From 5c4dfbcdd88224d7565d8ed4a4ecb1d480486e4d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Mon, 5 Jul 2021 17:27:43 +0200
Subject: Write about generators

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 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 46 +++++++++++++++++++++++------------
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@@ -2,7 +2,7 @@
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
 \(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
 verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
 präzise Bedeutung.
@@ -44,18 +44,38 @@ nun eingeführt wird.
 	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
-Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
-\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
+\begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
+	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
+	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
+	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die erzeugte
+	Untergruppe \(\langle g \rangle\) wird mit spitzen Klammern um den Erzeuger
+	bezeichnet.
+\end{definition}
+
+Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
+Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\)
+um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
 \[
 	C_n = \langle r \rangle
-		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}, \]
-die zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
-Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
-Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
-Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
-Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden. 
+		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+\]
+der Drehungen eines \(n\)-Gons zu definieren. Das liegt daran,
+dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen, der
+die Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als
+wiederholte Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots
+r\circ r\).  Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem
+Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen.
 
-% TODO: more on generators
+\begin{definition}[Erzeugendensysteme]
+	% please fix this unreadable mess
+	Jede Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
+	Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
+	Symmetriegruppe sein.  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
+	sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
+	Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls
+	in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der
+	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
+\end{definition}
 
 Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
 \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
@@ -66,12 +86,6 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
 		\right\}.
 \]
-Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
-Operationen beinhalten. 
-
-% TODO
-% Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
-% letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren.
 
 Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
 mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
-- 
cgit v1.2.1

