From 74c4242210c2383f22f8c8ad389b580d9ee1d836 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 7 Jul 2021 14:40:08 +0200
Subject: =?UTF-8?q?Write=20Piezoelektrizit=C3=A4t=201.version?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

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 buch/papers/punktgruppen/piezo.tex | 72 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 71 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/piezo.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index 7ee4174..f3c1cb5 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -1 +1,71 @@
-\section{Piezoelektrizit\"at}
+\section{Piezoelektrizität}
+Die Piezoelektrizität ist per Definition spannend.
+Sie beschreibt die Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn machanischer Druck auf sie ausgeübt wird.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo} %das Efeld mit Naoki disskutieren, müssen sicher gehen, dass es mit jenen in Abbildung Piezo aufbau übereinstimmt
+    \caption{Piezoelektrisches Material in ruhe und unter Druck}
+    \label{fig:punktgruppen:basicPiezo}
+\end{figure}
+
+\subsection{Polarisierung}
+Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberfläche des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}.
+Dieses Ungleichgewicht resultiert, 
+weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positiv Ione näher an die Oberfläche gelangen,
+wärend auf der gegenüberliegender Oberfläche sich mehr negative Ionen Sammeln.
+Das sich die atomare Struktur eines Kristalles unter Druck genau so verformt ist nicht bei jedem Kristall gegeben.
+Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles ist daher relevant für die entstehung dieses Effektes.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms} 
+    \caption{Kristallstrukturen mit und ohne piezoelektrischer Eigenschaft}
+    \label{fig:punktgruppen:atomPiezo}
+\end{figure}
+
+\subsection{Atomarer Aufbau}
+Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, entscheidend ist aber der atomare Aufbau.
+Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
+%liste oder anderes format?..
+Struktur$(a)$ zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur $(b)$ ist das Selbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
+Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
+Als hilfe zur Vorstellung kann man $(b)$ zwischen zwei leitende Platten setzen, 
+so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird,
+während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
+$(d)$ ist nicht Piezoelektrisch.
+Dies wird ersichtlich, wenn man $(d)$ unterdruck setzt und sich die Struktur zu $(e)$ verformt.
+Setzt man  $(e)$ gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden 
+und links umgekehrt.
+Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn der Kristall nach oben und periodisch wiederholt.
+Struktur $(c)$ zeigt $(a)$ in unter horizontaler Belastung. 
+Was in zwischen $(b)$ und $(c)$ zu beobachten ist, ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht,
+im gegensatz zu $(b)$.
+Daraus kann man schlissen, dass $(a)$ keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
+Das fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. 
+
+\subsection{Punktsymmetrie}\footnote{In der Literatur wird ein Punktsymmetrisches Kristallgitter oft als Kristallgitter mit Inversionszentrum bezeichnet.}
+Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein.
+Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine Piezoelektrische Kristalle bilden.
+Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst $(a)$ ein nicht Punktsymmetrischer Kristall mit einem Punktsymmetrischen $(d)$ verglichen worden.
+Als vereinfachte Erklärung kann mann sich wieder das Bild vor augen führen, eines Kristalles, 
+welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
+Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den Positiven auf der anderen seite landen,
+was der Definition einer Symmetrie deutlich wiederspricht.
+
+\subsection{Vom Kristall zum Feuer}
+Piezoelektrizität hat durhaus nutzen im Alltag.
+Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, 
+sonder ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität.
+Drückt der Nutzende auf den Zündknopf spannt sich eine Feder bis zu einer Konfigurierten Spannung.
+Wird vom Nutzenden weiter gedrückt entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer,
+welcher auf das Piezoelement aufschlägt.
+Der augenblicklich hohen Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so Kurze aber hohe elekrische Spannung.
+Die Spannung reicht aus um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden.
+Sollten Sie also eines Tages in die Situation geraten, in welcher Sie zwei verschiedene Kristalle vor sich haben
+und ein Piezoelektrisches feuerzeug bauen müssen,
+wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
+versuche sie es mt dem Anderen.
+Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht Piezoelektrisch ist.
+ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
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cgit v1.2.1


