From 8cf667a6ede8589baf56e223a8583472ccff9756 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Mon, 5 Jul 2021 17:35:35 +0200
Subject: write Translationssymmetry

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 36 ++++++++++++++++++++++++++++-------
 1 file changed, 29 insertions(+), 7 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 6de2bca..fd0ba13 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -6,11 +6,33 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
     Ein Kristall besteht aus Atomen, welche sich in einem Muster arrangieren, welches sich in drei Dimensionen periodisch wiederholt.
 \end{definition}
 
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/lattice}
+    \caption{
+        Zweidimensionales Kristallgitter
+        \label{fig:punktgruppen:lattice}
+    }
+\end{figure}
 
-Ein Zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattce-grid}.
-Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Muster eines einzelnen XgrauenX Punktes gewählt in nur Zwei Dimensionen.
-Die eingezeichneten Vektoren a und b sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
-Dadurch können von einem einzelnen XGrauenX Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattce-grid} können mit einer ganzzahligen Linearkombination von a und b alle anderen Gitterpunkte des Kristalles erreicht werden.
-Ein Kristallgitter kann eindeutig mit a und b und deren winkeln beschrieben werden weswegen a und b auch Gitterparameter genannt werden.
-Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor also FRMEL FÜR TRANSLATIONSVEKTOR  erreicht werden.
-Da sich das Ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch die Eigenschaften eines Gitterpunktes Periodisch mit eiem
+Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
+Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt in nur Zwei Dimensionen.
+Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
+Wird ein beliebigen grauen Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
+\[
+    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
+\]
+erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
+Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben , ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie  auch als Grundvektoren bekannt sind.
+
+\subsection{Translationssymmetrie}
+Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
+Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. 
+Mit anderen worten: Das Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
+\[
+    Q_i(G) = G + \vec{a_i}
+\] wobei der Vektor $a_i$ ein Grundvektor sein muss.
+Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
+Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
+  
-- 
cgit v1.2.1


From 95c75ecd68ad6c741d5aa99b4948f6b5ed3a96f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Tue, 6 Jul 2021 11:33:46 +0200
Subject: Beginn writing Lilmitierte Kristallsymmetrien

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 12 ++++++++----
 1 file changed, 8 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index fd0ba13..9c8f6b9 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -14,11 +14,11 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
         \label{fig:punktgruppen:lattice}
     }
 \end{figure}
-
+\subsection{Kristallgitter}
 Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
-Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt in nur Zwei Dimensionen.
+Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen.
 Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
-Wird ein beliebigen grauen Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
 Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
 \[
     \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
@@ -35,4 +35,8 @@ Mit anderen worten: Das Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch}
 \] wobei der Vektor $a_i$ ein Grundvektor sein muss.
 Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
 Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
-  
+
+\subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
+ Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
+ Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden, können nur Rotationssymmetrische Kristalle erzeugt werden mit Winkel $\alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}$.
+
-- 
cgit v1.2.1


From ef4c8a9c83e0663e103d46557a7845b0e6258dfb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Tue, 6 Jul 2021 21:18:18 +0200
Subject: describe the geometry lattice

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 56 ++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 48 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 9c8f6b9..f8bd9b3 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -18,25 +18,65 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
 Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice}.
 Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen.
 Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
-Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt 
+und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
 Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
 \[
-    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
+    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   %maby Problem weil n bei $C_n$ auch verwendet wird
 \]
 erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
-Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben , ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie  auch als Grundvektoren bekannt sind.
+Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
+ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie  auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
 \subsection{Translationssymmetrie}
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
-Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. 
-Mit anderen worten: Das Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
+Sollte man sich auf einem Gitterpunkt in einem Kristall aufhalten, ist es unmöglich zu wissen, auf welchem Gitterpunkt man sich befindet, 
+da die Umgebungen aller Punkte Identisch sind. 
+Mit anderen worten: Jedes Kristallgitter $ G $ ist \emph{Translationssymmetrisch} in der Translation 
 \[
     Q_i(G) = G + \vec{a_i}
 \] wobei der Vektor $a_i$ ein Grundvektor sein muss.
-Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
-Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
+Da die Translationssymmetrie beliebig oft mit allen Grundvektoren angewendet werden kann, 
+können wir auch sagen, dass alle Verschiebungen um eine Linearkombination 
+der Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ erlaubt sind oder kurz, um $\vec{r}$. 
+Verschiebungen um $\vec{r}$ bewirken demnach keine Veränderungen, 
+solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
 \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
- Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden, können nur Rotationssymmetrische Kristalle erzeugt werden mit Winkel $\alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}$.
+ Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
+ können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}$.
 
