From 308c797ad63e094b1553d6417d477b4b7e792358 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 21 Apr 2021 22:53:22 +0200
Subject: Update RS.tex

---
 buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex | 708 ++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 707 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex
index 3d2be8f..400e654 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex	
+++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/RS.tex	
@@ -17,9 +17,715 @@
 	\begin{frame}[plain]
 		\maketitle
 	\end{frame}
-	
+%-------------------------------------------------------------------------------	
 	\begin{frame}
 		\frametitle{Test}
 		Ich mag Züge.
 	\end{frame}
+
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Reed-Solomon in Endlichen Körpern}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Warum Endliche Körper?
+			
+			\qquad bessere Laufzeit
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Nachricht = Nutzdaten + Fehlerkorrekturteil
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item den Fehlerkorrekturteil brauchen wir im Optimalfall nicht
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Im Fehlerfall sollen wir aus der Nachricht ein Lokatorpolynom berechnen können, welches die Fehlerhaften Stellen beinhaltet
+			
+%			Wir sollten im Fehlerfall in der Lage sein, aus der Nachricht ein Lokatorpolynom zu berechnen, welches die Fehlerhaften Stellen beinhaltet
+						
+		\end{itemize}
+		
+%		TODO
+		
+%		erklärung und einführung der endlichen körper, was wollen wir erreichen?
+		
+%		wir versenden im endefekt mehr daten als unsere nachricht umfasst, damit die korrektur sichergestellt werden kann
+		
+%		sollten wir fehler bekommen, was uns die korrekturstellen mitgeteilt wird, dann ist es unsere aufgabe ein lokatorpolynom zu finden, welches uns verrät, auf welchen zeilen der Fehler aufgetreten ist
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Definition eines Beispiels}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\item Endlicher Körper $q = 11$
+			
+			\only<1->{ist eine Primzahl}
+
+			\only<1->{beinhaltet die Zahlen $\mathbb{Z}_{11} = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$}
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\only<1->{\item Nachrichtenblock $n = q-1$}
+			
+			wird an den Empfänger gesendet
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\only<1->{\item max. Fehler $z = 2$}
+			
+			maximale Anzahl von Fehler, die wir noch korrigieren können
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\only<1->{\item Nutzlast $k = n -2t = 6$ Zahlen}
+			
+			Fehlerstellen $2t = 4$ Zahlen
+			
+			\only<1->{Nachricht $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$}
+			
+			\only<1->{als Polynom $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$}
+			
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Codierung}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Ansatz aus den Komplexen Zahlen mit der Fouriertransformation
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $\mathrm{e}$ existiert nicht in $\mathbb{Z}_{11}$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item wir suchen $a$ so, dass $a^i$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{Z}_{11}$ abdeckt
+			
+			$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = [a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9]$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item wir wählen $a = 8$
+			
+			$\mathbb{Z}_{11}\setminus\{0\} = [1,8,9,6,4,10,3,2,5,7]$
+			
+			8 ist eine Primitive Einheitswurzel
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $m(8^0) = 4\cdot1 + 7\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 + 8\cdot1 + 1 = 5$
+			
+			$\Rightarrow$ \qquad können wir auch als Matrix schreiben
+			
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Codierung}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Übertragungsvektor $V$
+			
+			\item $V = A \cdot m$
+			
+		\end{itemize}
+		
+		\[