From dbf10d224849f5400e7554dc6fca9552613bd48f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 7 Jul 2021 15:54:08 +0200
Subject: Apply word spellcheck

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 buch/papers/punktgruppen/piezo.tex | 34 +++++++++++++++++-----------------
 1 file changed, 17 insertions(+), 17 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/piezo.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index f3c1cb5..3c40aa8 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -5,17 +5,17 @@ Sie beschreibt die Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo} %das Efeld mit Naoki disskutieren, müssen sicher gehen, dass es mit jenen in Abbildung Piezo aufbau übereinstimmt
-    \caption{Piezoelektrisches Material in ruhe und unter Druck}
+    \caption{Piezoelektrisches Material in Ruhe und unter Druck}
     \label{fig:punktgruppen:basicPiezo}
 \end{figure}
 
 \subsection{Polarisierung}
-Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberfläche des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}.
+Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}.
 Dieses Ungleichgewicht resultiert, 
 weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positiv Ione näher an die Oberfläche gelangen,
-wärend auf der gegenüberliegender Oberfläche sich mehr negative Ionen Sammeln.
+wärend auf der gegenüberliegenden Oberfläche sich mehr negative Ionen Sammeln.
 Das sich die atomare Struktur eines Kristalles unter Druck genau so verformt ist nicht bei jedem Kristall gegeben.
-Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles ist daher relevant für die entstehung dieses Effektes.
+Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für die Entstehung dieses Effektes.
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -29,43 +29,43 @@ Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, ent
 Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
 %liste oder anderes format?..
-Struktur$(a)$ zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur $(b)$ ist das Selbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
-Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
+Struktur$(a)$ zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur $(b)$ ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
+Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
 Als hilfe zur Vorstellung kann man $(b)$ zwischen zwei leitende Platten setzen, 
 so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird,
 während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
-$(d)$ ist nicht Piezoelektrisch.
+$(d)$ ist nicht piezoelektrisch.
 Dies wird ersichtlich, wenn man $(d)$ unterdruck setzt und sich die Struktur zu $(e)$ verformt.
 Setzt man  $(e)$ gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden 
 und links umgekehrt.
 Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn der Kristall nach oben und periodisch wiederholt.
 Struktur $(c)$ zeigt $(a)$ in unter horizontaler Belastung. 
 Was in zwischen $(b)$ und $(c)$ zu beobachten ist, ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht,
-im gegensatz zu $(b)$.
+im Gegensatz zu $(b)$.
 Daraus kann man schlissen, dass $(a)$ keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
-Das fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. 
+Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. 
 
 \subsection{Punktsymmetrie}\footnote{In der Literatur wird ein Punktsymmetrisches Kristallgitter oft als Kristallgitter mit Inversionszentrum bezeichnet.}
 Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein.
-Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine Piezoelektrische Kristalle bilden.
+Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden.
 Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst $(a)$ ein nicht Punktsymmetrischer Kristall mit einem Punktsymmetrischen $(d)$ verglichen worden.
 Als vereinfachte Erklärung kann mann sich wieder das Bild vor augen führen, eines Kristalles, 
 welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
 Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den Positiven auf der anderen seite landen,
-was der Definition einer Symmetrie deutlich wiederspricht.
+was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht.
 
 \subsection{Vom Kristall zum Feuer}
-Piezoelektrizität hat durhaus nutzen im Alltag.
+Piezoelektrizität hat durchaus nutzen im Alltag.
 Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, 
 sonder ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität.
 Drückt der Nutzende auf den Zündknopf spannt sich eine Feder bis zu einer Konfigurierten Spannung.
 Wird vom Nutzenden weiter gedrückt entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer,
 welcher auf das Piezoelement aufschlägt.
-Der augenblicklich hohen Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so Kurze aber hohe elekrische Spannung.
-Die Spannung reicht aus um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden.
+Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so Kurze aber hohe elekrische Spannung.
+Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden.
 Sollten Sie also eines Tages in die Situation geraten, in welcher Sie zwei verschiedene Kristalle vor sich haben
-und ein Piezoelektrisches feuerzeug bauen müssen,
+und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen,
 wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
-versuche sie es mt dem Anderen.
-Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht Piezoelektrisch ist.
+versuche sie es mit dem anderen.
+Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht piezoelektrisch ist.
 ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
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cgit v1.2.1


