From a69eeb70b01b71089c31fb23654d38898ae26f44 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Wed, 28 Jul 2021 18:06:44 +0200
Subject: Fix symmetry paragraph and schonflies symbols

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 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 7 +++----
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@@ -28,16 +28,15 @@ Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-examp
 Fasst man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
-  %% TODO
-  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen.
+  Seien \(g\) und \(h\) umkehrbare Operationen, die ein mathematisches Objekt unverändert lassen, sogenannte Symmetrieoperationen.
   Die Komposition \(h\circ g\) definieren wir als die Anwendung der Operationen nacheinander.
   Alle möglichen Symmetrieoperationen bilden unter Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
 Eine Gruppe benötigt ausserdem auch zwingend ein neutrales Element, welches wir mit \(\mathds{1}\) bezeichnen.
 Die Anwendung der neutralen Operation ist gleichbedeutend damit, alles unverändert zu lassen.
-\(\mathds{1}\) ist auch äquivalent dazu, eine Operation anzuwenden und sie dann rückgängig zu machen (ihre Inverse anzuwenden).
-%% TODO
+Weiterhin muss in einer Gruppe für jede Operation \(g\) auch eine inverse Operation \(g^{-1}\) vorkommen, die intuitiv rückgängig macht, was \(g\) getan hat.
+Somit ist \(\mathds{1}\) auch äquivalent dazu, eine Operation und dann ihre Inverse anzuwenden.
  Die Definition der Symmetriegruppe ist mit der Kompositionsoperation gegeben, sie wird aber auch oft als Multiplikation geschrieben.
 Das liegt daran, dass in manchen Fällen die Zusammensetzung algebraisch durch eine Multiplikation berechnet wird.
 Die Verwendung einer multiplikativen Schreibweise ermöglicht es, einige Ausdrücke kompakter zu schreiben, z.B.
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cgit v1.2.1

