From 18b269406626959a171c4db0dd5fd5cd8cfebb0b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Wed, 26 May 2021 21:38:36 +0200
Subject: Start working on feedback

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 29 ++++++++++++++---------------
 1 file changed, 14 insertions(+), 15 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index db05ff5..330cf51 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -11,11 +11,6 @@ präzise Bedeutung.
 	bestimmten Operation invariant ist.
 \end{definition}
 
-Wenn der Leser noch nicht mit der Gruppentheorie in Berührung gekommen ist, ist
-vielleicht nicht ganz klar, was eine Operation ist, aber die Definition sollte
-trotzdem Sinn machen. Die Formalisierung dieser Idee wird bald kommen, aber
-zunächst wollen wir eine Intuition aufbauen.
-
 \begin{figure}[h]
 	\centering
 	\begin{tikzpicture}[
@@ -68,12 +63,15 @@ zunächst wollen wir eine Intuition aufbauen.
 	}
 \end{figure}
 
+\subsection{Geometrische Symmetrien}
+
 Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
 einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
-ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  In Abbildung
-\ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen, die
-offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat ein Quadrat viele Achsen, um
-die es gedreht werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
+ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  
+
+In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
+die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat Gerade, an
+deren gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
 Polygone mit \(n\) Seiten sind gute Beispiele, um eine diskrete
 Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
 einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) sie unverändert lässt.
@@ -95,14 +93,15 @@ Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
 \[
 	C_n = \langle r \rangle
 		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
-		= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},
 \]
-die Zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
-Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
-Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
+die zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
+Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).
+
+Die Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
 Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
-Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden.  Die
-Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
+Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden. 
+
+Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
 \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
 der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 \[
-- 
cgit v1.2.1


From 9644d3426ba9ce0ad9365cb020f8137d733e7854 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Thu, 27 May 2021 00:55:38 +0200
Subject: Restructure

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 94 ++++++++++++++++++++---------------
 1 file changed, 53 insertions(+), 41 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 330cf51..a3ccbed 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -10,8 +10,11 @@ präzise Bedeutung.
 	Ein mathematisches Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn es unter einer
 	bestimmten Operation invariant ist.
 \end{definition}
+Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
+einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
+ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  
 
-\begin{figure}[h]
+\begin{figure}
 	\centering
 	\begin{tikzpicture}[
 			node distance = 2cm,
@@ -65,17 +68,13 @@ präzise Bedeutung.
 
 \subsection{Geometrische Symmetrien}
 
-Die intuitivsten Beispiele kommen aus der Geometrie, daher werden wir mit
-einigen geometrischen Beispielen beginnen. Wie wir jedoch später sehen werden,
-ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.  
-
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
 die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat Gerade, an
 deren gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
-Polygone mit \(n\) Seiten sind gute Beispiele, um eine diskrete
+Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete
 Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
-einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) sie unverändert lässt.
-Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
+einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
+lässt.  Das letzte Beispiel auf der rechten Seite ist eine unendliche
 Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
 \(\alpha \in \mathbb{R}\) gibt, die die Form unverändert lassen.  Dies ist
 hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
@@ -92,15 +91,16 @@ Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
 \(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
 \[
 	C_n = \langle r \rangle
-		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\},
 \]
 die zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
-Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).
-
-Die Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
+Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
+Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
 Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
 Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden. 
 
+% TODO: more on generators
+
 Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
 \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
 der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
@@ -111,21 +111,53 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 		\right\}.
 \]
 Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
-Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
-letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren.
+Operationen beinhalten. 
 
