From 5daff6cc906d9abb2a913569588a0666b4d53b4a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 28 Jul 2021 17:52:37 +0200 Subject: rewrite some texts --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 42 ++++++++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 25 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon/dtf.tex') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 73d0d12..e9aacfb 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -3,57 +3,65 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Diskrete Fourier Transformation +\section{Übertragung mit hilfe der Diskrete Fourier Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourientransformation. -Dies wird weder eine erklärung der Forientransorfmation noch ein genauer gebrauchfür den Reed-Solomon-Code. +Dies wird weder eine Erklärung der Forientransorfmation, noch ein genauer gebrauch für den Reed-Solomon-Code. Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourientransformation auf Fehler reagiert. wobei sie dann bei späteren Berchnungen ganz nützlich ist. \subsection{Diskrete Fourietransformation Zusamenhang \label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} -Die Diskrete Fourietransformation ist definiert als +Mit hilfe der Fourietransformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, +zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. +Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. +Nun zur definition der Diskrete Fourietransformation, diese ist definiert als \begin{equation} \hat{c}_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} ,\label{reedsolomon:DFT} \end{equation} - wenn man nun \begin{equation} w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k} \label{reedsolomon:DFT_summand} \end{equation} - ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man \begin{equation} \hat{c}_{k}= \frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) \label{reedsolomon:DFT_polynom} \end{equation} - was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. -\subsection{Übertragungsabfolge + +\subsection{Beispiel \label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} -Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 16 Fehler abzusicheren, -16 Fehler erkennen und rekonstruieren. +Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 32 Fehler abzusicheren, +16 Fehler erkennen und rekonstruieren. + Dieser Auftrag soll mittels Fouriertransformation bewerkstelligt werden. In der Abbildung \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge} sieht man dies Schritt für schritt, -und hier werden die einzelne Schritte erklärt. +und hier werden die einzelne Schritte erklärt: \begin{enumerate}[(1)] \item Das Signal hat 64 die Daten, Zahlen welche übertragen werden sollen. Dabei zusätzlich nach 16 Fehler abgesichert, macht insgesamt 96 Übertragungszahlen. -\item Nun wurde mittels der schnellen diskreten Fourientransformation diese 96 codiert. -Das heisst alle information ist in alle Zahlenvorhanden. -\item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. -\item Dieses wird nun Empfangen und mittels inversen diskreten Fourientransormation, wieder rücktransformiert. -\item Nun sieht man den Fehler im Decodieren in den Übertragungsstellen 64 bis 96. -\item Nimmt man nun nur diese Stellen 64 bis 96, auch Syndrom genannt, und Transformiert diese. -\item Bekommt man die Fehlerstellen im Locator wieder, zwar nichtso genau, dennoch erkkent man wo die Fehler stattgefunden haben. +(siehe Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}) +Die 32 Fehlerkorrekturstellen werden als Null Übertragen +\item Nun wurde mittels der diskreten Fourientransformation diese 96 codiert. +Das heisst alle Informationen ist in alle Zahlenvorhanden. (Auch die Fehlerkorrekturstellen Null) +\item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75.(die Skala ist Rechts) +Die Fehler können auf den ganzen 96 Übertragungswerten liegen, wie die 75 zeigt. +\item Dieses wird nun Empfangen und mittels inversen diskreten Fourientransormation, wieder rücktransformiert.(Iklusive der Fehler) +\item Nun sieht man den Fehler im Decodieren in den Übertragungsstellen 64 bis 96, da es dort nicht mehr Null ist. +\item Nimmt man nun nur diese Stellen 64 bis 96, dies definieren wir als Syndrom, und transformiert nur dieses Syndrom. +\item Bekommt man die Fehlerstellen wieder, zwar nichtso genau, dennoch erkennt man wo die Fehler stattgefunden haben. +Dies definieren wir als Locator. \end{enumerate} +Nun haben wir mit Hilfe der Fourietransformation die 3 Fehlerstellen durch das Syndrom lokalisiert, +jetzt gilt es nur noch diese zu korrigieren und wir haben unser originales Signal wieder. \begin{figure} \centering -- cgit v1.2.1