From 88de7e8d421d3d7395840fdf916bbd015254d43c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Mon, 19 Jul 2021 16:30:45 +0200
Subject: update

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 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 60 +++++++++++++++++++++++++---------------
 1 file changed, 37 insertions(+), 23 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 4a7716a..b0a772e 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -8,51 +8,65 @@
 \rhead{Problemstellung}
 Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, 
 zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
-Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkenen, 
+Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
 man kann sogar einige Fehler korrigieren.
 
 \rhead{Polynom-Ansatz}
-Eine Idee ist die Daten, 
-ein Polynom zu bilden und dieses dann mit bestimmten Punkten überträgt.
+Eine Idee ist aus den Daten 
+ein Polynom zu bilden.
+Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt.
 Nehmen wir als beisbiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
 welche uns dann das Polynom 
 \begin{equation}
 p(x)
 =
-2x^2 + 1x + 5 
+\textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5}
 \label{reedsolomon:equation1}
 \end{equation}
 ergeben.
-Übertragen werden nun die stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
-Grafisch sieht man dies dann im Abbild //TODO
-Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger erkennen, welches das Richtige Polynom ist.
-Der Leser/Empfänger weiss, mit welchem Grad das Polynom entwickelt wurde. 
+Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
+Grafisch sieht man dies dann in Abbildung % TODO
+Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
+Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. 
 \subsection{Beispiel}
-Für das Beispeil aus der Gleichung \ref{reedsolomon:equation1},
+Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1},
 ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
 Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben, kann man diese erkennen,
 da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen.
 Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten?
 Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
 gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.
-Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden das das Polynom nicht stimmt.
-Das Orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
-Dabei sollten mehr Übertragungspunkte gegeben werden.
+Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
+Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
+Dafür sind mehr übertragene Werte nötig.
 
 \section{Fehlerbestimmung
 \label{reedsolomon:section:Fehlerbestimmmung}}
 So wird ein Muster indentifiziert, welches genau vorherbestimmen kann,
 wie gross das Polynom sein muss und wie viele Übertragungspunkte gegeben werden müssen.
-Durch ein klein wenig Überlegung ist klar das die anzahl Zahlen (Daten, ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast),
-die dan Entschlüsselt werden sollen den Grad des Polynoms minus 1 ergeben.
+Um zu bestimmen wie viel Fehler erkennt und korriegiert werden können.
+Die Anzahl Zahlen (Daten, ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast),
+die Entschlüsselt werden sollen, brauchen die gleiche Anzahl an  Polynomgraden, beginnend bei Grad 0. ( \( k-1 \) )
 Für die Anzahl an Übertragungspunkte, muss bestimmt werden wieviel Fehler erkennt und korrigiert werden sollen.
-Mit Hilfe der Tabelle.... sieht man das es bei $$t$$ Fehlern und $$k$$ Nutzlast,
-für das Übertragen $$k+2t$$ Punkte gegben werden müssen.
-
-Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $$2t$$ Fehler erkannt werden. 
-um zurück auf unser Beispiel zu kommen, 
-können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $$2t = 2*2 = 4 $$ Punkten falsch liegen 
-und es wird kein eindeutiges Polynom 2ten Grades erkannt, und somit die Nutzlast Daten als fehlerhaft deklariert.
-
-Ein Polynom durch Punkt mit Polynom Interpolation zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig.
+Mit Hilfe der Tabelle, sieht man das es bei $t$ Fehlern und $k$ Nutzlast Zahlen,
+$k+2t$ Punkte übertragen werden müssen.
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{ c c c } 
+        \hline
+        Nutzlas & Fehler & Übertragen \\
+        \hline 
+        3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\ 
+        4 & 2 & 8 Werte eines Polynoms vom Grad 3 \\
+        3 & 3 & 9 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\ 
+        \hline
+        $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ 
+        \hline
+    \end{tabular}
+\end{center}
+Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden. 
+Um zurück auf unser Beispiel zu kommen, 
+können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $2t = 2\cdot2 = 4 $ Punkten falsch liegen 
+und es wird kein eindeutiges Polynom zweiten Grades erkannt, und somit die Nutzlast Daten als fehlerhaft deklariert.
+Um aus den Übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden,
+doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 997e5ae44bcb81c81fbbf0c4fa29269ffe93fc24 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Mon, 19 Jul 2021 16:55:45 +0200
Subject: try to add picture