+		V = \begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+			8^0&	8^3&	8^6&	8^9& 8^{12}& 8^{15}& 8^{18}& 8^{21}& 8^{24}& 8^{27}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+			8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+			8^0&	8^8& 8^{16}& 8^{24}& 8^{32}& 8^{40}& 8^{48}& 8^{56}& 8^{64}& 8^{72}\\
+			8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			1 \\ 8 \\ 5 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $V = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+		\end{itemize}
+			
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Decodierung ohne Fehler}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Der Empfänger erhält den unveränderten Vektor $V = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Wir suchen die Inverse der Matrix A
+			
+		\end{itemize}
+		
+		\begin{columns}[t]
+		\begin{column}{0.50\textwidth}		
+		
+		Inverse der Fouriertransformation
+		\vspace{10pt}
+		\[
+		F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt
+		\]
+		\vspace{10pt}
+		\[
+		f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega
+		\]
+		
+		\end{column}
+		\begin{column}{0.50\textwidth}		
+		
+		Inverse von a
+		\vspace{10pt}
+		\[
+		8^{1} \Rightarrow 8^{-1}
+		\]
+		
+		Inverse finden wir über den Eulkidischen Algorithmus
+		\vspace{10pt}
+		\end{column}
+		\end{columns}		
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Der Euklidische Algorithmus}
+	
+	\begin{columns}[t]
+	\begin{column}{0.50\textwidth}	
+	
+	Recap aus der Vorlesung:
+	
+	Gegeben $a \in \mathbb{F}_p$, finde $b = a^{-1} \in \mathbb{F}_p$
+	
+	\begin{tabular}{rcl}
+		$a  b$ &$\equiv$& $1 \mod p$\\
+		$a  b$ &$=$& $1 + n  p$\\
+		$a  b - n  p$ &$=$& $1$\\
+		&&\\
+		$\operatorname{ggT}(a,p)$&$=$& $1$\\
+		$sa + tp$&$=$& $1$\\
+		$b$&$=$&$s$\\
+		$n$&$=$&$-t$
+	\end{tabular}
+	
+	\end{column}
+	\begin{column}{0.50\textwidth}	
+	
+	\begin{center}
+	
+	\begin{tabular}{| c | c c | c | c c |}
+		\hline
+		$k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
+		\hline 
+		& & & & $1$& $0$\\
+		$0$& $8$& $11$& $0$& $0$& $1$\\
+		$1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
+		$2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
+		$3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
+		$4$& $2$& $1$& $2$& $-4$& $3$\\
+		$5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
+		\hline
+	\end{tabular}	
+	
+	\vspace{10pt}
+	
+	\begin{tabular}{rcl}
+		$-4\cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+		$7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+		$8^{-1}$ &$=$& $7$
+		
+	\end{tabular}
+	
+	\end{center}
+	
+	\end{column}
+	\end{columns}
+	
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Decodirung mit Inverser Matrix}	
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $V = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+			
+			\item $m = 1/10 \cdot A^{-1} \cdot V$
+			
+			\item $m = 10 \cdot A^{-1} \cdot V$
+			
+		\end{itemize}
+		
+		\[
+		m = \begin{pmatrix}
+			7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0\\
+			7^0&	7^1&	7^2&	7^3&	7^4&	7^5&	7^6&	7^7&    7^8&	7^9\\
+			7^0&	7^2&	7^4&	7^6&	7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\
+			7^0&	7^3&	7^6&	7^9& 7^{12}& 7^{15}& 7^{18}& 7^{21}& 7^{24}& 7^{27}\\
+			7^0&	7^4&	7^8& 7^{12}& 7^{16}& 7^{20}& 7^{24}& 7^{28}& 7^{32}& 7^{36}\\
+			7^0&	7^5& 7^{10}& 7^{15}& 7^{20}& 7^{25}& 7^{30}& 7^{35}& 7^{40}& 7^{45}\\
+			7^0&	7^6& 7^{12}& 7^{18}& 7^{24}& 7^{30}& 7^{36}& 7^{42}& 7^{48}& 7^{54}\\
+			7^0&	7^7& 7^{14}& 7^{21}& 7^{28}& 7^{35}& 7^{42}& 7^{49}& 7^{56}& 7^{63}\\
+			7^0&	7^8& 7^{16}& 7^{24}& 7^{32}& 7^{40}& 7^{48}& 7^{56}& 7^{64}& 7^{72}\\
+			7^0&	7^9& 7^{18}& 7^{27}& 7^{36}& 7^{45}& 7^{54}& 7^{63}& 7^{72}& 7^{81}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]$
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Decodierung mit Fehler - Ansatz}	
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Gesendet: $V = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4]$
+			
+			\item Empfangen: $W = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4]$
+			
+			\item Rücktransformation: $r = [\underbrace{5,7,4,10,}_{Fehlerstellen}5,4,5,7,6,7]$
+		\end{itemize}
+		
+		Wie finden wir die Fehler?
