From 55fc006b2133da4f79eb6eb5179d584c130824a2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 18 May 2021 18:29:59 +0200
Subject: updated codebsp.tex, created decohnefehler.tex (with blindtext)

---
 buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex | 40 +++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 40 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
new file mode 100644
index 0000000..832d63f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
@@ -0,0 +1,40 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Decodierung ohne Fehler
+\label{reedsolomon:section:decohnefehler}}
+\rhead{Teil 3}
+Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
+accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
+quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
+dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
+aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
+eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
+est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
+velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
+et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
+veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
+nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
+reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
+consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
+pariatur?
+
+\subsection{De finibus bonorum et malorum
+\label{reedsolomon:subsection:malorum}}
+At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
+blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
+dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
+provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
+animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
+est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
+est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
+placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
+repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
+rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
+sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
+sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
+consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+
+
-- 
cgit v1.2.1


From 9c25485518e7f80050a8ee2a12b94abb009c9a58 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 18 May 2021 21:14:36 +0200
Subject: finished first final version of decohnefehler.tex

---
 buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex | 128 ++++++++++++++++++++++--------
 1 file changed, 97 insertions(+), 31 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
index 832d63f..90f8ba8 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
@@ -5,36 +5,102 @@
 %
 \section{Decodierung ohne Fehler
 \label{reedsolomon:section:decohnefehler}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{reedsolomon:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\rhead{fehlerlose rekonstruktion}
+Im ersten Teil zur Decodierung des Übertragungsvektor betrachten wir den Übertragungskanal als fehlerfrei.
+Wir erhalten also unseren Übertragungsvektor
+\[
+v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4].
+\]
 
+Gesucht ist nun einen Weg, mit dem wir auf unseren Nachrichtenvektor zurückrechnen können.
+Ein banaler Ansatz ist das Invertieren der Glechung
+\[
+v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad m = A^{-1} \cdot v.
+\]
 
+Nur stellt sich dann die Frage, wie wir auf die Inverse der Matix $A$ kommen.
+Dazu können wir wiederum den Ansatz der Fouriertransformation uns zur Hilfe nehmen,
+jedoch betrachten wir jetzt deren Inverse.
+Definiert ist sie als
+\[
+F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega.
+\]
+
+In unserem Fall suchen wir also eine inverse für die Primitive Einheitswurzel $a$, also
+\[
+8^1 \qquad \Rightarrow \qquad 8^{-1}.
+\]
+
+Im Abschnitt \textcolor{red}{4.1} haben wir den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können.
+
+\subsection{Der Euklidische Algorithmus
+\label{reedsolomon:subsection:eukAlgo}}
+
+Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Kapitel \textcolor{red}{4.1} ausführlich beschrieben.
+Für unsere Anwendung wählen wir die Parameter $a_i = 8$ und $b_i = 11$.
+Daraus erhalten wir 
+
+\begin{center}
+
+\begin{tabular}{| c | c c | c | r r |}
+	\hline
+	$k$ & $a_i$ & $b_i$ & $q_i$ & $c_i$ & $d_i$\\
+	\hline 
+	& & & & $1$& $0$\\
+	$0$& $8$& $11$& $0$& $0$& $1$\\
+	$1$& $11$& $8$& $1$& $1$& $0$\\
+	$2$& $8$& $3$& $2$& $-1$& $1$\\
+	$3$& $3$& $2$& $1$& $3$& $-2$\\
+	$4$& $2$& $1$& $2$& \textcolor{blue}{$-4$}& \textcolor{red}{$3$}\\
+	$5$& $1$& $0$& & $11$& $-8$\\
+	\hline
+\end{tabular}
+
+\end{center}
+\begin{center}
+
+\begin{tabular}{rcl}
+	$\textcolor{blue}{-4} \cdot 8 + \textcolor{red}{3} \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+	$7 \cdot 8 + 3 \cdot 11$ &$=$& $1$\\
+	$8^{-1}$ &$=$& $7$
+	
+\end{tabular}
+
+\end{center}
+
+als Inverse der Primitiven Einheitswurzel.
+
+Nun haben wir fast alles für die Rücktransformation beisammen. Wie auch bei der Inversen Fouriertransformation haben wir nun einen Vorfaktor
+\[
+m = \textcolor{red}{s} \cdot A^{-1} \cdot v
+\]
+den wir noch bestimmen müssen. 
+Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der Inversen Fouriertransformation bestimmen und beträgt
+\[
+s = \frac{1}{10}.
+\]
+Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ ergibt.
+Somit lässt sich den Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit
+\[
+m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v \qquad \Rightarrow \qquad m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
+	7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0\\
+	7^0&	7^1&	7^2&	7^3&	7^4&	7^5&	7^6&	7^7&    7^8&	7^9\\
+	7^0&	7^2&	7^4&	7^6&	7^8& 7^{10}& 7^{12}& 7^{14}& 7^{16}& 7^{18}\\
+	7^0&	7^3&	7^6&	7^9& 7^{12}& 7^{15}& 7^{18}& 7^{21}& 7^{24}& 7^{27}\\
+	7^0&	7^4&	7^8& 7^{12}& 7^{16}& 7^{20}& 7^{24}& 7^{28}& 7^{32}& 7^{36}\\
+	7^0&	7^5& 7^{10}& 7^{15}& 7^{20}& 7^{25}& 7^{30}& 7^{35}& 7^{40}& 7^{45}\\
+	7^0&	7^6& 7^{12}& 7^{18}& 7^{24}& 7^{30}& 7^{36}& 7^{42}& 7^{48}& 7^{54}\\
+	7^0&	7^7& 7^{14}& 7^{21}& 7^{28}& 7^{35}& 7^{42}& 7^{49}& 7^{56}& 7^{63}\\
+	7^0&	7^8& 7^{16}& 7^{24}& 7^{32}& 7^{40}& 7^{48}& 7^{56}& 7^{64}& 7^{72}\\
+	7^0&	7^9& 7^{18}& 7^{27}& 7^{36}& 7^{45}& 7^{54}& 7^{63}& 7^{72}& 7^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 5 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 10 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+und wir erhalten
+\[
+m = [0,0,0,0,4,7,2,5,8,1]
+\]
+als unsere Nachricht zurück.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1


