From 2d2e4369b5d58bc9cd4dcb83ac43e3cda6341f3b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Sat, 22 May 2021 18:01:15 +0200
Subject: More on symmetry

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 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 54 +++++++++++++++++++++++++++++++----
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@@ -86,18 +86,60 @@ nun eingeführt wird.
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
 	Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\)
-	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen \(g_i\)
-	bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
+	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
 \(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
 \[
-	C_n = \left\{\mathbf{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+	C_n = \langle r \rangle
+		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+		= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},
 \]
-die Zyklische Gruppe heisst.
-
-\begin{definition}[Gruppenwirkung]
+die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
+Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
+Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
+Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
+Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet
+werden\cite{punktgruppen:pinter-algebra}.  Die Reflexionssymmetriegruppe ist
+nicht so interessant, da sie nur
+\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
+der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
+\[
+	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
+	.
+\]
+Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
+möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende
+Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
+Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
+\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
+	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
+	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass
+	für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man
+	sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass
+	\(H\) eine Darstellung von \(G\) ist\cite{punktgruppen:pinter-algebra}.
 \end{definition}
+\begin{beispiel}
+	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
+	Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix 
+	\[
+		\Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
+			\cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
+			\sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
+		\end{pmatrix}
+	\]
+	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
+	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
+	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass
+	\(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+\end{beispiel}
+\begin{beispiel}
+	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
+	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
+	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
+	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+\end{beispiel}
 
 % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
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cgit v1.2.1