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries}
+    \caption{Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter}
+    \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
+\end{figure}
+
+ \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ und Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
+ In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
+
+ \begin{itemize}
+     \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
+            
+     \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ verschieben und wir wissen, 
+            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.           
+     \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
+            Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
+            Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
+            An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
+      \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
+            Da auch die Eigenschaften des Kristallgitter periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
+            Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
+            \footnote{Die Rotationssymmetrie muss auch iin die andere Richtung funktionieren. 
+            Genauere Überlegungen werden dem Leser überlassen, da die Autoren sich nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
+            auch auf $A'$ an. 
+            Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt.
+     \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
+            Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
+ \end{itemize}  
+ 
+
+
+%"beweis", das Rotationssymmetrien auch immer invers gehen?
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 388ac18afd8b05321414afeab183ba2bbe414de5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 7 Jul 2021 09:52:46 +0200
Subject: Finished 1.Version Kristalle

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 59 +++++++++++++++++++++++++++++------
 1 file changed, 50 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index f8bd9b3..ca1bfc3 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -19,10 +19,11 @@ Ein zweidimensionales Beispiel eines solchen Muster ist Abbildung \ref{fig:punkt
 Für die Überschaubarkeit haben wir ein simples Motiv eines einzelnen grauen Punktes gewählt und betrachten dies nur in Zwei Dimensionen.
 Die eingezeichneten Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die kleinstmöglichen Schritte im Raum bis sich das Kristallgitter wiederholt.
 Wird ein beliebiger grauer Gitterpunkt in \ref{fig:punktgruppen:lattice} gewählt 
-und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
+und um eine ganzzahlige Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ verschoben, 
+endet er zwangsweise auf einem Gitterpunkt, wenn nicht wieder am selben Ort.
 Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem zusätzlichen Vektor $\vec{c}$ also 
 \[
-    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   %maby Problem weil n bei $C_n$ auch verwendet wird
+    \vec{r} = n_1 \vec{a} + n_2 \vec{b} + n_3 \vec{c}   
 \]
 erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
 Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
@@ -45,7 +46,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
  Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
- können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}$.
+ können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}$. %format error!!!
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -54,13 +55,13 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
 
- \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ und Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
+ \subsubsection{Translationssymmetrie $Q$ in Kombination mit Rotationssymmetrie $C_\alpha$}     % Müssen uns auf eine schreibweise für Symmetrie Operationen einigen oder sicher am Ende überprüfen
  In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} Sehen wir Gitterpunkte und deren Zusammenhänge.
 
  \begin{itemize}
      \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
             
-     \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ verschieben und wir wissen, 
+     \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
             dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.           
      \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
             Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
@@ -69,14 +70,54 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
       \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
             Da auch die Eigenschaften des Kristallgitter periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
             Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
-            \footnote{Die Rotationssymmetrie muss auch iin die andere Richtung funktionieren. 
-            Genauere Überlegungen werden dem Leser überlassen, da die Autoren sich nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
+            \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. 
+            Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
             auch auf $A'$ an. 
             Dies dreht $A$ auf einen neuen Punkt.
      \item $B'$ ist kein zufälliger Name für diesen neuen Punkt, denn wir wissen, dass zwischen allen Punkten eine Translationssymmetrie bestehen muss.
             Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
  \end{itemize}  
- 
+ Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
+ Wir beginnen indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
+ Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$.
+ Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also 
+ \[
+    |Q'| = n|Q| = |Q| + 2x
+ \]
+ Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken:
+ \[
+    n|Q| = |Q| + 2|Q|sin(\alpha - \pi/2)
+ \]
+ Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
+ was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. 
+ Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
+ \[
+     n = 1 - 2cos\alpha
+     \alpha = cos^{-1}(\frac{1-n}{2})
+ \]
+ Dies  schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
+ \[
+     \alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}
+ \]
+ein.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/projections}
+    \caption{Kristallklassen mit zugehöriger Schönfliesnotation}
+    \label{fig:punktgruppen:Kristallkassen}
+\end{figure}
+
+\subsection{Kristallklassen}
+Vorgehend wurde gezeigt, dass in einem zweidimensionalen Kristallgitter nicht alle Symmetrien möglich sind.
+Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dreidimensionalen Raum
+\footnote{Alle $17$ möglichen zweidimensionalen Symmetrien sind als Wandmustergruppen bekannt} 
+nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können.
+Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
+Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
+welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinander gesetzt hat.
+Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
+Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
+
 
