From a4817013b542cd6aa1a0cd955806c82ac337dca6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 22:27:27 +0200
Subject: added corrections from prof mueller

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+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -4,16 +4,16 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\section{L\"osungsmethoden}
-\rhead{L\"osungsmethoden}
+\section{Algorithmen}
+\rhead{Algorithmen}
 
 In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
 \subsection{Standard Algorithmus}
 
-Der Standard Methode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
+Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen werden.
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
-Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{For j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{For k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
+Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
 
 \begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
@@ -39,16 +39,18 @@ Die \texttt{For i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix,
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}(n^3)$
+Die Laufzeit dieser Struktur mit drei \texttt{For} Schleifen ist $\mathcal{O}\left(n^3\right)$
 
 \subsubsection{Divide and Conquer Methode}
 
-F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer} Ans\"atze zu markant besseren Laufzeiten.
-Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}(n^2)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
+F\"ur gewisse Algorithmen f\"uhren \textit{Divide and Conquer}  Ans\"atze \cite{multiplikation:DAC} zu markant besseren Laufzeiten.
+Die Grundidee ist, dass ein Problem in mehrere, meist simplere und kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird.
+Das bekannteste Beispiel ist wohl die \textit{Fast Fourier Transform} wobei die Laufzeit von $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ zu $\mathcal{O}(n \log n)$ verbessert werden kann.
 
 Die Matrizenmultiplikation kann ebenfalls mit solch einem Ansatz berechnet werden.
-Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation, mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
-Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$
+Zur vereinfachten Veranschaulichung kann die Situation mit $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ der Gr\"osse $2^n \times 2^n$ verwendet werden.
+Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen der Gr\"osse $2^{n-1} \times 2^{n-1}$ aufgeteilt.
+Das Matrizen produklt
 \begin{equation}
 \mathbf{A}\mathbf{B}=
 \begin{bmatrix}
@@ -64,11 +66,9 @@ Die Matrizen $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$ werden in jeweils vier Blockmatrizen
 \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
 \end{bmatrix}
-\end{equation}
-aufgeteilt.
-Die Berechnung
+\end{equation},
 \begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}.
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
 ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird.
@@ -105,15 +105,11 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} berechnet werden.
-Ohne auf diesen vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit.
+Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen.
+Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit.
 In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
-	\mathcal{T}(n) =
-	\begin{cases}
-	1  & \text{if }  n \leq 2\\
-	8 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  & \text{if }  n > 2
-	\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}(n^{3})
+	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right )
 \end{equation}
 zu einer kubischen Laufzeit.
 Die Addition zweier Matrizen $\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{C}$ hat eine Laufzeit von $\mathcal{O}(n^{2})$ und kann neben dem dominierendem Anteil von $\mathcal{O}(n^{3})$ ignoriert werden.
@@ -122,20 +118,20 @@ In diesem Fall hat der \textit{Divide and Conquer} Ansatz zu keiner Verbesserung
 
