From 6c2ea74f867d898626e5ef25c61814cd2aa49bbd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Sat, 31 Jul 2021 11:57:23 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 17 +++++++++++++---- 1 file changed, 13 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index c13732c..4532783 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -8,21 +8,30 @@ \rhead{Problemstellung} Das spezielle an einem Zuordnungsproblem ist, dass es an jedem Ort nur eine Einheit angeboten bzw. nachgefragt wird. Es werden hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen -Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen, oder Bau-Materialien auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. +Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen, oder Bau-Maschinen auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde der Munkres-Algorithmus, auch die Ungarische Methode genannt, entwickelt. Diese Methode ist ein weiteres Hauptthema dieses Kapitels. \subsection{Zuordnungsproblem an einem konkreten Beispiel \label{munkres:subsection:bonorum}} +Man hat der Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne +soll möglichst klein werden. +Die Frage lautet, wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte angenommen werden.$\mathbb{R}$. +Beim Beispiel mit den Kräne gib es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden.$\mathbb{Z}$. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran von A nach B oder gar kein Kran verschoben werden. Also 1 oder 0. +Doch das Problem bleibt, mit ganzzahligen Punkten kann kein Optimum erzielt werden und ist eine träge, langsame Angelegenheit. \subsection{Zuordnungsproblem abstrakt \label{munkres:subsection:bonorum}} -Es sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 +In einem Zuordnungsproblem sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 \begin{equation} a_{i}=b_{j}=1 \end{equation} -\subsection{alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems +Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix $\mathbb{A}$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann dann auch der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. + +In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ die Kosten dargestellt, die entstehen, wenn man z.B. einem Arbeiter $i$ die Aufgabe $j$ zuordnet. + +\subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} \begin{equation} Netzwerk @@ -35,7 +44,7 @@ Bitpartiter Graph \end{equation} Ein bipartiter Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen zwischen den Elementen zweier Mengen. -Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen» +Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. \begin{figure} \centering \includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung} -- cgit v1.2.1 From 65966d22f384fa01a8db10b7fd47857efde92a81 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Mon, 2 Aug 2021 11:06:30 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 24 +++++++++++++++--------- 1 file changed, 15 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 4532783..867830f 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -7,17 +7,25 @@ \label{munkres:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} -Das spezielle an einem Zuordnungsproblem ist, dass es an jedem Ort nur eine Einheit angeboten bzw. nachgefragt wird. Es werden hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen +Das Spezielle an einem Zuordnungsproblem ist, dass es an jedem Ort nur eine Einheit angeboten bzw. nachgefragt wird. Es werden hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen, oder Bau-Maschinen auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde der Munkres-Algorithmus, auch die Ungarische Methode genannt, entwickelt. Diese Methode ist ein weiteres Hauptthema dieses Kapitels. \subsection{Zuordnungsproblem an einem konkreten Beispiel \label{munkres:subsection:bonorum}} -Man hat der Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne +Man hat den Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt, eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne soll möglichst klein werden. -Die Frage lautet, wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte angenommen werden.