From 6981f2935af17ca2dfce29f0d2d169d9f527b487 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Sat, 22 May 2021 13:58:27 +0200
Subject: Write a bit about symmetry

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 103 ++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 103 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
new file mode 100644
index 0000000..9a1a945
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -0,0 +1,103 @@
+\section{Symmetrie}
+Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
+ursprünglichen griechischen Wort
+\(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
+\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ``ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+verhältnismässig''} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
+locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
+präzise Bedeutung.
+\begin{definition}[Symmetrie]
+	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
+	bestimmten Operation invariant ist.
+\end{definition}
+
+Wenn der Leser noch nicht mit der Gruppentheorie in Berührung gekommen ist, ist
+vielleicht nicht ganz klar, was eine Operation ist, aber die Definition sollte
+trotzdem Sinn machen. Die Formalisierung dieser Idee wird bald kommen, aber
+zunächst wollen wir etwas Intuition aufbauen.
+
+\begin{figure}[h]
+	\centering
+	\begin{tikzpicture}[
+			node distance = 2cm,
+			shapetheme/.style = {
+				very thick, draw = black, fill = magenta!20!white,
+				minimum size = 2cm,
+			},
+			line/.style = {thick, draw = darkgray},
+			axis/.style = {line, dashed},
+			dot/.style = {
+				circle, draw = darkgray, fill = darkgray,
+				minimum size = 1mm, inner sep = 0, outer sep = 0,
+			},
+		]
+
+		\node[
+			shapetheme,
+			rectangle
+		] (R) {};
+		\node[dot] at (R) {};
+		\draw[axis] (R) ++(-1.5, 0) to ++(3, 0) node[right] {\(\sigma\)};
+
+		\node[
+			shapetheme,
+			regular polygon,
+			regular polygon sides = 5,
+			right = of R,
+		] (Ps) {};
+		\node[dot] (P) at (Ps) {};
+		\draw[line, dotted] (P) to ++(18:1.5);
+		\draw[line, dotted] (P) to ++(90:1.5);
+		\draw[line, ->] (P) ++(18:1.2) 
+			arc (18:90:1.2) node[midway, above right] {\(r, 72^\circ\)};
+
+		\node[
+			shapetheme,
+			circle, right = of P
+		] (Cs) {};
+		\node[dot] (C) at (Cs) {};
+		\draw[line, dotted] (C) to ++(1.5,0);
+		\draw[line, dotted] (C) to ++(60:1.5);
+		\draw[line, ->] (C) ++(1.2,0)
+			arc (0:60:1.2) node[midway, above right] {\(r, \alpha\)};
+
+	\end{tikzpicture}
+	\caption{
+		Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
+		\label{fig:punktgruppen:geometry-example}
+	}
+\end{figure}
+
+Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
+einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
+ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  In Abbildung
+\ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die
+offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat ein Quadrat viele Achsen, um
+die es gedreht werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
+Polygone mit \(n\) Seiten sind gute Beispiele, um eine diskrete
+Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
+einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) sie unverändert lässt.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
+Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
+\(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Dies ist
+hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
+nun eingeführt wird.
+
+\begin{definition}[Symmetriegruppe]
+	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
+	Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\)
+	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen \(g_i\)
+	bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+\end{definition}
+
+Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
+\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
+\[
+	C_n = \left\{\mathbf{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+\]
+die Zyklische Gruppe heisst.
+
+\begin{definition}[Gruppenwirkung]
+\end{definition}
+
+% vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
-- 
cgit v1.2.1


From 2d2e4369b5d58bc9cd4dcb83ac43e3cda6341f3b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Sat, 22 May 2021 18:01:15 +0200
Subject: More on symmetry

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 54 +++++++++++++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 48 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 9a1a945..58950da 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -86,18 +86,60 @@ nun eingeführt wird.
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
 	Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\)
-	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen \(g_i\)
-	bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
+	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
 \(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
 \[
-	C_n = \left\{\mathbf{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+	C_n = \langle r \rangle
+		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+		= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},
 \]
-die Zyklische Gruppe heisst.
-
-\begin{definition}[Gruppenwirkung]
+die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
+Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
+Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
+Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
+Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet
+werden\cite{punktgruppen:pinter-algebra}.  Die Reflexionssymmetriegruppe ist
+nicht so interessant, da sie nur
+\(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
+der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
+\[
+	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
+	.
+\]
+Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
+möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende
+Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
+Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
+\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
+	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
+	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass
+	für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man
+	sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass
+	\(H\) eine Darstellung von \(G\) ist\cite{punktgruppen:pinter-algebra}.
 \end{definition}
+\begin{beispiel}
+	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
+	Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar. Die mit der Matrix 
+	\[
+		\Phi(r^k) = \begin{pmatrix}
+			\cos(2\pi k/n) & -\sin(2\pi k/n) \\
+			\sin(2\pi k/n) &  \cos(2\pi k/n)
+		\end{pmatrix}
+	\]
+	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
+	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
+	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass
+	\(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+\end{beispiel}
+\begin{beispiel}
+	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
+	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
+	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
+	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+\end{beispiel}
 
 % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
-- 
cgit v1.2.1


From b76677a7d3d40d15c4d9d5bcfa9283c702c4cb02 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Sat, 22 May 2021 18:22:14 +0200
Subject: Create file for crystals

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 15 ++++++++++-----
 1 file changed, 10 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 58950da..c0418aa 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -101,15 +101,20 @@ die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
 Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
 Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
 Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
-Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet
-werden\cite{punktgruppen:pinter-algebra}.  Die Reflexionssymmetriegruppe ist
-nicht so interessant, da sie nur
+Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden.  Die
+Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
 \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
 der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 \[
 	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
-	.
+		= \left\{
+				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
+			\right\}.
 \]
+Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
+Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
+letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren.
+
 Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
 möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende
 Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
@@ -119,7 +124,7 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass
 	für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man
 	sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass
-	\(H\) eine Darstellung von \(G\) ist\cite{punktgruppen:pinter-algebra}.
+	\(H\) eine Darstellung von \(G\) ist.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
 	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
-- 
cgit v1.2.1


From b4093cfc873e052d31f644019f0b1134f1db7fbc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Sun, 23 May 2021 16:24:34 +0200
Subject: On point groups and translational symmetry

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 30 +++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 29 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index c0418aa..d3ccb4e 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -85,7 +85,7 @@ nun eingeführt wird.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
-	Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\)
+	Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
 	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
 	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
@@ -147,4 +147,32 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
 \end{beispiel}
 
+Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens
+einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei
+der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
+Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
+verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
+unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
+\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation
+gehören.  Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt,
+nennt man Punktsymmetrie.
+\begin{definition}[Punktgruppe]
+	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
+	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
+	Punktgruppe ist.
+\end{definition}
+Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
+eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
+nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
+Objekt \(x\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q\) hat, wenn es
+die Gleichung 
+\[
+	Q(x) = Q(x + a),
+\]
+für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
+Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
+zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
+dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
+
+
 % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
-- 
cgit v1.2.1


From 40db89ca6efb1a6b962fe237c5641c939b18dde6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Tue, 25 May 2021 00:47:51 +0200
Subject: Add book reference, fix typos

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 34 +++++++++++++++++++---------------
 1 file changed, 19 insertions(+), 15 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index d3ccb4e..23b1411 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -2,8 +2,8 @@
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
 \(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ``ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
-verhältnismässig''} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
+\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
 präzise Bedeutung.
 \begin{definition}[Symmetrie]
@@ -109,7 +109,7 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
 		= \left\{
 				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-			\right\}.
+		\right\}.
 \]
 Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
 Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
@@ -121,10 +121,12 @@ Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
 Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
 	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
-	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass
-	für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man
-	sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass
-	\(H\) eine Darstellung von \(G\) ist.
+	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
+	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
+	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
+	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
+	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von
+	\(G\) ist.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
 	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
@@ -137,8 +139,8 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 	\]
 	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
 	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
-	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass
-	\(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
+	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
 	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
@@ -153,9 +155,10 @@ der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
 Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
 verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
 unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
-\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation
-gehören.  Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt,
-nennt man Punktsymmetrie.
+\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v}
+= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören.
+Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Punktsymmetrie.
 \begin{definition}[Punktgruppe]
 	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
 	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
@@ -164,15 +167,16 @@ nennt man Punktsymmetrie.
 Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
 eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
 nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-Objekt \(x\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q\) hat, wenn es
-die Gleichung 
+Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
+hat, wenn es die Gleichung 
 \[
-	Q(x) = Q(x + a),
+	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
 \]
 für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
 Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
 zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
 dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
 
+% \subsection{Sch\"onflies notation} 
 
 % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
-- 
cgit v1.2.1


From 1ffa89d50139ed5061e06ddd3371c5af0d003bd3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Wed, 26 May 2021 15:36:33 +0200
Subject: begin to write kristalls and intro

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index c0418aa..4b179b0 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -14,7 +14,7 @@ präzise Bedeutung.
 Wenn der Leser noch nicht mit der Gruppentheorie in Berührung gekommen ist, ist
 vielleicht nicht ganz klar, was eine Operation ist, aber die Definition sollte
 trotzdem Sinn machen. Die Formalisierung dieser Idee wird bald kommen, aber
-zunächst wollen wir etwas Intuition aufbauen.
+zunächst wollen wir eine Intuition aufbauen.
 
 \begin{figure}[h]
 	\centering
-- 
cgit v1.2.1

