From 88fef8a83dcae2c49edab204809b438a27c24482 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 08:46:39 +0200
Subject: Some corrections on the symmetry section

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 39 +++++++++++++++++------------------
 1 file changed, 19 insertions(+), 20 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 1dc6f98..6655864 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -1,7 +1,7 @@
 \section{Symmetrie}
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
-\(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
+\(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
 \footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
 verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
@@ -33,9 +33,7 @@ Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
 einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
 lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
 Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
-\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Dies ist
-hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
-nun eingeführt wird.
+\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
 
 % Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird 
 \subsubsection{Symetriegruppe}
@@ -46,39 +44,40 @@ nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$
 Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
-	Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
-	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
-	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+	Sei \(g\) eine umkehrbare Operation, die ein mathematisches Objekt
+	unverändert lässt.  Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die
+	Komposition \(h\circ g\) als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle
+	Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt
+	wird.
 \end{definition} % ich lese diese  Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen
 
 % Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
 	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
 	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
-	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die erzeugte
-	Untergruppe \(\langle g \rangle\) wird mit spitzen Klammern um den Erzeuger
-	bezeichnet.
+	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die von \(g\)
+	erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z}
+	\right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
 
-Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
+Damit können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
 Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\)
 um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
 \[
 	C_n = \langle r \rangle
 		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
 \]
-der Drehungen eines \(n\)-Gons zu definieren. Das liegt daran,
-dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen, der
-die Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als
-wiederholte Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots
-r\circ r\).  Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem
-Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen.
+der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die
+mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die
+Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
+Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).
+Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
+komplexere Strukturen aufbauen.
 
 \begin{definition}[Erzeugendensysteme]
 	% please fix this unreadable mess
-	Jede Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
-	Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
+	Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert
+	werden.  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
 	Symmetriegruppe sein.  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
 	sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
 	Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls
-- 
cgit v1.2.1


From 0d46748d5accdf9f2f176dc72c287cfcef7433f8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 11:10:46 +0200
Subject: Update symmetry section

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 117 ++++++++++++++++++++--------------
 1 file changed, 70 insertions(+), 47 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 6655864..dd8883e 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -26,22 +26,19 @@ ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
 \subsection{Geometrische Symmetrien}
 
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
-die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an
-deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
-Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete
-Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
-einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
-lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
-Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
-\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
-
-% Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird 
-\subsubsection{Symetriegruppe}
-\texttt{TODO: review this paragraph, explain what is \(\mathds{1}\).}
-Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
-Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example}
-nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden.
-Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
+die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade,
+an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
+Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine
+diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine
+Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur
+unverändert lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine
+unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele
+Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Ein
+Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.  Als Beispiel, kann das
+Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um
+\(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht
+werden.  Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine
+Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine umkehrbare Operation, die ein mathematisches Objekt
@@ -51,7 +48,18 @@ Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 	wird.
 \end{definition} % ich lese diese  Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen
 
-% Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann 
+Ausserdem benötigen wir zur Bildung einer Gruppe ein neutrales Element, das wir
+mit \(\mathds{1}\) bezeichnen. Die Anwendung der neutralen Operation ist
+gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen. \(\mathds{1}\) ist auch
+äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen
+(ihre Umkehrung anzuwenden).
+Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben,
+es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben. Das liegt daran, dass
+manchmal die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet
+wird. Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige
+Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B. durch Verwendung von Potenzen \(r^n =
+r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. 
+
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
 	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
 	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
@@ -59,18 +67,28 @@ Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 	erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z}
 	\right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
+\begin{beispiel}
+	Um die Syntax zu verstehen, betrachten Sie eine durch \(a\) erzeugte Gruppe
+	\(G = \langle a \rangle\).  Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa,
+	aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales
+	Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
+\end{beispiel}
+\begin{beispiel}
+	Nun zu einem sinnvolleren Beispiel, wir können das \(n\)-Gon Beispiel
+	formalisieren.  Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn
+	von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die
+	gesamte Symmetriegruppe
+	\[
+		C_n = \langle r \rangle
+			= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+	\]
+	der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch
+	die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die
+	Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant die
+	Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) enthält nur
+	\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
+\end{beispiel}
 
-Damit können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
-Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\)
-um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
-\[
-	C_n = \langle r \rangle
-		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
-\]
-der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch die
-mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die
-Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
-Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).
 Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
 komplexere Strukturen aufbauen.
 