From a985b2cf0c5fe62c9f8eba3ae71b2aa6ac12c776 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Mon, 12 Jul 2021 11:05:07 +0200
Subject: Fix typos and add TODOs

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 buch/papers/punktgruppen/piezo.tex | 7 +++++--
 1 file changed, 5 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/piezo.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index 3c40aa8..e6b595a 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -20,7 +20,10 @@ Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für
 \begin{figure}
     \centering
     \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms} 
-    \caption{Kristallstrukturen mit und ohne piezoelektrischer Eigenschaft}
+    \caption{
+        Kristallstrukturen mit und ohne piezoelektrischer Eigenschaft.
+        \texttt{TODO: adapt figure for paper with subfigure markers.}
+    }
     \label{fig:punktgruppen:atomPiezo}
 \end{figure}
 
@@ -68,4 +71,4 @@ und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen,
 wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
 versuche sie es mit dem anderen.
 Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht piezoelektrisch ist.
-ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
\ No newline at end of file
+ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
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cgit v1.2.1


From bf17b6c5ecf720f5db68889be8bda10130004121 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Wed, 14 Jul 2021 22:34:08 +0200
Subject: Adapt figures and fix typos

---
 buch/papers/punktgruppen/piezo.tex | 29 ++++++++++++++++-------------
 1 file changed, 16 insertions(+), 13 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/piezo.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index e6b595a..3c3957b 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -19,10 +19,17 @@ Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für
 
 \begin{figure}
     \centering
-    \includegraphics[]{papers/punktgruppen/figures/piezo-atoms} 
+    \begin{tabular}{c |c}
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-piezo}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-still}} &
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-grid}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-still}} \\
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-vertical}}
+      \hspace{2mm}
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-piezo-force-horizontal}}
+      \hspace{3mm} & \hspace{3mm}
+      \subfigure[][\label{fig:punktgruppen:atoms-grid-f}]{\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/atoms-grid-force}} \\
+    \end{tabular}
     \caption{
         Kristallstrukturen mit und ohne piezoelektrischer Eigenschaft.
-        \texttt{TODO: adapt figure for paper with subfigure markers.}
     }
     \label{fig:punktgruppen:atomPiezo}
 \end{figure}
@@ -32,19 +39,15 @@ Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, ent
 Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
 %liste oder anderes format?..
-Struktur$(a)$ zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur $(b)$ ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
 Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
-Als hilfe zur Vorstellung kann man $(b)$ zwischen zwei leitende Platten setzen, 
-so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird,
-während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
-$(d)$ ist nicht piezoelektrisch.
-Dies wird ersichtlich, wenn man $(d)$ unterdruck setzt und sich die Struktur zu $(e)$ verformt.
-Setzt man  $(e)$ gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden 
-und links umgekehrt.
+Als hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
+\subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} ist nicht piezoelektrisch.
+Dies wird ersichtlich, wenn man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} unterdruck setzt und sich die Struktur zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} verformt.
+Setzt man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt.
 Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn der Kristall nach oben und periodisch wiederholt.
-Struktur $(c)$ zeigt $(a)$ in unter horizontaler Belastung. 
-Was in zwischen $(b)$ und $(c)$ zu beobachten ist, ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht,
-im Gegensatz zu $(b)$.
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zeigt \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} in unter horizontaler Belastung. 
+Was in zwischen $(b)$ und $(c)$ zu beobachten ist, ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, im Gegensatz zu $(b)$.
 Daraus kann man schlissen, dass $(a)$ keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
 Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. 
 