 \subsection{Strassen's Algorithmus}
 
-Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen.
-Die Grundlegenden Terme
+Strassen's Algorithmus \cite{multiplikation:strassen_1969} beschreibt die Matrizenmultiplikation mit einer Vielzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen von Blockmatrizen.
+Die grundlegenden Terme
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen}
 \begin{split}
-\text{\textbf{P}}   &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}) \\
-\text{\textbf{Q}}  &= (\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}) \cdot \mathbf{B}_{11} \\
-\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot (\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}) \\
-\text{\textbf{S}}  &= \mathbf{A}_{22} \cdot (-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}) \\
-\text{\textbf{T}}   &= (\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}) \cdot \mathbf{B}_{22} \\
-\text{\textbf{U}}  &= (-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}) \cdot (\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}) \\
-\text{\textbf{V}} &= (\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}) \cdot (\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22})
+\text{\textbf{P}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{22}\right ) \\
+\text{\textbf{Q}}  &= \left(\mathbf{A}_{21} + \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \mathbf{B}_{11} \\
+\text{\textbf{R}} &= \mathbf{A}_{11} \cdot \left(\mathbf{B}_{12}-\mathbf{B}_{22}\right ) \\
+\text{\textbf{S}}  &= \mathbf{A}_{22} \cdot \left(-\mathbf{B}_{11}+\mathbf{B}_{21}\right ) \\
+\text{\textbf{T}}   &= \left(\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{12}\right ) \cdot \mathbf{B}_{22} \\
+\text{\textbf{U}}  &= \left(-\mathbf{A}_{11} + \mathbf{A}_{21}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{11} + \mathbf{B}_{12}\right ) \\
+\text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right )
 \end{split}
 \end{equation}
-aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\mathbf{C}$
+aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke 
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
 \begin{split}
 \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
@@ -144,7 +140,7 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Matrix $\math
 \mathbf{C}_{22} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{R}} - \text{\textbf{Q}} + \text{\textbf{U}}
 \end{split}
 \end{equation}
-gebraucht.
+der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
 \begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:strassen}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
@@ -190,7 +186,11 @@ gebraucht.
 		\EndFunction
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
-Strassens's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
+Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
+Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . 
+Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
+Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
+Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.  
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
@@ -202,17 +202,14 @@ Die Funktion wird sieben mal rekursiv aufgerufen.
 Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitstrassen}
 \mathcal{T}(n) =
-\begin{cases}
-1  & \text{if }  n \leq 2\\
-7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  & \text{if }  n > 2
-\end{cases} = \mathcal{O}(n^{\log_2 7}) = \mathcal{O}(n^{2.8074})
+7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right )
 \end{equation}
-und ist somit schneller als die Standard Methode.
+und ist somit schneller als die Standardmethode.
 
 \subsection{Winograd's Algorithmus}
 
-Ein weiterer Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
-Er zeigte einen neuen Algorithmus f\"ur das
+Einen weiteren Ansatz lieferte Shmuel Winograd im Jahre 1968 \cite{multiplikation:winograd_1968}.
+Er beschrieb einen neuen Algorithmus f\"ur das
 \begin{equation}
 	\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}x_i y_i
 \end{equation}
@@ -236,6 +233,7 @@ Das Skalarprodukt ist nun geben mit
 
 Angenommen man hat $N$ Vektoren mit welchen man $T$ Skalarprodukte berechnen m\"ochte.
 Daf\"ur werden $N\lfloor n/2 \rfloor + T\lfloor (n+1)/2 \rfloor $ Multiplikationen ben\"otigt.
+
 Eine Matrizenmultiplikation mit $\mathbf{A}$ einer $m \times n$ und $\mathbf{B}$ einer $n \times p$ Matrix, entspricht $N=m+p$ Vektoren mit welchen man $T=mp$ Skalarprodukte berechnet.
 Dies f\"uhrt zu
 \begin{equation}
@@ -243,8 +241,8 @@ Dies f\"uhrt zu
 \end{equation}
 Multiplikationen.
 Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\frac{mpn}{2}$ Multiplikationen ben\"otigt.
-Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standard Methode nur die H\"alfte ist.
-Die Implementation kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
+Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
+Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 
 \begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
-- 
cgit v1.2.1


From 31b66acba16f525d41c42094601ade8afb3fd549 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Sat, 31 Jul 2021 21:36:30 +0200
Subject: updare

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index 8bdbf2c..7ee0b6e 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -65,13 +65,13 @@ Das Matrizen produklt
 \begin{bmatrix}
 \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{12}\\
 \mathbf{C}_{21} & \mathbf{C}_{22}
-\end{bmatrix}
-\end{equation},
+\end{bmatrix},
+\end{equation}
 \begin{equation}
-\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}.
+\mathbf{C}_{ij} = \sum_{k=1}^n \mathbf{A}_{ik} \mathbf{B}_{kj}
 \label{multiplikation:eq:MM_block}
 \end{equation}
-ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, wobei hier f\"ur die Multiplikation die Matrizenmultiplikation verwendet wird.
+ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplikation wird die Matrizenmultiplikation verwendet.
 
