{00}0.0012    \\
+							 \textbf{256}  & \phantom{000}0.052    & \phantom{000}0.29     & \phantom{000}0.178   & \phantom{0000}0.053   & \phantom{00}0.0096     \\
+							 \textbf{512}  & \phantom{000}0.51     & \phantom{000}2.22     & \phantom{000}1.25    & \phantom{0000}0.55    & \phantom{00}0.077     \\
+							 \textbf{1024} & \phantom{000}4.50     & \phantom{00}17.65     & \phantom{000}8.83    & \phantom{0000}4.67    & \phantom{00}0.764     \\
+							 \textbf{2048} & \phantom{0}129.28     & \phantom{0}141.61     & \phantom{00}61.901   & \phantom{00}136.67    & \phantom{00}7.63      \\
+							 \textbf{4096} & 1111.31               & 1147.10               & \phantom{0}414.64    & \phantom{0}1179.26    & \phantom{0}55.84     \\
+							 \textbf{8192} & 9376.17               & 9606.40               & 3014.23              & 10071.51              & 478.42     \\
 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 							 \hline
 							 \hline
@@ -434,20 +434,20 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 
 	 \begin{table}
 	 			 \begin{center}
-	 					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+	 					 \begin{tabular}{r l l l l l}
 	 							 \hline
 	 							 \hline
 	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{NumPy(\textit{s})} \\
 	 							 \hline
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 0.0000426  \\
-	 							 \textbf{64}   & 0.186  & 0.265&  0.2204& 0.1530& 0.000118 \\
-	 							 \textbf{128}  & 1.563   & 1.777&  1.447&  1.1947 & 0.000244 \\
-	 							 \textbf{256}  & 11.006    & 13.27 & 9.938 &  8.298& 0.000695 \\
-	 							 \textbf{512}  & 85.476    & 105.397 & 63.961 & 68.36 &  0.00221\\
-	 							 \textbf{1024} & 750.757     & 847.321& 461.494  & 537.374 & 0.0188 \\
-								 \textbf{2048} & 6154.18     & 7375.93& 3860.57  & 4884.61 & 0.215 \\
-								 \textbf{4096} & 46813.3     & 58466 & 22904.3  & 43597.1 & 1.49 \\
+	 							 \textbf{32}   & \phantom{000}0.0240     & \phantom{0000}0.0271& \phantom{0000}0.04852 & \phantom{0000}0.01871 & 0.0000426  \\
+	 							 \textbf{64}   &\phantom{000} 0.186      & \phantom{0000}0.265 & \phantom{0000}0.2204  & \phantom{0000}0.1530& 0.000118 \\
+	 							 \textbf{128}  &\phantom{000} 1.563      & \phantom{0000}1.777 & \phantom{0000}1.447   & \phantom{0000}1.1947 & 0.000244 \\
+	 							 \textbf{256}  &\phantom{00} 11.006      & \phantom{000}13.27  & \phantom{0000}9.938   & \phantom{0000}8.298& 0.000695 \\
+	 							 \textbf{512}  &\phantom{00} 85.476      & \phantom{00}105.397 & \phantom{000}63.961   & \phantom{000}68.360 &  0.00221\\
+	 							 \textbf{1024} &\phantom{0} 750.757      & \phantom{00}847.321 & \phantom{00}461.494   & \phantom{00}537.374 & 0.0188 \\
+								 \textbf{2048} & 6154.18                 & \phantom{0}7375.93  & \phantom{0}3860.57    & \phantom{0}4884.61 & 0.215 \\
+								 \textbf{4096} & 46813.30                 & 58466.00               & 22904.30               & 43597.10 & 1.49 \\
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 	 							 \hline
 	 							 \hline
-- 
cgit v1.2.1


From 27bef650fb02f20f0f0a0980e810363583115cd9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Sat, 21 Aug 2021 14:54:03 +0200
Subject: update multiplikation