-- 
cgit v1.2.1


From a1284996aea194e255d8bd292874080bf2f3cc44 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Mon, 19 Jul 2021 23:27:52 +0200
Subject: Write schoenflies und minor fixes

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 buch/papers/punktgruppen/piezo.tex | 31 +++++++++++++++++++------------
 1 file changed, 19 insertions(+), 12 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/piezo.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index 3c3957b..feac9e5 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -39,22 +39,30 @@ Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, ent
 Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
 %liste oder anderes format?..
-Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. 
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
 Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
-Als hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
+Als hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, 
+dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
 \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} ist nicht piezoelektrisch.
 Dies wird ersichtlich, wenn man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} unterdruck setzt und sich die Struktur zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} verformt.
-Setzt man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt.
-Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn der Kristall nach oben und periodisch wiederholt.
+Setzt man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten, 
+scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt.
+Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn die Struktur sich nach oben und unten periodisch wiederholt.
 Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zeigt \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} in unter horizontaler Belastung. 
-Was in zwischen $(b)$ und $(c)$ zu beobachten ist, ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, im Gegensatz zu $(b)$.
-Daraus kann man schlissen, dass $(a)$ keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
-Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von $(a)$ bestätigt werden. 
+Was zwischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} und \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zu beobachten ist, 
+ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, 
+im Gegensatz zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh}.
+Daraus kann man schlissen, dass \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, 
+weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
+Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} bestätigt werden. 
 
-\subsection{Punktsymmetrie}\footnote{In der Literatur wird ein Punktsymmetrisches Kristallgitter oft als Kristallgitter mit Inversionszentrum bezeichnet.}
-Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein.
+\subsection{Punktsymmetrie}
+Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch
+\footnote{In der Literatur wird ein Punktsymmetrisches Kristallgitter oft als Kristallgitter mit Inversionszentrum bezeichnet.} sein.
 Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden.
-Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst $(a)$ ein nicht Punktsymmetrischer Kristall mit einem Punktsymmetrischen $(d)$ verglichen worden.
+Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht Punktsymmetrischer Kristall 
+mit einem Punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid}verglichen worden.
 Als vereinfachte Erklärung kann mann sich wieder das Bild vor augen führen, eines Kristalles, 
 welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
 Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den Positiven auf der anderen seite landen,
@@ -73,5 +81,4 @@ Sollten Sie also eines Tages in die Situation geraten, in welcher Sie zwei versc
 und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen,
 wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
 versuche sie es mit dem anderen.
-Ich muss aber anmerken, dass aus den $21$ möglichen Kristallsymmetrien ohne Punktsymmetrie einer nicht piezoelektrisch ist.
-ein wenig glück brauchen Sie also immer noch.
+
-- 
cgit v1.2.1


From d35889ab0e806e4df7871b5a100fe4bb6c52282b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Tue, 20 Jul 2021 14:29:38 +0200
Subject: =?UTF-8?q?rewrite=20Sch=C3=B6nflies=20notation?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/punktgruppen/piezo.tex | 3 +--
 1 file changed, 1 insertion(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/piezo.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index feac9e5..6defcdc 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -58,8 +58,7 @@ weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung.
 Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} bestätigt werden. 
 
 \subsection{Punktsymmetrie}
-Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch
-\footnote{In der Literatur wird ein Punktsymmetrisches Kristallgitter oft als Kristallgitter mit Inversionszentrum bezeichnet.} sein.
+Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein.
 Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden.
 Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht Punktsymmetrischer Kristall 
 mit einem Punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid}verglichen worden.
-- 
cgit v1.2.1


From 22d2b924b156f953409cd9f524501c7d71f7eb9b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Tue, 27 Jul 2021 08:50:58 +0200
Subject: Some corrections from feedback

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 buch/papers/punktgruppen/piezo.tex | 52 ++++++++++++++++++--------------------
 1 file changed, 25 insertions(+), 27 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/piezo.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index 6defcdc..67e6214 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Piezoelektrizität}
-Die Piezoelektrizität ist per Definition spannend.
-Sie beschreibt die Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn machanischer Druck auf sie ausgeübt wird.
+%% TODO: improve this paragraph
+Die Piezoelektrizität ist die spannende Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung erzeugen, wenn mechanischer Druck auf sie ausgeübt wird.
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -10,10 +10,10 @@ Sie beschreibt die Eigenschaft, dass gewisse Kristalle eine elektrische Spannung
 \end{figure}
 