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
 Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
-- 
cgit v1.2.1


From 28efadd162ae3d48c04276da8e971155921d5812 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Sun, 1 Aug 2021 22:50:04 +0200
Subject: update

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 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 53 ++++++++++++++++++++++++-
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diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 7ee0b6e..0f6aa6b 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -295,9 +295,58 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-\subsection{Weitere Algorithmen}
+\subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}
+
+die gebr\"uchlichen Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subrutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
+Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. 
+
+\textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt.
+
+\begin{itemize}
+	\item Level 1
+	\begin{itemize}
+		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{x}+\mathbf{y}$
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}(n)$ karakteristik 
+	\end{itemize}
+	\item Level 2
+	\begin{itemize}
+		\item Operationen der Art: $\mathbf{y} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{x}+\beta  \mathbf{y}$
+		\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^2\right)$ karakteristik 
+		\end{itemize}
+		\item Level 3
+		\begin{itemize}
+			\item Operationen der Art: $\mathbf{C} \leftarrow \alpha \mathbf{A}\mathbf{B}+\beta\mathbf{C}$
+			\item Dieses Level hat $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ karakteristik 
+			\end{itemize}
+\end{itemize}
+
+Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgek\"ugelter Verwedung der Speicher Architektur zur erheblichen Leistungoprimierung f\"uhren.
+
+
+\subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
+
+Die \textit{Double-GEMM} ist in \cite{multiplikation:DGEMM} definiert als:
+
+\textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
+$$
+ C := \alpha \cdot op( A )\cdot op( B ) + \beta \cdot C,
+ $$
+ \textit{where  op( X ) is one of}
+$$
+op( X ) = X  \quad \text{ or } \quad  op( X ) = X^T,
+$$
+ \textit{alpha and beta are scalars, and A, B and C are matrices, with op( A )
+ an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
+ }
+
+Die Implementaion von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
+\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
+cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans,
+      m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m);
+\end{lstlisting}
+definiert.
+
 
-\textcolor{red}{TODO: BLAS}
 
 \section{Implementation}
 \rhead{Implementation}
-- 
cgit v1.2.1


From 11264adfdeba52738aa6ee7a96958936a20d4984 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michaelschmid13@hotmail.com>
Date: Mon, 2 Aug 2021 08:14:39 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 24 +++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 21 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 7ee0b6e..8e3369d 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -131,7 +131,7 @@ Die grundlegenden Terme
 \text{\textbf{V}} &= \left(\mathbf{A}_{12} - \mathbf{A}_{22}\right ) \cdot \left(\mathbf{B}_{21} + \mathbf{B}_{22}\right )
 \end{split}
 \end{equation}
-aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke 
+aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:strassen2}
 \begin{split}
 \mathbf{C}_{11} &= \text{\textbf{P}} + \text{\textbf{S}} - \text{\textbf{T}} + \text{\textbf{V}} \\
@@ -187,10 +187,10 @@ der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
 	\end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 Strassen's Methode wird in der Abbildung \ref{multiplikation:fig:strassen} grafisch dargestellt.
-Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ . 
+Jedes Feld steht f\"ur eine Multiplikation zweier Matrizenelementen von $\mathbf{A}$ oder $\mathbf{B}$ .
 Die gr\"unen Felder auf der linken Seite, zeigen die addition welche f\"ur den dazugeh\"origen Term ben\"otigt wird.
 Die sieben Spalten beschreiben die Matrizen $\mathbf{P,Q,R, \dotsb, V}$.
-Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.  
+Rote Felder stehen f\"ur eine Subtraktion und die gr\"unen f\"ur eine Addition.
 \begin{figure}
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/strassen.pdf}
@@ -303,5 +303,23 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen
 \rhead{Implementation}
 \textcolor{red}{TODO: messresultate}
 
+Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
+\begin{itemize}
+	\item Standard Matrizenmultiplikation
+	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
+	\item Strassen's Matrizenmultiplikation
+	\item Winograd's Matrizenmultiplikation
+	\item \texttt{CBLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
+	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
+\end{itemize}
+
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
+
+Wie man in \textcolor{red}{hyperlink Messresultate} gesehen haben, sind die geziegten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
+Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
+
+Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
+Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
+Denke man an sehr keleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinhieten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
+Sobland sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durcheführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
-- 
cgit v1.2.1


From f96b0b2b66fe215a9e471eec44c58f4de11c7c0b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Mon, 2 Aug 2021 22:49:09 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 16 ++++++++++++++++
 1 file changed, 16 insertions(+)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index b25462a..8a95dd5 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -362,6 +362,22 @@ Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
 \end{itemize}
 
+
+\begin{figure}
+	\center
+	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/c_meas_4096}
+	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{C}}
+	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
+\end{figure}
+
+
+\begin{figure}
+	\center
+	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_1024}
+	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}}
+	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
+\end{figure}
+
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
 
-- 
cgit v1.2.1


From e5da5157fb61cdb006f3f50a2b3bd3b922644f1f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Tue, 3 Aug 2021 22:08:02 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 73 ++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 72 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 8a95dd5..780cbf3 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -358,10 +358,81 @@ Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
 	\item Strassen's Matrizenmultiplikation
 	\item Winograd's Matrizenmultiplikation
-	\item \texttt{CBLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
+	\item \texttt{BLAS} Matrizenmultiplikation in \texttt{C}
 	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
 \end{itemize}
 
+Der Code kann im dazugeh\"orgien \textit{GitHub} Repository gefunden werden.
+
+\begin{table}
+			 \begin{center}
+					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+							 \hline
+							 \hline
+							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{BLAS (\textit{s})} \\
+							 \hline
+							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+							 \textbf{32}   & 0.000081 &0.000594 &  0.00047& 0.00010 & 0.000022  \\
+							 \textbf{64}   & 0.00065  & 0.0042&  0.0033& 0.00065& 0.00017 \\
+							 \textbf{128}  & 0.0055   & 0.036&  0.024&  0.0052 & 0.0012 \\
+							 \textbf{256}  & 0.054    & 0.32 & 0.17 &  0.057& 0.010 \\
+							 \textbf{512}  & 0.48     & 2.61 & 1.20 & 0.51 &  0.074\\
+							 \textbf{1024} & 4.16     & 19.92& 8.45  & 4.53 & 0.704 \\
+							 \textbf{2048} & 125.90   & 159.33& 59.26 & 130.62 &  6.84 \\
+							 \textbf{4096} & 1111.31  & 1147.10& 414.64 & 1179.26  &  55.84\\
+							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+							 \hline
+							 \hline
+					 \end{tabular}
+			 \end{center}
+			 \caption{Messresultate \texttt{C}}
+			 \label{multiplikation:tab:messung_C}
+	 \end{table}
+	 
+	 
+
+	 \begin{table}
+	 			 \begin{center}
+	 					 \begin{tabular}{l l l l l l}
+	 							 \hline
+	 							 \hline
+	 							 \textbf{n} & \textbf{MM (\textit{s})} &  \textbf{MM DC (\textit{s})} & \textbf{Strassen (\textit{s})}  & \textbf{Winograd (\textit{s})} & \textbf{\texttt{NumPy}(\textit{s})} \\
+	 							 \hline
+	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+	 							 \textbf{32}   & 0.0240 &0.0271 &  0.04852& 0.01871 & 4.26e-05  \\
+	 							 \textbf{64}   & 0.186  & 0.265&  0.2204& 0.1530& 0.000118 \\
+	 							 \textbf{128}  & 1.563   & 1.777&  1.447&  1.1947 & 0.000244 \\
+	 							 \textbf{256}  & 11.006    & 13.27 & 9.938 &  8.298& 0.000695 \\
+	 							 \textbf{512}  & 85.476    & 105.397 & 63.961 & 68.36 &  0.00221\\
+	 							 \textbf{1024} & 750.757     & 847.321& 461.494  & 537.374 & 0.0188 \\
+								 \textbf{4096} & -     & - & -  & - & 1.633 \\
+	 							 \multicolumn{6}{c}{} \\
+	 							 \hline
+	 							 \hline
+	 					 \end{tabular}
+	 			 \end{center}
+	 			 \caption{Messresultate \texttt{Python}}
+	 			 \label{multiplikation:tab:messung_Python}
+	 	 \end{table}
+
+		 \begin{table}
+		 			 \begin{center}
+		 					 \begin{tabular}{c c c c}
+		 							 \hline
+		 							 \hline
+		 							 \textbf{CPU} & \textbf{OS} &  \textbf{GPU } & \textbf{Memory }  \\
+		 							 \hline
+		 							 \multicolumn{4}{c}{} \\
+		 							   Intel® Core™ i7-4770K CPU  & Ubuntu 20.04.2 LTS & Radeon RX 570 &  32 GB 1600 MHz   \\
+										 @ 3.50GHz × 8  & 64-bit & &    \\
+		 							 \multicolumn{4}{c}{} \\
+		 							 \hline
+		 							 \hline
+		 					 \end{tabular}
+		 			 \end{center}
+		 			 \caption{Messsystem}
+		 			 \label{multiplikation:tab:pc_config}
+		 	 \end{table}
 