@@ -84,18 +102,24 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
 	in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der
 	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
 \end{definition}
-
-\texttt{TODO: should put examples for generators?} \\
-
-Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
-\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
-der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
-\[
-	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
-		= \left\{
-				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-		\right\}.
-\]
+\begin{beispiel}
+	Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet,
+	dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren. Die
+	Definitionsgleichungen sind \(r^n = \mathds{1}\), \(\sigma^2 =
+	\mathds{1}\) und \((\sigma r)^2 = \mathds{1}\).
+	Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich. Die letzte wird oft auch als
+	Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie
+	das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das
+	Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts. Wenn man das
+	zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt.
+	Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
+	\begin{align*}
+		D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\
+			&= \left\{
+					\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
+			\right\}.
+	\end{align*}
+\end{beispiel}
 
 Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
 mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
@@ -105,16 +129,16 @@ Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
 Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
 Punktsymmetrie.
 \begin{definition}[Punktgruppe]
-	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
-	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
-	Punktgruppe ist.
+	Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen
+	wird, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine Punktgruppe ist.
 \end{definition}
 
 \subsection{Algebraische Symmetrien}
 Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
-möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte
-es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?  Natürlich, ja.
-Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
+möglich ist, Gleichungen zu schreiben.  Die folgende Frage ist dann, ob wir
+bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die
+sich auf die gleiche Weise verhalten. Die Antwort lautet natürlich ja.  Um es
+formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
 	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
 	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
@@ -154,7 +178,6 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
 
-\texttt{TODO: rewrite section on translational symmetry.}
 %% TODO: title / fix continuity
 % Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
 % eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
-- 
cgit v1.2.1


From 7613cec184c17ed05460e991603529ebacf029c5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 13:19:38 +0200
Subject: Small rewrites in symmetry.txt and minor topos fixed

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 47 +++++++++++++++++------------------
 1 file changed, 23 insertions(+), 24 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index dd8883e..07f2bc5 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -4,7 +4,7 @@ ursprünglichen griechischen Wort
 \(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
 \footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
 verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
-locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
+locker definierter Begriff sein, in der Mathematik hat Symmetrie jedoch eine sehr
 präzise Bedeutung.
 \begin{definition}[Symmetrie]
 	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
@@ -27,43 +27,42 @@ ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
 
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
 die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade,
-an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
+an deren es gespiegelt(Operation) werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern(invariant). %What do you think about the ()
 Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine
 diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine
-Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur
+Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur 
 unverändert lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine
 unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele
-Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Ein
-Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.  Als Beispiel, kann das
+Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. 
+Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.  Als Beispiel, kann das
 Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um
 \(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht
 werden.  Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine
 Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-	Sei \(g\) eine umkehrbare Operation, die ein mathematisches Objekt
-	unverändert lässt.  Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die
-	Komposition \(h\circ g\) als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle
-	Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt
-	wird.
-\end{definition} % ich lese diese  Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen
+	\(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt
+	unverändert lassen. Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung 
+	der Operationen nacheinander. Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, 
+	die Symmetriegruppe genannt wird.
+\end{definition} % rewritten, make shore it works for you
 
-Ausserdem benötigen wir zur Bildung einer Gruppe ein neutrales Element, das wir
+Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir
 mit \(\mathds{1}\) bezeichnen. Die Anwendung der neutralen Operation ist
 gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen. \(\mathds{1}\) ist auch
 äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen
 (ihre Umkehrung anzuwenden).
 Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben,
 es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben. Das liegt daran, dass
-manchmal die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet
+in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet
 wird. Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige
 Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B. durch Verwendung von Potenzen \(r^n =
 r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. 
 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
-	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
+	\(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
 	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
-	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die von \(g\)
+	Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird. Die von \(g\)
 	erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z}
 	\right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
@@ -74,8 +73,8 @@ r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition.
 	Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
-	Nun zu einem sinnvolleren Beispiel, wir können das \(n\)-Gon Beispiel
-	formalisieren.  Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn
+	Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon 
+	formalisieren. Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn
 	von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die
 	gesamte Symmetriegruppe
 	\[
@@ -84,8 +83,8 @@ r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition.
 	\]
 	der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch
 	die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die
-	Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant die
-	Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) enthält nur
+	Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  
+	enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur
 	\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
 \end{beispiel}
 
