From f12bfc8392b2f09416fb2171a4dd0107ebe16722 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Mon, 26 Jul 2021 14:17:05 +0200
Subject: update some files too

---
 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 13 ++++++++++---
 1 file changed, 10 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 39adbbf..e18ccd2 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -1,15 +1,22 @@
 %
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+% idee.tex -- Beispiel-File für das Paper
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Idee
 \label{reedsolomon:section:idee}}
 \rhead{Problemstellung}
+Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden,
+und so jeweilige Fehler zu erkennen.
+Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet.
+Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise.
 Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, 
 zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
 Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
 man kann sogar einige Fehler korrigieren.
+Der unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage kommt hat es Fehler oder keine,
+beim korrigieren muss man den Fehler erkennun und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
+Auch eine variante wäre es die Daten nach einem Fehler einfach nochmals zu senden, was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvolll ist. \ref(reedsolomon:section:anwendung)
 
 \rhead{Polynom-Ansatz}
 Eine Idee ist aus den Daten 
@@ -48,8 +55,8 @@ Dafür sind mehr übertragene Werte nötig.
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	%\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2}
-    \input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex}
+	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2}
+    %\input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex}
 	\caption{Polynom $p(x)$ \eqref{reedsolomon:equation1}}
 	\label{fig:polynom}
 \end{figure}
-- 
cgit v1.2.1


From 88c208363cf560043f87c2c83fa251177e74cd1b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Tue, 27 Jul 2021 13:20:05 +0200
Subject: save

---
 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 18 +++++++++---------
 1 file changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index e18ccd2..519e642 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -22,7 +22,7 @@ Auch eine variante wäre es die Daten nach einem Fehler einfach nochmals zu send
 Eine Idee ist aus den Daten 
 ein Polynom zu bilden.
 Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt.
-Nehmen wir als beisbiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
+Nehmen wir als Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
 welche uns dann das Polynom 
 \begin{equation}
 p(x)
@@ -31,21 +31,21 @@ p(x)
 \label{reedsolomon:equation1}
 \end{equation}
 ergeben.
-Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
+Übertragen werden nun die Werte dieses Polynomes an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
 Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, 
-mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{green}{8}, 
-\textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26},
-\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60}, 
-\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$
-Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
+mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, 
+\textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26},
+\textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, 
+\textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$
+Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
 Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. 
 
 \subsection{Beispiel}
-Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1},
+Für das Beispiel aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1},
 ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
 Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen,
 da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. 
-(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{green}{grünen Punkte})
+(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{darkgreen}{grünen Punkte})
 Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten?
 Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
 gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom}
-- 
cgit v1.2.1


From 5daff6cc906d9abb2a913569588a0666b4d53b4a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Wed, 28 Jul 2021 17:52:37 +0200
Subject: rewrite some texts

---
 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 73 +++++++++++++++++++++++++---------------
 1 file changed, 45 insertions(+), 28 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 519e642..8ad3d27 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
 %
-% idee.tex -- Beispiel-File für das Paper
+% idee.tex -- Polynom Idee
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
@@ -14,15 +14,19 @@ Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen,
 zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
 Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
 man kann sogar einige Fehler korrigieren.
-Der unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage kommt hat es Fehler oder keine,
-beim korrigieren muss man den Fehler erkennun und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
-Auch eine variante wäre es die Daten nach einem Fehler einfach nochmals zu senden, was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvolll ist. \ref(reedsolomon:section:anwendung)
+Der unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird mit: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
+Beim Korrigieren werden Fehler erkennt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
+Auch eine Variante wäre es die Daten nach einem Fehler nachdem Fehlerhaften senden, nochmals versenden(auch hier wieder doppelt und dreifach Sendung), 
+was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. 
+\externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen}
+\ref{reedsolomon:section:anwendung}
 