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 52 ++++++++++++-------------
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--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -192,7 +192,7 @@ Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
-	\caption{Strassens Algorithmus}
+	\caption{Der Algorithmus von Strassen verwendet Multiplikationen zur Berechnung der sieben Block-Matrizen $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, aus denen sich die Blöcke es Produktes $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$ ausschliesslich durch Addition und Subtraktion bilden lassen. Die einzelnen Felder in den Quadraten stellen alle möglichen Produkte von Matrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{jl}$ dar. In den grossen Quadraten am linken Rand sind diejenigen Produkte grün markiert, welche zusammen die entsprechenden Blöcke $\mathbf{C}_{il}$ von $\mathbf{C}$ ergeben. In den Spalten $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ sind die Produkte farblich hervorgehoben, die in der Definition der entsprechenden Matrix vorkommen. Grün und rot symbolisieren die Vorzeichen, mit denen die Produkte kombiniert werden müssen}
 	\label{multiplikation:fig:strassen}
 \end{figure}
 
@@ -235,18 +235,14 @@ Angenommen man hat $N$ Vektoren, mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
 Die Summen f\"ur $\xi$ und $\eta$ m\"ussen nur einmal berechnet werden.
 Für die ursprüngliche Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} für das Skalarprodukt benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
-Im Vergleich mit der Methode von Winograd,
-%\begin{equation}\label{multiplikation:eq:eff}
-	\begin{align}\label{multiplikation:eq:eff}
-	\begin{split}
-		N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor &\leq Tn \\
-		\approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} &\leq Tn \\
-		\frac{Nn}{2} &\leq \frac{Tn}{2} \\
-		N &\leq T,
-\end{split}
-\end{align}
-%\end{equation}
-werden für die Berechnung des Skalarproduktes weniger Multiplikationen benötigt, falls $N\leq T$.
+Damit können wir die Laufzeit der Methode von Winograd mit der Laufzeit der Standardmethode vergleichen. Sie ist kleiner als die Laufzeit für die Standardmethode, wenn gilt
+\begin{equation}\label{multiplikation:eq:eff}
+\begin{array}{crcl}
+                & N\lfloor n/2\rfloor + T\lfloor(n+1)/2\rfloor \approx Nn/2 + Tn/2 & \le & Tn   \\
+\Leftrightarrow &                                                             Nn/2 & \le & Tn/2 \\
+\Leftrightarrow &                                                                N & \le & T.
+\end{array}
+\end{equation}
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
@@ -255,13 +251,13 @@ Dies f\"uhrt zu
 Multiplikationen.
 Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt, was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
 Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
-\begin{equation}
+\begin{align}
 	\begin{split}
-N=2n, \quad T = n^2 \\
-	2n \leq n^2 \\
-	2 \leq n
+N=2n, &\quad T = n^2 \\
+	2n &\leq n^2 \\
+	2 &\leq n
 \end{split}
-\end{equation}
+\end{align}
 sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 Falls $m=n=p$, werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
@@ -322,7 +318,7 @@ Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \ri
 \subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}
 
 Die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
-Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}.
+Die meisten numerischen Bibliotheken von high-level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}.
 
 \textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt.
 
@@ -390,9 +386,9 @@ Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige I
 In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
 
 Die gezeigten Algorithmen haben alle eine Laufzeit der Form $\mathcal{O}(n^k) $.
-Bei einer logarithmischen Darstellung unterscheiden sich diese in Geraden mit unterschiedlichen Steigungen.
+Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung unterscheiden sich diese in Geraden mit unterschiedlichen Steigungen.
 Bei den grafisch gezeigten Messresultate, können diese Steigungen gut erkannt werden, wobei die tiefere Laufzeit des Strassen Algorithmus eindrücklich zu sehen ist.
-Der beötigte Overhead der Algorithmen zeigt sich in unterschiedlichen $y$-Achsenschnittpunkte.
+Der benötigte Overhead der Algorithmen zeigt sich in unterschiedlichen $y$-Achsenschnittpunkte.
 