$\mathbb{R}$. -Beim Beispiel mit den Kräne gib es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden.$\mathbb{Z}$. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran von A nach B oder gar kein Kran verschoben werden. Also 1 oder 0. -Doch das Problem bleibt, mit ganzzahligen Punkten kann kein Optimum erzielt werden und ist eine träge, langsame Angelegenheit. +Die Frage lautet, wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte angenommen werden $\mathbb{R}$. +Beim Beispiel mit den Kräne gibt es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden $\mathbb{Z}$. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran von A nach B oder gar kein Kran verschoben werden. Also 1 oder 0. +Für solche Optimierungsproblem für reelle Varianten sind verschiedene Verfahren entwickelt worden, die im Allgemeinen auch sehr effizient sind. Das reelle Problem ist also in einer einfachen Art uns weise lösbar. Doch das Problem bleibt, wie in der Illustration oben ersichtlich. Es kann mit ganzzahligen Punkten kein Optimum erzielt werden. Das Ziel ist es an das Optimum so nah wie möglich heranzukommen und dies ist eine vergleichsweise träge und langsame Angelegenheit. + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/ganzzahlige_punkte} +\caption{$K_{3,3}$ Problem der Ganzzahligkeit.} +\label{munkres:Vr2} +\end{figure} + \subsection{Zuordnungsproblem abstrakt \label{munkres:subsection:bonorum}} @@ -26,10 +34,8 @@ In einem Zuordnungsproblem sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 \begin{equation} a_{i}=b_{j}=1 \end{equation} - -Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix $\mathbb{A}$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann dann auch der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. - -In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ die Kosten dargestellt, die entstehen, wenn man z.B. einem Arbeiter $i$ die Aufgabe $j$ zuordnet. +Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix $\mathbb{A}$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. +In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ die Wege dargestellt, die entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} -- cgit v1.2.1 From a8df39c46bc2ac0e92fc36d14d9d320d748bdf70 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Mon, 2 Aug 2021 11:37:31 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 867830f..d22b57f 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -22,7 +22,7 @@ Für solche Optimierungsproblem für reelle Varianten sind verschiedene Verfahre \begin{figure} \centering \includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/ganzzahlige_punkte} -\caption{$K_{3,3}$ Problem der Ganzzahligkeit.} +\caption{Problem der Ganzzahligkeit.} \label{munkres:Vr2} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From 8e6efdb02d8e35d9a3749a377a80de679a8b3ba2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Mon, 2 Aug 2021 21:06:43 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 16 ++++++++++++---- 1 file changed, 12 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index d22b57f..388a448 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -15,13 +15,13 @@ Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde \label{munkres:subsection:bonorum}} Man hat den Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt, eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne soll möglichst klein werden. -Die Frage lautet, wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte angenommen werden $\mathbb{R}$. -Beim Beispiel mit den Kräne gibt es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden $\mathbb{Z}$. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran von A nach B oder gar kein Kran verschoben werden. Also 1 oder 0. -Für solche Optimierungsproblem für reelle Varianten sind verschiedene Verfahren entwickelt worden, die im Allgemeinen auch sehr effizient sind. Das reelle Problem ist also in einer einfachen Art uns weise lösbar. Doch das Problem bleibt, wie in der Illustration oben ersichtlich. Es kann mit ganzzahligen Punkten kein Optimum erzielt werden. Das Ziel ist es an das Optimum so nah wie möglich heranzukommen und dies ist eine vergleichsweise träge und langsame Angelegenheit. +Die Frage lautet, wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte $\mathbb{R}$ angenommen werden. +Beim Beispiel mit den Kräne gibt es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran von A nach B oder gar kein Kran verschoben werden. Also 1 oder 0. +Für solche Optimierungsprobleme für reelle Variablen sind verschiedene Verfahren entwickelt worden, die im Allgemeinen auch sehr effizient sind. Das reelle Problem ist also in einer einfachen Art und Weise lösbar. Doch das Problem bleibt, wie in der Illustration oben ersichtlich. Es kann mit ganzzahligen Punkten kein Optimum erzielt werden. Das Ziel ist es an das Optimum so nah wie möglich heranzukommen und dies ist eine vergleichsweise träge und langsame Angelegenheit. \begin{figure} \centering -\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/ganzzahlige_punkte} +\includegraphics[width=8cm]{papers/munkres/figures/ganzzahlige_punkte} \caption{Problem der Ganzzahligkeit.} \label{munkres:Vr2} \end{figure} @@ -37,6 +37,14 @@ a_{i}=b_{j}=1 Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix $\mathbb{A}$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ die Wege dargestellt, die entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/MatrixA.png} +\caption{Darstellung Matrix $A$} +\label{munkres:Vr2} +\end{figure} + + \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} \begin{equation} -- cgit v1.2.1 From 5ee4a25b3a02fa12de47dd1dad1b8b1be2d7c7ae Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Tue, 3 Aug 2021 10:52:13 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 388a448..363dc06 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -40,7 +40,7 @@ In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ die Wege dargestellt, die entstehen, w \begin{figure} \centering \includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/MatrixA.png} -\caption{Darstellung Matrix $A$} +\caption{Darstellung einer Matrix $A$} \label{munkres:Vr2} \end{figure} -- cgit v1.2.1 From 24a24cb7f6cb0a85bc136bbdb11ad52b7d7917f0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Wed, 4 Aug 2021 10:27:27 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 29 ++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 22 insertions(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 363dc06..07489e3 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -35,30 +35,45 @@ In einem Zuordnungsproblem sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 a_{i}=b_{j}=1 \end{equation} Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix $\mathbb{A}$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. -In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ die Wege dargestellt, die entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. +In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. +Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. \begin{figure} -\centering -\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/MatrixA.png} +\[ +A += +\begin{pmatrix} +a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1m}\\ +a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2m}\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ +a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nm} +\end{pmatrix} +\] \caption{Darstellung einer Matrix $A$} -\label{munkres:Vr2} \end{figure} - +Eine Matrix, wie hier in Abbildung 21.2 ersichtlich, ist ein rechteckiges Schema, dessen Elemente üblicherweise Zahlen, aber auch andere mathematische Elemente wie Variablen oder Funktionen sein können. Sie besteht aus $n$ Zeilen und $m$ Spalten. D.h. die Elemente einer Matrix vom Typ $(n,m)$ mit Namen $A$ sind $a_{ij}$ wobei $i$ = 1,..., $m$ ist und $j$ = 1,...,$n$. $a_{ij}$ ist der Eintrag in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte der Matrix . Zum Beispiel ist a21 das Element der 2. Zeile und 1. Spalte. $i$ wird auch der Zeilenindex, $j$ der Spaltenindex genannt. \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} \begin{equation} Netzwerk \end{equation} +Ein (Fluss- oder Transport-) Netzwerk (engl. network) ist ein zusammenhängender Graph, bei dem jede Kante einen Fluss aufnehmen kann und jede Kante eine Kapazität für den Fluss hat. Die Menge des Flusses auf einer Kante kann die Kapazität der Kante nicht überschreiten. Ein Fluss muss die Einschränkung