From 5294c40d558e93a034d43846e98176291fb32692 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 14:28:24 +0200
Subject: update decohnefehler.tex, create decmitfehler.tex

---
 buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
index 90f8ba8..6ca577a 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
@@ -80,7 +80,7 @@ Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der Inversen Fouriertransformat
 s = \frac{1}{10}.
 \]
 Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ ergibt.
-Somit lässt sich den Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit
+Somit lässt sich der Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit
 \[
 m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v \qquad \Rightarrow \qquad m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
 	7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0\\
-- 
cgit v1.2.1


From d408309e04a27315a2ce8788872095334dbea183 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 8 Jun 2021 17:33:56 +0200
Subject: updated codebsp.tex and decohnefehler.tex

---
 buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex | 54 ++++++++++++++++++-------------
 1 file changed, 32 insertions(+), 22 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
index 6ca577a..3b709f3 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
@@ -3,41 +3,50 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Decodierung ohne Fehler
+\section{Decodierung: Ansatz ohne Fehler
 \label{reedsolomon:section:decohnefehler}}
 \rhead{fehlerlose rekonstruktion}
-Im ersten Teil zur Decodierung des Übertragungsvektor betrachten wir den Übertragungskanal als fehlerfrei.
-Wir erhalten also unseren Übertragungsvektor
+
+In diesem Abschnitt betrachten wie die Überlegung, wie wir auf der Empfängerseite die Nachricht aus dem empfangenen Übertragungsvektor erhalten. Nach einer einfachen Überlegung müssen wir den Übertragungsvektor decodieren, was auf den ersten Blick nicht allzu kompliziert sein sollte, solange wir davon ausgehen können, dass es während der Übertragung keine Fehler gegeben hat. Wir betrachten deshalb den Übertragungskanal als fehlerfrei.
+
+Der Übertragungsvektor empfangen wir also als
 \[
 v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4].
 \]
-
-Gesucht ist nun einen Weg, mit dem wir auf unseren Nachrichtenvektor zurückrechnen können.
-Ein banaler Ansatz ist das Invertieren der Glechung
+% Old Text
+%Im ersten Teil zur Decodierung des Übertragungsvektor betrachten wir den Übertragungskanal als fehlerfrei.
+%Wir erhalten also unseren Übertragungsvektor
+%\[
+%v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4].
+%\]
+Nach einem banalen Ansatz ist die Decodierung die Inverse der Codierung. Dank der Matrixschreibweise lässt sich dies relativ einfach umsetzen.
+% Old Text
+%Gesucht ist nun einen Weg, mit dem wir auf unseren Nachrichtenvektor zurückrechnen können.
+%Ein banaler Ansatz ist das Invertieren der Glechung
 \[
-v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad m = A^{-1} \cdot v.
+v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad m = A^{-1} \cdot v
 \]
-
-Nur stellt sich dann die Frage, wie wir auf die Inverse der Matix $A$ kommen.
+Nur stellt sich jetzt die Frage, wie wir die Inverse von $A$ berechnen.
 Dazu können wir wiederum den Ansatz der Fouriertransformation uns zur Hilfe nehmen,
 jedoch betrachten wir jetzt deren Inverse.
 Definiert ist sie als
 \[
 F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega.
 \]
-
-In unserem Fall suchen wir also eine inverse für die Primitive Einheitswurzel $a$, also
+Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:algdec} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. 
