From bf17b6c5ecf720f5db68889be8bda10130004121 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Wed, 14 Jul 2021 22:34:08 +0200
Subject: Adapt figures and fix typos

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 4 +---
 1 file changed, 1 insertion(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 1aec16f..abd0c27 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -12,7 +12,6 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/lattice}
     \caption{
         Zweidimensionales Kristallgitter.
-        \texttt{TODO: make wider and shorter}
         \label{fig:punktgruppen:lattice}
     }
 \end{figure}
@@ -55,7 +54,6 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries}
     \caption{
         Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter
-        \texttt{TODO: make wider and change color (yellow)}
     }
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
@@ -97,7 +95,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
  was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. 
  Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
  \[
-     n = 1 - 2\cos\alpha
+     n = 1 - 2\cos\alpha \qquad
      \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right)
  \]
  Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
-- 
cgit v1.2.1


From a9b9236ce6ed9905b21e02ce6cf5c1b5bf19927f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Sun, 18 Jul 2021 10:59:30 +0200
Subject: Fix typos and suggested changes in crystals section

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 107 ++++++++++++++++------------------
 1 file changed, 51 insertions(+), 56 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index abd0c27..8c655e2 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Kristalle}
 %einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
-Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können. 
+Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können.
 Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
 Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
 \begin{definition}[Kristall]
@@ -17,37 +17,33 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
 \end{figure}
 \subsection{Kristallgitter}
 Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
-Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen.
-Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
-Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt 
-und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, 
-endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
-Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
+Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen.
+Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
+Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{c}\) also
 \[
-    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
+    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}
 \]
-erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
-Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
-ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
+erreicht werden sofern \(\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}\) sind.
+Sind die Vektoren  \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
 \subsection{Translationssymmetrie}
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
-Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
-da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. 
-Mit anderen worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
+Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind.
+Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter \( G \) ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
-    Q_i(G) = G + \vec{a_i}
-\] wobei der Vektor $a_i$ ein Grundvektor sein muss.
-Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
-können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
-der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
-Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, 
-solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
+    \vec{Q}_i(G) = G + \vec{a}_i,
+\]
+wobei der Vektor \(\vec{a}_i\) ein Grundvektor sein muss.
+Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) erlaubt sind oder kurz, um \(\vec{r}\).
+Verschiebungen um \(\vec{r}\) bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
 \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
- Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
- können nur Rotationssymmetrische Kristalle bestimmter Rotationswinkel erzeugt werden.
+ Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, können nur Rotationssymmetrische Kristalle bestimmter Rotationswinkel erzeugt werden.
+
+ % Suggestion from Muller:
+ % dass nur ganz bestimmt Drehwinkel \"uberhaupt m\"oglich sind.
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -58,50 +54,49 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
 
- \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
+ \subsubsection{Translationssymmetrie \(\vec{Q}\) in Kombination mit Rotationssymmetrie \(C_\alpha\)}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
  In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
 
  \begin{itemize}
-     \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
+     \item  \(A\) ist unser erster Gitterpunkt. 
 
-     \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
-            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.
-     \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
-            Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
-            Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
-            An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
-      \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
-            Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
-            Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
-            \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. 
-            Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
-            auch auf $A'$ an. 
-            Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt.
-     \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
-            Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
+     \item  \(A'\) ist gegeben, weil wir \(A\) mit der Translation \(\vec{Q}\) um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss.
+     \item \(B\) entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie \(C_\alpha\) auf den Punkt \(A\) anwenden.
+         Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel \(\alpha\). 
+         Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt \(A'\) abgedreht wird.
+         An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
+     \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
+         Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_\alpha\) auch auf \(A'\) anwenden.
+         Also wenden wir \(C_\alpha\) invertiert
+         \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
+         Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
+         auch auf \(A'\) an. 
+         Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
+     \item \(B'\) ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
+         Die Translationssymmetrie zwischen \(B\) und \(B'\) ist hier als \(\vec{Q}'\) bezeichnet.
  \end{itemize}  
  Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
- Wir beginnen, indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
- Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$.
- Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also 
+ Wir beginnen, indem wir die Länge \(Q\) der Translation \(\vec{Q}\) mit jener von \(\vec{Q}'\) vergleichen.
+ Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q = Q' + 2x\).
+ Ist \(\vec{Q}\) ein Grundvektor so muss \(Q'\) ein ganzes vielfaches von \(Q\) sein.
+ Also
  \[
-    |Q'| = n|Q| = |Q| + 2x
+    Q' = nQ = Q + 2x
  \]
- Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken:
+ Die Strecke \(x\) lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel \(\alpha\) ausdrücken:
  \[
-    n|Q| = |Q| + 2|Q|\sin(\alpha - \pi/2)
+    nQ = Q + 2Q\sin(\alpha - \pi/2)
  \]
- Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
- was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. 
+ Wir können durch \(Q\) dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert.
  Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
  \[
-     n = 1 - 2\cos\alpha \qquad
+     n = 1 - 2\cos\alpha \quad\iff\quad
      \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right)
  \]
  Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
- \[
+ \(
      \alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}
- \]
+ \)
 ein.
 
