From cecdcdb230662af594ce68715c61f1263bff9ace Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Mon, 26 Jul 2021 07:57:58 +0200
Subject: add munkres files

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 buch/papers/munkres/teil2.tex | 110 ++++++++++++++++++++++++++++++------------
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(limited to 'buch/papers/munkres/teil2.tex')

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index 23536b9..29db8d7 100644
--- a/buch/papers/munkres/teil2.tex
+++ b/buch/papers/munkres/teil2.tex
@@ -3,38 +3,86 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 2 
+\section{Das Zuordnungsproblem
 \label{munkres:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
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-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
+\rhead{Das Zuordnungsproblem}
+Das (lineare) Zuordnungsproblem ist ein diskretes Optimierungsproblem aus
+der Graphentheorie.
+Es handelt sich um einen Spezialfall eines maximalen Matchings
+minimalen Gewichtes in einem bipartiten, gewichteten Graphen
+
+Vereinfacht gesagt sind Zuordnungsprobleme spezielle Transportprobleme.
+Der Unterschied zu klassischen Transportproblemen liegen darin,
+dass hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen
+Ort transportiert werden sollen, sondern es geht um die kostenminimale
+Zuordnung von z.~B.~Personen, oder Bau-Materialien auf bestimmte
+Orte, Stellen oder Aufgaben.
+Dabei sind alle Angebots- und Bedarfsmenge gleich 1 
+\begin{equation}
+a_{i}=b_{j}=1
+\end{equation}
+
+\subsection{Zuordnungsproblem in Netzwerkdarstellung
+\label{munkres:subsection:bonorum}}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung}
+\caption{Typische Netzwerkdarstellung eines Zuordnungsproblems.}
+\label{munkres:Vr2}
+\end{figure}
+
+\subsection{Matrix Formulierung
+\label{munkres:subsection:bonorum}}
+In der Matrixformulierung ist eine nicht-negative $n\times n$-Matrix
+gegeben, wobei das Element in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte
+die Kosten für die Zuweisung des $j$-ten Jobs an den $i$-ten Arbeiter
+darstellt.
+Wir müssen eine Zuordnung der Jobs zu den Arbeitern finden, so dass
+jeder Job einem Arbeiter zugewiesen wird und jeder Arbeiter einen
+Job zugewiesen bekommt, so dass die Gesamtkosten der Zuordnung
+minimal sind.
+Dies kann als Permutation der Zeilen und Spalten einer Kostenmatrix
+$C$ ausgedrückt werden, um die Spur einer Matrix zu minimieren:
+\begin{equation}
+\min(L,R)Tr (LCR)
+\end{equation}
+wobei $L$ und $R$ Permutationsmatrizen sind.
+Wenn das Ziel ist, die Zuordnung zu finden, die die maximalen Kosten
+ergibt, kann das Problem durch Negieren der Kostenmatrix $C$ gelöst
+werden.
+
+\subsection{Suche der optimalen Lösung
+\label{munkres:subsection:bonorum}}
+Ist eine maximale Zuordnung (maximales Matching) gefunden, so steht
+in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das
+zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird
+auch als Transversale der Matrix bezeichnet.
+Deshalb kann die Problemstellung auch anders formuliert werden: Man
+ordne die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so um, dass die Summe
+der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird.
+Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer 
+$n\times n$-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen-
+bzw.~Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen
+gibt, also $n!$.
+Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale
+Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden.
+Schon bei einer $10\times 10$-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800)
+zu berücksichtigender Permutationen.
+
+\subsection{Formulierung Bipartiter Graph
 \label{munkres:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
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-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+Der Algorithmus ist einfacher zu beschreiben, wenn wir das Problem
+anhand eines bipartiten Graphen formulieren.
+Wir haben einen vollständigen zweistufigen Graphen $G=(S,T;E)$ mit
+$n$ Arbeiter-Eckpunkten ($S$) und $n$ Job-Scheitelpunkte ($T$), und
+jede Kante hat einen nichtnegativen Preis $c(i,j)$.
+Wir wollen ein perfektes Matching mit minimalen Gesamtkosten finden.
 
