From 22d2b924b156f953409cd9f524501c7d71f7eb9b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Tue, 27 Jul 2021 08:50:58 +0200
Subject: Some corrections from feedback

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 51 ++++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 27 insertions(+), 24 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 21e29c9..18b8395 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -1,5 +1,6 @@
 \section{Kristalle}
-%einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
+% TODO: einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
+% TODO: sich jeder => paper sprache
 Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können.
 Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
 Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
@@ -30,10 +31,11 @@ Sind die Vektoren  \(\vec{a}_1\), \(\vec{a}_2\), \(\vec{a}_3\) gegeben, ist ein
 \subsection{Translationssymmetrie} 
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
 Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte identisch sind. 
-Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
+Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
-    \vec{Q}_i(G) = G + \vec{a}_i
-\] wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss.
+    \vec{Q}_i(G) = G + \vec{a}_i,
+\]
+wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss.
 Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
 können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
 der Vektoren $\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ und $\vec{a}_3$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
@@ -62,7 +64,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
     90\(^{\circ}\),
     120\(^{\circ}\) und
     180\(^{\circ}\)
-   erlaubt.
+   m\"oglich.
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -78,9 +80,8 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
          Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt \(A'\) abgedreht wird.
          An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
      \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
-         Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_n\) auch auf \(A'\) anwenden.
-         Also wenden wir \(C_n\) invertiert\footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.
-         Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
+         Da auch die Eigenschaften des Kristallgitters periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_n\) auch auf \(A'\) anwenden.
+         Also wenden wir \(C_n\) invertiert\footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.} 
          auch auf \(A'\) an. 
          Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
      \item \(B'\) ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
@@ -89,14 +90,14 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
  Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
  Wir beginnen, indem wir die Länge der Verschiebung \(|\vec{Q}| = Q\) setzen und \(|\vec{Q}'| = Q'\).
  Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\).
- Da \(\vec{Q}\) eine Translation um ein Grundvektor ist , muss \(\vec{Q}'\) ein ganzes vielfaches von \(\vec{Q}\) sein.
- Demnach auch die Längen
+ Da \(\vec{Q}\) eine Translation um ein Grundvektor ist , muss \(\vec{Q}'\) ein ganzes Vielfaches von \(\vec{Q}\) sein.
+ Demnach ist auch die Länge
  \[
-    Q' = nQ = Q + 2x
+    Q' = nQ = Q + 2x .
  \]
- Die Strecke \(x\) lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel \(\alpha\) ausdrücken:
+ Die Strecke \(x\) lässt sich auch mit Hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel \(\alpha\) ausdrücken:
  \[
-    nQ = Q + 2Q\sin(\alpha - \pi/2)
+    nQ = Q + 2Q\sin(\alpha - \pi/2) .
  \]
  Wir können durch \(Q\) dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, was auch Sinn macht, 
  da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangiert.
@@ -126,7 +127,7 @@ ein.
 
 \subsection{Kristallklassen}
 
-Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
+Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
  Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische Symmetriegruppen bilden können.
  Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
  Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
@@ -140,21 +141,23 @@ Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht al
     \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
 \end{figure}
 
-\subsubsection{Schönflies-Symbilok}
+\subsubsection{Schönflies-Symbolik}
 
 Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schöönflies-Symbol bezeichnet.
  Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
  Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
  Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
- Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
- Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
- Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
- Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, weil das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
- Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
- Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
- Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.} \(i\) oder eine horizontale\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} Spiegelachse \(h\).
- Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
- \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
+ \begin{itemize}
+   \item Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
+     Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
+     Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
+   \item Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, weil das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
+     Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
+   \item Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
+     Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.} \(i\) oder eine horizontale\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} Spiegelachse \(h\).
+   \item Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
+     \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
+ \end{itemize}
 
 
 
-- 
cgit v1.2.1


From e26cac3a7ed4957e7ed3cfae4f0fc2281e4b1514 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 17:59:59 +0200
Subject: fix intro Kristalle

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 11 ++++-------
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(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 18b8395..88e683f 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -1,9 +1,7 @@
 \section{Kristalle}
-% TODO: einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
-% TODO: sich jeder => paper sprache
-Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können.
-Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
-Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
+Eine nicht allzu häufig gestellte Frage ist, wie ein Kristall definiert ist.
+Um zu klären, was ein Kristall mit Symmetrien zu tun hat, ist genau diese Frage äusserst relevant. 
+Glücklicherweise ist das Innere eines Kristalles relativ einfach definiert.
 \begin{definition}[Kristall]
     Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt.
 \end{definition}
@@ -81,8 +79,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
          An der neuen Position \(B\) von \(A'\) muss also auch ein Punkt des Gitters sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
      \item \(B\) ist unser Name für diesen neuen Punkt.
          Da auch die Eigenschaften des Kristallgitters periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir \(C_n\) auch auf \(A'\) anwenden.
-         Also wenden wir \(C_n\) invertiert\footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren.} 
-         auch auf \(A'\) an. 
+         Also wenden wir \(C_n^{-1}\) auch auf \(A'\) an. 
          Dies dreht \(A\) auf einen neuen Punkt.
      \item \(B'\) ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
          Die  Translationssymmetrie zwischen \(B\) und \(B'\) ist hier als \(\vec{Q}'\) bezeichnet.
-- 
cgit v1.2.1