 \begin{figure}
@@ -114,13 +109,13 @@ ein.
 \subsection{Kristallklassen}
 Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
 Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
-\footnote{Alle $17$ möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} 
-nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können.
-Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+\footnote{Alle \(17\) möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} 
+nur auf genau \(32\) Arten punktsymmetrisch sein können.
+Diese \(32\) möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
 Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
 welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
 Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
-Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
-
+Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei \(5\) Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
 
 
+%% vim:spell spelllang=de showbreak=.. breakindent linebreak:
-- 
cgit v1.2.1


From 32d6788d0f7b0b9120f4dc71d55b8bcaccf33fe5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Sun, 18 Jul 2021 11:09:14 +0200
Subject: Review crystal classes subsection and fix typos

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 19 ++++++++-----------
 1 file changed, 8 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 8c655e2..922afd9 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -32,9 +32,9 @@ Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigens
 Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind.
 Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter \( G \) ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
-    \vec{Q}_i(G) = G + \vec{a}_i,
+    \vec{Q}(G) = G + \vec{a},
 \]
-wobei der Vektor \(\vec{a}_i\) ein Grundvektor sein muss.
+wobei der Vektor \(\vec{a}\) ein Grundvektor sein muss.
 Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) erlaubt sind oder kurz, um \(\vec{r}\).
 Verschiebungen um \(\vec{r}\) bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
@@ -77,7 +77,7 @@ Verschiebungen um \(\vec{r}\) bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir
  \end{itemize}  
  Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
  Wir beginnen, indem wir die Länge \(Q\) der Translation \(\vec{Q}\) mit jener von \(\vec{Q}'\) vergleichen.
- Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q = Q' + 2x\).
+ Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\).
  Ist \(\vec{Q}\) ein Grundvektor so muss \(Q'\) ein ganzes vielfaches von \(Q\) sein.
  Also
  \[
@@ -107,15 +107,12 @@ ein.
 \end{figure}
 
 \subsection{Kristallklassen}
-Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
-Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
-\footnote{Alle \(17\) möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} 
-nur auf genau \(32\) Arten punktsymmetrisch sein können.
-Diese \(32\) möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
-Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
+Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind\footnote{Alle 17 möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt}.
+Mit weiteren ähnlichen \"Uberlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten punktsymmetrisch sein können.
+Diese 32 möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nach dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich mit der Klassifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
 Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
-Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei \(5\) Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
+Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelte Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden.
 