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/bipartiter_graph}
+\caption{$K_{3,3}$ vollständig bipartiter Graph mit 3 Knoten pro Teilmenge.}
+\label{munkres:Vr2}
+\end{figure}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 4f9cf26c7802a163da6b18cec9db62e75a9730cb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= <kuehnee@marcs-macbook-pro.home>
Date: Tue, 27 Jul 2021 12:30:10 +0200
Subject: neue version

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 buch/papers/munkres/teil2.tex | 83 +++----------------------------------------
 1 file changed, 4 insertions(+), 79 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/munkres/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/munkres/teil2.tex b/buch/papers/munkres/teil2.tex
index 29db8d7..9a44cd4 100644
--- a/buch/papers/munkres/teil2.tex
+++ b/buch/papers/munkres/teil2.tex
@@ -3,86 +3,11 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Das Zuordnungsproblem
+\section{Schwierigkeit der Lösung (Permutationen)
 \label{munkres:section:teil2}}
-\rhead{Das Zuordnungsproblem}
-Das (lineare) Zuordnungsproblem ist ein diskretes Optimierungsproblem aus
-der Graphentheorie.
-Es handelt sich um einen Spezialfall eines maximalen Matchings
-minimalen Gewichtes in einem bipartiten, gewichteten Graphen
+\rhead{Schwierigkeit der Lösung (Permutationen)}
 
-Vereinfacht gesagt sind Zuordnungsprobleme spezielle Transportprobleme.
-Der Unterschied zu klassischen Transportproblemen liegen darin,
-dass hier nicht Mengen möglichst kostenminimal von einem zum anderen
-Ort transportiert werden sollen, sondern es geht um die kostenminimale
-Zuordnung von z.~B.~Personen, oder Bau-Materialien auf bestimmte
-Orte, Stellen oder Aufgaben.
-Dabei sind alle Angebots- und Bedarfsmenge gleich 1 
-\begin{equation}
-a_{i}=b_{j}=1
-\end{equation}
+Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge oder eine Umordnung von Objekten aus einer vorgegebenen Reihung. Ist eine maximale Zuordnung (maximales Matching) gefunden, so steht in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird auch als Transversale der Matrix bezeichnet. 
 