 \subsection{Polarisierung}
-Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}.
+Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht (siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}).
 Dieses Ungleichgewicht resultiert, 
-weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positiv Ione näher an die Oberfläche gelangen,
-wärend auf der gegenüberliegenden Oberfläche sich mehr negative Ionen Sammeln.
+weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positiv Ionen näher an die Oberfläche gelangen,
+wärend auf der gegenüberliegenden Oberfläche sich mehr negative Ionen sammeln.
 Das sich die atomare Struktur eines Kristalles unter Druck genau so verformt ist nicht bei jedem Kristall gegeben.
 Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für die Entstehung dieses Effektes.
 
@@ -37,47 +37,45 @@ Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für
 \subsection{Atomarer Aufbau}
 Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, entscheidend ist aber der atomare Aufbau.
 Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
-In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise Positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
-%liste oder anderes format?..
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
 Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. 
 Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
-Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil mitlleren Ladungsträger weiter auseinander gerdrückt werden.
-Als hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, 
+Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil die mittleren Ladungsträger weiter auseinander gedrückt werden.
+Als Hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, 
 dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
+\par
 \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} ist nicht piezoelektrisch.
-Dies wird ersichtlich, wenn man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} unterdruck setzt und sich die Struktur zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} verformt.
+Dies wird ersichtlich, wenn man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} unter Druck setzt und sich die Struktur zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} verformt.
 Setzt man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten, 
-scheint es als würden rechts mehr Positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt.
+scheint es als würden rechts mehr positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt.
 Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn die Struktur sich nach oben und unten periodisch wiederholt.
 Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zeigt \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} in unter horizontaler Belastung. 
+\par
 Was zwischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} und \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zu beobachten ist, 
 ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, 
 im Gegensatz zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh}.
-Daraus kann man schlissen, dass \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} keine Rotationssymmetrie von $90^\circ$ besitzen kann, 
-weil die Eigenschaften ändern bei einer $90^\circ$ Drehung. 
-Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann mit betrachten von \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} bestätigt werden. 
+Daraus kann man schliessen, dass \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} keine Rotationssymmetrie von \(90^\circ\) besitzen kann, 
+weil die Eigenschaften ändern bei einer \(90^\circ\) Drehung. 
+Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann in \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} beobachtet werden. 
 
 \subsection{Punktsymmetrie}
-Piezoelektrische Kristalle können nicht Punktsymmetrisch sein.
+Piezoelektrische Kristalle können nicht punktsymmetrisch sein.
 Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden.
-Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht Punktsymmetrischer Kristall 
-mit einem Punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid}verglichen worden.
-Als vereinfachte Erklärung kann mann sich wieder das Bild vor augen führen, eines Kristalles, 
+Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht punktsymmetrischer Kristall 
+mit einem punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} verglichen worden.
+Als vereinfachte Erklärung kann man sich wieder das Bild eines Kristalles vor Augen führen, 
 welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
-Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den Positiven auf der anderen seite landen,
+Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der Mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den positiven auf der anderen Seite landen,
 was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht.
 
 \subsection{Vom Kristall zum Feuer}
-Piezoelektrizität hat durchaus nutzen im Alltag.
+Piezoelektrizität hat durchaus Nutzen im Alltag.
 Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, 
 sonder ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität.
-Drückt der Nutzende auf den Zündknopf spannt sich eine Feder bis zu einer Konfigurierten Spannung.
+Drückt der Nutzende auf den Zündknopf, spannt sich eine Feder bis zu eine konfigurierten Spannung.
 Wird vom Nutzenden weiter gedrückt entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer,
-welcher auf das Piezoelement aufschlägt.
-Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so Kurze aber hohe elekrische Spannung.
+welchen auf das Piezoelement aufschlägt.
+Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so kurze aber hohe elektrische Spannung.
 Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden.
-Sollten Sie also eines Tages in die Situation geraten, in welcher Sie zwei verschiedene Kristalle vor sich haben
-und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen müssen,
-wobei Sie aber wissen, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist,
-versuche sie es mit dem anderen.
+Sollte der Leser eines Tages in die Situation geraten, in welcher er zwei verschiedene Kristalle vor sich hat und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen musst, wobei bekannt ist, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist, empfiehlt es sich mit die anderen zu versuchen.
 