 
 %% vim:spell spelllang=de showbreak=.. breakindent linebreak:
-- 
cgit v1.2.1


From 353a32e07fdf128409c8894f723ff4c49bb9322a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Sun, 18 Jul 2021 21:38:59 +0200
Subject: =?UTF-8?q?apply=20m=C3=BCller=20correction=20in=20punktgruppen=20?=
 =?UTF-8?q?und=20Intro?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 48 ++++++++++++++++++++---------------
 1 file changed, 28 insertions(+), 20 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 1aec16f..76b3f72 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -17,28 +17,28 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
     }
 \end{figure}
 \subsection{Kristallgitter}
-Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
-Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen.
+Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} dargestellt.
+Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen.
 Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
 Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt 
 und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, 
 endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
-Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
+Im dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
 \[
     \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
 \]
 erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
-Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
+Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben,
 ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
 \subsection{Translationssymmetrie}
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
 Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
-da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. 
-Mit anderen worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
+da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. 
+Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
-    Q_i(G) = G + \vec{a_i}
-\] wobei der Vektor $a_i$ ein Grundvektor sein muss.
+    Q_i(G) = G + \vec{a}_i
+\] wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss.
 Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
 können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
 der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
@@ -47,8 +47,8 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
 \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
- Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
- können nur Rotationssymmetrische Kristalle bestimmter Rotationswinkel erzeugt werden.
+ Was nicht direkt ersichtlich ist, ist dass auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
+ sind nur rotationssymmetrische Kristalle ganz bestimmter Rotationswinkel möglich.
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -61,17 +61,17 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 \end{figure}
 
  \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
- In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
+ In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
 
  \begin{itemize}
      \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
 
      \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
-            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.
+            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss.
      \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
             Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
             Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
-            An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
+            An der neuen Position $B$ von $A'$ muss also auch ein Punkt des  Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
       \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
             Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
             Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
@@ -93,11 +93,14 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
  \[
     n|Q| = |Q| + 2|Q|\sin(\alpha - \pi/2)
  \]
- Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
- was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. 
+ Wir können durch $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
+ was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert. 
  Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
  \[
      n = 1 - 2\cos\alpha
+     
+ \]
+ \[
      \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right)
  \]
  Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
@@ -115,14 +118,19 @@ ein.
 
 \subsection{Kristallklassen}
 Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
-Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
-\footnote{Alle $17$ möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} 
-nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können.
-Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
+nur auf genau $32$ Arten rein punktsymmetrische
+\footnote{Werden translationssymmetrien auch mit gezählt beschreibt man die 230 Raumgruppen} 
+Symmetriegruppen bilden können.
+Diese $32$ möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
 Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
 welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
 Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
-Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
+Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelten $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
+
+
+\subsubsection{Schönflies Notation}
+TODO 
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From a1284996aea194e255d8bd292874080bf2f3cc44 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Mon, 19 Jul 2021 23:27:52 +0200
Subject: Write schoenflies und minor fixes

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 28 ++++++++++++++++++++--------
 1 file changed, 20 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index a124442..e8dfa76 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -28,6 +28,8 @@ erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
 Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben,
 ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
+%TODOO fix Q define without vector symb. -> ask naoki
+
 \subsection{Translationssymmetrie}
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
 Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
@@ -104,7 +106,7 @@ ein.
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
-    \caption{Kristallklassen mit zugehöriger Schönfliesnotation}
+    \caption{Kristallklassen mit zugehörigem Schönflies-Symbol}
     \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
 \end{figure}
 
@@ -112,17 +114,27 @@ ein.
 Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
 Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
 nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische
-\footnote{Werden translationssymmetrien auch mit gezählt beschreibt man die 230 Raumgruppen} 
 Symmetriegruppen bilden können.
 Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
-Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nach dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
-Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
-Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
+Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
+Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion
+\footnote{Die Markierten Kreise/Kreuze repräsentieren Punkte auf einer Kugel. 
+Die Orte der Symbole stehen für einen Schattenwurf eines Punktes auf dem Boden, auf welcher sich die Kugel befindet.
+Wobei die Lichtquelle am Nord/Südpol liegt.} 
+ermöglicht, 
+wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
+
+
+\subsubsection{Schönflies-Symbilok}
+Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem Schöönflies-Symbol bezeichnet.
+Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
+welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Kristallklassen auseinandergesetzt hat.
+Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
+Anschaulich ist als Beispiel die Drehgruppe \[C\].
+Die Elemente einer Untergruppe werden erst mit ihren Zusätzen eindeutig wie \[C_{3i}\], 
+was für eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum steht.
 