+% TODO
+% Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
+% letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren.
+
+Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
+mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
+Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei der Spiegelung die Punkte der
+Spiegelachse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine Symmetrie, da es
+Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt verschieben können.
+Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Punktsymmetrie.
+\begin{definition}[Punktgruppe]
+	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
+	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
+	Punktgruppe ist.
+\end{definition}
+
+\subsection{Algebraische Symmetrien}
 Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
-möglich ist, eine nicht kommutative Algebra zu erstellen. Die naheliegende
-Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
-Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
-\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
+möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte
+es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?  Natürlich, ja.
+Um es formaler zu beschreiben, werden wir ein einige Begriffe einführen.
+\begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
 	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
 	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
 	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
 	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
 	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
-	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von
-	\(G\) ist.
+	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert.
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
+	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
+	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
+	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}[Darstellung einer Gruppe]
+	Die Darstellung einer Gruppe ist ein Homomorphismus, der eine Symmetriegruppe
+	auf eine Menge von Matrizen abbildet.
+	\[
+		\Phi: G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}).
+	\]
+	Äquivalent kann man sagen, dass ein Element aus der Symmetriegruppe auf einen
+	Vektorraum \(V\) wirkt, indem man definiert \(\Phi : G \times V \to V\).
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
 	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
@@ -141,28 +173,8 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
 	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
-\begin{beispiel}
-	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
-	Kontinuum von Werten \(\alpha \in \mathbb{R}\), entspricht perfekt dem
-	komplexen Einheitskreis. Der Homomorphismus \(\phi: C_\infty \to \mathbb{C}\)
-	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
-\end{beispiel}
 
-Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens
-einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei
-der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
-Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
-verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
-unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
-\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v}
-= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören.
-Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
-Punktsymmetrie.
-\begin{definition}[Punktgruppe]
-	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
-	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
-	Punktgruppe ist.
-\end{definition}
+%% TODO: title / fix continuity
 Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
 eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
 nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-- 
cgit v1.2.1


From 8809b53a6448e5d54cc38ca4a688bd71f9c06301 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Sun, 4 Jul 2021 16:21:36 +0200
Subject: Write Intro

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index a3ccbed..aa3f7fb 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -1,7 +1,7 @@
 \section{Symmetrie}
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
-\(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
+\(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
 \footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
 verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
-- 
cgit v1.2.1


From 3db817e0a6575dea79c01906afad5460ef60006a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Mon, 5 Jul 2021 13:42:45 +0200
Subject: Externalize tikzpicture in symmetry section

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 48 ++---------------------------------
 1 file changed, 2 insertions(+), 46 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index aa3f7fb..e173f8e 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -16,50 +16,7 @@ ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\begin{tikzpicture}[
-			node distance = 2cm,
-			shapetheme/.style = {
-				very thick, draw = black, fill = magenta!20!white,
-				minimum size = 2cm,
-			},
-			line/.style = {thick, draw = darkgray},
-			axis/.style = {line, dashed},
-			dot/.style = {
-				circle, draw = darkgray, fill = darkgray,
-				minimum size = 1mm, inner sep = 0, outer sep = 0,
-			},
-		]
-
-		\node[
-			shapetheme,
-			rectangle
-		] (R) {};
-		\node[dot] at (R) {};
-		\draw[axis] (R) ++(-1.5, 0) to ++(3, 0) node[right] {\(\sigma\)};
-
-		\node[
-			shapetheme,
-			regular polygon,
-			regular polygon sides = 5,
-			right = of R,
-		] (Ps) {};
-		\node[dot] (P) at (Ps) {};
-		\draw[line, dotted] (P) to ++(18:1.5);
-		\draw[line, dotted] (P) to ++(90:1.5);
-		\draw[line, ->] (P) ++(18:1.2) 
-			arc (18:90:1.2) node[midway, above right] {\(r, 72^\circ\)};
-
-		\node[
-			shapetheme,
-			circle, right = of P
-		] (Cs) {};
-		\node[dot] (C) at (Cs) {};
-		\draw[line, dotted] (C) to ++(1.5,0);
-		\draw[line, dotted] (C) to ++(60:1.5);
-		\draw[line, ->] (C) ++(1.2,0)
-			arc (0:60:1.2) node[midway, above right] {\(r, \alpha\)};
-
-	\end{tikzpicture}
+	\includegraphics{papers/punktgruppen/figures/symmetric-shapes}
 	\caption{
 		Beispiele für geometrisch symmetrische Formen.
 		\label{fig:punktgruppen:geometry-example}
@@ -91,8 +48,7 @@ Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
 \(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
 \[
 	C_n = \langle r \rangle
-		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\},
-\]
+		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}, \]
 die zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
 Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
 Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
-- 
cgit v1.2.1


From 5c4dfbcdd88224d7565d8ed4a4ecb1d480486e4d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Mon, 5 Jul 2021 17:27:43 +0200
Subject: Write about generators