 \begin{figure}
 	\center
-- 
cgit v1.2.1


From 1663dd03e22b2ee65a8050f5eb5433c7580028b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Wed, 4 Aug 2021 16:14:15 +0200
Subject: update multiplikation

---
 buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex | 50 +++++++++++++------------
 1 file changed, 27 insertions(+), 23 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex')

diff --git a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
index 780cbf3..6f1486c 100755
--- a/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
+++ b/buch/papers/multiplikation/loesungsmethoden.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \section{Algorithmen}
 \rhead{Algorithmen}
 
-In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Libraries zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
+In diesem Abschnitt werden mehrere Algorithmen zur Berechnung der Matrizenmultiplikation vorgestellt, auch werden Bibliotheken zur automatisierten Verwendung von vordefinierten Algorithmen gezeigt.
 
 \subsection{Standard Algorithmus}
 
@@ -15,7 +15,7 @@ Die Standardmethode kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:smm} entnommen w
 Hierf\"ur wurde die Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM} direkt implementiert.
 Die \texttt{for i} Schleife iteriert \"uber alle Zeilen der $\mathbf{A}$ Matrix, die \texttt{for j} Schleife iteriert \"uber alle Spalten der $\mathbf{B}$ Matrix und die \texttt{for k} Schleife iteriert \"uber alle Eintr\"age dieser Zeilen bzw. Spalten.
 
-\begin{algorithm}\caption{Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:smm}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}[1]
@@ -76,7 +76,7 @@ ist identisch zu der Gleichung \eqref{multiplikation:eq:MM}, f\"ur die Multiplik
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:devide_mm} zeigt den \textit{Divide and Conquer} Ansatz,
 Der Grundstruktur dieser Methode besteht aus dem rekursiven Aufruf der Funktion mit den erzeugten Blockmatrizen.
 Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$ durchgef\"uhrt.
-\begin{algorithm}\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Divide and Conquer Matrix Multiplication}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:devide_mm}
 	\begin{algorithmic}
@@ -106,7 +106,7 @@ Der rekursive Aufruf wird bis zu der Gr\"osse der Matrizen von $N = 2 \times 2$
 \end{algorithm}
 