 
-\subsubsection{Schönflies Notation}
-TODO 
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From d35889ab0e806e4df7871b5a100fe4bb6c52282b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Tue, 20 Jul 2021 14:29:38 +0200
Subject: =?UTF-8?q?rewrite=20Sch=C3=B6nflies=20notation?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 38 +++++++++++++++++++++++++----------
 1 file changed, 27 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index e8dfa76..c110787 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -30,7 +30,7 @@ ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektore
 
 %TODOO fix Q define without vector symb. -> ask naoki
 
-\subsection{Translationssymmetrie}
+\subsection{Translationssymmetrie} 
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
 Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
 da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. 
@@ -44,11 +44,11 @@ der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\ve
 Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, 
 solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
-\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
+\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien} \label{txt:punktgruppen: Translationssymmetrie}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
- Was nicht direkt ersichtlich ist, ist dass auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
- sind nur rotationssymmetrische Kristalle ganz bestimmter Rotationswinkel möglich.
-
+ Was nicht direkt ersichtlich ist, dass bei beliebigen Grundvektoren nicht beliebige Symmetrien erstellt werden können.
+ Die geforderte Translationssymmetrie eines Kristalles schränkt weitere Symmetrien deutlich ein.
+  
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries}
@@ -126,14 +126,30 @@ wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Deta
 
 
 \subsubsection{Schönflies-Symbilok}
-Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem Schöönflies-Symbol bezeichnet.
+Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schöönflies-Symbol bezeichnet.
 Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Kristallklassen auseinandergesetzt hat.
+welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
 Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
-Anschaulich ist als Beispiel die Drehgruppe \[C\].
-Die Elemente einer Untergruppe werden erst mit ihren Zusätzen eindeutig wie \[C_{3i}\], 
-was für eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum steht.
-
+Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
+Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\) Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
+Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
+Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
+Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen: Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen.
+Da das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
+Inzwischen wissen wir auch, dass \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da 
+\[
+    360^\circ/5 =  72^\circ
+\]
+was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen: Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
+Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
+Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum
+\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.}
+\(i\) oder eine horizontale
+\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} 
+Spiegelachse \(h\). 
+Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
+\(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer
+sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From ac695f41dd1961103af26522203ffb9b550cc105 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Tue, 20 Jul 2021 16:24:39 +0200
Subject: fix Q notation

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 16 +++++++++-------
 1 file changed, 9 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index c110787..f8be01b 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -36,7 +36,7 @@ Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmög
 da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. 
 Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
-    Q_i(G) = G + \vec{a}_i
+    \vec{Q}_i(G) = G + \vec{a}_i
 \] wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss.
 Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
 können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
@@ -64,7 +64,8 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
  \begin{itemize}
      \item  \(A\) ist unser erster Gitterpunkt. 
 
-     \item  \(A'\) ist gegeben, weil wir \(A\) mit der Translation \(\vec{Q}\) um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss.
+     \item  \(A'\) ist gegeben, weil wir \(A\) mit der Translation \(\vec{Q}\) um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
+            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss.
      \item \(B\) entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie \(C_\alpha\) auf den Punkt \(A\) anwenden.
          Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel \(\alpha\). 
          Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt \(A'\) abgedreht wird.
@@ -77,13 +78,13 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
          auch auf \(A'\) an. 
          Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
      \item \(B'\) ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
-         Die Translationssymmetrie zwischen \(B\) und \(B'\) ist hier als \(\vec{Q}'\) bezeichnet.
+         Die  Translationssymmetrie zwischen \(B\) und \(B'\) ist hier als \(\vec{Q}'\) bezeichnet.
  \end{itemize}  
  Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
- Wir beginnen, indem wir die Länge \(Q\) der Translation \(\vec{Q}\) mit jener von \(\vec{Q}'\) vergleichen.
+ Wir beginnen, indem wir die Länge der Verschiebung \(|\vec{Q}| = Q\) setzen und \(|\vec{Q}'| = Q'\).
  Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\).
- Ist \(\vec{Q}\) ein Grundvektor so muss \(Q'\) ein ganzes vielfaches von \(Q\) sein.
- Also
+ Da \(\vec{Q}\) eine Translation um ein Grundvektor ist , muss \(\vec{Q}'\) ein ganzes vielfaches von \(\vec{Q}\) sein.
+ Demnach auch die Längen
  \[
     Q' = nQ = Q + 2x
  \]
@@ -91,7 +92,8 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
  \[
     nQ = Q + 2Q\sin(\alpha - \pi/2)
  \]
- Wir können durch \(Q\) dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert.
+ Wir können durch \(Q\) dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, was auch Sinn macht, 
+ da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert.
  Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
  \[
      n = 1 - 2\cos\alpha \quad\iff\quad
-- 
cgit v1.2.1


