From 872595e81de60c85b18408f8de5a49c535518edc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nunigan <michael.schmid2@ost.ch>
Date: Fri, 6 Aug 2021 17:37:58 +0200
Subject: update multiplikation

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 buch/papers/multiplikation/problemstellung.tex | 33 +++++++++++++-------------
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@@ -7,13 +7,14 @@
 \rhead{Problemstellung}
 Wegen der breiten Anwendung der Matrizenmultiplikation ist eine effiziente L\"osung dieser Operation von grosser Bedeutung.
 Das Ziel dieses Papers ist, verschiedenen Algorithmen der Matrizenmultiplikation vorzustellen.
-Gezielt wird auf Algorithmen eingegange, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus l\"osen.
+Gezielt wird auf Algorithmen eingegangen, welche das Problem schneller als der Standard Algorithmus l\"osen.
 
 \subsection{Big $\mathcal{O}$ Notation}
 \label{muliplikation:sec:bigo}
-Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus in Abhänigkeit zur Inputgrösse \cite{multiplikation:bigo}.
+Die Big $\mathcal{O}$ Notation beschreibt die Laufzeitkomplexit\"at eines Algorithmus in Abhängigkeit zur Inputgrösse \cite{multiplikation:bigo}.
 $f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$ besagt, dass die Funktion $f$ nicht wesentlich schneller w\"achst als $g$ wenn $x \rightarrow \infty$.
-Als Beispiel: benötigt eine Funktion $g$, $\mathcal{O}\left(n+n^2 \right)$ Multiplikationen so wächst $f$ mit $\mathcal{O}\left(n^2 \right)$ nicht wesentlich schneller als $g$.
+% Es gibt eine Konstante $K$ derart, dass $f(x) \le K g(x)$ für $x\to\infty$
+Als Beispiel: benötigt eine Funktion $g$ $\mathcal{O}\left(n^2 \right)$ Multiplikationen, so wächst $f$ mit $\mathcal{O}\left(n+ n^2 \right)$ nicht wesentlich schneller falls $x\to\infty$.
 Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet:
 \begin{itemize}
 	\item $f \in \mathcal{O}(1) \rightarrow f$ ist beschr\"ankt
@@ -26,13 +27,9 @@ Vereinfacht werden f\"ur Algorithmen die folgende Notation verwendet:
 \end{itemize}
 
 In der Abbildung \ref{multiplikation:fig:bigo} k\"onnen die verschiedenen Laufzeiten miteinander verglichen werden.
+Bei einer logarithmischen Darstellung werden Polynome der Form $f(x) = x^k$ als Gerade und Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ als nach oben gekr\"ummte Kurven dargestellt.
+Sch\"on zu erkennen ist, dass Logarithmische Kurven beschr\"ankt sind.
 
-\begin{figure}
-	\center
-	\includegraphics[]{papers/multiplikation/images/bigo}
-	\caption{Verschiedene Laufzeiten}
-	\label{multiplikation:fig:bigo}
-\end{figure}
 
 \subsubsection{Beispiel Algorithmen}
 
@@ -101,23 +98,25 @@ Es folgen einige Beispiele von Algorithmen welche zu einer bestimmten Zeitkomple
 
 \paragraph{Beschr\"ankter Algorithmus}
 
-Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen einfluss auf die Laufzeit.
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+Ein Beispiel eines Beschr\"ankter Verhalten $\mathcal{O}(1)$, kann im Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b1} entnommen werden. Da $a$ und $b$ Skalare sind, hat keine Gr\"osse $n$ einen Einfluss auf die Laufzeit.
 
 Konstanten werden nicht beachtet, der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:b2} f\"uhrt ebenso zu  $\mathcal{O}(1)$ und nicht zu $\mathcal{O}(2)$.
 
 
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 \paragraph{Linearer Algorithmus}
 
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:linear} hat ein lineares Verhalten.
 Die \texttt{for}-Schleife wird $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}(n)$.
 
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 \paragraph{Quadratischer Algorithmus}
 
 Der Algorithmus \ref{multiplikation:alg:q1} hat ein quadratisches Verhalten.
-Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchglaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$.
+Die beiden \texttt{for}-Schleifen werden jeweils $n$-mal durchlaufen und f\"uhrt deshalb zu $\mathcal{O}\left(n^2\right)$.
+
+
+\begin{figure}
+	\center
+	\includegraphics[]{papers/multiplikation/images/bigo}
+	\caption{Verschiedene Laufzeiten}
+	\label{multiplikation:fig:bigo}
+\end{figure}
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