From 3875ac2b8df9145a66e9f6fcf34e77eb3bc2d072 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Tue, 27 Jul 2021 22:01:05 +0200
Subject: added first part of paper and code

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 309 ++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 309 insertions(+)
 create mode 100755 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
new file mode 100755
index 0000000..83be814
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -0,0 +1,309 @@
+%
+% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+\section{L\"osungsmethoden}
+\rhead{L\"osungsmethoden}
+
+In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
+
+\subsection{Standard Algorithmus}
+
+Der Standard Methode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
+Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
+Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{For j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{For k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
+
+\begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication}
+	\label{multiplikation:alg:smm}
+	\setlength{\lineskip}{7pt}
+	\begin{algorithmic}[1]
+		\Function{MM}{$\textbf{A}, \textbf{B}$}
+		\State $sum \gets 0$
+		\State $n \gets columns(\textbf{A}) == rows(\textbf{B})$
+		\State $m \gets rows(\textbf{A})$
+		\State $p \gets columns(\textbf{B})$
+		\State $\textbf{C} \gets zeros(m,p)$
+		\For{$i = 0,1,2 \dots,m-1$}
+		\For{$j = 0,1,2 \dots,p-1$}
+		\State $sum \gets 0$
+		\For{$k = 0,1,2 \dots,n-1$}
+		\State $sum \gets  sum + \textbf{A}[i][k] \cdot \textbf{B}[k][j]$
+		\EndFor
+		\State $\textbf{C}[i][j] \gets  sum $
+		\EndFor
+		\EndFor
+		\State \textbf{return} $\textbf{C}$
+		\EndFunction
+	\end{algorithmic}
+\end{algorithm}
+
+Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}(n^3)$
+
+\subsubsection{Divide and Conquer Methode}
+
+F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze zu markant besseren Laufzeiten.
+Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}(n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
+
+Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
+Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation, mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
+Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$
+\begin{equation}
+\mathbf{A}\mathbf{B}=
+\begin{bmatrix}
+\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12}\\
+\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22}
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12}\\
+\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22}
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+\mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
+\mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
+\end{bmatrix}
+\end{equation}
+aufgeteilt.
+Die Berechnung
+\begin{equation}
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
+\label{multiplikation:eq:MM_block}
+\end{equation}
+ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird.
+
+Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
+Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
+Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt.
+\begin{algorithm}\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication}
+	\setlength{\lineskip}{7pt}
+	\label{multiplikation:alg:devide_mm}
+	\begin{algorithmic}
+		\Function{MM}{$\textbf{A}, \textbf{B}, n$}
+		\If{$n = 2$}
+		\State  $ \mathbf{C} \gets zeros(n, n)$
+		\State  $C[0, 0] \gets  A[0][0]\cdot B[0][0]+A[0][1]\cdot B[1][0]$
+		\State  $C[0, 1] \gets  A[0][0]\cdot B[0][1]+A[0][1]\cdot B[1][1]$
+		\State  $C[1, 0] \gets  A[1][0]\cdot B[0][0]+A[1][1]\cdot B[1][0]$
+		\State  $C[1, 1] \gets  A[1][0]\cdot B[0][1]+A[1][1]\cdot B[1][1]$
+		\Else
+		\State  $ m \gets n/2$
+		\State $\mathbf{A11}, \mathbf{A12}, \mathbf{A21}, \mathbf{A22} \gets \mathbf{A}[:m][:m], \mathbf{A}[:m][m:], \mathbf{A}[m:][:m], \mathbf{A}[m:][m:]$
+		\State $\mathbf{B11}, \mathbf{B12}, \mathbf{B21}, \mathbf{B22} \gets \mathbf{B}[:m][:m], \mathbf{B}[:m][m:], \mathbf{B}[m:][:m], \mathbf{B}[m:][m:]$
+
+		\State $\mathbf{C11} \gets \text{MM}(\mathbf{A11}, \mathbf{B11},n) + \text{MM}(\mathbf{A12}, \mathbf{B21},n)$
+		\State $\mathbf{C12} \gets \text{MM}(\mathbf{A11},\mathbf{B12},n) + \text{MM}(\mathbf{A12}, \mathbf{B22},n)$
+		\State $\mathbf{C21} \gets \text{MM}(\mathbf{A21}, \mathbf{B11},n) + \text{MM}(\mathbf{A22}, \mathbf{B21},n)$
+		\State $\mathbf{C22} \gets \text{MM}(\mathbf{A21}, \mathbf{B12},n) + \text{MM}(\mathbf{A22}, \mathbf{B22},n)$
+		\State $  C \gets vstack(hstack(C11, C12), hstack(C21, C22))$
+
+		\EndIf
+		\State \textbf{return} $\textbf{C}$
+
+		\EndFunction
+	\end{algorithmic}
+\end{algorithm}
+
+Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} berechnet werden.
+Ohne auf diesen vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit.
+In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
+\begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
+	\mathcal{T}(n) =
+	\begin{cases}
+	1  & \text{if }  n \leq 2\\
+	8 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  & \text{if }  n > 2
+	\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}(n^{3})
+\end{equation}
+zu einer kubischen Laufzeit.
+Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
+In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt.
+
+
+\subsection{Strassen's Algorithmus}
+
+Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen.
+Die Grundlegenden Terme
+\begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen}
+\begin{split}
+\text{\textbf{P}}   &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}) \\
+\text{\textbf{Q}}  &= (\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}) \cdot \mathbf{B}_{11} \\
+\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot (\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}) \\
+\text{\textbf{S}}  &= \mathbf{A}_{22} \cdot (-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}) \\
+\text{\textbf{T}}   &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}) \cdot \mathbf{B}_{22} \\
+\text{\textbf{U}}  &= (-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}) \\
+\text{\textbf{V}} &= (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22})
+\end{split}
+\end{equation}
+aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\mathbf{C}$
+\begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
+\begin{split}
+\mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
+\mathbf{C}_{21} &= \text{\textbf{R}} + \text{\textbf{T}} \\
+\mathbf{C}_{12} &= \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{S}}\\
+\mathbf{C}_{22} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{R}} - \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{U}}
+\end{split}
+\end{equation}
+gebraucht.
+\begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication}
+	\label{multiplikation:alg:strassen}
+	\setlength{\lineskip}{7pt}
+	\begin{algorithmic}
+		\Function{strassen}{$\textbf{A}, \textbf{B}, n$}
+		\If{$n = 2$}
+		\State  $ \mathbf{C} \gets zeros((n, n))$
+		\State $P  \gets (A[0][0]+A[1][1])\cdot( B[0][0]+B[1][1])$
+		\State   $Q  \gets (A[1][0]+A[1][1])\cdot B[0][0]$
+		\State   $R  \gets A[0][0]\cdot (B[0][1]-B[1][1])$
+		\State   $S  \gets A[1][1]\cdot (B[1][0]-B[0][0])$
+		\State   $T  \gets (A[0][0]+A[0][1])\cdot B[1][1]$
+		\State   $U  \gets (A[1][0]-A[0][0])\cdot (B[0][0]+B[0][1])$
+		\State   $V  \gets (A[0][1]-A[1][1])\cdot (B[1][0]+B[1][1])$
+		\State   $C[0][0]  \gets P+S-T+V$
+		\State   $C[0][1]  \gets R+T$
+		\State   $C[1][0]  \gets Q+S$
+		\State   $C[1][1]  \gets P+R-Q+U$
+		\Else
+		\State  $ m \gets n/2$
+		\State $\mathbf{A11}, \mathbf{A12}, \mathbf{A21}, \mathbf{A22} \gets \mathbf{A}[:m][:m], \mathbf{A}[:m][m:], \mathbf{A}[m:][:m], \mathbf{A}[m:][m:]$
+		\State $\mathbf{B11}, \mathbf{B12}, \mathbf{B21}, \mathbf{B22} \gets \mathbf{B}[:m][:m], \mathbf{B}[:m][m:], \mathbf{B}[m:][:m], \mathbf{B}[m:][m:]$
+
+		\State $ \mathbf{P} \gets \text{strassen}((\mathbf{A11}+ \mathbf{A22}),(\mathbf{B11}+\mathbf{B22}), m)$
+		\State $ \mathbf{Q} \gets \text{strassen}((\mathbf{A21}+ \mathbf{A22}), \mathbf{B11},m)$
+		\State $ \mathbf{R} \gets \text{strassen}( \mathbf{A11},(\mathbf{B12}-  \mathbf{B22}),m)$
+		\State $ \mathbf{S} \gets \text{strassen}( \mathbf{A22},(\mathbf{B21}-  \mathbf{B11}),m)$
+		\State $ \mathbf{T} \gets \text{strassen}((\mathbf{A11}+ \mathbf{A12}), \mathbf{B22},m)$
+		\State $ \mathbf{U} \gets \text{strassen}((\mathbf{A21}- \mathbf{A11}),(\mathbf{B11}+\mathbf{B12}),m)$
+		\State $ \mathbf{V} \gets \text{strassen}((\mathbf{A12}- \mathbf{A22}),(\mathbf{B21}+\mathbf{B22}),m)$
+
+
+
+		\State   $\mathbf{C11}  \gets \mathbf{P+S-T+V}$
+		\State   $\mathbf{C12}  \gets \mathbf{R+T}$
+		\State   $\mathbf{C21}  \gets \mathbf{Q+S}$
+		\State   $\mathbf{C22}  \gets \mathbf{P+R-Q+U}$
+		\State $  C \gets vstack(hstack(C11, C12), hstack(C21, C22))$
+
+		\EndIf
+		\State \textbf{return} $\textbf{C}$
+
+		\EndFunction
+	\end{algorithmic}
+\end{algorithm}
+Strassens's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
+\begin{figure}
+	\center
+	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
+	\caption{Strassen's Algorithmus}
+	\label{multiplikation:fig:strassen}
+\end{figure}
+
+Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen.
+Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von
+\begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen}
+\mathcal{T}(n) =
+\begin{cases}
+1  & \text{if }  n \leq 2\\
+7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  & \text{if }  n > 2
+\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 7}) = \mathcal{O}(n^{2.8074})
+\end{equation}
+und ist somit schneller als die Standard Methode.
+
+\subsection{Winograd's Algorithmus}
+
+Ein weiterer Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
+Er zeigte einen neuen Algorithmus f\"ur das
+\begin{equation}
+	\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i
+\end{equation}
+Skalarprodukt.
+F\"ur jeden Vektor berechne
+\begin{equation}
+	\xi = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} x_{2j-1} \cdot x_{2j}
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}
+	\eta = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} y_{2j-1} \cdot y_{2j}.
+\end{equation}
+Das Skalarprodukt ist nun geben mit
+\begin{equation}
+	\langle x,y \rangle =
+	\begin{cases}
+	 \displaystyle \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta & \text{if  $n$ is even}\\
+	\displaystyle  \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta + x_n y_n & \text{if  $n$ is odd}.
+	\end{cases}
+\end{equation}
+
+Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
+Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
+Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
+Dies f\"uhrt zu
+\begin{equation}
+		(m+p) \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + mp \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor = \frac{mn}{2} + \frac{pn}{2} + \frac{mpn}{2} + \frac{mp}{2}
+\end{equation}
+Multiplikationen.
+Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
+Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standard Methode nur die H\"alfte ist.
+Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
+
+\begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication}
+	\setlength{\lineskip}{7pt}
+	\label{multiplikation:alg:winograd}
+	\begin{algorithmic}
+		\Function{Winograd}{$\textbf{A}, \textbf{B}, n$}
+		\State  $ m \gets rows(\mathbf{A})$
+		\State  $ n \gets columns(\mathbf{A}) == rows(\mathbf{B})$
+		\State  $ p \gets columns(\mathbf{B})$
+		\State  $ \mathbf{\xi} \gets zeros(m)$
+		\State  $ \mathbf{\eta} \gets zeros(p)$
+
+
+		\For{$i = 0,1,2 \dots,m-1$}
+		\For{$j = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$}
+		\State $\xi[i] \gets \xi[i]+A[i,2 j]A[i,2 j+1]$
+		\EndFor
+		\EndFor
+
+		\For{$i = 0,1,2 \dots,p-1$}
+		\For{$j = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$}
+		\State $\eta[i] \gets   \eta[i]+B[2 j,i]B[2 j+1,i]$
+		\EndFor
+		\EndFor
+
+		\If{$n \% 2 == 0$}
+		\For{$i = 0,1,2 \dots,m-1$}
+		\For{$j = 0,1,2 \dots,p-1$}
+		\State $ab \gets 0$
+		\For{$k = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$}
+		\State $ab \gets ab + (A[i,2k]+B[2k+1,j])(A[i,2k+1]+B[2k,j])$
+		\EndFor
+		\State $C[i,j] \gets ab-\eta[j]-\xi[i]$
+		\EndFor
+		\EndFor
+    \Else
+		\For{$i = 0,1,2 \dots,n-1$}
+		\For{$j = 0,1,2 \dots,n-1$}
+		\State $ab \gets 0$
+		\For{$k = 0,1,2 \dots,\lfloor n/2 \rfloor-1$}
+		\State $ab \gets ab + (A[i,2k]+B[2k+1,j])(A[i,2k+1]+B[2k,j])$
+		\EndFor
+		\State $C[i,j] \gets ab-\eta[j]-\xi[i]+A[i,-1]B[-1,j]$
+		\EndFor
+		\EndFor
+		\EndIf
+		\State \textbf{return} $\textbf{C}$
+
+		\EndFunction
+	\end{algorithmic}
+\end{algorithm}
+
+\subsection{Weitere Algorithmen}
+
+\textcolor{red}{TODO: BLAS}
+
+\section{Implementation}
+\rhead{Implementation}
+\textcolor{red}{TODO: messresultate}
+
+\section{Fazit}
+\rhead{Fazit}
-- 
cgit v1.2.1