-\subsection{Zuordnungsproblem in Netzwerkdarstellung
-\label{munkres:subsection:bonorum}}
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/Netzwerkdarstellung}
-\caption{Typische Netzwerkdarstellung eines Zuordnungsproblems.}
-\label{munkres:Vr2}
-\end{figure}
-
-\subsection{Matrix Formulierung
-\label{munkres:subsection:bonorum}}
-In der Matrixformulierung ist eine nicht-negative $n\times n$-Matrix
-gegeben, wobei das Element in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte
-die Kosten für die Zuweisung des $j$-ten Jobs an den $i$-ten Arbeiter
-darstellt.
-Wir müssen eine Zuordnung der Jobs zu den Arbeitern finden, so dass
-jeder Job einem Arbeiter zugewiesen wird und jeder Arbeiter einen
-Job zugewiesen bekommt, so dass die Gesamtkosten der Zuordnung
-minimal sind.
-Dies kann als Permutation der Zeilen und Spalten einer Kostenmatrix
-$C$ ausgedrückt werden, um die Spur einer Matrix zu minimieren:
-\begin{equation}
-\min(L,R)Tr (LCR)
-\end{equation}
-wobei $L$ und $R$ Permutationsmatrizen sind.
-Wenn das Ziel ist, die Zuordnung zu finden, die die maximalen Kosten
-ergibt, kann das Problem durch Negieren der Kostenmatrix $C$ gelöst
-werden.
-
-\subsection{Suche der optimalen Lösung
-\label{munkres:subsection:bonorum}}
-Ist eine maximale Zuordnung (maximales Matching) gefunden, so steht
-in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das
-zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird
-auch als Transversale der Matrix bezeichnet.
-Deshalb kann die Problemstellung auch anders formuliert werden: Man
-ordne die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so um, dass die Summe
-der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird.
-Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer 
-$n\times n$-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen-
-bzw.~Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen
-gibt, also $n!$.
-Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale
-Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden.
-Schon bei einer $10\times 10$-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800)
-zu berücksichtigender Permutationen.
-
-\subsection{Formulierung Bipartiter Graph
-\label{munkres:subsection:bonorum}}
-Der Algorithmus ist einfacher zu beschreiben, wenn wir das Problem
-anhand eines bipartiten Graphen formulieren.
-Wir haben einen vollständigen zweistufigen Graphen $G=(S,T;E)$ mit
-$n$ Arbeiter-Eckpunkten ($S$) und $n$ Job-Scheitelpunkte ($T$), und
-jede Kante hat einen nichtnegativen Preis $c(i,j)$.
-Wir wollen ein perfektes Matching mit minimalen Gesamtkosten finden.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=5cm]{papers/munkres/figures/bipartiter_graph}
-\caption{$K_{3,3}$ vollständig bipartiter Graph mit 3 Knoten pro Teilmenge.}
-\label{munkres:Vr2}
-\end{figure}
+Die Problemstellung kann auch so formuliert werden, dass man die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so umordnet soll, dass die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer n×n-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von n Elementen gibt, also n!. Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. Schon bei einer 10×10-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800) zu berücksichtigender Permutationen.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 6c2ea74f867d898626e5ef25c61814cd2aa49bbd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Marc=20K=C3=BChne?= <kuehnee@Marcs-MacBook-Pro.local>
Date: Sat, 31 Jul 2021 11:57:23 +0200
Subject: neue version

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 buch/papers/munkres/teil2.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/munkres/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/munkres/teil2.tex b/buch/papers/munkres/teil2.tex
index 9a44cd4..a3b249e 100644
--- a/buch/papers/munkres/teil2.tex
+++ b/buch/papers/munkres/teil2.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \label{munkres:section:teil2}}
 \rhead{Schwierigkeit der Lösung (Permutationen)}
 
-Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge oder eine Umordnung von Objekten aus einer vorgegebenen Reihung. Ist eine maximale Zuordnung (maximales Matching) gefunden, so steht in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird auch als Transversale der Matrix bezeichnet. 
+Eine Permutation ist eine Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge oder eine Umordnung von Objekten aus einer vorgegebenen Reihung. Ist eine optimale Zuordnung gefunden, so steht in jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix genau ein Element, das zur optimalen Lösung gehört, eine solche Gruppe von Positionen wird auch als Transversale der Matrix bezeichnet. 
 
-Die Problemstellung kann auch so formuliert werden, dass man die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so umordnet soll, dass die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer n×n-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von n Elementen gibt, also n!. Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. Schon bei einer 10×10-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800) zu berücksichtigender Permutationen.
+Die Problemstellung kann auch so formuliert werden, dass man die Zeilen- oder die Spaltenvektoren so umordnet soll, dass die Summe der Elemente in der Hauptdiagonale maximal wird. Hieraus wird sofort ersichtlich, dass es in einer $n$×$n$-Matrix genau so viele Möglichkeiten gibt, die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu ordnen, wie es Permutationen von $n$ Elementen gibt, also $n!$. Außer bei kleinen Matrizen ist es nahezu aussichtslos, die optimale Lösung durch Berechnung aller Möglichkeiten zu finden. Schon bei einer 10×10-Matrix gibt es nahezu 3,63 Millionen (3.628.800) zu berücksichtigender Permutationen.
 
-- 
cgit v1.2.1