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 46 +++++++++++++++++++++++------------
 1 file changed, 30 insertions(+), 16 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index e173f8e..683c8e6 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -2,7 +2,7 @@
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
 \(\mathrm{\Sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+\footnote{\emph{Symmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
 verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
 präzise Bedeutung.
@@ -44,18 +44,38 @@ nun eingeführt wird.
 	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
 
-Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren. Wenn wir
-\(r\) eine Drehung von \(2\pi/n\) sein lassen, gibt es eine wohlbekannte Symmetriegruppe
+\begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
+	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
+	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
+	Untergruppe von \(G\), und \(g\) wird ihr Erzeuger genannt. Die erzeugte
+	Untergruppe \(\langle g \rangle\) wird mit spitzen Klammern um den Erzeuger
+	bezeichnet.
+\end{definition}
+
+Mit dem oben Gesagten können wir das \(n\)-Gon Beispiel formalisieren.
+Bezeichnen wir mit \(r\) eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn von \(360^\circ/n\)
+um einen Punkt.  Diese Definition reicht aus, um die gesamte Symmetriegruppe
 \[
 	C_n = \langle r \rangle
-		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}, \]
-die zyklische Gruppe heisst. Hier die Potenzen von \(r\) sind als wiederholte
-Komposition gemeint, d.h. \(r^n = r\circ r \circ \cdots r\circ r\).  Die
-Schreibweise mit den spitzen Klammern wird als Erzeugendensystem bezeichnet.
-Das liegt daran, dass alle Elemente der Symmetriegruppe aus Kombinationen einer
-Teilmenge erzeugt werden, die als erzeugende Elemente bezeichnet werden. 
+		= \left\{\mathds{1}, r, r^2, \ldots, r^{n-1}\right\}
+\]
+der Drehungen eines \(n\)-Gons zu definieren. Das liegt daran,
+dass wir durch die mehrfache Verwendung von \(r\) jeden Winkel erzeugen, der
+die Rotationssymmetrie bewahrt. Hier die Potenzen von \(r\) sind als
+wiederholte Komposition gemeint, dass heisst \(r^n = r\circ r \circ \cdots
+r\circ r\).  Wenn wir diese Idee nun erweitern, können wir mit einem
+Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen.
 
-% TODO: more on generators
+\begin{definition}[Erzeugendensysteme]
+	% please fix this unreadable mess
+	Jede Gruppe kann durch eines oder mehrere ihrer Elemente generiert werden.
+	Wir lassen \(g_1, g_2, \ldots, g_n\) erzeugenden Elemente einer
+	Symmetriegruppe sein.  Da es mehrere Erzeuger gibt, müssen auch die
+	sogenannte Definitionsgleichungen gegeben werden, die die
+	Multiplikationstabelle vollständig definieren. Die Gleichungen sind ebenfalls
+	in den Klammern angegeben. Die erzeugende Elementen zusammen mit der
+	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
+\end{definition}
 
 Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
 \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
@@ -66,12 +86,6 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
 		\right\}.
 \]
-Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
-Operationen beinhalten. 
-
-% TODO
-% Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
-% letzte empfehlen wir, sie an einem 2D-Quadrat auszuprobieren.
 
 Die Symmetrieoperationen, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer
 mindestens einen Punkt gehabt, der wieder auf sich selbst abgebildet wird. Im
-- 
cgit v1.2.1


From 3255155e9fdeb5ae8429656dce0a790126d1347d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: tim30b <tim.toenz@ost.ch>
Date: Tue, 6 Jul 2021 11:56:52 +0200
Subject: add suggestions for continuity

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 14 +++++++++++---
 1 file changed, 11 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index 683c8e6..a2c36e8 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -26,8 +26,8 @@ ist das Konzept der Symmetrie eigentlich viel allgemeiner.
 \subsection{Geometrische Symmetrien}
 
 In Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example} haben wir einige Formen,
-die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat Gerade, an
-deren gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
+die offensichtlich symmetrisch sind.  Zum Beispiel hat das Quadrat eine Gerade, an
+deren es gespiegelt werden kann, ohne sein Aussehen zu verändern.  Regelmässige
 Polygone mit \(n\) Seiten sind auch gute Beispiele, um eine diskrete
 Rotationssymmetrie zu veranschaulichen, was bedeutet, dass eine Drehung um
 einen Punkt um einen bestimmten Winkel \(360^\circ/n\) die Figur unverändert
@@ -37,13 +37,21 @@ Rotationssymmetrie. Sie wird so genannt, weil es unendlich viele Werte für
 hoffentlich ausreichend, um die Bedeutung hinter der Notation zu verstehen, die
 nun eingeführt wird.
 
+% Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird 
+\subsubsection{Symetriegruppe}
+	Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
+	Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example}
+	nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden.
+	Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
+
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
 	Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
 	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
 	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
-\end{definition}
+\end{definition} % ich lese diese  Definition ein wenig holprig, vieleicht können wir sie zusammen anschauen
 
+% Nach meinem Geschmack könne es hier auch eine einleitung wie mein Beispiel geben dammit man den Text flüssiger lesen kann 
 \begin{definition}[Zyklische Untergruppe, Erzeuger]
 	Sei \(g\) ein Element einer Symmetriegruppe \(G\). Alle möglichen
 	Kompositionen von \(g\) und \(g^{-1}\) bilden eine sogenannte zyklische
-- 
cgit v1.2.1


From a985b2cf0c5fe62c9f8eba3ae71b2aa6ac12c776 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Mon, 12 Jul 2021 11:05:07 +0200
Subject: Fix typos and add TODOs

---
 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 38 +++++++++++++++++++----------------
 1 file changed, 21 insertions(+), 17 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex')

diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index a2c36e8..1dc6f98 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -39,10 +39,11 @@ nun eingeführt wird.
 
 % Vieleicht eine kurze Einführung in für die Definition, ich habe das gefühl, dass in der Definition die Symmetrie-Operation und die Gruppe auf einmal erklährt wird 
 \subsubsection{Symetriegruppe}
-	Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
-	Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example}
-	nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden.
-	Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
+\texttt{TODO: review this paragraph, explain what is \(\mathds{1}\).}
+Ein Objekt kann mehr als nur eine Symmetrie aufweisen.
+Als Beispiel, kann das Quadrat in Abbildung \ref{fig:punktgruppen:geometry-example}
+nicht nur um $\sigma$ sondern auch Diagonal gespiegelt werden oder um $90^\circ$ gedreht werden.
+Fässt man die möglichen Symmetrien zusammen, entsteht eine Symmetriegruppe.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
@@ -85,6 +86,8 @@ Erzeugendensystemen komplexere Strukturen aufbauen.
 	Definitionsgleichungen bauen ein Erzeugendensysteme.
 \end{definition}
 
+\texttt{TODO: should put examples for generators?} \\
+
 Die Reflexionssymmetriegruppe ist nicht so interessant, da sie nur
 \(\left\{\mathds{1}, \sigma\right\}\) enthält. Kombiniert man sie jedoch mit
 der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
@@ -112,7 +115,7 @@ Punktsymmetrie.
 Wir haben nun unseren Operationen Symbole gegeben, mit denen es tatsächlich
 möglich ist, Gleichungen zu schreiben. Die naheliegende Frage ist dann, könnte
 es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?  Natürlich, ja.
-Um es formaler zu beschreiben, werden wir ein einige Begriffe einführen.
+Um es formaler zu beschreiben, werden wir einige Begriffe einführen.
 \begin{definition}[Gruppenhomomorphismus]
 	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
 	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
@@ -152,19 +155,20 @@ Um es formaler zu beschreiben, werden wir ein einige Begriffe einführen.
 	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
 
+\texttt{TODO: rewrite section on translational symmetry.}
 %% TODO: title / fix continuity
-Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
-eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
-nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
-hat, wenn es die Gleichung 
-\[
-	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
-\]
-für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
-Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
-zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
-dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
+% Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
+% eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
+% nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
+% Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
+% hat, wenn es die Gleichung 
+% \[
+% 	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
+% \]
+% für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
+% Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
+% zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
+% dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
 
 % \subsection{Sch\"onflies notation} 
 
-- 
cgit v1.2.1