From a4817013b542cd6aa1a0cd955806c82ac337dca6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 22:27:27 +0200
Subject: added corrections from prof mueller

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 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 80 ++++++++++++-------------
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(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 83be814..8bdbf2c 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -4,16 +4,16 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\section{L\"osungsmethoden}
-\rhead{L\"osungsmethoden}
+\section{Algorithmen}
+\rhead{Algorithmen}
 
 In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
 \subsection{Standard Algorithmus}
 
-Der Standard Methode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
+Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
-Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{For j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{For k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
+Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
 
 \begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
@@ -39,16 +39,18 @@ Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}(n^3)$
+Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
 
-F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze zu markant besseren Laufzeiten.
-Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}(n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
+F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer}  Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten.
+Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird.
+Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
 
 Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
-Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation, mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
-Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$
+Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
+Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt.
+Das Matrizen produklt
 \begin{equation}
 \mathbf{A}\mathbf{B}=
 \begin{bmatrix}
@@ -64,11 +66,9 @@ Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen
 \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
 \end{bmatrix}
-\end{equation}
-aufgeteilt.
-Die Berechnung
+\end{equation},
 \begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}.
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
 ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird.
@@ -105,15 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} berechnet werden.
-Ohne auf diesen vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit.
+Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen.
+Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit.
 In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
-	\mathcal{T}(n) =
-	\begin{cases}
-	1  & \text{if }  n \leq 2\\
-	8 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  & \text{if }  n > 2
-	\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}(n^{3})
+	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right )
 \end{equation}
 zu einer kubischen Laufzeit.
 Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
@@ -122,20 +118,20 @@ In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung
 
 \subsection{Strassen's Algorithmus}
 
-Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen.
-Die Grundlegenden Terme
+Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen.
+Die grundlegenden Terme
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen}
 \begin{split}
-\text{\textbf{P}}   &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}) \\
-\text{\textbf{Q}}  &= (\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}) \cdot \mathbf{B}_{11} \\
-\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot (\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}) \\
-\text{\textbf{S}}  &= \mathbf{A}_{22} \cdot (-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}) \\
-\text{\textbf{T}}   &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}) \cdot \mathbf{B}_{22} \\
-\text{\textbf{U}}  &= (-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}) \\
-\text{\textbf{V}} &= (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22})
+\text{\textbf{P}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}\right ) \\
+\text{\textbf{Q}}  &= \left(\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \mathbf{B}_{11} \\
+\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot \left(\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}\right ) \\
+\text{\textbf{S}}  &= \mathbf{A}_{22} \cdot \left(-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}\right ) \\
+\text{\textbf{T}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}\right ) \cdot \mathbf{B}_{22} \\
+\text{\textbf{U}}  &= \left(-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}\right ) \\
+\text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right )
 \end{split}
 \end{equation}
-aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\mathbf{C}$
+aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke 
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
 \begin{split}
 \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
@@ -144,7 +140,7 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\math
 \mathbf{C}_{22} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{R}} - \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{U}}
 \end{split}
 \end{equation}
-gebraucht.
+der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
 \begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:strassen}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
@@ -190,7 +186,11 @@ gebraucht.
 		\EndFunction
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-Strassens's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
+Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
+Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . 
+Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
+Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
+Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.  
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
@@ -202,17 +202,14 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen.
 Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen}
 \mathcal{T}(n) =
-\begin{cases}
-1  & \text{if }  n \leq 2\\
-7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  & \text{if }  n > 2
-\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 7}) = \mathcal{O}(n^{2.8074})
+7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right )
 \end{equation}
-und ist somit schneller als die Standard Methode.
+und ist somit schneller als die Standardmethode.
 
