From 22d2b924b156f953409cd9f524501c7d71f7eb9b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Tue, 27 Jul 2021 08:50:58 +0200
Subject: Some corrections from feedback

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 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 18 ++++++++++--------
 1 file changed, 10 insertions(+), 8 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 0bb4aec..a5b2fe2 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -22,27 +22,29 @@ Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich vi
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind.
 Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
 Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt.
-Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, der die Form unverändert lassen.
 Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
-Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
+Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
 Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-  \(g\) und \(h\) sein umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
+  %% TODO
+  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
   Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
-  Alle möglichen Operationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
+  Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
 Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
 \(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Inverse anzuwenden).
- Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, es wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
+%% TODO
+ Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, sie wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
 Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
 Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B.
 durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine wiederholte Komposition.
 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
-  \(g\) sei ein Element einer Symmetriegruppe \(G\).
+  Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\).
   Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird.
   Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
@@ -51,7 +53,7 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
   Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa, aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
-  Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine Zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
+  Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
   Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.
   Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
   \[
@@ -98,7 +100,7 @@ Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es Symmetrien gibt,
 
 \subsection{Algebraische Symmetrien}
 Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich möglich ist, Gleichungen zu schreiben.
-Die anschliesende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die sich auf die gleiche Weise verhalten.
+Die anschliessende Frage ist dann, ob wir bereits mathematische Objekte haben, mit denen wir Gleichungen schreiben, die sich auf die gleiche Weise verhalten.
 Die Antwort lautet natürlich ja.
 Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
-- 
cgit v1.2.1


From a69eeb70b01b71089c31fb23654d38898ae26f44 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 18:06:44 +0200
Subject: Fix symmetry paragraph and schonflies symbols

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 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 7 +++----
 1 file changed, 3 insertions(+), 4 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index a5b2fe2..0805d8b 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -28,16 +28,15 @@ Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-examp
 Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-  %% TODO
-  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
+  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen, sogenannte Symmetrieoperationen.
   Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
   Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
 Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
-\(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Inverse anzuwenden).
-%% TODO
+Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die intuitiv rückgängig macht, was \(g\) getan hat.
+Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden.
  Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, sie wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
 Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
 Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B.
-- 
cgit v1.2.1


From f2fde7d2b5abf7c11cd7dc1535b0db64a2e84ffd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Thu, 29 Jul 2021 09:42:42 +0200
Subject: rewrite small things in intro & symmetry

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 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 13 +++++++------
 1 file changed, 7 insertions(+), 6 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 0805d8b..6aeeb85 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -22,20 +22,20 @@ Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich vi
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind.
 Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
 Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt.
-Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, der die Form unverändert lassen.
+Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
 Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
 Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
 Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen, sogenannte Symmetrieoperationen.
+  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, sogenannte Symmetrieoperationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
   Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
   Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
 Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
-Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die intuitiv rückgängig macht, was \(g\) getan hat.
+Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die intuitiv rückgängig macht, was \(g\) getan hat. % intuitiv weglassen oder anstelle sinnbildlich 
 Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden.
  Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, sie wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
 Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
@@ -64,15 +64,16 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
   In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
 \end{beispiel}
 
-Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystemen
+Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystem
 komplexere Strukturen aufbauen.
 
+%TODO kontroliere alle erzeugendensystem ich glaube es hatt noch en fall fehler ich weiss nicht wie das wort genau definiert ist
 \begin{definition}[Erzeugendensysteme]
   Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
   Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
-  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
+  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannten Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
   Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
-  Die erzeugende Elementen zusammen mit der Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
+  Die erzeugenden Elementen bauen zusammen mit den Definitionsgleichungen ein Erzeugendensysteme.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
   Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet, dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren.
-- 
cgit v1.2.1


From caea2650f150ddafa73b86885bcc9d759dded9a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Thu, 29 Jul 2021 10:51:51 +0200
Subject: fix? Erzeugendensystem

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 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 6 +++---
 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 6aeeb85..2067663 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -67,13 +67,13 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
 Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystem
 komplexere Strukturen aufbauen.
 
-%TODO kontroliere alle erzeugendensystem ich glaube es hatt noch en fall fehler ich weiss nicht wie das wort genau definiert ist
-\begin{definition}[Erzeugendensysteme]
+%@Naoki Are you ok with my grammar fixes I'm not 101% shore how to use the word Erzeugendensystem? 
+\begin{definition}[Erzeugendensystem]
   Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
   Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
   Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannten Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
   Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
-  Die erzeugenden Elementen bauen zusammen mit den Definitionsgleichungen ein Erzeugendensysteme.
+  Die erzeugenden Elementen bauen zusammen mit den Definitionsgleichungen ein Erzeugendensystem.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
   Wir werden nun alle Symmetrien eines \(n\)-Gons beschreiben, was bedeutet, dass wir die Operationen \(r\) und \(\sigma\) kombinieren.
-- 
cgit v1.2.1


From 98ac2080365000294d00804faab6e623e7f67570 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Tue, 3 Aug 2021 18:59:30 +0200
Subject: Fix typos and integrate suggestions, but minor TODOs left