From a69eeb70b01b71089c31fb23654d38898ae26f44 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 18:06:44 +0200
Subject: Fix symmetry paragraph and schonflies symbols

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 88e683f..21c322d 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -88,7 +88,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
  Wir beginnen, indem wir die Länge der Verschiebung \(|\vec{Q}| = Q\) setzen und \(|\vec{Q}'| = Q'\).
  Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass \(Q' = Q + 2x\).
  Da \(\vec{Q}\) eine Translation um ein Grundvektor ist , muss \(\vec{Q}'\) ein ganzes Vielfaches von \(\vec{Q}\) sein.
- Demnach ist auch die Länge
+ Demnach auch die Länge
  \[
     Q' = nQ = Q + 2x .
  \]
@@ -140,7 +140,7 @@ Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kri
 
 \subsubsection{Schönflies-Symbolik}
 
-Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schöönflies-Symbol bezeichnet.
+Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schönflies-Symbol bezeichnet.
  Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
  Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
  Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
@@ -151,10 +151,10 @@ Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkass
    \item Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, weil das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
      Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
    \item Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
-     Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum\footnote{Ein Objekt mit Inversionszentrum ist Punktsymmetrisch im Inversionszentrum.} \(i\) oder eine horizontale\footnote{Als Orientierungspunkt wird die Symmetrieachse höchster Ordnung (\(n\)) als vertikal definiert} Spiegelachse \(h\).
-   \item Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
-     \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
+     Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum \(i\) oder eine horizontale Spiegelachse \(h\).
  \end{itemize}
+Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
+ \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
 
 
 
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cgit v1.2.1


From 7c0959264d5f9ed56fc50f38fef859aa61671c5b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 18:55:05 +0200
Subject: =?UTF-8?q?rewrite=20sch=C3=B6nflies=20first=20two=20points?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 10 ++++------
 1 file changed, 4 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 21c322d..705dbe5 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -143,13 +143,11 @@ Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kri
 Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schönflies-Symbol bezeichnet.
  Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
  Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
- Da nicht alle Symmetriegruppen in Kristallen möglich sind, werden nicht alle Untergruppen von Schönflies verwendet.
  \begin{itemize}
-   \item Es ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\).
-     Für die eindeutige zuweisung in eine Kristallklasse werden noch identifizierende Merkmale als Subskript notiert.
-     Bei der Untergruppe \(C\) werden beispielsweise die möglichen Rotationssymmetrien gezeigt.
-   \item Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, weil das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
-     Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
+   \item In Kristallen ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\) zu finden.
+     Es gäbe auch die Ikosaedergruppe \(I\) und die Kugelgruppe \(K\), diese sind aber nicht kompatibel mit der Translationssymmetrie eines Kristalles.  
+   \item Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen. Ist im Subskript eine Zahl \(n\) zu finden, symbolisiert \(n\), dass  es sich um eine \(n\)-fache Symmetrie handelt.
+     Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} keine mögliche Rotationssymmetrie eines Kristalles ist.
    \item Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
      Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum \(i\) oder eine horizontale Spiegelachse \(h\).
  \end{itemize}
-- 
cgit v1.2.1


From b7c2d5a19112e5bb5859797bd36c982f1ac2116a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 18:56:33 +0200
Subject: On subscripts