 \subsection{Winograd's Algorithmus}
 
-Ein weiterer Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
-Er zeigte einen neuen Algorithmus f\"ur das
+Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
+Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das
 \begin{equation}
 	\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i
 \end{equation}
@@ -236,6 +233,7 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit
 
 Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
+
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
@@ -243,8 +241,8 @@ Dies f\"uhrt zu
 \end{equation}
 Multiplikationen.
 Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
-Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standard Methode nur die H\"alfte ist.
-Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
+Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
+Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 
 \begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
-- 
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From 31b66acba16f525d41c42094601ade8afb3fd549 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Sat, 31 Jul 2021 21:36:30 +0200
Subject: updare

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 8 ++++----
 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 8bdbf2c..7ee0b6e 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -65,13 +65,13 @@ Das Matrizen produklt
 \begin{bmatrix}
 \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
-\end{bmatrix}
-\end{equation},
+\end{bmatrix},
+\end{equation}
 \begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}.
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
-ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird.
+ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
 
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
 Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
-- 
cgit v1.2.1


From 28efadd162ae3d48c04276da8e971155921d5812 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Sun, 1 Aug 2021 22:50:04 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 53 ++++++++++++++++++++++++-
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(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 7ee0b6e..0f6aa6b 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -295,9 +295,58 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-\subsection{Weitere Algorithmen}
+\subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}
+
+die gebr\"uchlichen Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subrutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
+Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. 
+
+\textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt.
+
+\begin{itemize}
+	\item Level 1
+	\begin{itemize}
+		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{x}+\mathbf{y}$
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ karakteristik 
+	\end{itemize}
+	\item Level 2
+	\begin{itemize}
+		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta  \mathbf{y}$
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ karakteristik 
+		\end{itemize}
+		\item Level 3
+		\begin{itemize}
+			\item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$
+			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ karakteristik 
+			\end{itemize}
+\end{itemize}
+
+Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgek\"ugelter Verwedung der Speicher Architektur zur erheblichen Leistungoprimierung f\"uhren.
+
+
+\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
+
+Die \textit{Double-GEMM} ist in \cite{multiplikation:DGEMM} definiert als:
+
+\textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
+$$
+ C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C,
+ $$
+ \textit{where  op( X ) is one of}
+$$
+op( X ) = X  \quad \text{ or } \quad  op( X ) = X^T,
+$$
+ \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A )
+ an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
+ }
+
+Die Implementaion von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
+\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
+cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans,
+      m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m);
+\end{lstlisting}
+definiert.
+
 
-\textcolor{red}{TODO: BLAS}
 
 \section{Implementation}
 \rhead{Implementation}
-- 
cgit v1.2.1


From 11264adfdeba52738aa6ee7a96958936a20d4984 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michaelschmid13@hotmail.com>
Date: Mon, 2 Aug 2021 08:14:39 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 24 +++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 21 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 7ee0b6e..8e3369d 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -131,7 +131,7 @@ Die grundlegenden Terme
 \text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right )
 \end{split}
 \end{equation}
-aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke 
+aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
 \begin{split}
 \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
@@ -187,10 +187,10 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
-Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . 
+Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ .
 Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
 Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
-Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.  
+Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
@@ -303,5 +303,23 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen
 \rhead{Implementation}
 \textcolor{red}{TODO: messresultate}
 
+Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
+\begin{itemize}
+	\item Standard Matrizenmultiplikation
+	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
+	\item Strassen's Matrizenmultiplikation
+	\item Winograd's Matrizenmultiplikation
+	\item \texttt{CBLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
+	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
+\end{itemize}
+
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
+
+Wie man in \textcolor{red}{hyperlink Messresultate} gesehen haben, sind die geziegten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
+Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
+
+Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
+Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
+Denke man an sehr keleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinhieten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
+Sobland sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durcheführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
-- 
cgit v1.2.1


From f96b0b2b66fe215a9e471eec44c58f4de11c7c0b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Mon, 2 Aug 2021 22:49:09 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 16 ++++++++++++++++
 1 file changed, 16 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index b25462a..8a95dd5 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -362,6 +362,22 @@ Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
 \end{itemize}
 
+
+\begin{figure}
+	\center
+	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/c_meas_4096}
+	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}}
+	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
+\end{figure}
+
+
+\begin{figure}
+	\center
+	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_1024}
+	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}}
+	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
+\end{figure}
+
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
 
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cgit v1.2.1


From e5da5157fb61cdb006f3f50a2b3bd3b922644f1f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Tue, 3 Aug 2021 22:08:02 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 73 ++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 72 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 8a95dd5..780cbf3 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -358,10 +358,81 @@ Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
 	\item Strassen's Matrizenmultiplikation
 	\item Winograd's Matrizenmultiplikation
-	\item \texttt{CBLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
+	\item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
 	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
 \end{itemize}
 
+Der Code kann im dazugeh\"orgien \textit{GitHub} Repository gefunden werden.
+
+\begin{table}
+			 \begin{center}
+					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+							 \hline
+							 \hline
+							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\
+							 \hline
+							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+							 \textbf{32}   & 0.000081 &0.000594 &  0.00047& 0.00010 & 0.000022  \\
+							 \textbf{64}   & 0.00065  & 0.0042&  0.0033& 0.00065& 0.00017 \\
+							 \textbf{128}  & 0.0055   & 0.036&  0.024&  0.0052 & 0.0012 \\
+							 \textbf{256}  & 0.054    & 0.32 & 0.17 &  0.057& 0.010 \\
+							 \textbf{512}  & 0.48     & 2.61 & 1.20 & 0.51 &  0.074\\
+							 \textbf{1024} & 4.16     & 19.92& 8.45  & 4.53 & 0.704 \\
+							 \textbf{2048} & 125.90   & 159.33& 59.26 & 130.62 &  6.84 \\
+							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10& 414.64 & 1179.26  &  55.84\\
+							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+							 \hline
+							 \hline
+					 \end{tabular}
+			 \end{center}
+			 \caption{Messresultate \texttt{C}}
+			 \label{multiplikation:tab:messung_C}
+	 \end{table}
+	 
+	 
+
+	 \begin{table}
+	 			 \begin{center}
+	 					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+	 							 \hline
+	 							 \hline
+	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\
+	 							 \hline
+	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 4.26e-05  \\
+	 							 \textbf{64}   & 0.186  & 0.265&  0.2204& 0.1530& 0.000118 \\
+	 							 \textbf{128}  & 1.563   & 1.777&  1.447&  1.1947 & 0.000244 \\
+	 							 \textbf{256}  & 11.006    & 13.27 & 9.938 &  8.298& 0.000695 \\
+	 							 \textbf{512}  & 85.476    & 105.397 & 63.961 & 68.36 &  0.00221\\
+	 							 \textbf{1024} & 750.757     & 847.321& 461.494  & 537.374 & 0.0188 \\
+								 \textbf{4096} & -     & - & -  & - & 1.633 \\
+	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+	 							 \hline
+	 							 \hline
+	 					 \end{tabular}
+	 			 \end{center}
+	 			 \caption{Messresultate \texttt{Python}}
+	 			 \label{multiplikation:tab:messung_Python}
+	 	 \end{table}
+
+		 \begin{table}
+		 			 \begin{center}
+		 					 \begin{tabular}{c c c c}
+		 							 \hline
+		 							 \hline
+		 							 \textbf{CPU} & \textbf{OS} &  \textbf{GPU } & \textbf{Memory }  \\
+		 							 \hline
+		 							 \multicolumn{4}{c}{} \\
+		 							   Intel® Core™ i7-4770K CPU  & Ubuntu 20.04.2 LTS & Radeon RX 570 &  32 GB 1600 MHz   \\
+										 @ 3.50GHz × 8  & 64-bit & &    \\
+		 							 \multicolumn{4}{c}{} \\
+		 							 \hline
+		 							 \hline
+		 					 \end{tabular}
+		 			 \end{center}
+		 			 \caption{Messsystem}
+		 			 \label{multiplikation:tab:pc_config}
+		 	 \end{table}
 
 \begin{figure}
 	\center
-- 
cgit v1.2.1


From 1663dd03e22b2ee65a8050f5eb5433c7580028b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Wed, 4 Aug 2021 16:14:15 +0200
Subject: update multiplikation

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 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 50 +++++++++++++------------
 1 file changed, 27 insertions(+), 23 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 780cbf3..6f1486c 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \section{Algorithmen}
 \rhead{Algorithmen}
 
-In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
+In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
 \subsection{Standard Algorithmus}
 
@@ -15,7 +15,7 @@ Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen w
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
 Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
 
-\begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}[1]
@@ -76,7 +76,7 @@ ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplik
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
 Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
 Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt.
-\begin{algorithm}\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:devide_mm}
 	\begin{algorithmic}
@@ -106,7 +106,7 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$
 \end{algorithm}
 
 Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen.
-Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit.
+Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit.
 In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
 	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right )
@@ -141,7 +141,7 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
 \end{split}
 \end{equation}
 der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
-\begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Strassen Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:strassen}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}
@@ -205,6 +205,7 @@ Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von
 7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right )
 \end{equation}
 und ist somit schneller als die Standardmethode.
+Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde.
 
 \subsection{Winograd's Algorithmus}
 
@@ -244,7 +245,7 @@ Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\fr
 Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 
-\begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograd Matrix Multiplication}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:winograd}
 	\begin{algorithmic}
@@ -297,7 +298,7 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen
 
 \subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}
 
-die gebr\"uchlichen Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subrutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
+die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
 Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. 
 