 In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C} kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
 den.
@@ -426,7 +422,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 							 \hline
 					 \end{tabular}
 			 \end{center}
-			 \caption{Messresultate \texttt{C}}
+			 \caption{Laufzeiten der verschieden Algorithmen in der Programmiersprache \texttt{C}}
 			 \label{multiplikation:tab:messung_C}
 	 \end{table}
 
@@ -453,7 +449,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 	 							 \hline
 	 					 \end{tabular}
 	 			 \end{center}
-	 			 \caption{Messresultate \texttt{Python}}
+	 			 \caption{Laufzeiten der verschieden Algorithmen in der Skriptsprache \texttt{Python}}
 	 			 \label{multiplikation:tab:messung_Python}
 	 	 \end{table}
 
@@ -479,7 +475,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_c}
-	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}}
+	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Programmiersprache \texttt{C}}
 	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
 \end{figure}
 
@@ -487,7 +483,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_python}
-	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}}
+	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Skriptsprache \texttt{Python}}
 	\label{multiplikation:fig:python}
 \end{figure}
 
@@ -500,6 +496,6 @@ Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die La
 Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
 Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
 Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
-Der Overhead der gezeigten Alogorithmen ist in allen Fällen grösser als bei der Standardmethode (z.B. sieben rekursive Aufrufe gegenüber drei \texttt{for}-Schleifen).
-Um diesem entegenzuwirken muss der Laufzeitunterschied zwischen Addition und Multiplikation gross genug sein.
-Wenn dies gegeben ist und dazu noch grosse Matritzen multipliziert werden, kann die Verwendung der Algortihmen von Strassen oder Winograd zu einer Senkung der Laufzeit führen.
+Der Overhead der gezeigten Algorithmen ist in allen Fällen grösser als bei der Standardmethode (z.B. sieben rekursive Aufrufe gegenüber drei \texttt{for}-Schleifen).
+Um diesem entgegenzuwirken muss der Laufzeitunterschied zwischen Addition und Multiplikation gross genug sein.
+Wenn dies gegeben ist und dazu noch grosse Matritzen multipliziert werden, kann die Verwendung der Algorithmen von Strassen oder Winograd zu einer Senkung der Laufzeit führen.
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 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 37 ++++++++++++++-----------
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index 51872f5..8d0c0a8 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
 
 In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur unkomplizierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
-\subsection{Standard Algorithmus}
+\subsection{Standardalgorithmus}
 
 Die Standardmethode ist im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} implementiert.
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt umgesetzt.
@@ -48,7 +48,7 @@ Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die
 Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
 Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
 Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt.
-Das Matrizen Produkt
+Das Matrizenprodukt
 \begin{equation}
 \mathbf{A}\mathbf{B}=
 \begin{bmatrix}
@@ -63,16 +63,16 @@ Das Matrizen Produkt
 \begin{bmatrix}
 \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
-\end{bmatrix},
+\end{bmatrix}
 \end{equation}
 mit \begin{equation}
 \mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj},
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
-ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
+ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
 
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
-Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
+Die Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
 Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrizenmultiplikation}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
@@ -189,10 +189,11 @@ Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf
 Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
 Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \ldots, V}$.
 Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
+Graue Felder bedeuten, dass die dazugehörige Spalte nicht für die Berechnung benötigt wird.
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
-	\caption{Der Algorithmus von Strassen verwendet Multiplikationen zur Berechnung der sieben Block-Matrizen $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, aus denen sich die Blöcke es Produktes $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$ ausschliesslich durch Addition und Subtraktion bilden lassen. Die einzelnen Felder in den Quadraten stellen alle möglichen Produkte von Matrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{jl}$ dar. In den grossen Quadraten am linken Rand sind diejenigen Produkte grün markiert, welche zusammen die entsprechenden Blöcke $\mathbf{C}_{il}$ von $\mathbf{C}$ ergeben. In den Spalten $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ sind die Produkte farblich hervorgehoben, die in der Definition der entsprechenden Matrix vorkommen. Grün und rot symbolisieren die Vorzeichen, mit denen die Produkte kombiniert werden müssen}
+	\caption{Der Algorithmus von Strassen verwendet Multiplikationen zur Berechnung der sieben Blockmatrizen $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, aus denen sich die Blöcke es Produktes $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$ ausschliesslich durch Addition und Subtraktion bilden lassen. Die einzelnen Felder in den Quadraten stellen alle möglichen Produkte von Matrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{jl}$ dar. In den grossen Quadraten am linken Rand sind diejenigen Produkte grün markiert, welche zusammen die entsprechenden Blöcke $\mathbf{C}_{il}$ von $\mathbf{C}$ ergeben. In den Spalten $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ sind die Produkte farblich hervorgehoben, die in der Definition der entsprechenden Matrix vorkommen. Grün und rot symbolisieren die Vorzeichen, mit denen die Produkte kombiniert werden müssen. Graue Felder werden für die Berechnung von $\mathbf{C}_{il}$ nicht benötigt.}
 	\label{multiplikation:fig:strassen}
 \end{figure}
 