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 7 +++++--
 1 file changed, 5 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 21c322d..ae48b0a 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -21,7 +21,7 @@ Die eingezeichneten Vektoren \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) sind die kleinstmö
 Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von \(\vec{a}_1\) und \(\vec{a}_2\) verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
 Im dreidimensionalen Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor \(\vec{c}\) also
 \[
-	\vec{r} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 = \sum_i n_i \vec{a}_i
+  \vec{r} = n_1 \vec{a}_1 + n_2 \vec{a}_2 + n_3 \vec{a}_3 = \sum_i n_i \vec{a}_i
 \]
 erreicht werden sofern \(n_1,n_2,n_3 \in \mathbb{Z}\) sind.
 Sind die Vektoren  \(\vec{a}_1\), \(\vec{a}_2\), \(\vec{a}_3\) gegeben, ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
@@ -151,7 +151,10 @@ Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkass
    \item Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen, weil das Subskript \(n\) von \(C_n\) zeigt, dass es sich um eine \(n\)-fache Rotationssymmetrie handelt.
      Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} in einem Kristall keine mögliche Rotationssymmetrie ist.
    \item Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
-     Wie zum Beispiel ein Inversionszentrum \(i\) oder eine horizontale Spiegelachse \(h\).
+     \begin{itemize}
+       \item Der Subskript \(h\) bezeichnet eine horizontale Spiegelebene, während \(v\) eine Symmetrieebene. Eine Symmetrieebene ist eine Spiegelebene, die sich mit der Symmetrie dreht. \(C_{3v}\) hat zum Beispiel eine vertikale Spiegelebene, die als 3 Spiegelebenen erscheint, weil es eine 3-fache Drehung gibt.
+       \item 
+     \end{itemize}
  \end{itemize}
 Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
  \(C_{3i}\) beschreibt genau das selbe wie \(S_6\), da eine dreifache Rotationssymmetrie mit einem Inversionszentrum einer sechsfachen Drehspiegelsymmetrie entspricht.
-- 
cgit v1.2.1


From 0bf83875f83587d3a36ddfb1e6c1b65c9ccf4855 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 20:03:32 +0200
Subject: Subscripts for schoenflies notation

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 26 +++++++++++++++++---------
 1 file changed, 17 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index befdb46..ce09063 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -127,7 +127,7 @@ ein.
 Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
  Mit weiteren ähnlichen Überlegungen kann gezeigt werden, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum nur auf genau 32 Arten rein punktsymmetrische Symmetriegruppen bilden können.
  Diese 32 möglichen Symmetriegruppen scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
- Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen.
+ Die 32 möglichen Kristallklassen sind auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} zu sehen.
  Die Darstellung von dreidimensionalen Punktsymmetrien wurde mit der stereographischen Projektion ermöglicht (siehe Abbildung \ref{fig:punktgruppen:stereographic-projections}), wobei die gestrichelten Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht im Detail gezeichnet wurden.
 
 
@@ -135,23 +135,31 @@ Im vorausgegangenen Abschnitt wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kri
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
     \caption{Kristallklassen mit zugehörigem Schönflies-Symbol}
-    \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+    \label{fig:punktgruppen:kristallklassen}
 \end{figure}
 
 \subsubsection{Schönflies-Symbolik}
 
-Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} ist mit ihrem zugehörigen Schönflies-Symbol bezeichnet.
+Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} ist mit ihrem zugehörigen Schönflies-Symbol bezeichnet.
  Die Schönflies-Symbolik stammt von dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, welcher sich unter anderem mit der Klasifizierung der Punktgruppen auseinandergesetzt hat.
- Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} zu sehen sind.
+ Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} zu sehen sind.
  \begin{itemize}
    \item In Kristallen ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\) zu finden.
-     Es gäbe auch die Ikosaedergruppe \(I\) und die Kugelgruppe \(K\), diese sind aber nicht kompatibel mit der Translationssymmetrie eines Kristalles.  
-   \item Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen. Ist im Subskript eine Zahl \(n\) zu finden, symbolisiert \(n\), dass  es sich um eine \(n\)-fache Symmetrie handelt.
-     Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} keine mögliche Rotationssymmetrie eines Kristalles ist.
+     Es gäbe auch die Ikosaedergruppe \(I\) und die Kugelgruppe \(K\), diese sind aber nicht kompatibel mit der Translationssymmetrie eines Kristalles und daher für uns nicht relevant.  
+   \item Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen.
+     Ist im Subskript eine Zahl \(n\) zu finden, steht dies für eine \(n\)-fache Symmetrie.
+     Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} keine mögliche Rotationssymmetrie eines Kristalles ist.
    \item Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
+     Für die folgenden Betrachtungen müssen wir uns Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} genauer ansehen.
+     Dabei ist mit horizontal flach auf dem Papier gemeint.
      \begin{itemize}
-       \item Der Subskript \(h\) bezeichnet eine horizontale Spiegelebene, während \(v\) eine Symmetrieebene. Eine Symmetrieebene ist eine Spiegelebene, die sich mit der Symmetrie dreht. \(C_{3v}\) hat zum Beispiel eine vertikale Spiegelebene, die als 3 Spiegelebenen erscheint, weil es eine 3-fache Drehung gibt.
-       \item 
+       \item[\(h\)] bezeichnet eine horizontale Spiegelebene und 
+       \item[\(v\)] eine Symmetrieebene, was eine Spiegelebene ist, die sich mit der Symmetrie mitdreht.
+         Zum Beispiel hat \(C_{3v}\) eine vertikale Spiegelebene, die durch die 3-fache Drehsymmetrie als 3 Spiegelebenen erscheinen.
+       \item[\(s\)] ist ein spezielles Subskript um die beiden Symmetriegruppen \(C_{1v}\) und \(C_{1h}\) zu beschreiben, weil \(C_{1v} = C_{1h}\).
+       \item[\(d\)] symbolisiert eine diagonale Symmetrieebene.
+         Es wird ersichtlich wie diagonal gemeint ist, wenn man \(D_2\) zu \(D_{2d}\) vergleicht.
+       \item[\(i\)] steht für ein Inversionszentrum. Hat eine Symmetriegruppe ein Inversionszentrum, bedeutet dies dass sie im Ursprung punktsymmetrisch ist.
      \end{itemize}
  \end{itemize}
 Zu beachten ist jedoch, dass manche Symmetriegruppen mit mehreren Schönflies-Symbolen beschieben werden können.
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cgit v1.2.1


