From b4093cfc873e052d31f644019f0b1134f1db7fbc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Sun, 23 May 2021 16:24:34 +0200
Subject: On point groups and translational symmetry

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 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 30 +++++++++++++++++++++++++++++-
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index c0418aa..d3ccb4e 100644
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+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -85,7 +85,7 @@ nun eingeführt wird.
 
 \begin{definition}[Symmetriegruppe]
 	Sei \(g\) eine Operation, die ein mathematisches Objekt unverändert lässt.
-	Bei einer anderen Operation \(r\) definieren wir die Komposition \(r\circ g\)
+	Bei einer anderen Operation \(h\) definieren wir die Komposition \(h\circ g\)
 	als die Anwendung der Operationen nacheinander. Alle Operationen bilden unter
 	Komposition eine Gruppe, die Symmetriegruppe genannt wird.
 \end{definition}
@@ -147,4 +147,32 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 	ist durch die Eulersche Formel \(\phi(r) = e^{i\alpha}\) gegeben.
 \end{beispiel}
 
+Die Symmetrien, die wir bis jetzt besprochen haben, haben immer mindestens
+einen Punkt unbesetzt gelassen. Im Fall der Rotation war es der Drehpunkt, bei
+der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
+Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
+verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
+unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
+\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation
+gehören.  Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt,
+nennt man Punktsymmetrie.
+\begin{definition}[Punktgruppe]
+	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
+	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
+	Punktgruppe ist.
+\end{definition}
+Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
+eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
+nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
+Objekt \(x\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q\) hat, wenn es
+die Gleichung 
+\[
+	Q(x) = Q(x + a),
+\]
+für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
+Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
+zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
+dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
+
+
 % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
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cgit v1.2.1


From 40db89ca6efb1a6b962fe237c5641c939b18dde6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Nao Pross <np@0hm.ch>
Date: Tue, 25 May 2021 00:47:51 +0200
Subject: Add book reference, fix typos