From 49b0ab2844c380a5380e1d9d893738e9fd22c2b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Thu, 22 Jul 2021 10:20:15 +0200
Subject: Add figure of stereographic projection and little explanation

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 25 ++++++++++++++++---------
 1 file changed, 16 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index f8be01b..0e4d6c7 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -107,9 +107,14 @@ ein.
 
 \begin{figure}
     \centering
-    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
-    \caption{Kristallklassen mit zugehörigem Schönflies-Symbol}
-    \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+    \includegraphics[height=6cm]{papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections}
+    \caption{
+      Stereografische Projektion: Es wird eine Linie vom magentafarbenen Punkt auf der oberen Hälfte der Kugel zum Südpol gezogen.
+      Wo die Linie die Ebene schneidet (\(z = 0\)), ist die Projektion des Punktes.
+      Die Koordinaten der Projektionen sind einfach zu berechnen:
+      ein Punkt auf eine Kugel mit Radius \(r\) mit den Koordinaten \(x, y, z,\) wird auf \(xr/(r - z), yr/(r - z)\) projiziert.
+    }
+    \label{fig:punktgruppen:stereographic-projections}
 \end{figure}
 
 \subsection{Kristallklassen}
@@ -119,15 +124,17 @@ nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische
 Symmetriegruppen bilden können.
 Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
 Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
-Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion
-\footnote{Die Markierten Kreise/Kreuze repräsentieren Punkte auf einer Kugel. 
-Die Orte der Symbole stehen für einen Schattenwurf eines Punktes auf dem Boden, auf welcher sich die Kugel befindet.
-Wobei die Lichtquelle am Nord/Südpol liegt.} 
-ermöglicht, 
-wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
+Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion ermöglicht (siehe Abb. \ref{fig:punktgruppen:stereographic-projections}), wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
 
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
+    \caption{Kristallklassen mit zugehörigem Schönflies-Symbol}
+    \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+\end{figure}
 
 \subsubsection{Schönflies-Symbilok}
+
 Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schöönflies-Symbol bezeichnet.
 Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
 welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
-- 
cgit v1.2.1


From 472b3d0a253879552d139cc4f41a2e00e5f6e4f5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 09:08:08 +0200
Subject: Change stereographic projection to Ci

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 5 +++--
 1 file changed, 3 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 0e4d6c7..b59ae0e 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -109,10 +109,11 @@ ein.
     \centering
     \includegraphics[height=6cm]{papers/punktgruppen/figures/stereographic-projections}
     \caption{
-      Stereografische Projektion: Es wird eine Linie vom magentafarbenen Punkt auf der oberen Hälfte der Kugel zum Südpol gezogen.
+      Stereografische Projektion einer \(C_{i}\) Symmetrie. Es wird eine Linie vom magentafarbenen Punkt auf der oberen Hälfte der Kugel zum Südpol gezogen.
       Wo die Linie die Ebene schneidet (\(z = 0\)), ist die Projektion des Punktes.
       Die Koordinaten der Projektionen sind einfach zu berechnen:
-      ein Punkt auf eine Kugel mit Radius \(r\) mit den Koordinaten \(x, y, z,\) wird auf \(xr/(r - z), yr/(r - z)\) projiziert.
+      ein Punkt auf eine Kugel mit Radius \(r\) mit den Koordinaten \(x, y, z,\) wird auf \(xr/(r + z), yr/(r + z)\) projiziert.
+      Für den orangefarbenen Punkt unterhalb des Äquators wird die Linie zum Nordpol gezogen und die Projektionsformel hat stattdessen einen Nenner von \(r - z\).
     }
     \label{fig:punktgruppen:stereographic-projections}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 7e173afd620b52d542cec0f939299a995eb34689 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 09:19:32 +0200
Subject: Change crystal restriction to theorem style with proof