 \textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt.
@@ -320,12 +321,12 @@ Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{M
 			\end{itemize}
 \end{itemize}
 
-Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgek\"ugelter Verwedung der Speicher Architektur zur erheblichen Leistungoprimierung f\"uhren.
+Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
 
 
 \subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
 
-Die \textit{Double-GEMM} ist in \cite{multiplikation:DGEMM} definiert als:
+Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als:
 
 \textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
 $$
@@ -339,20 +340,19 @@ $$
  an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
  }
 
-Die Implementaion von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
-\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
-cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans,
-      m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m);
-\end{lstlisting}
-definiert.
+%Die Implementation von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
+%\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
+%cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans,
+%      m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m);
+%\end{lstlisting}
+%definiert.
 
 
 
-\section{Implementation}
+\section{Implementation}\label{multiplikation:section:Implementation}
 \rhead{Implementation}
-\textcolor{red}{TODO: messresultate}
 
-Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
+Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
 \begin{itemize}
 	\item Standard Matrizenmultiplikation
 	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
@@ -362,7 +362,11 @@ Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
 \end{itemize}
 
-Der Code kann im dazugeh\"orgien \textit{GitHub} Repository gefunden werden.
+Der Code kann im dazugehörigen \textit{GitHub} Repository gefunden werden.
+Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten.
+In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
+Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet.
+
 
 \begin{table}
 			 \begin{center}
@@ -446,16 +450,16 @@ Der Code kann im dazugeh\"orgien \textit{GitHub} Repository gefunden werden.
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_1024}
 	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}}
-	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
+	\label{multiplikation:fig:python}
 \end{figure}
 
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
 
-Wie man in \textcolor{red}{hyperlink Messresultate} gesehen haben, sind die geziegten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
+Wie man im Abschnitt\ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
 Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
 
 Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
 Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
-Denke man an sehr keleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinhieten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
-Sobland sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durcheführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
+Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
+Sobald sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durchführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
-- 
cgit v1.2.1


From e948351c11835cb6a19abe394ffb61219884b96a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <m2schmid@hsr.ch>
Date: Thu, 5 Aug 2021 18:04:32 +0200
Subject: update paper

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 1 file changed, 45 insertions(+), 27 deletions(-)

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diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 6f1486c..43181d4 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -68,10 +68,10 @@ Das Matrizen produklt
 \end{bmatrix},
 \end{equation}
 \begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}2n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
-ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
+ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
 
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
 Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
@@ -116,10 +116,10 @@ Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Lau
 In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt.
 
 
-\subsection{Strassen's Algorithmus}
+\subsection{Strassens Algorithmus}
 
-Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen.
-Die grundlegenden Terme
+Strassens Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen.
+Die sieben grundlegenden Terme
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen}
 \begin{split}
 \text{\textbf{P}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}\right ) \\
@@ -188,7 +188,7 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
 \end{algorithm}
 Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
 Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ .
-Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
+Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
 Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
 Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
 \begin{figure}
@@ -199,7 +199,7 @@ Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
 \end{figure}
 
 Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen.
-Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von
+Dies f\"uhrt nach dem \textit{Master Theorem} zu einer Laufzeit von
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen}
 \mathcal{T}(n) =
 7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right )
@@ -210,31 +210,42 @@ Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die
 \subsection{Winograd's Algorithmus}
 
 Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
-Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das
-\begin{equation}
-	\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i
+Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das Skalarprodukt
+\begin{equation} \label{multiplikation:eq:skalar}
+	\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i.
 \end{equation}
-Skalarprodukt.
 F\"ur jeden Vektor berechne
 \begin{equation}
 	\xi = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} x_{2j-1} \cdot x_{2j}
 \end{equation}
 und
 \begin{equation}
-	\eta = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} y_{2j-1} \cdot y_{2j}.
+	\eta = \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} y_{2j-1} \cdot y_{2j},
 \end{equation}
+die jeweils nur von $x$ und $y$ abhängen.
+Dazu werden $2 \cdot  \lfloor n/2 \rfloor \leq n$ Multiplikationen benötigt.
 Das Skalarprodukt ist nun geben mit
 \begin{equation}
 	\langle x,y \rangle =
 	\begin{cases}
-	 \displaystyle \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta & \text{if  $n$ is even}\\
-	\displaystyle  \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta + x_n y_n & \text{if  $n$ is odd}.
+	 \displaystyle \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta & \text{wenn  $n$ gerade}\\
+	\displaystyle  \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta + x_n y_n & \text{wenn  $n$ ungerade}.
 	\end{cases}
 \end{equation}
-
+Das Skalarprodukt kann also mit $ \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$ weiteren Multiplikationen brechnet werden.
 Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
-
+Für die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
+Im Vergleich mit der neuen Methode
+\begin{equation}
+	\begin{split}\label{multiplikation:eq:eff}
+		N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor \leq Tn \\
+		\approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} \leq Tn \\
+		\frac{Nn}{2} \leq \frac{Tn}{2} \\
+		N \leq T
+\end{split}
+\end{equation}
+spart man etwas, falls $N\leq T$.
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
@@ -243,8 +254,14 @@ Dies f\"uhrt zu
 Multiplikationen.
 Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
 Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
+Mit dem glichen Ansatz wie in der Gleichung \ref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
+\begin{equation}
+	N=2n \ll T=n^2
+\end{equation}
+damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
-
+Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}/{2}$ Multiplikationen benötigt. Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
+ somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^3 \right)$.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograd Matrix Multiplication}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:winograd}
@@ -296,10 +313,11 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
+
 \subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}
 
-die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
-Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. 
+Die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
+Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}.
 
 \textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt.
 
@@ -307,17 +325,17 @@ Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{M
 	\item Level 1
 	\begin{itemize}
 		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{x}+\mathbf{y}$
-		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ karakteristik 
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ Charakteristik
 	\end{itemize}
 	\item Level 2
 	\begin{itemize}
 		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta  \mathbf{y}$
-		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ karakteristik 
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ Charakteristik
 		\end{itemize}
 		\item Level 3
 		\begin{itemize}
 			\item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$
-			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ karakteristik 
+			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ Charakteristik
 			\end{itemize}
 \end{itemize}
 
@@ -362,7 +380,7 @@ Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
 \end{itemize}
 
-Der Code kann im dazugehörigen \textit{GitHub} Repository gefunden werden.
+Der Code kann im zum Buch gehörigem \textit{GitHub} \footnote{\url{https://github.com/AndreasFMueller/SeminarMatrizen.git}} Repository gefunden werden.
 Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten.
 In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
 Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet.
@@ -392,8 +410,8 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 			 \caption{Messresultate \texttt{C}}
 			 \label{multiplikation:tab:messung_C}
 	 \end{table}
-	 
-	 
+
+
 
 	 \begin{table}
 	 			 \begin{center}
@@ -456,8 +474,8 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
 
-Wie man im Abschnitt\ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
-Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
+Wie man im Abschnit \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
+Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
 
 Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
 Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
-- 
cgit v1.2.1


From 872595e81de60c85b18408f8de5a49c535518edc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Fri, 6 Aug 2021 17:37:58 +0200
Subject: update multiplikation

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 1 file changed, 25 insertions(+), 19 deletions(-)

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diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 43181d4..a7612e1 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -15,7 +15,7 @@ Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen w
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
 Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
 
-\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrizenmultiplikation}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}[1]
@@ -50,7 +50,7 @@ Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die
 Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
 Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
 Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt.
-Das Matrizen produklt
+Das Matrizen Produkt
 \begin{equation}
 \mathbf{A}\mathbf{B}=
 \begin{bmatrix}
@@ -76,7 +76,7 @@ ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplik
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
 Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
 Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt.
-\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrizenmultiplikation}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:devide_mm}
 	\begin{algorithmic}
@@ -105,7 +105,7 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen.
+Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algorithmen.
 Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit.
 In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
@@ -141,7 +141,7 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
 \end{split}
 \end{equation}
 der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
-\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Strassen Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Strassen Matrizenmultiplikation}
 	\label{multiplikation:alg:strassen}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}
@@ -186,7 +186,7 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
 		\EndFunction
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
+Strassens Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
 Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ .
 Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
 Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
@@ -194,7 +194,7 @@ Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
-	\caption{Strassen's Algorithmus}
+	\caption{Strassens Algorithmus}
 	\label{multiplikation:fig:strassen}
 \end{figure}
 
@@ -207,7 +207,7 @@ Dies f\"uhrt nach dem \textit{Master Theorem} zu einer Laufzeit von
 und ist somit schneller als die Standardmethode.
 Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde.
 