 Die Laufzeit dieser rekursiven Funktion kann mit dem \textit{Master Theorem} \cite{multiplikation:master_theorem} berechnet werden. Das \textit{Master Theorem} bestimmt die Zeitkomplexit\"at von rekursiven Algortihmen.
-Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe der Funktion die Laufzeit.
+Ohne auf dieses vertieft einzugehen, bestimmt die Anzahl rekursiver Aufrufe $\mathcal{T} $ der Funktion die Laufzeit.
 In diesem Fall wird die Funktion pro Durchlauf acht mal rekursiv aufgerufen, dies f\"uhrt
 \begin{equation} \label{multiplikation:eq:laufzeitdac}
 	\mathcal{T}(n) =	8 \cdot \mathcal{T}\left (\frac{n}{2}\right ) + n^2  = \mathcal{O}(n^{\log_2 8}) = \mathcal{O}\left (n^{3} \right )
@@ -141,7 +141,7 @@ aus $\mathbf{A}$ und $\mathbf{B}$, werden f\"ur die Berechnung der Bl\"ocke
 \end{split}
 \end{equation}
 der Matrix $\mathbf{C}$ gebraucht.
-\begin{algorithm}\caption{Strassen Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Strassen Matrix Multiplication}
 	\label{multiplikation:alg:strassen}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\begin{algorithmic}
@@ -205,6 +205,7 @@ Dies f\"uhrt zu einer Laufzeit von
 7 \cdot \mathcal{T}(\frac{n}{2}) + n^2  = \mathcal{O}\left(n^{\log_2 7}\right ) = \mathcal{O}\left(n^{2.8074} \right )
 \end{equation}
 und ist somit schneller als die Standardmethode.
+Man beachte, dass die Anzahl von Additionen und Subtraktionen gr\"osser und die Anzahl der Multiplikationen kleiner wurde.
 
 \subsection{Winograd's Algorithmus}
 
@@ -244,7 +245,7 @@ Wenn $m,p,n$ gross werden, dominiert der Term $\frac{mpn}{2}$ und es werden $\fr
 Was im Vergleich zu den $mpn$ Multiplikation der Standardmethode nur die H\"alfte ist.
 Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen werden.
 
-\begin{algorithm}\caption{Winograd Matrix Multiplication}
+\begin{algorithm}\footnotesize\caption{Winograd Matrix Multiplication}
 	\setlength{\lineskip}{7pt}
 	\label{multiplikation:alg:winograd}
 	\begin{algorithmic}
@@ -297,7 +298,7 @@ Die Implementation kann Algorithmus \ref{multiplikation:alg:winograd} entnommen
 
 \subsection{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}
 
-die gebr\"uchlichen Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subrutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
+die gebräuchliche Methode f\"ur die Anwendung einer optimierten Matrizenmultiplikation ist die Verwendung einer Subroutine aus den \textit{Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)}  \cite{multiplikation:BLAS}.
 Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{Matlab}, \texttt{NumPy (Python)}, \texttt{GNU Octave} oder \texttt{Mathematica} ben\"utzen eine Form von \textit{BLAS}. 
 
 \textit{BLAS} sind dabei in drei unterschiedliche Levels aufgeteilt.
@@ -320,12 +321,12 @@ Die meisten Numerischen Bibliotheken von High-Level Skriptsprachen wie \texttt{M
 			\end{itemize}
 \end{itemize}
 
-Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgek\"ugelter Verwedung der Speicher Architektur zur erheblichen Leistungoprimierung f\"uhren.
+Die \textit{BLAS} sind auf die modernen Computer Prozessoren optimiert und k\"onnen dank einer ausgeklügelter Verwendung der Speicherarchitektur zu erheblichen Leistungsoptimierungen f\"uhren.
 