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $m(X) = 4X^5 + 7X^4 + 2X^3 + 5X^2 + 8X + 1$
+			
+			\item $r(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + 5X^5 + 4X^4 + 5X^3 + 7X^2 + 6X + 7$
+			
+			\item $e(X) = r(X) - m(X)$
+		\end{itemize}	
+		
+		\begin{center}
+			
+		\begin{tabular}{c c c c c c c c c c c}
+			\hline
+			$i$& $0$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$& $9$\\
+			\hline
+			$r(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $8$& $2$& $10$& $2$& $7$& $1$& $4$\\
+			$m(a^{i})$& $5$& $3$& $6$& $5$& $2$& $10$& $2$& $7$& $10$& $4$\\
+			$e(a^{i})$& $0$& $0$& $0$& $3$& $0$& $0$& $0$& $0$& $2$& $0$\\
+			\hline
+		\end{tabular}	
+			
+		\end{center}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Alle Stellen, die nicht Null sind, sind Fehler
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $\operatorname{ggT}$ gibt uns eine Liste der Nullstellen, an denen es keine Fehler gegeben hat
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9)$
+				
+		\end{itemize}
+			
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Nullstellen des Fehlerpolynoms finden}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\item Satz von Fermat: $f(X) = X^{q-1}-1=0$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $f(X) = X^{10}-1 = 0$ \qquad für $X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $f(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $e(X) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2) \qquad \qquad (X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot$
+			
+			\qquad \qquad $(X-a^7) \qquad \qquad (X-a^9) \cdot p(x)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $\operatorname{kgV}$ gibt uns eine Liste von aller Nullstellen, die wir in $e$ und $d$ zerlegen können
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			$\operatorname{kgV}(f(X),e(X)) = (X-a^0)(X-a^1)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4)(X-a^5)(X-a^6) \cdot $
+			
+			\qquad \qquad \qquad \qquad $(X-a^7)(X-a^8)(X-a^9) \cdot q(X)$
+			
+			$= d(X) \cdot e(X)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item Lokatorpolynom $d(X) = (X-a^3)(X-a^8)$
+			
+		\end{itemize}
+	
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{kennen wir $e$?}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\item $e$ ist unbekannt auf der Empfängerseite
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $e(X) = r(X) - m(X)$ \qquad $\rightarrow$ \qquad $m(X)$ ist unbekannt?
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $m$ ist nicht gänzlich unbekannt: $m = [0,0,0,0,?,?,?,?,?,?]$
+			
+			In den bekannten Stellen liegt auch die Information, wo es Fehler gegeben hat
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item daraus folgt $e(X) = 5X^9 + 7X^8 + 4X^7 + 10X^6 + p(X)$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item $f(X) = X^{10} - 1 = X^{10} + 10$
+			
+			\vspace{10pt}
+			
+			\item jetzt können wir den $\operatorname{ggT}$ von $f(X)$ und $e(X)$ berechnen
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Der Euklidische Algorithmus (nochmal)}
+		
+		$\operatorname{ggT}(f(X),e(X))$ hat den Grad 8
+		
+		\[
+		\arraycolsep=1.4pt
+		\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+			X^{10}& & & & & & &+& 10& & & & &:&5X^9&+&7X^8&+& 4X^7&+&10X^6&+&p(X)&=&9X&+&5\\
+			X^{10}&+& 8X^9&+& 3X^8&+&2X^7&+& p(X)& &  & & & &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{1-9}
+			&& 3X^9&+& 8X^8&+& 9X^7&+& p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\
+			&& 3X^9&+& 2X^8&+& 9X^7&+& p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{3-9}
+			& &    & &6X^8&+&0X^7&+&p(X)& &   & & & & & &   & &  & & \\
+		\end{array}
+		\]
+		
+		\[
+		\arraycolsep=1.4pt
+		\begin{array}{rcrcrcrcccrcrcrcrcrcrcrcrcr}
+			5X^9&+& 7X^8&+& 4X^7&+& 10X^6&+& p(X)& & & & &:&6X^8&+&0X^7& & & & & & &=&10X&+&3\\
+			5X^9&+& 0X^8&+& p(X)& & & & & &  & & & &   & & & & & &   & &  & & \\ \cline{1-5}
+			&& 7X^8&+& p(X)& & & & & &   & & & & & &   & &  & & \\
+		\end{array}
+		\]
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		$\operatorname{ggT}(f(X),e(X)) = 6X^8$