-\subsection{Winograd's Algorithmus}
+\subsection{Winograds Algorithmus}
 
 Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
 Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das Skalarprodukt
@@ -232,9 +232,10 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit
 	\displaystyle  \quad \sum_{j=1}^{ \lfloor n/2 \rfloor} (x_{2j-1} + y_{2j})(x_{2j}+y_{2j-1})-\xi - \eta + x_n y_n & \text{wenn  $n$ ungerade}.
 	\end{cases}
 \end{equation}
-Das Skalarprodukt kann also mit $ \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$ weiteren Multiplikationen brechnet werden.
+Das Skalarprodukt kann also mit $ \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$ weiteren Multiplikationen berechnet werden.
 Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
+Die Summen f\"ur $\xi$ und $\eta$ m\"ussen nur einmal berechnet werden.
 Für die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
 Im Vergleich mit der neuen Methode
 \begin{equation}
@@ -254,15 +255,20 @@ Dies f\"uhrt zu
 Multiplikationen.
 Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
 Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
-Mit dem glichen Ansatz wie in der Gleichung \ref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
+Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \ref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
 \begin{equation}
-	N=2n \ll T=n^2
+	\begin{split}
+N=2n, \quad T = n^2 \\
+	2n \leq n^2 \\
+	2 \leq n
+\end{split}
 \end{equation}
-damit man etwas einspart.
+sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
-Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}/{2}$ Multiplikationen benötigt. Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
+Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}/{2}$ Multiplikationen benötigt.
+Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
  somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^3 \right)$.
-\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograd Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:winograd}
 	\begin{algorithmic}
@@ -374,8 +380,8 @@ Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 \begin{itemize}
 	\item Standard Matrizenmultiplikation
 	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
-	\item Strassen's Matrizenmultiplikation
-	\item Winograd's Matrizenmultiplikation
+	\item Strassens Matrizenmultiplikation
+	\item Winograds Matrizenmultiplikation
 	\item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
 	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
 \end{itemize}
@@ -458,7 +464,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 
 \begin{figure}
 	\center
-	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/c_meas_4096}
+	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_c}
 	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}}
 	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
 \end{figure}
@@ -466,7 +472,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 
 \begin{figure}
 	\center
-	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_1024}
+	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_python}
 	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}}
 	\label{multiplikation:fig:python}
 \end{figure}
@@ -474,7 +480,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
 
-Wie man im Abschnit \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
+Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
 Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
 
 Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
-- 
cgit v1.2.1


From ce9f4591847c6bd2dc6ebaa30fc5d72714e0280c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michaelschmid13@hotmail.com>
Date: Tue, 10 Aug 2021 06:37:20 +0200
Subject: new measurements

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 48 ++++++++++++-------------
 1 file changed, 24 insertions(+), 24 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index a7612e1..464085d 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -39,13 +39,13 @@ Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$
+Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
 
 F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer}  Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten.
 Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird.
-Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
+Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O} (n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
 
 Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
 Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
@@ -68,7 +68,7 @@ Das Matrizen Produkt
 \end{bmatrix},
 \end{equation}
 \begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}2n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
 ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
@@ -109,7 +109,7 @@ Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \ci
 Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit.
 In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
-	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right )
+	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}  (n^{3} )
 \end{equation}
 zu einer kubischen Laufzeit.
 Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
@@ -202,7 +202,7 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen.
 Dies f\"uhrt nach dem \textit{Master Theorem} zu einer Laufzeit von
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen}
 \mathcal{T}(n) =
-7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right )
+7 \cdot \mathcal{T}\left(\frac{n}{2}\right) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 7} ) = \mathcal{O}(n^{2.8074}  )
 \end{equation}
 und ist somit schneller als die Standardmethode.
 Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde.
@@ -267,7 +267,7 @@ sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}/{2}$ Multiplikationen benötigt.
 Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
- somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^3 \right)$.
+ somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:winograd}
@@ -336,33 +336,33 @@ Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{M
 	\item Level 2
 	\begin{itemize}
 		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta  \mathbf{y}$
-		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ Charakteristik
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n^2)$ Charakteristik
 		\end{itemize}
 		\item Level 3
 		\begin{itemize}
 			\item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$
-			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ Charakteristik
+			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n^3)$ Charakteristik
 			\end{itemize}
 \end{itemize}
 
 Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
 
 
-\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
-
-Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als:
-
-\textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
-$$
- C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C,
- $$
- \textit{where  op( X ) is one of}
-$$
-op( X ) = X  \quad \text{ or } \quad  op( X ) = X^T,
-$$
- \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A )
- an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
- }
+%\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
+%
+%Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als:
+%
+%\textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
+%$$
+% C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C,
+% $$
+% \textit{where  op( X ) is one of}
+%$$
+%op( X ) = X  \quad \text{ or } \quad  op( X ) = X^T,
+%$$
+% \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A )
+% an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
+% }
 
 %Die Implementation von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
 %\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
@@ -379,7 +379,7 @@ $$
 Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
 \begin{itemize}
 	\item Standard Matrizenmultiplikation
-	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
+	\item \textit{Divide and Conquer} Matrizenmultiplikation
 	\item Strassens Matrizenmultiplikation
 	\item Winograds Matrizenmultiplikation
 	\item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
-- 
cgit v1.2.1


From 6bab37ba5c4d1875f3c99f338a554537219013f6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Wed, 11 Aug 2021 21:22:29 +0200
Subject: update multiplikation

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 30 ++++++++++++++++---------
 1 file changed, 20 insertions(+), 10 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 464085d..be8c2d4 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -389,6 +389,14 @@ Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 Der Code kann im zum Buch gehörigem \textit{GitHub} \footnote{\url{https://github.com/AndreasFMueller/SeminarMatrizen.git}} Repository gefunden werden.
 Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten.
 In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
+
+In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C}, kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
+den. Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Gr\"osse von
+n = 2048 wohl eine Zeile der Matrix nicht an einer Cache Speicherstelle platzt. Diese beiden Al-
+Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden.
+Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen. Bei den anderen Algorith-
+men ist dies nicht der Fall.
+
 Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet.
 
 
@@ -400,14 +408,15 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\
 							 \hline
 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-							 \textbf{32}   & 0.000081 &0.000594 &  0.00047& 0.00010 & 0.000022  \\
-							 \textbf{64}   & 0.00065  & 0.0042&  0.0033& 0.00065& 0.00017 \\
-							 \textbf{128}  & 0.0055   & 0.036&  0.024&  0.0052 & 0.0012 \\
-							 \textbf{256}  & 0.054    & 0.32 & 0.17 &  0.057& 0.010 \\
-							 \textbf{512}  & 0.48     & 2.61 & 1.20 & 0.51 &  0.074\\
-							 \textbf{1024} & 4.16     & 19.92& 8.45  & 4.53 & 0.704 \\
-							 \textbf{2048} & 125.90   & 159.33& 59.26 & 130.62 &  6.84 \\
-							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10& 414.64 & 1179.26  &  55.84\\
+							 \textbf{32}   & 0.000089 & 0.000594 & 0.0005 & 0.00008 & 0.000021  \\
+							 \textbf{64}   & 0.00069  & 0.0044   & 0.0036  & 0.00064 & 0.00018   \\
+							 \textbf{128}  & 0.0057   & 0.035    & 0.025   & 0.0052  & 0.0012    \\
+							 \textbf{256}  & 0.052    & 0.29     & 0.178    & 0.053   & 0.0096     \\
+							 \textbf{512}  & 0.51     & 2.22     & 1.25    & 0.55    & 0.077     \\
+							 \textbf{1024} & 4.50     & 17.65    & 8.83    & 4.67    & 0.764     \\
+							 \textbf{2048} & 129.28   & 141.61   & 61.901   & 136.67  & 7.63      \\
+							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10  & 414.64  & 1179.26 & 55.84     \\
+							 \textbf{8192} & 9376.17  & 9606.40  & 3014.23  & 10071.51& 478.42     \\
 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 							 \hline
 							 \hline
@@ -427,13 +436,14 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\
 	 							 \hline
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 4.26e-05  \\
+	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 0.0000426  \\
 	 							 \textbf{64}   & 0.186  & 0.265&  0.2204& 0.1530& 0.000118 \\
 	 							 \textbf{128}  & 1.563   & 1.777&  1.447&  1.1947 & 0.000244 \\
 	 							 \textbf{256}  & 11.006    & 13.27 & 9.938 &  8.298& 0.000695 \\
 	 							 \textbf{512}  & 85.476    & 105.397 & 63.961 & 68.36 &  0.00221\\
 	 							 \textbf{1024} & 750.757     & 847.321& 461.494  & 537.374 & 0.0188 \\
-								 \textbf{4096} & -     & - & -  & - & 1.633 \\
+								 \textbf{2048} & 6154.18     & 7375.93& 3860.57  & 4884.61 & 0.215 \\
+								 \textbf{4096} & 46813.3     & 58466 & 22904.3  & 43597.1 & 1.49 \\
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 	 							 \hline
 	 							 \hline
-- 
cgit v1.2.1


From 2b6637fb99a4aaebadc739b323b0ae440eb805e7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Wed, 11 Aug 2021 21:31:37 +0200
Subject: typo

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 12 ++++++------
 1 file changed, 6 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index be8c2d4..0760719 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -265,7 +265,7 @@ N=2n, \quad T = n^2 \\
 \end{equation}
 sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
-Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}/{2}$ Multiplikationen benötigt.
+Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
 Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
  somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
@@ -391,11 +391,11 @@ Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige I
 In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
 
 In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C}, kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
-den. Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Gr\"osse von
-n = 2048 wohl eine Zeile der Matrix nicht an einer Cache Speicherstelle platzt. Diese beiden Al-
-Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden.
-Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen. Bei den anderen Algorith-
-men ist dies nicht der Fall.
+den.
+Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Matrizengrösse von $n = 2048$ wohl eine Zeile der Matrize nicht an einer Cache Speicherstelle platzt.
+Diese beiden Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden.
+Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen.
+Bei den anderen Algorithmen ist dies nicht der Fall.
 
 Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 713ef9bbfa79eb2ae2b821da26271cdeea58834c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michaelschmid13@hotmail.com>
Date: Tue, 17 Aug 2021 07:41:22 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 54 ++++++++++++++-----------
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--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -11,10 +11,9 @@ In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultip
 
 \subsection{Standard Algorithmus}
 
-Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
+Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} gsehen werden.
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
 Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
-
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrizenmultiplikation}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
@@ -38,7 +37,6 @@ Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 		\EndFunction
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-
 Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
@@ -131,7 +129,7 @@ Die sieben grundlegenden Terme
 \text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right )
 \end{split}
 \end{equation}
-aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
+aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
 \begin{split}
 \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
@@ -233,29 +231,30 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit
 	\end{cases}
 \end{equation}
 Das Skalarprodukt kann also mit $ \lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$ weiteren Multiplikationen berechnet werden.
-Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
+Angenommen man hat $N$ Vektoren, mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
 Die Summen f\"ur $\xi$ und $\eta$ m\"ussen nur einmal berechnet werden.
-Für die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
-Im Vergleich mit der neuen Methode
-\begin{equation}
-	\begin{split}\label{multiplikation:eq:eff}
-		N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor \leq Tn \\
-		\approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} \leq Tn \\
-		\frac{Nn}{2} \leq \frac{Tn}{2} \\
-		N \leq T
+Für die ursprüngliche Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} für das Skalarprodukt benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
+Im Vergleich mit der Methode von Winograd,
+%\begin{equation}\label{multiplikation:eq:eff}
+	\begin{align}\label{multiplikation:eq:eff}
+	\begin{split}
+		N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor &\leq Tn \\
+		\approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} &\leq Tn \\
+		\frac{Nn}{2} &\leq \frac{Tn}{2} \\
+		N &\leq T,
 \end{split}
-\end{equation}
-spart man etwas, falls $N\leq T$.
+\end{align}
+%\end{equation}
+werden für die berechnung des Skalarproduktes weniger Multiplikationen benötigt, falls $N\leq T$.
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
 		(m+p) \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + mp \left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor = \frac{mn}{2} + \frac{pn}{2} + \frac{mpn}{2} + \frac{mp}{2}
 \end{equation}
 Multiplikationen.
-Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
-Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
-Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \ref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
+Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt, was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
+Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
 \begin{equation}
 	\begin{split}
 N=2n, \quad T = n^2 \\
@@ -265,7 +264,7 @@ N=2n, \quad T = n^2 \\
 \end{equation}
 sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
-Falls $m=n=p$ werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
+Falls $m=n=p$, werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
 Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
  somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
@@ -390,9 +389,14 @@ Der Code kann im zum Buch gehörigem \textit{GitHub} \footnote{\url{https://gith
 Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten.
 In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
 
-In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C}, kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
+Die gezeigten Algorithmen haben alle eine Laufzeit der Form $\mathcal{O}(n^k) $.
+Bei einer logarithmischen Darstellung unterscheiden sich diese in Geraden mit unterschiedlichen Steigungen.
+Bei den grafisch gezeigten Messresultate, können diese Steigungen gut erkannt werden, wobei die tiefere Laufzeit des Strassen Algorithmus eindrücklich zu sehen ist.
+Der beötigte Overhead der Algorithmen zeigt sich in unterschiedlichen $y$-Achsenschnittpunkte.
+
+In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C} kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
 den.
-Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Matrizengrösse von $n = 2048$ wohl eine Zeile der Matrize nicht an einer Cache Speicherstelle platzt.
+Bei den Algorithmen von Winograd und der Standardmethode hat bei einer Matrizengrösse von $n = 2048$ wohl eine Zeile der Matrix nicht an einer Cache Speicherstelle Platz.
 Diese beiden Algorithmen sind die Einzigen, welche \texttt{for}-Schleifen über die ganze Breite der Matrizen verwenden.
 Dies führt dazu, dass ganze Zeilen zwischengespeichert werden müssen.
 Bei den anderen Algorithmen ist dies nicht der Fall.
@@ -433,7 +437,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 	 					 \begin{tabular}{l l l l l l}
 	 							 \hline
 	 							 \hline
-	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\
+	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{NumPy(\textit{s})} \\
 	 							 \hline
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 0.0000426  \\
@@ -490,10 +494,12 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
 
-Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
+Wie man im Abschnitt \ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen trotz der theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
 Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
 
 Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
 Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
 Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
-Sobald sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durchführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
+Der Overhead der gezeigten Alogorithmen ist in allen Fällen grösser als bei der Standardmethode (z.B. sieben rekursive Aufrufe gegenüber drei \texttt{for}-Schleifen).
+Um diesem entegenzuwirken muss der Laufzeitunterschied zwischen Addition und Multiplikation gross genug sein.
+Wenn dies gegeben ist und dazu noch grosse Matritzen multipliziert werden, kann die Verwendung der Algortihmen von Strassen oder Winograd zu einer Senkung der Laufzeit führen.
-- 
cgit v1.2.1


From 0c073915585da20db52db82958d50e159559e5c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michaelschmid13@hotmail.com>
Date: Fri, 20 Aug 2021 08:50:43 +0200
Subject: update

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 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 62 ++++++++++++-------------
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index ac7cb85..90cb9ff 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -7,12 +7,12 @@
 \section{Algorithmen}
 \rhead{Algorithmen}
 
-In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
+In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur unkomplizierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
 \subsection{Standard Algorithmus}
 
-Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} gsehen werden.
-Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
+Die Standardmethode ist im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} implementiert.
+Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt umgesetzt.
 Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrizenmultiplikation}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
@@ -37,7 +37,7 @@ Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 		\EndFunction
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$
+Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{for} Schleifen ist $\mathcal{O} (n^3)$.
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
 
@@ -65,8 +65,8 @@ Das Matrizen Produkt
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
 \end{bmatrix},
 \end{equation}
-\begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
+mit \begin{equation}
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj},
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
 ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
@@ -105,11 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$
 
 Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algorithmen.
 Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit.
-In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
+In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt zu
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
-	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}  (n^{3} )
+	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T} \left(\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}  (n^{3} ),
 \end{equation}
-zu einer kubischen Laufzeit.
+also einer kubischen Laufzeit.
 Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
 In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung gef\"uhrt.
 