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 buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex | 34 +++++++++++++++++++---------------
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diff --git a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
index d3ccb4e..23b1411 100644
--- a/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
+++ b/buch/papers/punktgruppen/symmetry.tex
@@ -2,8 +2,8 @@
 Das Wort Symmetrie ist sehr alt und hat sich seltsamerweise von seinem
 ursprünglichen griechischen Wort
 \(\mathrm{\sigma\nu\mu\mu\varepsilon\tau\rho\iota\alpha}\)
-\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ``ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
-verhältnismässig''} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
+\footnote{\emph{Simmetr\'ia}: ein gemeinsames Mass habend, gleichmässig,
+verhältnismässig} fast nicht verändert. In der Alltagssprache mag es ein
 locker definierter Begriff sein, aber in der Mathematik hat Symmetrie eine sehr
 präzise Bedeutung.
 \begin{definition}[Symmetrie]
@@ -109,7 +109,7 @@ der Rotation, erhält man die so genannte Diedergruppe
 	D_n = \langle r, \sigma : r^{n-1} = \sigma^2 = (\sigma r)^2 = \mathds{1} \rangle
 		= \left\{
 				\mathds{1}, r, \ldots, r^{n-1}, \sigma, \sigma r, \ldots, \sigma r^{n-1}
-			\right\}.
+		\right\}.
 \]
 Diesmal muss die Generator-Notation die Beziehungen zwischen den beiden
 Operationen beinhalten. Die ersten beiden sind leicht zu erkennen, für die
@@ -121,10 +121,12 @@ Frage ist dann, könnte es sein, dass wir bereits etwas haben, das dasselbe tut?
 Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 \begin{definition}[Darstellung einer Gruppe, Gruppenhomomorphismus]
 	Seien \(G\) und \(H\) Gruppe mit unterschiedlicher Operation \(\diamond\)
-	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus ist eine Funktion \(f: G \to H\), so dass
-	für jedes \(a, b \in G\) gilt \(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man
-	sagt, dass der Homomorphismus \(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass
-	\(H\) eine Darstellung von \(G\) ist.
+	bzw.  \(\star\). Ein Homomorphismus\footnote{ Für eine ausführlichere
+	Diskussion siehe \S\ref{buch:grundlagen:subsection:gruppen} im Buch.} ist
+	eine Funktion \(f: G \to H\), so dass für jedes \(a, b \in G\) gilt
+	\(f(a\diamond b) = f(a) \star f(b)\).  Man sagt, dass der Homomorphismus
+	\(f\) \(G\) in \(H\) transformiert, oder dass \(H\) eine Darstellung von
+	\(G\) ist.
 \end{definition}
 \begin{beispiel}
 	Die Elemente \(r^k \in C_n\), wobei \(0 < k < n\), stellen abstrakt eine
@@ -137,8 +139,8 @@ Natürlich, ja. Dafür führen wir den Begriff der Darstellung ein.
 	\]
 	definierte Funktion von \(C_n\) nach \(O(2)\) ist eine Darstellung von
 	\(C_n\). In diesem Fall ist die erste Gruppenoperation die Komposition und
-	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann zwar überprüfen, dass
-	\(\Phi(r^2 \circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
+	die zweite die Matrixmultiplikation. Man kann überprüfen, dass \(\Phi(r^2
+	\circ r) = \Phi(r^2)\Phi(r)\).
 \end{beispiel}
 \begin{beispiel}
 	Die Rotationssymmetrie des Kreises \(C_\infty\), mit einem unendlichen
@@ -153,9 +155,10 @@ der Spiegelung die Achse. Dies ist jedoch keine Voraussetzung für eine
 Symmetrie, da es Symmetrien gibt, die jeden Punkt zu einem anderen Punkt
 verschieben können. Ein aufmerksamer Leser wird bemerken, dass die
 unveränderten Punkte zum Eigenraum\footnote{Zur Erinnerung \(E_\lambda =
-\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation
-gehören.  Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt,
-nennt man Punktsymmetrie.
+\mathrm{null}(\Phi - \lambda I)\), \(\vec{v}\in E_\lambda \implies \Phi \vec{v}
+= \lambda\vec{v}\)} der Matrixdarstellung der Symmetrieoperation gehören.
+Diesen Spezialfall, bei dem mindestens ein Punkt unverändert bleibt, nennt man
+Punktsymmetrie.
 \begin{definition}[Punktgruppe]
 	Wenn jede Operation in einer Symmetriegruppe die Eigenschaft hat, mindestens
 	einen Punkt unverändert zu lassen, sagt man, dass die Symmetriegruppe eine
@@ -164,15 +167,16 @@ nennt man Punktsymmetrie.
 Um das Konzept zu illustrieren, werden wir den umgekehrten Fall diskutieren:
 eine Symmetrie, die keine Punktsymmetrie ist, die aber in der Physik sehr
 nützlich ist, nämlich die Translationssymmetrie.  Von einem mathematischen
-Objekt \(x\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q\) hat, wenn es
-die Gleichung 
+Objekt \(U\) wird gesagt, dass es eine Translationssymmetrie \(Q(x) = x + a\)
+hat, wenn es die Gleichung 
 \[
-	Q(x) = Q(x + a),
+	U(x) = U(Q(x)) = U(x + a),
 \]
 für ein gewisses \(a\), erfüllt. Zum Beispiel besagt das erste Newtonsche
 Gesetz, dass ein Objekt, auf das keine Kraft einwirkt, eine
 zeitranslationsinvariante Geschwindigkeit hat, d.h. wenn \(\vec{F} = \vec{0}\)
 dann \(\vec{v}(t) = \vec{v}(t + \tau)\).
 
+% \subsection{Sch\"onflies notation} 
 
 % vim:ts=2 sw=2 spell spelllang=de:
-- 
cgit v1.2.1