erfüllen, dass die Menge des Flusses in einen Knoten gleich der Menge des Flusses aus ihm heraus ist. Ein Fluss-Netzwerk (engl. flow network) ist ein Netzwerk, dessen Kanten zusätzlich Kosten pro Mengeneinheit des Flusses zugeordnet sind. Typischerweise will man einen Fluss durch die Kanten bestimmen, der den Einschränkungen des Netzwerks genügt und dessen Gesamtkosten minimal sind. Im Bild 21.3 dargestellt sind in den eckigen Klammern links die externen Flüsse $[1]$ für jeden Arbeiter und in den eckigen Klammern rechts eine $[-1]$ für jede Tätigkeit. Die Kosten sind entlang der Kanten als Zahlen in Klammern dargestellt. \begin{equation} Matrix \end{equation} +Im Bild 21.4 ist eine typische $4\times 4$ Matrix dargestellt. Die Zeilen A1 bis A4 betreffen z.B. vier bestehende Maschinenlager eines Unternehmers. In den Spalten B1 bis B4 sind vier neue Baustellenorte zugewiesen. Die Zahlen in der Matrix bedeuten z.B. die Distanz in Kilometer von dem jeweiligen Lager zur jeweiligen Baustelle. \begin{equation} Bitpartiter Graph \end{equation} Ein bipartiter Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen -zwischen den Elementen zweier Mengen. -Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. +zwischen den Elementen zweier Mengen. Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. Zwischen zwei Gruppen von Objekten wird hierbei eine eindeutige Zuordnung hergestellt. +\begin{itemize} +\item 3 = Anzahl der Knoten aus Menge A. +\item 3 = Anzahl der Knoten aus Menge B. +\end{itemize} + + \begin{figure} \centering \includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung} -- cgit v1.2.1 From f06e1476cec724c47306967946f9dcb6d8be971e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Thu, 5 Aug 2021 10:59:29 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 43 ++++++++++++++++++------------------------- 1 file changed, 18 insertions(+), 25 deletions(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 07489e3..3bec61d 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -13,10 +13,10 @@ Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde \subsection{Zuordnungsproblem an einem konkreten Beispiel \label{munkres:subsection:bonorum}} -Man hat den Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt, eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne +Als Beispiel betrachten wir den Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt, eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne soll möglichst klein werden. Die Frage lautet, wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte $\mathbb{R}$ angenommen werden. -Beim Beispiel mit den Kräne gibt es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran von A nach B oder gar kein Kran verschoben werden. Also 1 oder 0. +Beim Beispiel mit den Kräne gibt es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran (Anzahl 1) von A nach B oder gar kein Kran (Anzahl 0) verschoben werden. Für solche Optimierungsprobleme für reelle Variablen sind verschiedene Verfahren entwickelt worden, die im Allgemeinen auch sehr effizient sind. Das reelle Problem ist also in einer einfachen Art und Weise lösbar. Doch das Problem bleibt, wie in der Illustration oben ersichtlich. Es kann mit ganzzahligen Punkten kein Optimum erzielt werden. Das Ziel ist es an das Optimum so nah wie möglich heranzukommen und dies ist eine vergleichsweise träge und langsame Angelegenheit. \begin{figure} @@ -34,40 +34,33 @@ In einem Zuordnungsproblem sind alle Angebots- und Bedarfsmengen gleich 1 \begin{equation} a_{i}=b_{j}=1 \end{equation} -Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix $\mathbb{A}$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. -In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. -Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. - -\begin{figure} +Das Ziel ist es die Gesamtkosten zu minimieren. Mit Hilfe einer $n\times n$ Matrix \[ A = \begin{pmatrix} -a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1m}\\ -a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2m}\\ +a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\ +a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nm} +a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{pmatrix} \] -\caption{Darstellung einer Matrix $A$} -\end{figure} -Eine Matrix, wie hier in Abbildung 21.2 ersichtlich, ist ein rechteckiges Schema, dessen Elemente üblicherweise Zahlen, aber auch andere mathematische Elemente wie Variablen oder Funktionen sein können. Sie besteht aus $n$ Zeilen und $m$ Spalten. D.h. die Elemente einer Matrix vom Typ $(n,m)$ mit Namen $A$ sind $a_{ij}$ wobei $i$ = 1,..., $m$ ist und $j$ = 1,...,$n$. $a_{ij}$ ist der Eintrag in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte der Matrix . Zum Beispiel ist a21 das Element der 2. Zeile und 1. Spalte. $i$ wird auch der Zeilenindex, $j$ der Spaltenindex genannt. + +$A$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. +In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. +Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. + +Die oben ersichtliche Matrix $A$ besitzt Matrix-Elemente. Die Elemente einer Matrix vom Typ $(n,n)$ mit Namen $A$ sind $a_{ij}$ wobei $i$ = 1,..., $n$ ist und $j$ = 1,...,$n$. $a_{ij}$ ist der Eintrag in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte der Matrix . Zum Beispiel ist a21 das Element der 2. Zeile und 1. Spalte. $i$ wird auch der Zeilenindex, $j$ der Spaltenindex genannt. \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} -\begin{equation} -Netzwerk -\end{equation} -Ein (Fluss- oder Transport-) Netzwerk (engl. network) ist ein zusammenhängender Graph, bei dem jede Kante einen Fluss aufnehmen kann und jede Kante eine Kapazität für den Fluss hat. Die Menge des Flusses auf einer Kante kann die Kapazität der Kante nicht überschreiten. Ein Fluss muss die Einschränkung erfüllen, dass die Menge des Flusses in einen Knoten gleich der Menge des Flusses aus ihm heraus ist. Ein Fluss-Netzwerk (engl. flow network) ist ein Netzwerk, dessen Kanten zusätzlich Kosten pro Mengeneinheit des Flusses zugeordnet sind. Typischerweise will man einen Fluss durch die Kanten bestimmen, der den Einschränkungen des Netzwerks genügt und dessen Gesamtkosten minimal sind. Im Bild 21.3 dargestellt sind in den eckigen Klammern links die externen Flüsse $[1]$ für jeden Arbeiter und in den eckigen Klammern rechts eine $[-1]$ für jede Tätigkeit. Die Kosten sind entlang der Kanten als Zahlen in Klammern dargestellt. -\begin{equation} -Matrix -\end{equation} -Im Bild 21.4 ist eine typische $4\times 4$ Matrix dargestellt. Die Zeilen A1 bis A4 betreffen z.B. vier bestehende Maschinenlager eines Unternehmers. In den Spalten B1 bis B4 sind vier neue Baustellenorte zugewiesen. Die Zahlen in der Matrix bedeuten z.B. die Distanz in Kilometer von dem jeweiligen Lager zur jeweiligen Baustelle. -\begin{equation} -Bitpartiter Graph -\end{equation} +\subsubsection{Netzwerk} +Ein (Fluss- oder Transport-) Netzwerk (engl. network) ist ein zusammenhängender Graph, bei dem jede Kante einen Fluss aufnehmen kann und jede Kante eine Kapazität für den Fluss hat. Die Menge des Flusses auf einer Kante kann die Kapazität der Kante nicht überschreiten. Ein Fluss muss die Einschränkung erfüllen, dass die Menge des Flusses in einen Knoten gleich der Menge des Flusses aus ihm heraus ist. Ein Fluss-Netzwerk (engl. flow network) ist ein Netzwerk, dessen Kanten zusätzlich Kosten pro Mengeneinheit des Flusses zugeordnet sind. Typischerweise will man einen Fluss durch die Kanten bestimmen, der den Einschränkungen des Netzwerks genügt und dessen Gesamtkosten minimal sind. Im Bild 21.2 dargestellt sind in den eckigen Klammern links die externen Flüsse $[1]$ für jeden Arbeiter und in den eckigen Klammern rechts eine $[-1]$ für jede Tätigkeit. Die Kosten sind entlang der Kanten als Zahlen in Klammern dargestellt. +\subsubsection{Matrix} +Im Bild 21.3 ist eine typische $4\times 4$ Matrix dargestellt. Die Zeilen A1 bis A4 betreffen z.B. vier bestehende Maschinenlager eines Unternehmers. In den Spalten B1 bis B4 sind vier neue Baustellenorte zugewiesen. Die Zahlen in der Matrix bedeuten z.B. die Distanz in Kilometer von dem jeweiligen Lager zur jeweiligen Baustelle. +\subsubsection{Bitpartiter Graph} Ein bipartiter Graph ist ein mathematisches Modell für Beziehungen -zwischen den Elementen zweier Mengen. Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. Zwischen zwei Gruppen von Objekten wird hierbei eine eindeutige Zuordnung hergestellt. +zwischen den Elementen zweier Mengen. Es eignet sich sehr gut zur Untersuchung von Zuordnungsproblemen. Zwischen zwei Gruppen von Objekten wird hierbei eine eindeutige Zuordnung hergestellt. Der Graph ist in Abbildung 21.4 ersichtlich. \begin{itemize} \item 3 = Anzahl der Knoten aus Menge A. \item 3 = Anzahl der Knoten aus Menge B. -- cgit v1.2.1 From 0a784fbf3f8b5acf9103dc3587b4c1cfdcca688b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Sun, 8 Aug 2021 11:43:48 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 8 ++++---- 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 3bec61d..a0cc739 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -45,13 +45,13 @@ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{pmatrix} \] - -$A$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. + +$A$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ + +kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. -Die oben ersichtliche Matrix $A$ besitzt Matrix-Elemente. Die Elemente einer Matrix vom Typ $(n,n)$ mit Namen $A$ sind $a_{ij}$ wobei $i$ = 1,..., $n$ ist und $j$ = 1,...,$n$. $a_{ij}$ ist der Eintrag in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte der Matrix . Zum Beispiel ist a21 das Element der 2. Zeile und 1. Spalte. $i$ wird auch der Zeilenindex, $j$ der Spaltenindex genannt. - \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} \subsubsection{Netzwerk} -- cgit v1.2.1 From db34dc83135d3f17713279a0a7265f9381417e33 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Sun, 8 Aug 2021 18:02:12 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 14 ++++++-------- 1 file changed, 6 insertions(+), 8 deletions(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index a0cc739..6d8762e 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -8,14 +8,14 @@ \rhead{Problemstellung} Das Spezielle an einem Zuordnungsproblem ist, dass es an jedem Ort nur eine Einheit angeboten bzw. nachgefragt wird. Es werden hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen -Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen, oder Bau-Maschinen auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. +Ort transportiert, sondern es geht um die kostenminimale Zuordnung von z.B. Personen oder Bau-Maschinen auf bestimmte Orte, Stellen oder Aufgaben. Um dieses Problem in einer einfachen, händischen Art und Weise zu lösen wurde der Munkres-Algorithmus, auch die Ungarische Methode genannt, entwickelt. Diese Methode ist ein weiteres Hauptthema dieses Kapitels. \subsection{Zuordnungsproblem an einem konkreten Beispiel \label{munkres:subsection:bonorum}} Als Beispiel betrachten wir den Fall, wo ein Bauunternehmer einen Bauingenieur beauftragt, eine optimale Transportroute für die Umplatzierung seiner Kräne zu eruieren. Das heisst, die Transportstrecke für die Umplatzierung seine Kräne soll möglichst klein werden. -Die Frage lautet, wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte $\mathbb{R}$ angenommen werden. +Die Frage lautet: Wie sind die Kräne umzusetzen, damit deren Transportstrecke minimal wird? Bei der normalen Optimierung dürfen normalerweise beliebige reelle Werte $\mathbb{R}$ angenommen werden. Beim Beispiel mit den Kräne gibt es aber ein Problem. Bei der Suche nach der optimalen Lösung darf nur die Methode der ganzzahligen Optimierung gewählt werden. Materialien kann man aufteilen, jedoch Maschinen nicht. Die Bauarbeiter auf der neuen Baustelle benötigen einen ganzen Kran und nicht nur einen halben Kran. Es muss immer ein ganzer Kran (Anzahl 1) von A nach B oder gar kein Kran (Anzahl 0) verschoben werden. Für solche Optimierungsprobleme für reelle Variablen sind verschiedene Verfahren entwickelt worden, die im Allgemeinen auch sehr effizient sind. Das reelle Problem ist also in einer einfachen Art und Weise lösbar. Doch das Problem bleibt, wie in der Illustration oben ersichtlich. Es kann mit ganzzahligen Punkten kein Optimum erzielt werden. Das Ziel ist es an das Optimum so nah wie möglich heranzukommen und dies ist eine vergleichsweise träge und langsame Angelegenheit. @@ -45,17 +45,15 @@ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{pmatrix} \] - -$A$ $\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ - +$\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. -In