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 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 10 +++++-----
 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 2067663..51620a4 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -35,7 +35,7 @@ Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
 Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
-Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die intuitiv rückgängig macht, was \(g\) getan hat. % intuitiv weglassen oder anstelle sinnbildlich 
+Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die rückgängig macht, was \(g\) getan hat.
 Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden.
  Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, sie wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
 Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
@@ -52,7 +52,7 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
   Das bedeutet, dass \(G\) die Elemente \(a, aa, aaa, \ldots\) sowie \(a^{-1}, a^{-1}a^{-1}, \ldots\) und ein neutrales Element \(\mathds{1} = aa^{-1}\) enthält.
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
-  Als anschaulicheres Beispiel, können wir eine zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
+  Als anschaulicheres Beispiel können wir eine zyklische Untergruppe des \(n\)-Gon formalisieren.
   Wir bezeichnen mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\) um einen Punkt.
   Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
   \[
@@ -69,7 +69,7 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
 
 %@Naoki Are you ok with my grammar fixes I'm not 101% shore how to use the word Erzeugendensystem? 
 \begin{definition}[Erzeugendensystem]
-  Jede disktrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
+  Jede diskrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
   Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
   Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannten Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
   Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
@@ -87,7 +87,7 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
       &= \left\{
           \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
       \right\}.
-  \end{align*}
+  \end{align*} \qedhere
 \end{beispiel}
 
 Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird.
@@ -110,7 +110,7 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
   Man sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
-  Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem komplexen Einheitskreis.
+  Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht genau dem komplexen Einheitskreis.
   Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\) ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
 \end{beispiel}
 
-- 
cgit v1.2.1


From 8f906697fbe2f35756537e95e034ae8f88f8f026 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Fri, 6 Aug 2021 13:38:46 +0200
Subject: Corrections from feedback

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 27 ++++++++++++++-------------
 1 file changed, 14 insertions(+), 13 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 51620a4..4a8d911 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -20,11 +20,11 @@ Wie wir jedoch später sehen werden, ist das Konzept der Symmetrie eigentlich vi
 \subsection{Geometrische Symmetrien}
 
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die offensichtlich symmetrisch sind.
-Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
+Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an der es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.
 Regelmässige Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert lässt.
-Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
+Das letzte Beispiel auf der rechts ist eine unendliche Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für den Drehwinkel \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.
 Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
-Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
+Zum Beispiel kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} nicht nur um \(\sigma\) sondern auch diagonal gespiegelt werden oder um \(90^\circ\) gedreht werden.
 Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
@@ -45,7 +45,7 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
   Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\).
   Alle möglichen Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische Untergruppe von \(G\), wobei \(g\) Erzeuger der Untergruppe genannt wird.
-  Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \left\{ g^k : k \in \mathbb{Z} \right\}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
+  Die von \(g\) erzeugte Untergruppe \(\langle g \rangle = \{ g^k : k \in \mathbb{Z} \}\) wird mit spitzen Klammern bezeichnet.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
   Um die Syntax zu verstehen, betrachten wir eine durch \(a\) erzeugte Gruppe \(G = \langle a \rangle\).
@@ -57,11 +57,11 @@ durch Verwendung von Potenzen \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\) für eine
   Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
   \[
     C_n = \langle r \rangle
-      = \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+      = \{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\}
   \]
   der Drehungen eines \(n\)-Gons zu erzeugen.
   Das liegt daran, dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen k\"onnen, der die Rotationssymmetrie bewahrt.
-  In ähnlicher Weise, aber weniger interessant  enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
+  In ähnlicher Weise, aber weniger interessant, enthält die Reflexionssymmetriegruppe \(\langle\sigma\rangle\) nur \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\), weil \(\sigma^2 = \mathds{1}\).
 \end{beispiel}
 
 Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem Erzeugendensystem
@@ -70,7 +70,7 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
 %@Naoki Are you ok with my grammar fixes I'm not 101% shore how to use the word Erzeugendensystem? 
 \begin{definition}[Erzeugendensystem]
   Jede diskrete Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
-  Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
+  Wir lassen \(g_1, g_2, g_3, \ldots\) erzeugenden Elemente einer Symmetriegruppe sein.
   Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die sogenannten Definitionsgleichungen gegeben werden, die die Multiplikationstabelle vollständig definieren.
   Die Gleichungen sind ebenfalls in den Klammern angegeben.
   Die erzeugenden Elementen bauen zusammen mit den Definitionsgleichungen ein Erzeugendensystem.
@@ -84,10 +84,10 @@ komplexere Strukturen aufbauen.
   Daraus ergibt sich die so genannte Diedergruppe 
   \begin{align*}
     D_n &= \langle r, \sigma : r^n = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle \\
-      &= \left\{
+      &= \{
           \mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-      \right\}.
-  \end{align*} \qedhere
+      \}. \qedhere
+  \end{align*}
 \end{beispiel}
 
 Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird.
@@ -115,11 +115,12 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe]
-  Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+  Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus
   \[
-    \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
+    \Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}),
   \]
-  Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
+  der eine Symmetriegruppe auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+  Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen Vektorraum \(V\) wirkt, indem man \(\Phi : G \times V \to V\) definiert.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
   Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine Drehung von \(2\pi k/n\) um den Ursprung dar.
-- 
cgit v1.2.1