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 26 ++++++++++++++++++--------
 1 file changed, 18 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index b59ae0e..5211b68 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -28,8 +28,6 @@ erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
 Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben,
 ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
-%TODOO fix Q define without vector symb. -> ask naoki
-
 \subsection{Translationssymmetrie} 
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
 Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
@@ -44,7 +42,7 @@ der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\ve
 Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, 
 solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
-\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien} \label{txt:punktgruppen: Translationssymmetrie}
+\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien} \label{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
  Was nicht direkt ersichtlich ist, dass bei beliebigen Grundvektoren nicht beliebige Symmetrien erstellt werden können.
  Die geforderte Translationssymmetrie eines Kristalles schränkt weitere Symmetrien deutlich ein.
@@ -58,7 +56,18 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
 
- \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
+\begin{satz}
+   Die Rotationssymmetrien eines Kristalls sind auf 2-fach, 3-fach, 4-fach und 6-fach beschränkt.
+   Mit anderen Worten: Es sind nur Drehwinkel von
+    0\(^{\circ}\),
+    60\(^{\circ}\),
+    90\(^{\circ}\),
+    120\(^{\circ}\) und
+    180\(^{\circ}\)
+   erlaubt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
  In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
 
  \begin{itemize}
@@ -66,13 +75,13 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
      \item  \(A'\) ist gegeben, weil wir \(A\) mit der Translation \(\vec{Q}\) um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
             dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der verschobenen Stelle sein muss.
-     \item \(B\) entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie \(C_\alpha\) auf den Punkt \(A\) anwenden.
-         Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel \(\alpha\). 
+     \item \(B\) entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie \(C_n\) auf den Punkt \(A\) anwenden.
+         Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel \(360^\circ/n\). 
          Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt \(A'\) abgedreht wird.
          An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
      \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
-         Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_\alpha\) auch auf \(A'\) anwenden.
-         Also wenden wir \(C_\alpha\) invertiert
+         Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_n\) auch auf \(A'\) anwenden.
+         Also wenden wir \(C_n\) invertiert
          \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
          Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
          auch auf \(A'\) an. 
@@ -104,6 +113,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
      \alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}
  \)
 ein.
+\end{proof}
 
 \begin{figure}
     \centering
-- 
cgit v1.2.1


From cb91b7005c8a886e05595d73710ee3dfa29fe193 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 10:37:52 +0200
Subject: Fix broken references

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 8 ++------
 1 file changed, 2 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 5211b68..33e7b54 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -154,13 +154,9 @@ Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Un
 Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\) Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
 Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
 Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
-Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen: Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen.
+Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen.
 Da das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
-Inzwischen wissen wir auch, dass \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da 
-\[
-    360^\circ/5 =  72^\circ
-\]
-was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen: Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
+Inzwischen wissen wir auch, dass \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
 Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
 Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum
 \footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.}
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cgit v1.2.1


From 9cf1c0416deac9e1f5043775a1b25f9a1f4de07c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 11:15:33 +0200
Subject: Make crystal basis vector notation consistent with pictures

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 16 +++++++---------
 1 file changed, 7 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 33e7b54..0cea6ef 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -18,27 +18,25 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
 \subsection{Kristallgitter}
 Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
 Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes dargestellt und betrachten dies nur in zwei Dimensionen.
-Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
-Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
+Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
 Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{c}\) also
 \[
-    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}
+	\vec{r} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 = \sum_i n_i \vec{a}_i
 \]
-erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
-Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben,
-ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
+erreicht werden sofern \(n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{Z}\) sind.
+Sind die Vektoren  \(\vec{a}_1\), \(\vec{a}_2\), \(\vec{a}_3\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
 \subsection{Translationssymmetrie} 
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
-Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
-da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. 
+Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. 
 Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
     \vec{Q}_i(G) = G + \vec{a}_i
 \] wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss.
 Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
 können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
-der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
+der Vektoren $\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ und $\vec{a}_3$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
 Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, 
 solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
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cgit v1.2.1