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cgit v1.2.1


From 58cd49c22e5eea9f72bbe648a13e2e149c131ea7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Thu, 29 Jul 2021 10:46:38 +0200
Subject: rewrite minor things in Piezo

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 buch/papers/punktgruppen/piezo.tex | 32 ++++++++++++++++----------------
 1 file changed, 16 insertions(+), 16 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/piezo.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
index 67e6214..6ed7ee9 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/piezo.tex
@@ -12,9 +12,9 @@ Die Piezoelektrizität ist die spannende Eigenschaft, dass gewisse Kristalle ein
 \subsection{Polarisierung}
 Piezoelektrizität basiert darauf, dass zwischen den Oberflächen des Kristalles ein Ladungsungleichgewicht entsteht (siehe Abbildung\ref{fig:punktgruppen:basicPiezo}).
 Dieses Ungleichgewicht resultiert, 
-weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positiv Ionen näher an die Oberfläche gelangen,
-wärend auf der gegenüberliegenden Oberfläche sich mehr negative Ionen sammeln.
-Das sich die atomare Struktur eines Kristalles unter Druck genau so verformt ist nicht bei jedem Kristall gegeben.
+weil durch den mechanischen Druck auf der einen Oberfläche des Kristalles positive Ionen näher an die Oberfläche gelangen,
+wärend auf der gegenüberliegenden Seite dasselbe mit negativen Ionen passiert.
+Es besitzt jedoch nicht jeder Kristall eine atomare Struktur welche sich unter Druck genau so verformt.
 Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für die Entstehung dieses Effektes.
 
 \begin{figure}
@@ -35,35 +35,35 @@ Der Aufbau und somit auch die Symmetrie des Kristalles sind daher relevant für
 \end{figure}
 
 \subsection{Atomarer Aufbau}
-Die Polarisation resultiert über eine gesamte Oberfläche eines Kristalles, entscheidend ist aber der atomare Aufbau.
+Die Polarisation entsteht an der Oberfläche eines Kristalles, die Erklärung dazu finden wir jedoch im atomaren Aufbau.
 Wir wollen dazu die verschiedenen Kristallstrukturen auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} diskutieren.
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} gilt für alle Strukturen, dass rote Kreise positive Ionen und blaue negative Ionen repräsentieren. 
 Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} zeigt ein piezoelektrisches Material in Ruhe. 
 Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} ist dasselbe Kristallgitter, jedoch wird es senkrecht belastet. 
-Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil die mittleren Ladungsträger weiter auseinander gedrückt werden.
+Eingezeichnet ist auch das elektrische Feld, welches entsteht, weil die Ladungsträger ganz links und rechts weiter auseinander gedrückt werden.
 Als Hilfe zur Vorstellung kann man \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} zwischen zwei leitende Platten setzen, so wird ersichtlich, 
 dass mit wachsendem Druck eine negative Ladung an die rechte Platte gedrückt wird, während sich die positiven Ionen weiter entfernen. 
 \par
-\subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} ist nicht piezoelektrisch.
+Die Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} ist nicht piezoelektrisch.
 Dies wird ersichtlich, wenn man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} unter Druck setzt und sich die Struktur zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} verformt.
 Setzt man \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid-f} gedanklich auch zwischen zwei leitende Platten, 
 scheint es als würden rechts mehr positive Ionen in die Platte gedrückt werden und links umgekehrt.
-Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn die Struktur sich nach oben und unten periodisch wiederholt.
-Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zeigt \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} in unter horizontaler Belastung. 
+Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn sich die Struktur nach oben und unten periodisch wiederholt.
 \par
+Struktur \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zeigt \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} in unter horizontaler Belastung. 
 Was zwischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fv} und \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh} zu beobachten ist, 
-ist dass das entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, 
+ist, dass die entstandene Ladungsdifferenz orthogonal zu der angelegten Kraft entsteht, 
 im Gegensatz zu \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo-fh}.
 Daraus kann man schliessen, dass \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} keine Rotationssymmetrie von \(90^\circ\) besitzen kann, 
-weil die Eigenschaften ändern bei einer \(90^\circ\) Drehung. 
-Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie kann in \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} beobachtet werden. 
+weil die Eigenschaften der Struktur sich bei einer \(90^\circ\) Drehung ändern. 
+Das Fehlen dieser Rotationssymmetrie bestätigt sich auch wenn \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} als Hexagon betrachtet wird. 
 
