From 5fbe3afa81dba72aa204f61b1e36dd7c923d4b35 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Fri, 10 Sep 2021 17:09:36 +0200
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 buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex | 16 ++++++++--------
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index 2c755f9..30aa97a 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/decohnefehler.tex
@@ -7,9 +7,9 @@
 \label{reedsolomon:section:decohnefehler}}
 \rhead{Decodierung ohne Fehler}
 
-In diesem Abschnitt betrachten wie die Überlegung, wie wir auf der Empfängerseite die Nachricht aus dem empfangenen Übertragungsvektor erhalten. Nach einer einfachen Überlegung müssen wir den Übertragungsvektor decodieren, was auf den ersten Blick nicht allzu kompliziert sein sollte, solange wir davon ausgehen können, dass es während der Übertragung keine Fehler gegeben hat. Wir betrachten deshalb den Übertragungskanal als fehlerfrei.
+In diesem Abschnitt betrachten wir die Überlegung, wie wir auf der Empfängerseite die Nachricht aus dem empfangenen Übertragungsvektor erhalten. Nach einer einfachen Überlegung müssen wir den Übertragungsvektor decodieren, was auf den ersten Blick nicht allzu kompliziert sein sollte, solange wir davon ausgehen können, dass es während der Übertragung keine Fehler gegeben hat. Wir betrachten deshalb den Übertragungskanal als fehlerfrei.
 
-Der Übertragungsvektor empfangen wir also als
+Den Übertragungsvektor empfangen wir also als
 \[
 v = [5,3,6,5,2,10,2,7,10,4].
 \]
@@ -27,13 +27,13 @@ Nach einem banalen Ansatz ist die Decodierung die Inverse der Codierung. Dank de
 v = A \cdot m \qquad \Rightarrow \qquad m = A^{-1} \cdot v
 \]
 Nur stellt sich jetzt die Frage, wie wir die Inverse von $A$ berechnen.
-Dazu können wir wiederum den Ansatz der Fouriertransformation uns zur Hilfe nehmen,
+Dazu können wir wiederum den Ansatz der Fouriertransformation zu Hilfe nehmen,
 jedoch betrachten wir jetzt deren Inverse.
 Definiert ist sie als
 \[
 F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\omega t} dt \qquad \Rightarrow \qquad \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega)) = f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{j \omega t} d\omega.
 \]
-Im wesentlichen ändert sich bei der inversen diskreten Fouriertransformation $e^{j/2\pi}$ zu $e^{-j/2\pi}$. Zusätzlich benötigt die Inverse noch einen Korrekturfaktor $1/n$. Wir erwarten daher, dass wir auch im endlichen Körper $A$ die Zahl $a$ durch $a^{-1}$ ersetzen können. Mit der primitiven Einheitswurzel ergibt das 
+Im Wesentlichen ändert sich bei der inversen diskreten Fouriertransformation $e^{j/2\pi}$ zu $e^{-j/2\pi}$. Zusätzlich benötigt die Inverse noch einen Korrekturfaktor $1/n$. Wir erwarten daher, dass wir auch im endlichen Körper $A$ die Zahl $a$ durch $a^{-1}$ ersetzen können. Mit der primitiven Einheitswurzel ergibt das 
 \index{Korrekturfaktor}%
 %Damit beschäftigen wir uns im Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sfaktor} weiter, konkret suchen wir momentan aber eine Inverse für unsere primitive Einheitswurzel $a$. 
 \[
@@ -47,7 +47,7 @@ Mit einem solchen Problem haben wir uns bereits in Abschnitt \ref{buch:section:e
 \subsection{Inverse der primitiven Einheitswurzel
 \label{reedsolomon:subsection:invEinh}}
 \index{Inverse}%
-Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist im Abschnitt \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben.
+Die Funktionsweise des euklidischen Algorithmus ist in Abschnitt \ref{buch:section:euklid} ausführlich beschrieben.
 Für unsere Anwendung wählen wir die Parameter $a = 8$ und $b = 11$ ($\mathbb{F}_{11}$).
 Daraus erhalten wir 
 
@@ -106,9 +106,9 @@ Die inverse Transformationsmatrix $A^{-1}$ bilden wir, indem wir jetzt die inver
 \subsection{Der Faktor $s$
 	\label{reedsolomon:subsection:sfaktor}}
 Die diskrete Fouriertransformation benötigt für die Inverse einen Vorfaktor von $\frac{1}{2\pi}$.
-Wir müssen also damit rechnen, dass wir für die Inverse Transformationsmatrix ebenfalls einen solchen Vorfaktor benötigen.
+Wir müssen also damit rechnen, dass wir für die inverse Transformationsmatrix ebenfalls einen solchen Vorfaktor benötigen.
 Nur stellt sich jetzt die Frage, wie wir diesen Vorfaktor in unserem Fall ermitteln können.
-Dafür betrachten wir eine Regel aus der linearen Algebra, nämlich dass
+Dafür betrachten wir eine Regel aus der linearen Algebra, nämlich, dass
 
 \[
 A \cdot A^{-1} = E
@@ -152,7 +152,7 @@ Aus der letzten Matrix folgt, dass wir
 \[
 s = \dfrac{1}{10}
 \]
-als unseren Vorfaktor setzen müssen um, die Gleichung \ref{reedsolomon:equation:sfaktor} zu erfüllen. Da wir in $\mathbb{F}_{11}$ nur mit ganzen Zahlen arbeiten, schreiben wir $\frac{1}{10}$ in $10^{-1}$ um und bestimmen diese Inverse erneut mit dem euklidischen Algorithmus. So erhalten wir $10^{-1} = 10$ als Vorfaktor in $\mathbb{F}_{11}$.
+als unseren Vorfaktor setzen müssen, um die Gleichung \ref{reedsolomon:equation:sfaktor} zu erfüllen. Da wir in $\mathbb{F}_{11}$ nur mit ganzen Zahlen arbeiten, schreiben wir $\frac{1}{10}$ in $10^{-1}$ um und bestimmen diese Inverse erneut mit dem euklidischen Algorithmus. So erhalten wir $10^{-1} = 10$ als Vorfaktor in $\mathbb{F}_{11}$.
 %
 %erfüllt wird. Wir schreiben den Bruch um in $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ und wenden darauf erneut den euklidischen Algorithmus an und erhalten somit den Vorfaktor $10^{-1} = 10 = s$ in $\mathbb{F}_{11}$.
 %
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cgit v1.2.1