---
 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 10 +++++++++-
 1 file changed, 9 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index b0a772e..28b65bd 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -25,9 +25,17 @@ p(x)
 \end{equation}
 ergeben.
 Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
-Grafisch sieht man dies dann in Abbildung % TODO
+Grafisch sieht man dies dann in Abbildung 
 Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
 Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. 
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2.pdf}
+	\caption{Polynom \eqref{reedsolomon:equation1}}
+	\label{fig:polynom}
+\end{figure}
+
 \subsection{Beispiel}
 Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1},
 ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
-- 
cgit v1.2.1


From faf8fab3819a2b1eeb5529866716d545b52f6285 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Mon, 19 Jul 2021 17:36:11 +0200
Subject: another try

---
 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 7 +++++--
 1 file changed, 5 insertions(+), 2 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 28b65bd..5e91559 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -31,7 +31,8 @@ Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2.pdf}
+	%\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2}
+    %\input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex}
 	\caption{Polynom \eqref{reedsolomon:equation1}}
 	\label{fig:polynom}
 \end{figure}
@@ -43,7 +44,7 @@ Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben, kann man diese erkennen,
 da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen.
 Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten?
 Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
-gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.
+gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom}
 Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
 Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
 Dafür sind mehr übertragene Werte nötig.
@@ -58,6 +59,7 @@ die Entschlüsselt werden sollen, brauchen die gleiche Anzahl an  Polynomgraden,
 Für die Anzahl an Übertragungspunkte, muss bestimmt werden wieviel Fehler erkennt und korrigiert werden sollen.
 Mit Hilfe der Tabelle, sieht man das es bei $t$ Fehlern und $k$ Nutzlast Zahlen,
 $k+2t$ Punkte übertragen werden müssen.
+
 \begin{center}
     \begin{tabular}{ c c c } 
         \hline
@@ -71,6 +73,7 @@ $k+2t$ Punkte übertragen werden müssen.
         \hline
     \end{tabular}
 \end{center}
+
 Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden. 
 Um zurück auf unser Beispiel zu kommen, 
 können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $2t = 2\cdot2 = 4 $ Punkten falsch liegen 
-- 
cgit v1.2.1


From 1a539e1764591e3daf7a254a038f956209e7f942 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Mon, 19 Jul 2021 17:46:05 +0200
Subject: minor changes

---
 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 5e91559..08864cf 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -33,7 +33,7 @@ Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt
 	\centering
 	%\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2}
     %\input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex}
-	\caption{Polynom \eqref{reedsolomon:equation1}}
+	\caption{Polynom }
 	\label{fig:polynom}
 \end{figure}
 
-- 
cgit v1.2.1


From c8ac17e1f78eca79d8a2a62d0567f5ee02f4575c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Wed, 21 Jul 2021 15:17:21 +0200
Subject: update

---
 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 27 ++++++++++++++++-----------
 1 file changed, 16 insertions(+), 11 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 08864cf..39adbbf 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -25,23 +25,20 @@ p(x)
 \end{equation}
 ergeben.
 Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
-Grafisch sieht man dies dann in Abbildung 
+Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, 
+mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{green}{8}, 
+\textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26},
+\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60}, 
+\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
 Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
 Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. 
 
-\begin{figure}
-	\centering
-	%\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2}
-    %\input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex}
-	\caption{Polynom }
-	\label{fig:polynom}
-\end{figure}
-
 \subsection{Beispiel}
 Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1},
 ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
-Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben, kann man diese erkennen,
-da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen.
+Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen,
+da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. 
+(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{green}{grünen Punkte})
 Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten?
 Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
 gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom}
@@ -49,6 +46,14 @@ Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
 Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
 Dafür sind mehr übertragene Werte nötig.
 
+\begin{figure}
+	\centering
+	%\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2}
+    \input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex}
+	\caption{Polynom $p(x)$ \eqref{reedsolomon:equation1}}
+	\label{fig:polynom}
+\end{figure}
+
 \section{Fehlerbestimmung
 \label{reedsolomon:section:Fehlerbestimmmung}}
 So wird ein Muster indentifiziert, welches genau vorherbestimmen kann,
-- 
cgit v1.2.1