@@ -187,7 +187,7 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
 Strassens Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
 Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ .
 Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
-Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
+Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \ldots, V}$.
 Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
 \begin{figure}
 	\center
@@ -246,7 +246,7 @@ Im Vergleich mit der Methode von Winograd,
 \end{split}
 \end{align}
 %\end{equation}
-werden für die berechnung des Skalarproduktes weniger Multiplikationen benötigt, falls $N\leq T$.
+werden für die Berechnung des Skalarproduktes weniger Multiplikationen benötigt, falls $N\leq T$.
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
@@ -266,7 +266,7 @@ sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 Falls $m=n=p$, werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
 Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \rightarrow \infty$ können Konstanten vernachlässigt werden und
- somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die Ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
+ somit entsteht für diesen Algorithmus wieder die ursprüngliche Laufzeit von $\mathcal{O}(n^3 )$.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograds Matrizenmultiplikation}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:winograd}
@@ -406,21 +406,21 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 
 \begin{table}
 			 \begin{center}
-					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+					 \begin{tabular}{r l l l l l}
 							 \hline
 							 \hline
 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\
 							 \hline
 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-							 \textbf{32}   & 0.000089 & 0.000594 & 0.0005 & 0.00008 & 0.000021  \\
-							 \textbf{64}   & 0.00069  & 0.0044   & 0.0036  & 0.00064 & 0.00018   \\
-							 \textbf{128}  & 0.0057   & 0.035    & 0.025   & 0.0052  & 0.0012    \\
-							 \textbf{256}  & 0.052    & 0.29     & 0.178    & 0.053   & 0.0096     \\
-							 \textbf{512}  & 0.51     & 2.22     & 1.25    & 0.55    & 0.077     \\
-							 \textbf{1024} & 4.50     & 17.65    & 8.83    & 4.67    & 0.764     \\
-							 \textbf{2048} & 129.28   & 141.61   & 61.901   & 136.67  & 7.63      \\
-							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10  & 414.64  & 1179.26 & 55.84     \\
-							 \textbf{8192} & 9376.17  & 9606.40  & 3014.23  & 10071.51& 478.42     \\
+							 \textbf{32}   & \phantom{000}0.000089 & \phantom{000}0.000594 & \phantom{000}0.0005  & \phantom{0000}0.00008 & \phantom{00}0.000021  \\
+							 \textbf{64}   & \phantom{000}0.00069  & \phantom{000}0.0044   & \phantom{000}0.0036  & \phantom{0000}0.00064 & \phantom{00}0.00018   \\
+							 \textbf{128}  & \phantom{000}0.0057   & \phantom{000}0.035    & \phantom{000}0.025   & \phantom{0000}0.0052  & \phantom{00}0.0012    \\
+							 \textbf{256}  & \phantom{000}0.052    & \phantom{000}0.29     & \phantom{000}0.178   & \phantom{0000}0.053   & \phantom{00}0.0096     \\
+							 \textbf{512}  & \phantom{000}0.51     & \phantom{000}2.22     & \phantom{000}1.25    & \phantom{0000}0.55    & \phantom{00}0.077     \\
+							 \textbf{1024} & \phantom{000}4.50     & \phantom{00}17.65     & \phantom{000}8.83    & \phantom{0000}4.67    & \phantom{00}0.764     \\
+							 \textbf{2048} & \phantom{0}129.28     & \phantom{0}141.61     & \phantom{00}61.901   & \phantom{00}136.67    & \phantom{00}7.63      \\
+							 \textbf{4096} & 1111.31               & 1147.10               & \phantom{0}414.64    & \phantom{0}1179.26    & \phantom{0}55.84     \\
+							 \textbf{8192} & 9376.17               & 9606.40               & 3014.23              & 10071.51              & 478.42     \\
 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 							 \hline
 							 \hline
@@ -434,20 +434,20 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 
 	 \begin{table}
 	 			 \begin{center}
-	 					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+	 					 \begin{tabular}{r l l l l l}
 	 							 \hline
 	 							 \hline
 	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{NumPy(\textit{s})} \\
 	 							 \hline
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 0.0000426  \\
-	 							 \textbf{64}   & 0.186  & 0.265&  0.2204& 0.1530& 0.000118 \\
-	 							 \textbf{128}  & 1.563   & 1.777&  1.447&  1.1947 & 0.000244 \\
-	 							 \textbf{256}  & 11.006    & 13.27 & 9.938 &  8.298& 0.000695 \\
-	 							 \textbf{512}  & 85.476    & 105.397 & 63.961 & 68.36 &  0.00221\\
-	 							 \textbf{1024} & 750.757     & 847.321& 461.494  & 537.374 & 0.0188 \\
-								 \textbf{2048} & 6154.18     & 7375.93& 3860.57  & 4884.61 & 0.215 \\
-								 \textbf{4096} & 46813.3     & 58466 & 22904.3  & 43597.1 & 1.49 \\
+	 							 \textbf{32}   & \phantom{000}0.0240     & \phantom{0000}0.0271& \phantom{0000}0.04852 & \phantom{0000}0.01871 & 0.0000426  \\
+	 							 \textbf{64}   &\phantom{000} 0.186      & \phantom{0000}0.265 & \phantom{0000}0.2204  & \phantom{0000}0.1530& 0.000118 \\
+	 							 \textbf{128}  &\phantom{000} 1.563      & \phantom{0000}1.777 & \phantom{0000}1.447   & \phantom{0000}1.1947 & 0.000244 \\
+	 							 \textbf{256}  &\phantom{00} 11.006      & \phantom{000}13.27  & \phantom{0000}9.938   & \phantom{0000}8.298& 0.000695 \\
+	 							 \textbf{512}  &\phantom{00} 85.476      & \phantom{00}105.397 & \phantom{000}63.961   & \phantom{000}68.360 &  0.00221\\
+	 							 \textbf{1024} &\phantom{0} 750.757      & \phantom{00}847.321 & \phantom{00}461.494   & \phantom{00}537.374 & 0.0188 \\
+								 \textbf{2048} & 6154.18                 & \phantom{0}7375.93  & \phantom{0}3860.57    & \phantom{0}4884.61 & 0.215 \\
+								 \textbf{4096} & 46813.30                 & 58466.00               & 22904.30               & 43597.10 & 1.49 \\
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 	 							 \hline
 	 							 \hline
-- 
cgit v1.2.1


From 27bef650fb02f20f0f0a0980e810363583115cd9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Sat, 21 Aug 2021 14:54:03 +0200
Subject: update multiplikation

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 52 ++++++++++++-------------
 1 file changed, 24 insertions(+), 28 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 90cb9ff..51872f5 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -192,7 +192,7 @@ Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
-	\caption{Strassens Algorithmus}
+	\caption{Der Algorithmus von Strassen verwendet Multiplikationen zur Berechnung der sieben Block-Matrizen $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, aus denen sich die Blöcke es Produktes $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$ ausschliesslich durch Addition und Subtraktion bilden lassen. Die einzelnen Felder in den Quadraten stellen alle möglichen Produkte von Matrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{jl}$ dar. In den grossen Quadraten am linken Rand sind diejenigen Produkte grün markiert, welche zusammen die entsprechenden Blöcke $\mathbf{C}_{il}$ von $\mathbf{C}$ ergeben. In den Spalten $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ sind die Produkte farblich hervorgehoben, die in der Definition der entsprechenden Matrix vorkommen. Grün und rot symbolisieren die Vorzeichen, mit denen die Produkte kombiniert werden müssen}
 	\label{multiplikation:fig:strassen}
 \end{figure}
 
@@ -235,18 +235,14 @@ Angenommen man hat $N$ Vektoren, mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
 Die Summen f\"ur $\xi$ und $\eta$ m\"ussen nur einmal berechnet werden.
 Für die ursprüngliche Gleichung \eqref{multiplikation:eq:skalar} für das Skalarprodukt benötigt man $Tn$ Multiplikationen.
-Im Vergleich mit der Methode von Winograd,
-%\begin{equation}\label{multiplikation:eq:eff}
-	\begin{align}\label{multiplikation:eq:eff}
-	\begin{split}
-		N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor &\leq Tn \\
-		\approx \frac{Nn}{2} + \frac{Tn}{2} &\leq Tn \\
-		\frac{Nn}{2} &\leq \frac{Tn}{2} \\
-		N &\leq T,
-\end{split}
-\end{align}
-%\end{equation}
-werden für die Berechnung des Skalarproduktes weniger Multiplikationen benötigt, falls $N\leq T$.
+Damit können wir die Laufzeit der Methode von Winograd mit der Laufzeit der Standardmethode vergleichen. Sie ist kleiner als die Laufzeit für die Standardmethode, wenn gilt
+\begin{equation}\label{multiplikation:eq:eff}
+\begin{array}{crcl}
+                & N\lfloor n/2\rfloor + T\lfloor(n+1)/2\rfloor \approx Nn/2 + Tn/2 & \le & Tn   \\
+\Leftrightarrow &                                                             Nn/2 & \le & Tn/2 \\
+\Leftrightarrow &                                                                N & \le & T.
+\end{array}
+\end{equation}
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
@@ -255,13 +251,13 @@ Dies f\"uhrt zu
 Multiplikationen.
 Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt, was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
 Mit dem gleichen Ansatz wie in der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:eff} aber mit quadratischen Matrizen, muss
-\begin{equation}
+\begin{align}
 	\begin{split}
-N=2n, \quad T = n^2 \\
-	2n \leq n^2 \\
-	2 \leq n
+N=2n, &\quad T = n^2 \\
+	2n &\leq n^2 \\
+	2 &\leq n
 \end{split}
-\end{equation}
+\end{align}
 sein, damit man etwas einspart.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 Falls $m=n=p$, werden $\frac{n^3}{2}$ Multiplikationen benötigt.
@@ -322,7 +318,7 @@ Im Abschnitt \ref{muliplikation:sec:bigo} wurde bereits erläutert: falls $n \ri
 \subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}
 
 Die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
-Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}.
+Die meisten numerischen Bibliotheken von high-level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}.
 
 \textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt.
 
@@ -390,9 +386,9 @@ Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige I
 In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
 
 Die gezeigten Algorithmen haben alle eine Laufzeit der Form $\mathcal{O}(n^k) $.
-Bei einer logarithmischen Darstellung unterscheiden sich diese in Geraden mit unterschiedlichen Steigungen.
+Bei einer doppelt logarithmischen Darstellung unterscheiden sich diese in Geraden mit unterschiedlichen Steigungen.
 Bei den grafisch gezeigten Messresultate, können diese Steigungen gut erkannt werden, wobei die tiefere Laufzeit des Strassen Algorithmus eindrücklich zu sehen ist.
-Der beötigte Overhead der Algorithmen zeigt sich in unterschiedlichen $y$-Achsenschnittpunkte.
+Der benötigte Overhead der Algorithmen zeigt sich in unterschiedlichen $y$-Achsenschnittpunkte.
 