 \[
-8^1 \qquad \Rightarrow \qquad 8^{-1}.
+8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1}
 \]
+Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:euklid} befasst und so den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können.
 
-Im Abschnitt \textcolor{red}{4.1} haben wir den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können.
+% Old Text
+%Im Abschnitt \textcolor{red}{4.1} haben wir den euklidischen Algorithmus kennengelernt, den wir auf unseren Fall anwenden können.
 
-\subsection{Der Euklidische Algorithmus
-\label{reedsolomon:subsection:eukAlgo}}
+\subsection{Inverse der primitiven Einheitswurzel
+\label{reedsolomon:subsection:invEinh}}
 
-Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Kapitel \textcolor{red}{4.1} ausführlich beschrieben.
-Für unsere Anwendung wählen wir die Parameter $a_i = 8$ und $b_i = 11$.
+Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Kapitel \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben.
+Für unsere Anwendung wählen wir die Parameter $a = 8$ und $b = 11$ ($\mathbb{F}_{11}$).
 Daraus erhalten wir 
 
 \begin{center}
@@ -67,20 +76,21 @@ Daraus erhalten wir
 \end{tabular}
 
 \end{center}
+als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen. 
 
-als Inverse der Primitiven Einheitswurzel.
+\subsection{Allgemeine Decodierung
+	\label{reedsolomon:subsection:algdec}}
 
-Nun haben wir fast alles für die Rücktransformation beisammen. Wie auch bei der Inversen Fouriertransformation haben wir nun einen Vorfaktor
+Wir haben jetzt fast alles für eine erfolgreiche Rücktransformation beisammen. Wir haben aber noch nicht alle Aspekte der inversen diskreten Fouriertransformation befolgt, so fehlt uns noch einen Vorfaktor
 \[
 m = \textcolor{red}{s} \cdot A^{-1} \cdot v
 \]
 den wir noch bestimmen müssen. 
-Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der Inversen Fouriertransformation bestimmen und beträgt
+Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der inversen diskreten Fouriertransformation bestimmen und beträgt
 \[
 s = \frac{1}{10}.
 \]
-Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ ergibt.
-Somit lässt sich der Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit
+Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt. Somit lässt sich der Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit
 \[
 m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v \qquad \Rightarrow \qquad m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
 	7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0\\
-- 
cgit v1.2.1


From fa0d3a4ead1df4b8587035b8b62b42375f970ba9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 24 Jun 2021 18:47:13 +0200
Subject: all files updated and corrected

---
 buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex | 115 ++++++++++++++++++++++++++----
 1 file changed, 103 insertions(+), 12 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
index 3b709f3..0470db0 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
@@ -5,7 +5,7 @@
 %
 \section{Decodierung: Ansatz ohne Fehler
 \label{reedsolomon:section:decohnefehler}}
-\rhead{fehlerlose rekonstruktion}
+\rhead{Decodierung ohne Fehler}
 
 In diesem Abschnitt betrachten wie die Überlegung, wie wir auf der Empfängerseite die Nachricht aus dem empfangenen Übertragungsvektor erhalten. Nach einer einfachen Überlegung müssen wir den Übertragungsvektor decodieren, was auf den ersten Blick nicht allzu kompliziert sein sollte, solange wir davon ausgehen können, dass es während der Übertragung keine Fehler gegeben hat. Wir betrachten deshalb den Übertragungskanal als fehlerfrei.
 