@@ -340,7 +341,7 @@ Die meisten numerischen Bibliotheken von high-level Skriptsprachen wie \texttt{M
 			\end{itemize}
 \end{itemize}
 
-Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
+Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computerprozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
 
 
 %\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
@@ -436,13 +437,13 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{NumPy(\textit{s})} \\
 	 							 \hline
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-	 							 \textbf{32}   & \phantom{000}0.0240     & \phantom{0000}0.0271& \phantom{0000}0.04852 & \phantom{0000}0.01871 & 0.0000426  \\
-	 							 \textbf{64}   &\phantom{000} 0.186      & \phantom{0000}0.265 & \phantom{0000}0.2204  & \phantom{0000}0.1530& 0.000118 \\
-	 							 \textbf{128}  &\phantom{000} 1.563      & \phantom{0000}1.777 & \phantom{0000}1.447   & \phantom{0000}1.1947 & 0.000244 \\
-	 							 \textbf{256}  &\phantom{00} 11.006      & \phantom{000}13.27  & \phantom{0000}9.938   & \phantom{0000}8.298& 0.000695 \\
-	 							 \textbf{512}  &\phantom{00} 85.476      & \phantom{00}105.397 & \phantom{000}63.961   & \phantom{000}68.360 &  0.00221\\
-	 							 \textbf{1024} &\phantom{0} 750.757      & \phantom{00}847.321 & \phantom{00}461.494   & \phantom{00}537.374 & 0.0188 \\
-								 \textbf{2048} & 6154.18                 & \phantom{0}7375.93  & \phantom{0}3860.57    & \phantom{0}4884.61 & 0.215 \\
+	 							 \textbf{32}   &\phantom{0000}0.0240     & \phantom{0000}0.0271& \phantom{0000}0.04852 & \phantom{0000}0.01871 & 0.0000426  \\
+	 							 \textbf{64}   &\phantom{0000}0.186      & \phantom{0000}0.265 & \phantom{0000}0.2204  & \phantom{0000}0.1530& 0.000118 \\
+	 							 \textbf{128}  &\phantom{0000}1.563      & \phantom{0000}1.777 & \phantom{0000}1.447   & \phantom{0000}1.1947 & 0.000244 \\
+	 							 \textbf{256}  &\phantom{000}11.006      & \phantom{000}13.27  & \phantom{0000}9.938   & \phantom{0000}8.298& 0.000695 \\
+	 							 \textbf{512}  &\phantom{000}85.476      & \phantom{00}105.397 & \phantom{000}63.961   & \phantom{000}68.360 &  0.00221\\
+	 							 \textbf{1024} &\phantom{00}750.757      & \phantom{00}847.321 & \phantom{00}461.494   & \phantom{00}537.374 & 0.0188 \\
+								 \textbf{2048} &\phantom{0}6154.18                 & \phantom{0}7375.93  & \phantom{0}3860.57    & \phantom{0}4884.61 & 0.215 \\
 								 \textbf{4096} & 46813.30                 & 58466.00               & 22904.30               & 43597.10 & 1.49 \\
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 	 							 \hline
@@ -475,7 +476,9 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_c}
-	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Programmiersprache \texttt{C}}
+	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Programmiersprache \texttt{C}.
+	Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als deren der anderen Algorithmen.
+	Die Messung von Winograd ist beinahe gleich wie die Messung mit der Standardmethode, deshalb ist sie nicht gut sichtbar.}
 	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
 \end{figure}
 
@@ -483,7 +486,9 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_python}
-	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Skriptsprache \texttt{Python}}
+	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Skriptsprache \texttt{Python}.
+	Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als deren der anderen Algorithmen.
+}
 	\label{multiplikation:fig:python}
 \end{figure}
 
-- 
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