 
-%"beweis", das Rotationssymmetrien auch immer invers gehen?
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From de9e1f96cfbca8035dc87474ef55c7e3feba68a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 7 Jul 2021 14:58:15 +0200
Subject: small rewording

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index ca1bfc3..99b576f 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -46,7 +46,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 \subsection{Limitierte Kristallsymmetrien}
  Die Translationssymmetrie ist wohl keine grosse Überraschung, wenn man die Abbildung \ref{fig:punktgruppen:lattice} betrachtet.
  Was nicht direkt ersichtlich ist, ist das auch wenn die Grundvektoren frei gewählt werden können, 
- können nur Kristalle erzeugt werden mit Rotationssymmetrien mit Winkel $\alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}$. %format error!!!
+ können nur Rotationssymmetrische Kristalle bestimmter Rotationswinkel erzeugt werden.
 
 \begin{figure}
     \centering
-- 
cgit v1.2.1


From dbf10d224849f5400e7554dc6fca9552613bd48f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 7 Jul 2021 15:54:08 +0200
Subject: Apply word spellcheck

---
 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 12 ++++++------
 1 file changed, 6 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 99b576f..5f38570 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -27,7 +27,7 @@ Im Dreidimensionalen-Raum können alle Gitterpunkte mit derselben Idee und einem
 \]
 erreicht werden sofern $\{n_1,n_2,n_3\} \in \mathbb{Z}$ sind.
 Sind die Vektoren  $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ gegeben ,
-ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie  auch als Grundvektoren bekannt sind.
+ist ein Kristallgitter eindeutig beschrieben, weswegen sie auch als Grundvektoren bekannt sind.
 
 \subsection{Translationssymmetrie}
 Da sich das ganze Kristallgitter wiederholt, wiederholen sich auch dessen Eigenschaften periodisch mit den Grundvektoren.
@@ -66,9 +66,9 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
      \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
             Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
             Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
-            An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
+            An der neuen Position von $A'$ muss also auch ein Punkt sein, um die Rotationssymmetrie zu erfüllen.
       \item $B$ ist unser Name für diesen neuen Punkt. 
-            Da auch die Eigenschaften des Kristallgitter periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
+            Da auch die Eigenschaften des Kristallgittes periodisch mit dem Gitter sein müssen, dürfen wir $C_\alpha$ auch auf $A'$ anwenden.
             Also wenden wir $C_\alpha$ invertiert
             \footnote{Eine Rotationssymmetrie muss auch in die inverse Richtung funktionieren. 
             Genauere Überlegungen hierzu werden dem Leser überlassen, da sich die Autoren nicht explizit mit dieser Frage Auseinander gesetzt haben.} 
@@ -78,7 +78,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
             Die Translationssymmetrie zwischen $B$ und $B'$ ist hier als $Q'$ bezeichnet.
  \end{itemize}  
  Mit den gegebenen Punkten lassen sich geometrische Folgerungen ziehen.
- Wir beginnen indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
+ Wir beginnen, indem wir die Länge der Translation $Q$ mit jener von $Q'$ vergleichen.
  Aus Abbildung \ref{fig:punktgruppen:rot-geometry} ist ersichtlich, dass $|Q| = |Q'|+ 2x$.
  Ist $Q$ ein Grundvektor so muss $|Q'|$ ein ganzes vielfaches von $|Q|$ sein. Also 
  \[
@@ -95,7 +95,7 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
      n = 1 - 2cos\alpha
      \alpha = cos^{-1}(\frac{1-n}{2})
  \]
- Dies  schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
+ Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
  \[
      \alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}
  \]
@@ -115,7 +115,7 @@ Mit weiteren ähnlichen überlegungen gezeigt werden kann, dass Kristalle im dre
 nur auf genau $32$ Arten punktsymmetrisch sein können.
 Diese $32$ möglichen Punktsymmetrien scheinen durchaus relevant zu sein, denn sie werden unter anderem als Kristallklassen bezeichnet.
 Eine mögliche Art, die Klassen zu benennen ist nacht dem Mathematiker Arthur Moritz Schönflies, 
-welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinander gesetzt hat.
+welcher sich mit der Klasifizierung dieser Symmetrien auseinandergesetzt hat.
 Auf der Abbildung \ref{fig:punktgruppen:Kristallkassen} sind die möglichen Punktsymmetrien mit deren Schönfliesnotation aufgelistet.
 Als Darstellungsmethode wurde die stereographische Projektion gewählt, wobei $5$ Klassen aus Gründen der Überschaubarkeit nicht gezeichnet wurden.  
 