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		$\operatorname{kgV}$ durch den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen	
+		
+	\end{frame}
+		
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Der Erweiterte Euklidische Algorithmus}
+		
+		\begin{center}
+			
+		\begin{tabular}{| c | c | c c |}
+			\hline
+			$k$ &  $q_i$ & $e_i$ & $f_i$\\
+			\hline 
+			& & $0$& $1$\\
+			$0$& $9X + 5$& $1$& $0$\\
+			$1$& $10X + 3$& $9X+5$& $1$\\
+			$2$& & $2X^2 + 0X + 5$& $10X + 3$\\
+			\hline
+		\end{tabular}	
+			
+		\end{center}
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		\begin{tabular}{ll}
+			Somit erhalten wir den Faktor& $d(X) = 2X^2 + 5$\\
+			Faktorisiert erhalten wir& $d(X) = 2(X-5)(X-6)$\\
+			Lokatorpolynom& $d(X) = (X-a^i)(X-a^i)$
+		\end{tabular}
+		
+		\vspace{10pt}
+		
+		\begin{center}
+			$a^i = 5 \qquad \Rightarrow \qquad i = 3$
+			
+			$a^i = 6 \qquad \Rightarrow \qquad i = 8$
+		\end{center}
+		
+	$D = [3,8]$
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------		
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\begin{itemize}
+			
+			\item $W = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4]$
+			
+			\item $D = [3,8]$
+			
+		\end{itemize}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 8 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 1 \\ 4 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+			8^0&	8^3&	8^6&	8^9& 8^{12}& 8^{15}& 8^{18}& 8^{21}& 8^{24}& 8^{27}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+			8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+			8^0&	8^8& 8^{16}& 8^{24}& 8^{32}& 8^{40}& 8^{48}& 8^{56}& 8^{64}& 8^{72}\\
+			8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Fehlerstellen entfernen
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}	
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+			8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+			8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Nullstellen entfernen
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+			8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}\\
+			8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\vspace{5pt}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Matrix in eine Quadratische Form bringen
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------	
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+			8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+			8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+			8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+			8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+			8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\vspace{5pt}
+		
+		\begin{itemize}
+			\item Matrix Invertieren
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			1&  1& 1&  1& 1&  1\\
+			1&  8& 9&  6& 4& 10\\
+			1&  9& 4&  3& 5&  1\\
+			1&  4& 5&  9& 3&  1\\
+			1& 10& 1& 10& 1& 10\\
+			1&  3& 9&  5& 4&  1\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{center}
+			$\Downarrow$
+		\end{center}
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			 6&  4&  4&  6& 2&  1\\
+			 2&  7& 10&  3& 4&  7\\
+			 1&  8&  9&  8& 3&  4\\
+			 3&  6&  6&  4& 5&  9\\
+			10& 10&  9&  8& 1&  6\\
+			 1&  9&  6&  4& 7&  6\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Rekonstruktion der Nachricht}
+		
+		\[
+		\begin{pmatrix}
+			m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+		\end{pmatrix}
+		=
+		\begin{pmatrix}
+			6&  4&  4&  6& 2&  1\\
+			2&  7& 10&  3& 4&  7\\
+			1&  8&  9&  8& 3&  4\\
+			3&  6&  6&  4& 5&  9\\
+			10& 10&  9&  8& 1&  6\\
+			1&  9&  6&  4& 7&  6\\
+		\end{pmatrix}
+		\cdot
+		\begin{pmatrix}
+			5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+		\end{pmatrix}
+		\]
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $m = [4,7,2,5,8,1]$
+		\end{itemize}
+		
+	\end{frame}
+%-------------------------------------------------------------------------------
 \end{document}
\ No newline at end of file
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cgit v1.2.1