From c17aee47f007b102c81cafa36cb307069612f185 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Thu, 29 Jul 2021 09:41:20 +0200
Subject: small rewrites in Kristalle

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 15 +++++++--------
 1 file changed, 7 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index ce09063..42008e1 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Kristalle}
 Eine nicht allzu häufig gestellte Frage ist, wie ein Kristall definiert ist.
-Um zu klären, was ein Kristall mit Symmetrien zu tun hat, ist genau diese Frage äusserst relevant. 
+Um zu klären, was ein Kristall mit Symmetrien zu tun hat, ist jedoch genau diese Frage äusserst relevant. 
 Glücklicherweise ist das Innere eines Kristalles relativ einfach definiert.
 \begin{definition}[Kristall]
     Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt.
@@ -36,14 +36,13 @@ Mit anderen Worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{translationssymmetrisch
 wobei der Vektor $\vec{a}_i$ ein Grundvektor sein muss.
 Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
 können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
-der Vektoren $\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ und $\vec{a}_3$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
-Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, 
-solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
+der Vektoren $\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ und $\vec{a}_3$ erlaubt sind.
+Dabei sollte erwähnt werden, dass eine Translationssymmetrie nur in unendlich grossen Kristallgittern besteht.
 
 \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien} \label{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
- Was nicht direkt ersichtlich ist, dass bei beliebigen Grundvektoren nicht beliebige Symmetrien erstellt werden können.
- Die geforderte Translationssymmetrie eines Kristalles schränkt weitere Symmetrien deutlich ein.
+ Was nicht direkt ersichtlich ist, ist dass bei beliebigen Grundvektoren nicht beliebige Symmetrien erstellt werden können.
+ Dies weil die Translationssymmetrie eines Kristalles weitere Symmetrien deutlich einschränkt.
   
 \begin{figure}
     \centering
@@ -145,10 +144,10 @@ Jede der 32 Kristallklassen auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklas
  Er hat Untergruppen gebildet, welche als Grossbuchstaben in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} zu sehen sind.
  \begin{itemize}
    \item In Kristallen ist nur die Drehgruppe \(C\), Diedergruppe \(D\), Drehspiegelgruppe \(S\), Tetraedergruppe \(T\) und die Oktaedergruppe \(O\) zu finden.
-     Es gäbe auch die Ikosaedergruppe \(I\) und die Kugelgruppe \(K\), diese sind aber nicht kompatibel mit der Translationssymmetrie eines Kristalles und daher für uns nicht relevant.  
+     Es gäbe auch die Ikosaedergruppe \(I\) und die Kugelgruppe \(K\), diese sind aber nicht kompatibel mit der Translationssymmetrie eines Kristalles und daher in der Kristallographie nicht relevant.  
    \item Dank Abschintt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} wissen wir, wieso in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} auf \(C\) nur ganz bestimmte Subskripte folgen.
      Ist im Subskript eine Zahl \(n\) zu finden, steht dies für eine \(n\)-fache Symmetrie.
-     Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} nicht vorkommen darf, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} keine mögliche Rotationssymmetrie eines Kristalles ist.
+     Daher darf \(C_5\) auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} nicht vorkommen, da \(360^\circ/5 =  72^\circ\) was nach Abschnitt \ref{txt:punktgruppen:Translationssymmetrie} keine mögliche Rotationssymmetrie eines Kristalles ist.
    \item Sind im Subskript Buchstaben, definieren diese weitere Symmetrieeigenschaften der Klasse.
      Für die folgenden Betrachtungen müssen wir uns Abbildung \ref{fig:punktgruppen:kristallklassen} genauer ansehen.
      Dabei ist mit horizontal flach auf dem Papier gemeint.
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cgit v1.2.1