-- 
cgit v1.2.1


From bfab86988888aa4980f70338e59b7cddb693bbe0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 7 Jul 2021 16:13:27 +0200
Subject: add comment

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 1 +
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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index 5f38570..d984c21 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -1,4 +1,5 @@
 \section{Kristalle}
+%einleitung sollte noch an das ende von der Symmetrie angepasst werden
 Unter dem Begriff Kristall sollte sich jeder ein Bild machen können. 
 Wir werden uns aber nicht auf sein Äusseres fokussieren, sondern was ihn im Inneren ausmacht.
 Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
-- 
cgit v1.2.1


From a985b2cf0c5fe62c9f8eba3ae71b2aa6ac12c776 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Mon, 12 Jul 2021 11:05:07 +0200
Subject: Fix typos and add TODOs

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 buch/papers/punktgruppen/crystals.tex | 20 ++++++++++++--------
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(limited to 'buch/papers/punktgruppen/crystals.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
index d984c21..1aec16f 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/crystals.tex
@@ -11,7 +11,8 @@ Die Innereien eines Kristalles sind glücklicherweise relativ einfach definiert.
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/lattice}
     \caption{
-        Zweidimensionales Kristallgitter
+        Zweidimensionales Kristallgitter.
+        \texttt{TODO: make wider and shorter}
         \label{fig:punktgruppen:lattice}
     }
 \end{figure}
@@ -52,7 +53,10 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/combine-symmetries}
-    \caption{Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter}
+    \caption{
+        Translations und Rotationssymmetrisches Kristallgitter
+        \texttt{TODO: make wider and change color (yellow)}
+    }
     \label{fig:punktgruppen:rot-geometry}
 \end{figure}
 
@@ -61,9 +65,9 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
 
  \begin{itemize}
      \item  $A$ ist unser erster Gitterpunkt. 
-            
+
      \item  $A'$ ist gegeben, weil wir $A$ mit der Translation $Q$ um einen Grundvektor verschieben und wir wissen, 
-            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.           
+            dass nach einer Translation wieder ein Gitterpunkt an der Verschobenen Stelle sein muss.
      \item $B$ entsteht, weil wir die Rotationssymmetrie $C_\alpha$ auf den Punkt $A$ anwenden.
             Dadurch dreht sich das ganze Gitter um den Winkel $\alpha$. 
             Für uns bedeutet dies lediglich, dass unser zweiter Punkt $A'$ abgedreht wird.
@@ -87,18 +91,18 @@ solange wir ein unendlich grosses Kristallgitter verschieben.
  \]
  Die Strecke $x$ lässt sich auch mit hilfe der Trigonometrie und dem angenommenen Rotationswinkel $\alpha$ ausdrücken:
  \[
-    n|Q| = |Q| + 2|Q|sin(\alpha - \pi/2)
+    n|Q| = |Q| + 2|Q|\sin(\alpha - \pi/2)
  \]
  Wir können mit $|Q|$ dividieren um unabhängig von der Läge des Grundvektors zu werden, 
  was auch Sinn macht, da eine Skalierung eines Kristalles seine Symmetrieeigenschaften nicht tangieren soll. 
  Zusätzlich können wir den Sinusterm vereinfachen.
  \[
-     n = 1 - 2cos\alpha
-     \alpha = cos^{-1}(\frac{1-n}{2})
+     n = 1 - 2\cos\alpha
+     \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1-n}{2}\right)
  \]
  Dies schränkt die möglichen Rotationssymmetrien auf 
  \[
-     \alpha \in \{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\}
+     \alpha \in \left\{ 0^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 180^\circ\right\}
  \]
 ein.
 
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