 \subsection{Punktsymmetrie}
 Piezoelektrische Kristalle können nicht punktsymmetrisch sein.
 Kristallgitter, bei welchen eine Punktspiegelung eine symmetrische Operation ist, können keine piezoelektrische Kristalle bilden.
 Auf Abbildung \ref{fig:punktgruppen:atomPiezo} ist bewusst \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} ein nicht punktsymmetrischer Kristall 
 mit einem punktsymmetrischen \subref{fig:punktgruppen:atoms-grid} verglichen worden.
-Als vereinfachte Erklärung kann man sich wieder das Bild eines Kristalles vor Augen führen, 
+Als vereinfachte Erklärung kann man sich wieder das Bild eines Kristalles wie \subref{fig:punktgruppen:atoms-piezo} vor Augen führen, 
 welcher unter Druck auf der einen Seite negative und der anderen Seite positive Ionen an seine Oberfläche verdrängt.
 Spiegelt man nun den Kristall um den Gitterpunkt in der Mitte des Kristalles, so würden die negativen Ionen auf den positiven auf der anderen Seite landen,
 was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht.
@@ -72,10 +72,10 @@ was der Definition einer Symmetrie deutlich widerspricht.
 Piezoelektrizität hat durchaus Nutzen im Alltag.
 Feuerzeuge welche nicht auf dem Prinzip beruhen einen Zündstein abzuschleifen, 
 sonder ohne Verschleiss auf Knopfdruck einen Zündfunken erzeugen, basieren auf dem Prinzip der Piezoelektrizität.
-Drückt der Nutzende auf den Zündknopf, spannt sich eine Feder bis zu eine konfigurierten Spannung.
-Wird vom Nutzenden weiter gedrückt entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer,
-welchen auf das Piezoelement aufschlägt.
+Drückt der Nutzende auf den Zündknopf, spannt sich eine Feder bis zu einer konfigurierten Spannung.
+Wird vom Nutzenden fester zugedrückt entspannt sich die Feder schlagartig und beschleunigt mit der gespeicherten Energie ein Hammer,
+welcher auf das Piezoelement aufschlägt.
 Der augenblicklich hohe Druck sorgt an den Piezokontakten für eine eben so kurze aber hohe elektrische Spannung.
 Die Spannung reicht aus, um eine Funkenstrecke zu überwinden und so eine entflammbares Gas zu entzünden.
-Sollte der Leser eines Tages in die Situation geraten, in welcher er zwei verschiedene Kristalle vor sich hat und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen musst, wobei bekannt ist, dass einer eine Punktsymmetrie aufweist, empfiehlt es sich mit die anderen zu versuchen.
+Sollte der Leser eines Tages in die Situation geraten, in welcher er zwei verschiedene Kristalle vor sich hat und ein piezoelektrisches Feuerzeug bauen musst, wobei bekannt ist, dass der eine eine Punktsymmetrie aufweist, empfiehlt es sich, sich am anderen zu versuchen.
 
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cgit v1.2.1