@@ -110,7 +109,7 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
 	Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich. Die letzte wird oft auch als
 	Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie
 	das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das
-	Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts. Wenn man das
+	Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts. Wenn man dies
 	zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt.
 	Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
 	\begin{align*}
@@ -126,21 +125,21 @@ mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
 Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der
 Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es
 Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
-Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Diesen Spezialfall, bei dem immer mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
 Punktsymmetrie.
 \begin{definition}[Punktgruppe]
 	Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen
-	wird, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine Punktgruppe ist.
+	wird, ist die Symmetriegruppe eine Punktgruppe.
 \end{definition}
 
 \subsection{Algebraische Symmetrien}
 Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
-möglich ist, Gleichungen zu schreiben.  Die folgende Frage ist dann, ob wir
+möglich ist, Gleichungen zu schreiben.  Die anschliesende Frage ist dann, ob wir
 bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die
 sich auf die gleiche Weise verhalten. Die Antwort lautet natürlich ja.  Um es
 formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
-	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
+	\(G\) und \(H\) seien  Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\)
 	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
 	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
 	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
-- 
cgit v1.2.1


From 846a04a614a53cb8a5978057364b8b88d7a38e25 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 23 Jul 2021 13:40:10 +0200
Subject: One sentence per line, small typos and fix footnotes

Sorry for the fixed 72 chars. Tip! With Vim one can use vipJ and then
:'<,'>s:\. :\.\r:g to do this *very* quickly.
---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 246 +++++++++++++---------------------
 1 file changed, 92 insertions(+), 154 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 07f2bc5..0bb4aec 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -1,196 +1,134 @@
 \section{Symmetrie}
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
-ursprünglichen griechischen Wort
-\(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
-verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
-locker definierter Begriff sein, in der Mathematik hat Symmetrie jedoch eine sehr
-präzise Bedeutung.
+ursprünglichen griechischen Wort \(\mathrm{\Sigma\upsilon\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,verhältnismässig} fast nicht verändert.
+In der Alltagssprache mag es ein locker definierter Begriff sein, in der Mathematik hat Symmetrie jedoch eine sehr präzise Bedeutung.
 \begin{definition}[Symmetrie]
-	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
-	bestimmten Operation invariant ist.
+  Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer bestimmten Operation invariant ist.
 \end{definition}
-Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
-einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
-ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  
+Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit einigen geometrischen Beispielen beginnen.
+Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
 
 \begin{figure}
-	\centering
-	\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
-	\caption{
-		Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
-		\label{fig:punktgruppen:geometry-example}
-	}
+  \centering
+  \includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
+  \caption{
+    Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
+    \label{fig:punktgruppen:geometry-example}
+  }
 \end{figure}
 
 \subsection{Geometrische Symmetrien}
 
-In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
-die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade,
-an deren es gespiegelt(Operation) werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern(invariant). %What do you think about the ()
-Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine
-diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine
-Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur 
-unverändert lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine
-unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele
-Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen. 
-Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.  Als Beispiel, kann das
-Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um
-\(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht
-werden.  Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine
-Symmetriegruppe.
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind.
+Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
+Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
+Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
+Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
+Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-	\(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt
-	unverändert lassen. Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung 
-	der Operationen nacheinander. Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, 
-	die Symmetriegruppe genannt wird.
-\end{definition} % rewritten, make shore it works for you
+  \(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
+  Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
+  Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+\end{definition}
 
-Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir
-mit \(\mathds{1}\) bezeichnen. Die Anwendung der neutralen Operation ist
-gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen. \(\mathds{1}\) ist auch
-äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen
-(ihre Umkehrung anzuwenden).
-Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben,
-es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben. Das liegt daran, dass
-in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet
-wird. Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige
-Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B. durch Verwendung von Potenzen \(r^n =
-r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition. 
+Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
+Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
+\(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Inverse anzuwenden).
+ Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
+Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
+Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B.
+durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition.
 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
-	\(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
-	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
-	Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird. Die von \(g\)
-	erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z}
-	\right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
+  \(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\).
+  Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird.
+  Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Um die Syntax zu verstehen, betrachten Sie eine durch \(a\) erzeugte Gruppe
-	\(G = \langle a \rangle\).  Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa,
-	aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales
-	Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
+  Um die Syntax zu verstehen, betrachten wir eine durch \(a\) erzeugte Gruppe \(G = \langle a \rangle\).
+  Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa, aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
-	Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon 
-	formalisieren. Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn
-	von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die
-	gesamte Symmetriegruppe
-	\[
-		C_n = \langle r \rangle
-			= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
-	\]
-	der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen. Das liegt daran, dass wir durch
-	die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die
-	Rotationssymmetrie bewahrt. In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  
-	enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur
-	\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
+  Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
+  Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.
+  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
+  \[
+    C_n = \langle r \rangle
+      = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+  \]
+  der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen.
+  Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die Rotationssymmetrie bewahrt.
+  In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
 \end{beispiel}
 
 Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
 komplexere Strukturen aufbauen.
 
 \begin{definition}[Erzeugendensysteme]
-	% please fix this unreadable mess
-	Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert
-	werden.  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
-	Symmetriegruppe sein.  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
-	sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
-	Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls
-	in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der
-	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
+  Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
+  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
+  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
+  Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
+  Die erzeugende Elementen zusammen mit der Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet,
-	dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren. Die
-	Definitionsgleichungen sind \(r^n = \mathds{1}\), \(\sigma^2 =
-	\mathds{1}\) und \((\sigma r)^2 = \mathds{1}\).
-	Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich. Die letzte wird oft auch als
-	Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie
-	das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das
-	Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts. Wenn man dies
-	zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt.
-	Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
-	\begin{align*}
-		D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\
-			&= \left\{
-					\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-			\right\}.
-	\end{align*}
+  Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet, dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren.
+  Die Definitionsgleichungen sind \(r^n = \mathds{1}\), \(\sigma^2 = \mathds{1}\) und \((\sigma r)^2 = \mathds{1}\).
+  Die ersten beiden sind ziemlich offensichtlich.
+  Die letzte wird oft auch als Inversion bezeichnet, weil die Anwendung von \(\sigma r\) dasselbe ist wie das Ziehen einer Linie von einem Punkt, die durch den Ursprung geht, und das Verschieben des Punktes auf die andere Seite des Nullpunkts.
+  Wenn man dies zweimal macht, geht man zurück zum Anfangspunkt.
+  Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
+  \begin{align*}
+    D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\
+      &= \left\{
+          \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
+      \right\}.
+  \end{align*}
 \end{beispiel}
 
-Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
-mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
-Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der
-Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es
-Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
-Diesen Spezialfall, bei dem immer mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
-Punktsymmetrie.
+Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird.
+Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der Spiegelachse.
+Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
+ Diesen Spezialfall, bei dem immer mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man Punktsymmetrie.
 \begin{definition}[Punktgruppe]
-	Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen
-	wird, ist die Symmetriegruppe eine Punktgruppe.
+  Wenn es einen Punkt gibt, der von jeder Gruppenoperation unverändert gelassen wird, ist die Symmetriegruppe eine Punktgruppe.
 \end{definition}
 
 \subsection{Algebraische Symmetrien}
-Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
-möglich ist, Gleichungen zu schreiben.  Die anschliesende Frage ist dann, ob wir
-bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die
-sich auf die gleiche Weise verhalten. Die Antwort lautet natürlich ja.  Um es
-formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
+Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich möglich ist, Gleichungen zu schreiben.
+Die anschliesende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die sich auf die gleiche Weise verhalten.
+Die Antwort lautet natürlich ja.
+Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
-	\(G\) und \(H\) seien  Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\)
-	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
-	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
-	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
-	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
-	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
+  \(G\) und \(H\) seien  Gruppen mit unterschiedlichen Operationen \(\diamond\) bzw.
+  \(\star\).
+  Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).
+  Man sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
-	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
-	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
-	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+  Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem komplexen Einheitskreis.
+  Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe]
-	Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe
-	auf eine Menge von Matrizen abbildet.
-	\[
-		\Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
-	\]
-	Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen
-	Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
+  Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+  \[
+    \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
+  \]
+  Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
-	Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix 
-	\[
-		\Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
-			\cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
-			\sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
-		\end{pmatrix}
-	\]
-	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
-	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
-	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
-	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+  Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar.
+  Die mit der Matrix 
+  \[
+    \Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
+      \cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
+      \sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
+    \end{pmatrix}
+  \]
+  definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von \(C_n\).
+  In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und die zweite die Matrixmultiplikation.
+  Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
-
-%% TODO: title / fix continuity
-% Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
-% eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
-% nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-% Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
-% hat, wenn es die Gleichung 
-% \[
-% 	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
-% \]
-% für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
-% Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
-% zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
-% dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
-
-% \subsection{Sch\"onflies notation} 
-
-% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
-- 
cgit v1.2.1


