From 388ac18afd8b05321414afeab183ba2bbe414de5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 7 Jul 2021 09:52:46 +0200
Subject: Finished 1.Version Kristalle

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 59 +++++++++++++++++++++++++++++------
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@@ -19,10 +19,11 @@ Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punkt
 Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen.
 Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
 Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt 
-und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, 
+endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
 Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
 \[
-    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   %maby Problem weil n bei $C_n$ auch verwendet wird
+    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
 \]
 erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
 Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
@@ -45,7 +46,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
  Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
- können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}$.
+ können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}$. %format error!!!
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -54,13 +55,13 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
 
- \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ und Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
+ \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
  In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
 
  \begin{itemize}
      \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
             
-     \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ verschieben und wir wissen, 
+     \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
             dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.           
      \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
             Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
@@ -69,14 +70,54 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
       \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
             Da auch die Eigenschaften des Kristallgitter periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
             Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
-            \footnote{Die Rotationssymmetrie muss auch iin die andere Richtung funktionieren. 
-            Genauere Überlegungen werden dem Leser überlassen, da die Autoren sich nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
+            \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. 
+            Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
             auch auf $A'$ an. 
             Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt.
      \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
             Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
  \end{itemize}  
- 
+ Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
+ Wir beginnen indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
+ Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$.
+ Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also 
+ \[
+    |Q'| = n|Q| = |Q| + 2x
+ \]
+ Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken:
+ \[
+    n|Q| = |Q| + 2|Q|sin(\alpha - \pi/2)
+ \]
+ Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
+ was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. 
+ Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
+ \[
+     n = 1 - 2cos\alpha
+     \alpha = cos^{-1}(\frac{1-n}{2})
+ \]
+ Dies  schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
+ \[
+     \alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}
+ \]
+ein.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
+    \caption{Kristallklassen mit zugehöriger Schönfliesnotation}
+    \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+\end{figure}
+
+\subsection{Kristallklassen}
+Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
+Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
+\footnote{Alle $17$ möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} 
+nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können.
+Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
+welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinander gesetzt hat.
+Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
+Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
+
 
 
-%"beweis", das Rotationssymmetrien auch immer invers gehen?
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