From 7613cec184c17ed05460e991603529ebacf029c5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 13:19:38 +0200
Subject: Small rewrites in symmetry.txt and minor topos fixed

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 9 +++++----
 1 file changed, 5 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 0cea6ef..465c862 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -149,12 +149,13 @@ Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies,
 welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
 Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
 Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
-Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\) Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
+Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
 Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
 Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
-Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen.
-Da das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
-Inzwischen wissen wir auch, dass \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
+Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen,
+Weol das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
+Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt 
+\ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
 Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
 Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum
 \footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.}
-- 
cgit v1.2.1


From 846a04a614a53cb8a5978057364b8b88d7a38e25 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 13:40:10 +0200
Subject: One sentence per line, small typos and fix footnotes

Sorry for the fixed 72 chars. Tip! With Vim one can use vipJ and then
:'<,'>s:\. :\.\r:g to do this *very* quickly.
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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 50 ++++++++++++++---------------------
 1 file changed, 20 insertions(+), 30 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 465c862..de3deda 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -79,8 +79,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
          An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
      \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
          Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_n\) auch auf \(A'\) anwenden.
-         Also wenden wir \(C_n\) invertiert
-         \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
+         Also wenden wir \(C_n\) invertiert\footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
          Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
          auch auf \(A'\) an. 
          Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
@@ -119,21 +118,20 @@ ein.
     \caption{
       Stereografische Projektion einer \(C_{i}\) Symmetrie. Es wird eine Linie vom magentafarbenen Punkt auf der oberen Hälfte der Kugel zum Südpol gezogen.
       Wo die Linie die Ebene schneidet (\(z = 0\)), ist die Projektion des Punktes.
-      Die Koordinaten der Projektionen sind einfach zu berechnen:
-      ein Punkt auf eine Kugel mit Radius \(r\) mit den Koordinaten \(x, y, z,\) wird auf \(xr/(r + z), yr/(r + z)\) projiziert.
+      Die Koordinaten der Projektionen sind einfach zu berechnen: ein Punkt auf eine Kugel mit Radius \(r\) mit den Koordinaten \(x, y, z,\) wird auf \(xr/(r + z), yr/(r + z)\) projiziert.
       Für den orangefarbenen Punkt unterhalb des Äquators wird die Linie zum Nordpol gezogen und die Projektionsformel hat stattdessen einen Nenner von \(r - z\).
     }
     \label{fig:punktgruppen:stereographic-projections}
 \end{figure}
 
 \subsection{Kristallklassen}
+
 Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
-Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
-nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische
-Symmetriegruppen bilden können.
-Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
-Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
-Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion ermöglicht (siehe Abb. \ref{fig:punktgruppen:stereographic-projections}), wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden. 
+ Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische Symmetriegruppen bilden können.
+ Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+ Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
+ Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion ermöglicht (siehe Abbildung \ref{fig:punktgruppen:stereographic-projections}), wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden.
+
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -145,26 +143,18 @@ Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographi
 \subsubsection{Schönflies-Symbilok}
 
 Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schöönflies-Symbol bezeichnet.
-Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
-Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
-Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
-Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
-Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
-Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
-Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen,
-Weol das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
-Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt 
-\ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
-Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
-Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum
-\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.}
-\(i\) oder eine horizontale
-\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} 
-Spiegelachse \(h\). 
-Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
-\(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer
-sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
+ Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
+ Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
+ Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
+ Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
+ Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
+ Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
+ Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, Weol das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
+ Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
+ Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
+ Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.} \(i\) oder eine horizontale\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} Spiegelachse \(h\).
+ Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
+ \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From 67c134a41c5b47b926d0b5e461892dd267f36b5a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 18:07:14 +0200
Subject: Fix typo

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index de3deda..21e29c9 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -149,7 +149,7 @@ Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkass
  Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
  Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
  Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
- Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, Weol das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
+ Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, weil das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
  Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
  Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
  Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.} \(i\) oder eine horizontale\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} Spiegelachse \(h\).
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cgit v1.2.1