@@ -33,7 +33,7 @@ Definiert ist sie als
 \[
 F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega.
 \]
-Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:algdec} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. 
+Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sfaktor} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. 
 \[
 8^1 \qquad \rightarrow \qquad 8^{-1}
 \]
@@ -45,7 +45,7 @@ Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:e
 \subsection{Inverse der primitiven Einheitswurzel
 \label{reedsolomon:subsection:invEinh}}
 
-Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Kapitel \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben.
+Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Abschnitt \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben.
 Für unsere Anwendung wählen wir die Parameter $a = 8$ und $b = 11$ ($\mathbb{F}_{11}$).
 Daraus erhalten wir 
 
@@ -76,21 +76,112 @@ Daraus erhalten wir
 \end{tabular}
 
 \end{center}
-als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen. 
+als Inverse der primitiven Einheitswurzel. Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir, indem wir jetzt die inverse primitive Einheitswurzel anstelle der primitiven Einheitswurzel in die Matrix einsetzen:
+\[
+\begin{pmatrix}
+	8^0 & 8^0 & 8^0 & 8^0 & \dots & 8^0 \\
+	8^0 & 8^{-1} & 8^{-2} & 8^{-3} & \dots & 8^{-9} \\
+	8^0 & 8^{-2} & 8^{-4} & 8^{-6} & \dots & 8^{-18} \\
+	8^0 & 8^{-3} & 8^{-6} & 8^{-9} & \dots & 8^{-27} \\
+ 	\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+	8^0 & 8^{-9} & 8^{-18} & 8^{-27} & \dots & 8^{-81} \\
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\begin{pmatrix}
+	7^0 & 7^0 & 7^0 & 7^0 & \dots & 7^0 \\
+	7^0 & 7^{1} & 7^{2} & 7^{3} & \dots & 7^{9} \\
+	7^0 & 7^{2} & 7^{4} & 7^{6} & \dots & 7^{18} \\
+	7^0 & 7^{3} & 7^{6} & 7^{9} & \dots & 7^{27} \\
+	\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+	7^0 & 7^{9} & 7^{18} & 7^{27} & \dots & 7^{81} \\
+\end{pmatrix}
+\] 
 
-\subsection{Allgemeine Decodierung
-	\label{reedsolomon:subsection:algdec}}
+\subsection{Der Faktor $s$
+	\label{reedsolomon:subsection:sfaktor}}
+Die diskrete Fouriertransformation benötigt für die Inverse einen Vorfaktor von $\frac{1}{2\pi}$.
+Primitiv nehmen wir an, dass wir für die Inverse Transformationsmatrix ebenfalls einen benötigen.
+Nur stellt sich jetzt die Frage, wie wir diesen Vorfaktor in unserem Fall ermitteln können.
+Dafür betrachten wir eine Regel aus der Linearen Algebra, nämlich dass
 