 In der Messung mit der Programmiersprache \texttt{C} kann ein typischer Cache-Effekt beobachtet wer-
 den.
@@ -426,7 +422,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 							 \hline
 					 \end{tabular}
 			 \end{center}
-			 \caption{Messresultate \texttt{C}}
+			 \caption{Laufzeiten der verschieden Algorithmen in der Programmiersprache \texttt{C}}
 			 \label{multiplikation:tab:messung_C}
 	 \end{table}
 
@@ -453,7 +449,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 	 							 \hline
 	 					 \end{tabular}
 	 			 \end{center}
-	 			 \caption{Messresultate \texttt{Python}}
+	 			 \caption{Laufzeiten der verschieden Algorithmen in der Skriptsprache \texttt{Python}}
 	 			 \label{multiplikation:tab:messung_Python}
 	 	 \end{table}
 
@@ -479,7 +475,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_c}
-	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}}
+	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Programmiersprache \texttt{C}}
 	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
 \end{figure}
 
@@ -487,7 +483,7 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_python}
-	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}}
+	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Skriptsprache \texttt{Python}}
 	\label{multiplikation:fig:python}
 \end{figure}
 
@@ -500,6 +496,6 @@ Ein optimierter Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die La
 Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
 Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
 Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
-Der Overhead der gezeigten Alogorithmen ist in allen Fällen grösser als bei der Standardmethode (z.B. sieben rekursive Aufrufe gegenüber drei \texttt{for}-Schleifen).
-Um diesem entegenzuwirken muss der Laufzeitunterschied zwischen Addition und Multiplikation gross genug sein.
-Wenn dies gegeben ist und dazu noch grosse Matritzen multipliziert werden, kann die Verwendung der Algortihmen von Strassen oder Winograd zu einer Senkung der Laufzeit führen.
+Der Overhead der gezeigten Algorithmen ist in allen Fällen grösser als bei der Standardmethode (z.B. sieben rekursive Aufrufe gegenüber drei \texttt{for}-Schleifen).
+Um diesem entgegenzuwirken muss der Laufzeitunterschied zwischen Addition und Multiplikation gross genug sein.
+Wenn dies gegeben ist und dazu noch grosse Matritzen multipliziert werden, kann die Verwendung der Algorithmen von Strassen oder Winograd zu einer Senkung der Laufzeit führen.
-- 
cgit v1.2.1


From bf1d8fd6cf8b1a40bb0a621fda1070ddefba277b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michaelschmid13@hotmail.com>
Date: Mon, 23 Aug 2021 11:00:26 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 37 ++++++++++++++-----------
 1 file changed, 21 insertions(+), 16 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 51872f5..8d0c0a8 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -9,7 +9,7 @@
 
 In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur unkomplizierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
-\subsection{Standard Algorithmus}
+\subsection{Standardalgorithmus}
 
 Die Standardmethode ist im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} implementiert.
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt umgesetzt.
@@ -48,7 +48,7 @@ Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die
 Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
 Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
 Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt.
-Das Matrizen Produkt
+Das Matrizenprodukt
 \begin{equation}
 \mathbf{A}\mathbf{B}=
 \begin{bmatrix}
@@ -63,16 +63,16 @@ Das Matrizen Produkt
 \begin{bmatrix}
 \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
-\end{bmatrix},
+\end{bmatrix}
 \end{equation}
 mit \begin{equation}
 \mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^{2n} \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj},
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
-ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrize $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
+ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation der Untermatrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{kj}$ wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
 
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
-Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
+Die Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
 Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt.
 \begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrizenmultiplikation}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
@@ -189,10 +189,11 @@ Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf
 Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die Addition, welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
 Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \ldots, V}$.
 Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
+Graue Felder bedeuten, dass die dazugehörige Spalte nicht für die Berechnung benötigt wird.
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
-	\caption{Der Algorithmus von Strassen verwendet Multiplikationen zur Berechnung der sieben Block-Matrizen $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, aus denen sich die Blöcke es Produktes $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$ ausschliesslich durch Addition und Subtraktion bilden lassen. Die einzelnen Felder in den Quadraten stellen alle möglichen Produkte von Matrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{jl}$ dar. In den grossen Quadraten am linken Rand sind diejenigen Produkte grün markiert, welche zusammen die entsprechenden Blöcke $\mathbf{C}_{il}$ von $\mathbf{C}$ ergeben. In den Spalten $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ sind die Produkte farblich hervorgehoben, die in der Definition der entsprechenden Matrix vorkommen. Grün und rot symbolisieren die Vorzeichen, mit denen die Produkte kombiniert werden müssen}
+	\caption{Der Algorithmus von Strassen verwendet Multiplikationen zur Berechnung der sieben Blockmatrizen $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, aus denen sich die Blöcke es Produktes $\mathbf{C}=\mathbf{AB}$ ausschliesslich durch Addition und Subtraktion bilden lassen. Die einzelnen Felder in den Quadraten stellen alle möglichen Produkte von Matrizen $\mathbf{A}_{ik}$ und $\mathbf{B}_{jl}$ dar. In den grossen Quadraten am linken Rand sind diejenigen Produkte grün markiert, welche zusammen die entsprechenden Blöcke $\mathbf{C}_{il}$ von $\mathbf{C}$ ergeben. In den Spalten $\mathbf{P}$ bis $\mathbf{V}$ sind die Produkte farblich hervorgehoben, die in der Definition der entsprechenden Matrix vorkommen. Grün und rot symbolisieren die Vorzeichen, mit denen die Produkte kombiniert werden müssen. Graue Felder werden für die Berechnung von $\mathbf{C}_{il}$ nicht benötigt.}
 	\label{multiplikation:fig:strassen}
 \end{figure}
 
@@ -340,7 +341,7 @@ Die meisten numerischen Bibliotheken von high-level Skriptsprachen wie \texttt{M
 			\end{itemize}
 \end{itemize}
 
-Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
+Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computerprozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
 
 
 %\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
@@ -436,13 +437,13 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{NumPy(\textit{s})} \\
 	 							 \hline
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
-	 							 \textbf{32}   & \phantom{000}0.0240     & \phantom{0000}0.0271& \phantom{0000}0.04852 & \phantom{0000}0.01871 & 0.0000426  \\
-	 							 \textbf{64}   &\phantom{000} 0.186      & \phantom{0000}0.265 & \phantom{0000}0.2204  & \phantom{0000}0.1530& 0.000118 \\
-	 							 \textbf{128}  &\phantom{000} 1.563      & \phantom{0000}1.777 & \phantom{0000}1.447   & \phantom{0000}1.1947 & 0.000244 \\
-	 							 \textbf{256}  &\phantom{00} 11.006      & \phantom{000}13.27  & \phantom{0000}9.938   & \phantom{0000}8.298& 0.000695 \\
-	 							 \textbf{512}  &\phantom{00} 85.476      & \phantom{00}105.397 & \phantom{000}63.961   & \phantom{000}68.360 &  0.00221\\
-	 							 \textbf{1024} &\phantom{0} 750.757      & \phantom{00}847.321 & \phantom{00}461.494   & \phantom{00}537.374 & 0.0188 \\
-								 \textbf{2048} & 6154.18                 & \phantom{0}7375.93  & \phantom{0}3860.57    & \phantom{0}4884.61 & 0.215 \\
+	 							 \textbf{32}   &\phantom{0000}0.0240     & \phantom{0000}0.0271& \phantom{0000}0.04852 & \phantom{0000}0.01871 & 0.0000426  \\
+	 							 \textbf{64}   &\phantom{0000}0.186      & \phantom{0000}0.265 & \phantom{0000}0.2204  & \phantom{0000}0.1530& 0.000118 \\
+	 							 \textbf{128}  &\phantom{0000}1.563      & \phantom{0000}1.777 & \phantom{0000}1.447   & \phantom{0000}1.1947 & 0.000244 \\
+	 							 \textbf{256}  &\phantom{000}11.006      & \phantom{000}13.27  & \phantom{0000}9.938   & \phantom{0000}8.298& 0.000695 \\
+	 							 \textbf{512}  &\phantom{000}85.476      & \phantom{00}105.397 & \phantom{000}63.961   & \phantom{000}68.360 &  0.00221\\
+	 							 \textbf{1024} &\phantom{00}750.757      & \phantom{00}847.321 & \phantom{00}461.494   & \phantom{00}537.374 & 0.0188 \\
+								 \textbf{2048} &\phantom{0}6154.18                 & \phantom{0}7375.93  & \phantom{0}3860.57    & \phantom{0}4884.61 & 0.215 \\
 								 \textbf{4096} & 46813.30                 & 58466.00               & 22904.30               & 43597.10 & 1.49 \\
 	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
 	 							 \hline
@@ -475,7 +476,9 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_c}
-	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Programmiersprache \texttt{C}}
+	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Programmiersprache \texttt{C}.
+	Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als deren der anderen Algorithmen.
+	Die Messung von Winograd ist beinahe gleich wie die Messung mit der Standardmethode, deshalb ist sie nicht gut sichtbar.}
 	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
 \end{figure}
 
@@ -483,7 +486,9 @@ Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{mul
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_python}
-	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Skriptsprache \texttt{Python}}
+	\caption{Doppelt logarithmisch dargestellte Laufzeiten, der verschieden Algorithmen, in der Skriptsprache \texttt{Python}.
+	Die Steigung der Messreihe mit Strassens Algorithmus ist deutlich kleiner als deren der anderen Algorithmen.
+}
 	\label{multiplikation:fig:python}
 \end{figure}
 
-- 
cgit v1.2.1