 
 \subsubsection{General Matrix Multiplication (GEMM)}
 
-Die \textit{Double-GEMM} ist in \cite{multiplikation:DGEMM} definiert als:
+Die \textit{Double-GEMM} \cite{multiplikation:DGEMM} ist definiert als:
 
 \textit{DGEMM  performs one of the matrix-matrix operations}
 $$
@@ -339,20 +340,19 @@ $$
  an m by k matrix,  op( B )  a  k by n matrix and  C an m by n matrix.
  }
 
-Die Implementaion von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
-\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
-cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans,
-      m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m);
-\end{lstlisting}
-definiert.
+%Die Implementation von $\alpha\mathbf{A}\mathbf{B} + \beta \mathbf{C} = \mathbf{C}$, wobei  $\alpha = 1.0$ und $\beta = 0.0$ in der \texttt{C}-Version von \textit{BLAS}, ist als
+%\begin{lstlisting}[style=multiplikationC]
+%cblas_dgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans,
+%      m, n, k, 1, A, m , B, k, 0, C, m);
+%\end{lstlisting}
+%definiert.
 
 
 
-\section{Implementation}
+\section{Implementation}\label{multiplikation:section:Implementation}
 \rhead{Implementation}
-\textcolor{red}{TODO: messresultate}
 
-Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
+Folgende Algorithmen wurden jeweils in \texttt{C} und \texttt{Python} implementiert.
 \begin{itemize}
 	\item Standard Matrizenmultiplikation
 	\item \textit{Devide and Conquer} Matrizenmultiplikation
@@ -362,7 +362,11 @@ Folgende Algorithmen wurden jweiles in \texttt{C} und \texttt{Python} implementi
 	\item \texttt{Numpy} Matrizenmultiplikation in \texttt{Python}
 \end{itemize}
 
-Der Code kann im dazugeh\"orgien \textit{GitHub} Repository gefunden werden.
+Der Code kann im dazugehörigen \textit{GitHub} Repository gefunden werden.
+Anzumerken ist, dass die Matrizenmultiplikation von \texttt{NumPy} als einzige Implementation Multiprocessing und Multithreading verwendet, dies f\"uhrt zu den tiefen Messzeiten.
+In Abbildung \ref{multiplikation:fig:python} und Abbildung \ref{multiplikation:fig:c_meas_4096} sind de Messresultate grafisch dargestellt. Die selben Messresultate sind tabellarisch in Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_Python} und Tabelle \ref{multiplikation:tab:messung_C} ersichtlich.
+Die Hardwareinformationen des verwendeten Computers sind in der Tabelle \ref{multiplikation:tab:pc_config} aufgelistet.
+
 
 \begin{table}
 			 \begin{center}
@@ -446,16 +450,16 @@ Der Code kann im dazugeh\"orgien \textit{GitHub} Repository gefunden werden.
 	\center
 	\includegraphics[width=\linewidth]{papers/multiplikation/images/meas_1024}
 	\caption{Messresultate mit der Programmiersprache \texttt{Python}}
-	\label{multiplikation:fig:c_meas_4096}
+	\label{multiplikation:fig:python}
 \end{figure}
 
 \section{Fazit}
 \rhead{Fazit}
 
-Wie man in \textcolor{red}{hyperlink Messresultate} gesehen haben, sind die geziegten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
+Wie man im Abschnitt\ref{multiplikation:section:Implementation} sehen kann, sind die gezeigten Algorithmen, trotz den theoretisch geringeren Zeitkomplexitäten, den Implementationen der numerischen Bibliotheken klar unterlegen.
 Einen optimierten Speicherzugriff hat einen weitaus grösseren Einfluss auf die Laufzeit als die Zeitkomplexität des Algorithmus.
 
 Doch haben Entdeckungen wie jene von Strassen und Winograd ihre Daseinsberechtigung.
 Nicht auf jeden Computersystemen können die \textit{BLAS} angewandt werden.
-Denke man an sehr keleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinhieten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
-Sobland sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durcheführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
+Denke man an sehr kleine Mikrocontroller ohne Floatingpoint Recheneinheiten oder auch an \textit{Field Programmable Gate Arrays (FPGA's)}.
+Sobald sehr grosse Matrizen multipliziert werden müssen und eine Addition in weniger Taktzyklen als eine Multiplikation durchführt werden kann, können die gezeigten Algorithmen von Vorteil sein.
-- 
cgit v1.2.1