der Zelle dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. -Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ den Einsatzort $j$ zuordnet. +In den Zellen dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. +Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ dem Einsatzort $j$ zuordnet. \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems \label{munkres:subsection:bonorum}} \subsubsection{Netzwerk} -Ein (Fluss- oder Transport-) Netzwerk (engl. network) ist ein zusammenhängender Graph, bei dem jede Kante einen Fluss aufnehmen kann und jede Kante eine Kapazität für den Fluss hat. Die Menge des Flusses auf einer Kante kann die Kapazität der Kante nicht überschreiten. Ein Fluss muss die Einschränkung erfüllen, dass die Menge des Flusses in einen Knoten gleich der Menge des Flusses aus ihm heraus ist. Ein Fluss-Netzwerk (engl. flow network) ist ein Netzwerk, dessen Kanten zusätzlich Kosten pro Mengeneinheit des Flusses zugeordnet sind. Typischerweise will man einen Fluss durch die Kanten bestimmen, der den Einschränkungen des Netzwerks genügt und dessen Gesamtkosten minimal sind. Im Bild 21.2 dargestellt sind in den eckigen Klammern links die externen Flüsse $[1]$ für jeden Arbeiter und in den eckigen Klammern rechts eine $[-1]$ für jede Tätigkeit. Die Kosten sind entlang der Kanten als Zahlen in Klammern dargestellt. +Ein (Fluss- oder Transport-) Netzwerk (engl. network) ist ein zusammenhängender Graph, bei dem jede Kante einen Fluss aufnehmen kann und jede Kante eine Kapazität für den Fluss hat. Die Menge des Flusses auf einer Kante kann die Kapazität der Kante nicht überschreiten. Ein Fluss muss die Einschränkung erfüllen, dass die Menge des Flusses in einen Knoten gleich der Menge des Flusses aus ihm heraus ist. Ein Fluss-Netzwerk (engl. flow network) ist ein Netzwerk, dessen Kanten zusätzlich Kosten pro Mengeneinheit des Flusses zugeordnet sind. Typischerweise will man einen Fluss durch die Kanten bestimmen, der den Einschränkungen des Netzwerks genügt und dessen Gesamtkosten minimal sind. Im Bild 21.2 dargestellt sind in den eckigen Klammern links die externen Flüsse $[1]$ für jeden Kran und in den eckigen Klammern rechts eine $[-1]$ für jeden Baustellenort. Die Kosten sind entlang der Kanten als Zahlen in Klammern dargestellt. \subsubsection{Matrix} Im Bild 21.3 ist eine typische $4\times 4$ Matrix dargestellt. Die Zeilen A1 bis A4 betreffen z.B. vier bestehende Maschinenlager eines Unternehmers. In den Spalten B1 bis B4 sind vier neue Baustellenorte zugewiesen. Die Zahlen in der Matrix bedeuten z.B. die Distanz in Kilometer von dem jeweiligen Lager zur jeweiligen Baustelle. \subsubsection{Bitpartiter Graph} -- cgit v1.2.1 From 3b4f8802c52ed799fc37d3c1338ac71905c2ed12 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Sun, 8 Aug 2021 20:13:10 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 6d8762e..97359fb 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -44,8 +44,8 @@ a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{pmatrix} +\in \mathbb{R}^{n,n} \] -$\mathbb{\in}$ $\mathbb{R}^{n,n}$ kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. In den Zellen dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ dem Einsatzort $j$ zuordnet. -- cgit v1.2.1 From 7b66eb6617ad735754e009e3801aaa5acbcf2586 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= Date: Sun, 8 Aug 2021 20:34:58 +0200 Subject: neue version --- buch/papers/munkres/teil1.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/munkres/teil1.tex') diff --git a/buch/papers/munkres/teil1.tex b/buch/papers/munkres/teil1.tex index 97359fb..aad45cc 100644 --- a/buch/papers/munkres/teil1.tex +++ b/buch/papers/munkres/teil1.tex @@ -47,7 +47,7 @@ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \in \mathbb{R}^{n,n} \] kann der Faktor Kosten mit in die Rechnung eingebracht werden. -In den Zellen dieser Matrix sind $a_{i,j}$ Zahlen dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. +In den Zellen dieser Matrix sind die Zahlen $a_{i,j}$ dargestellt, welche den Weg in z.B. Kilometer beschreiben. Sie entstehen, wenn man z.B. einem Kran $i$ dem Einsatzort $j$ zuordnet. \subsection{Alternative Darstellungen des Zuordnungsproblems -- cgit v1.2.1