From 22d2b924b156f953409cd9f524501c7d71f7eb9b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Tue, 27 Jul 2021 08:50:58 +0200
Subject: Some corrections from feedback

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 18 ++++++++++--------
 1 file changed, 10 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 0bb4aec..a5b2fe2 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -22,27 +22,29 @@ Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich vi
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind.
 Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
 Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt.
-Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, der die Form unverändert lassen.
 Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
-Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
+Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
 Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-  \(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
+  %% TODO
+  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
   Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
-  Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+  Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
 Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
 \(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Inverse anzuwenden).
- Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
+%% TODO
+ Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, sie wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
 Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
 Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B.
 durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition.
 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
-  \(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\).
+  Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\).
   Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird.
   Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
@@ -51,7 +53,7 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
   Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa, aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
-  Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
+  Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
   Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.
   Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
   \[
@@ -98,7 +100,7 @@ Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es Symmetrien gibt,
 
 \subsection{Algebraische Symmetrien}
 Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich möglich ist, Gleichungen zu schreiben.
-Die anschliesende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die sich auf die gleiche Weise verhalten.
+Die anschliessende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die sich auf die gleiche Weise verhalten.
 Die Antwort lautet natürlich ja.
 Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
-- 
cgit v1.2.1


From a69eeb70b01b71089c31fb23654d38898ae26f44 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 18:06:44 +0200
Subject: Fix symmetry paragraph and schonflies symbols

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 7 +++----
 1 file changed, 3 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index a5b2fe2..0805d8b 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -28,16 +28,15 @@ Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-examp
 Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-  %% TODO
-  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
+  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen, sogenannte Symmetrieoperationen.
   Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
   Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
 Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
-\(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Inverse anzuwenden).
-%% TODO
+Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die intuitiv rückgängig macht, was \(g\) getan hat.
+Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden.
  Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, sie wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
 Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
 Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B.
-- 
cgit v1.2.1


From f2fde7d2b5abf7c11cd7dc1535b0db64a2e84ffd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Thu, 29 Jul 2021 09:42:42 +0200
Subject: rewrite small things in intro & symmetry

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 13 +++++++------
 1 file changed, 7 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 0805d8b..6aeeb85 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -22,20 +22,20 @@ Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich vi
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind.
 Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
 Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt.
-Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, der die Form unverändert lassen.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
 Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
 Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
 Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen, sogenannte Symmetrieoperationen.
+  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, sogenannte Symmetrieoperationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
   Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
   Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
 Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
-Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die intuitiv rückgängig macht, was \(g\) getan hat.
+Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die intuitiv rückgängig macht, was \(g\) getan hat. % intuitiv weglassen oder anstelle sinnbildlich 
 Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden.
  Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, sie wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
 Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
@@ -64,15 +64,16 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
   In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
 \end{beispiel}
 
-Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
+Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystem
 komplexere Strukturen aufbauen.
 
+%TODO kontroliere alle erzeugendensystem ich glaube es hatt noch en fall fehler ich weiss nicht wie das wort genau definiert ist
 \begin{definition}[Erzeugendensysteme]
   Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
   Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
-  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
+  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannten Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
   Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
-  Die erzeugende Elementen zusammen mit der Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
+  Die erzeugenden Elementen bauen zusammen mit den Definitionsgleichungen ein Erzeugendensysteme.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
   Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet, dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren.
-- 
cgit v1.2.1


From caea2650f150ddafa73b86885bcc9d759dded9a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Thu, 29 Jul 2021 10:51:51 +0200
Subject: fix? Erzeugendensystem

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 6 +++---
 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 6aeeb85..2067663 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -67,13 +67,13 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
 Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystem
 komplexere Strukturen aufbauen.
 