-Wir haben jetzt fast alles für eine erfolgreiche Rücktransformation beisammen. Wir haben aber noch nicht alle Aspekte der inversen diskreten Fouriertransformation befolgt, so fehlt uns noch einen Vorfaktor
 \[
-m = \textcolor{red}{s} \cdot A^{-1} \cdot v
+A \cdot A^{-1} = E
+\]
+entsprechen muss.
+Ist dies nicht der Fall, so benötigt $A^{-1}$ eben genau diesen Korrekturfaktor und ändert die Gleichung so zu
+\begin{equation}
+	A \cdot s \cdot A^{-1} = E.
+	\label{reedsolomon:equation:sfaktor}
+\end{equation}
+%\[
+%A \cdot s \cdot A^{-1} = E.
+%\]
+Somit sollte es für uns ein leichtes Spiel sein, $s$ für unser Beispiel zu ermitteln:
+\[
+\begin{pmatrix}
+	8^0 & 8^0 & 8^0 & \dots & 8^0 \\
+	8^0 & 8^1 & 8^2 & \dots & 8^9 \\
+	8^0 & 8^2 & 8^4 & \dots & 8^{18} \\
+	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+	8^0 & 8^9 & 8^{18} & \dots & 8^{81} \\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	7^0 & 7^0 & 7^0 & \dots & 7^0 \\
+	7^0 & 7^{1} & 7^{2} & \dots & 7^{9} \\
+	7^0 & 7^{2} & 7^{4} & \dots & 7^{18} \\
+	\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+	7^0 & 7^{9} & 7^{18} & \dots & 7^{81} \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	10 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
+	0 & 10 & 0 & \dots & 0 \\
+	0 & 0 & 10 & \dots & 0 \\
+	\vdots & \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots \\
+	0 & 0 & 0 & \dots & 10 \\
+\end{pmatrix}
 \]
-den wir noch bestimmen müssen. 
-Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der inversen diskreten Fouriertransformation bestimmen und beträgt
+Aus der letzten Matrix folgt, dass wir
 \[
-s = \frac{1}{10}.
+s = \dfrac{1}{10}
 \]
-Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt. Somit lässt sich der Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit
+als unseren Vorfaktor setzen müssen um die Gleichung \ref{reedsolomon:equation:sfaktor} zu erfüllen. Da wir in $\mathbb{F}_{11}$ nur mit ganzen Zahlen arbeiten schreiben wir $\frac{1}{10}$ in $10^{-1}$ um und bestimmen diese Inverse erneut mit dem euklidischen Algorithmus und erhalten für $10^{-1} = 10$ als unseren Vorfaktor in $\mathbb{F}_{11}$.
+%
+%erfüllt wird. Wir schreiben den Bruch um in $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ und wenden darauf erneut den euklidischen Algorithmus an und erhalten somit den Vorfaktor $10^{-1} = 10 = s$ in $\mathbb{F}_{11}$.
+%
+%Um $s$ eindeutig zu bestimmen müssen wir $\frac{1}{10}$ nur noch in den Bereich von $\mathbb{F}_{11}$ verschieben. Wie sich herausstellt können wir das recht einfach bewerkstelligen, da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht. Daraus können wir $s$ mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt.
+%
+%Da $s$ jetzt ein Bruch ist brauchen wir ihn nur noch in $\mathbb{F}_{11}$ zu schieben. Praktischerweise können wir $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ darstellen 
+%
+%Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt.
+%
+%Daher nehmen wir an, dass wir für die Inverse Transformationsmatrix ebenfalls ein solcher Vorfaktor benötigen. Dieser Faktor hat seinen Ursprung in der Gleichung
+%\[
+%A \cdot A^{-1} = E.
+%\]
+%Sollte diese Gleichung nicht aufgehen, so muss die Inverse mit 
+\subsection{Allgemeine Decodierung
+	\label{reedsolomon:subsection:algdec}}
+
+Wir haben jetzt alles für eine erfolgreiche Rücktransformation vom empfangenen Nachrichtenvektor beisammen. Die allgemeine Gleichung für die Rücktransformation lautet
+\[
+m = s \cdot A^{-1} \cdot v.
+\]
+Setzen wir nun die Werte ein in
+%
+%Wir haben aber noch nicht alle Aspekte der inversen diskreten Fouriertransformation befolgt, so fehlt uns noch einen Vorfaktor
+%\[
+%m = \textcolor{red}{s} \cdot A^{-1} \cdot v
+%\]
+%den wir noch bestimmen müssen. 
+%Glücklicherweise lässt der sich analog wie bei der inversen diskreten Fouriertransformation bestimmen und beträgt
+%\[
+%s = \frac{1}{10}.
+%\]
+%Da $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ entspricht können wir $s$ ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen und stellen fest, dass $10^{-1} = 10$ in $\mathbb{F}_{11}$ ergibt. Somit lässt sich der Nachrichtenvektor einfach bestimmen mit
 \[
 m = 10 \cdot A^{-1} \cdot v \qquad \Rightarrow \qquad m = 10 \cdot \begin{pmatrix}
 	7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0&    7^0\\
-- 
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