-%TODO kontroliere alle erzeugendensystem ich glaube es hatt noch en fall fehler ich weiss nicht wie das wort genau definiert ist
-\begin{definition}[Erzeugendensysteme]
+%@Naoki Are you ok with my grammar fixes I'm not 101% shore how to use the word Erzeugendensystem? 
+\begin{definition}[Erzeugendensystem]
   Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
   Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
   Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannten Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
   Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
-  Die erzeugenden Elementen bauen zusammen mit den Definitionsgleichungen ein Erzeugendensysteme.
+  Die erzeugenden Elementen bauen zusammen mit den Definitionsgleichungen ein Erzeugendensystem.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
   Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet, dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren.
-- 
cgit v1.2.1


From 98ac2080365000294d00804faab6e623e7f67570 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Tue, 3 Aug 2021 18:59:30 +0200
Subject: Fix typos and integrate suggestions, but minor TODOs left

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 2067663..51620a4 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -35,7 +35,7 @@ Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
 Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
-Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die intuitiv rückgängig macht, was \(g\) getan hat. % intuitiv weglassen oder anstelle sinnbildlich 
+Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die rückgängig macht, was \(g\) getan hat.
 Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden.
  Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, sie wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
 Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
@@ -52,7 +52,7 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
   Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa, aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
-  Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
+  Als anschaulicheres Beispiel können wir eine zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
   Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.
   Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
   \[
@@ -69,7 +69,7 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
 
 %@Naoki Are you ok with my grammar fixes I'm not 101% shore how to use the word Erzeugendensystem? 
 \begin{definition}[Erzeugendensystem]
-  Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
+  Jede diskrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
   Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
   Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannten Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
   Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
@@ -87,7 +87,7 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
       &= \left\{
           \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
       \right\}.
-  \end{align*}
+  \end{align*} \qedhere
 \end{beispiel}
 
 Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird.
@@ -110,7 +110,7 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
   Man sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-  Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem komplexen Einheitskreis.
+  Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht genau dem komplexen Einheitskreis.
   Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
 \end{beispiel}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 8f906697fbe2f35756537e95e034ae8f88f8f026 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 6 Aug 2021 13:38:46 +0200
Subject: Corrections from feedback

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 27 ++++++++++++++-------------
 1 file changed, 14 insertions(+), 13 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 51620a4..4a8d911 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -20,11 +20,11 @@ Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich vi
 \subsection{Geometrische Symmetrien}
 
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind.
-Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
+Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an der es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
 Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt.
-Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
+Das letzte Beispiel auf der rechts ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
 Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
-Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
+Zum Beispiel kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
 Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
@@ -45,7 +45,7 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
   Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\).
   Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird.
-  Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
+  Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \{ g^k : k \in \mathbb{Z} \}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
   Um die Syntax zu verstehen, betrachten wir eine durch \(a\) erzeugte Gruppe \(G = \langle a \rangle\).
@@ -57,11 +57,11 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
   Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
   \[
     C_n = \langle r \rangle
-      = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+      = \{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\}
   \]
   der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen.
   Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die Rotationssymmetrie bewahrt.
-  In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
+  In ähnlicher Weise, aber weniger interessant, enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
 \end{beispiel}
 
 Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystem
@@ -70,7 +70,7 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
 %@Naoki Are you ok with my grammar fixes I'm not 101% shore how to use the word Erzeugendensystem? 
 \begin{definition}[Erzeugendensystem]
   Jede diskrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
-  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
+  Wir lassen \(g_1, g_2, g_3, \ldots\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
   Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannten Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
   Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
   Die erzeugenden Elementen bauen zusammen mit den Definitionsgleichungen ein Erzeugendensystem.
@@ -84,10 +84,10 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
   Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
   \begin{align*}
     D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\
-      &= \left\{
+      &= \{
           \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-      \right\}.
-  \end{align*} \qedhere
+      \}. \qedhere
+  \end{align*}
 \end{beispiel}
 
 Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird.
@@ -115,11 +115,12 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe]
-  Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+  Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus
   \[
-    \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
+    \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}),
   \]
-  Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
+  der eine Symmetriegruppe auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+  Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen Vektorraum \(V\) wirkt, indem man \(\Phi : G \times V \to V\) definiert.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
   Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar.
-- 
cgit v1.2.1