+\subsection{Polynom-Ansatz
+\label{reedsolomon:section:polynomansatz}}
 \rhead{Polynom-Ansatz}
-Eine Idee ist aus den Daten 
-ein Polynom zu bilden.
+Eine Idee ist aus den Daten ein Polynom zu bilden.
 Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt.
-Nehmen wir als Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
+\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
 welche uns dann das Polynom 
 \begin{equation}
 p(x)
@@ -31,7 +35,8 @@ p(x)
 \label{reedsolomon:equation1}
 \end{equation}
 ergeben.
-Übertragen werden nun die Werte dieses Polynomes an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
+Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} 
+dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
 Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, 
 mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, 
 \textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26},
@@ -39,9 +44,11 @@ mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8},
 \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$
 Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
 Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. 
+Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der Farbe grün \textcolor{darkgreen}{Übermitteln}.
+\end{beispiel}
 
-\subsection{Beispiel}
-Für das Beispiel aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1},
+\begin{beispiel}
+Aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1},
 ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
 Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen,
 da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. 
@@ -51,29 +58,40 @@ Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
 gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom}
 Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
 Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
-Dafür sind mehr übertragene Werte nötig.
+Da das Konkurenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleited.
+Um das Konkurenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig.
+\end{beispiel}
 
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2}
-    %\input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex}
-	\caption{Polynom $p(x)$ \eqref{reedsolomon:equation1}}
+    %\input{papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex}
+	\caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}}
 	\label{fig:polynom}
 \end{figure}
 
-\section{Fehlerbestimmung
-\label{reedsolomon:section:Fehlerbestimmmung}}
-So wird ein Muster indentifiziert, welches genau vorherbestimmen kann,
-wie gross das Polynom sein muss und wie viele Übertragungspunkte gegeben werden müssen.
-Um zu bestimmen wie viel Fehler erkennt und korriegiert werden können.
-Die Anzahl Zahlen (Daten, ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast),
-die Entschlüsselt werden sollen, brauchen die gleiche Anzahl an  Polynomgraden, beginnend bei Grad 0. ( \( k-1 \) )
-Für die Anzahl an Übertragungspunkte, muss bestimmt werden wieviel Fehler erkennt und korrigiert werden sollen.
-Mit Hilfe der Tabelle, sieht man das es bei $t$ Fehlern und $k$ Nutzlast Zahlen,
-$k+2t$ Punkte übertragen werden müssen.
+\section{Fehlerkorekturstellen bestimmen
+\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
+Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, die dann Fehler korrigieren,
+muss man zuerst Wissen wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
+Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, 
+brauchen die gleiche Anzahl an Polynomgraden, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$.
+Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel.
+\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir 7 \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} senden.
+Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurenzpolynom,
+maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurenzpolynom ist das gleiche wie das Original. 
+Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen.
+\end{beispiel}
+Durch das erkennen des Schemas in der Tabelle\ref{tabel:fehlerkorrekturstellen}
+\begin{equation}
+    \frac{\textcolor{darkgreen}{u}-\textcolor{blue}{k}}{\textcolor{red}{t}}
+    =2
+    \label{reedsolomon:equation2}
+\end{equation}
+zeigt sich das es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
 
 \begin{center}
-    \begin{tabular}{ c c c } 
+    \begin{tabular}{ c c | c} 
         \hline
         Nutzlas & Fehler & Übertragen \\
         \hline 
@@ -84,12 +102,11 @@ $k+2t$ Punkte übertragen werden müssen.
         $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ 
         \hline
     \end{tabular}
+    Fehlerkorrekturstellen Bestimmung TODO: Tabellenreferenz
+	\label{tabel:fehlerkorrekturstellen}
 \end{center}
 
-Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden. 
-Um zurück auf unser Beispiel zu kommen, 
-können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $2t = 2\cdot2 = 4 $ Punkten falsch liegen 
-und es wird kein eindeutiges Polynom zweiten Grades erkannt, und somit die Nutzlast Daten als fehlerhaft deklariert.
+Ein Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert.
 Um aus den Übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden,
 doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 8cc6ee76118ec1b446a732b9b7e06147737957d1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Thu, 29 Jul 2021 16:54:19 +0200
Subject: save typos

---
 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 56 +++++++++++++++++++---------------------
 1 file changed, 27 insertions(+), 29 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 8ad3d27..d8b8a93 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -14,9 +14,9 @@ Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen,
 zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
 Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
 man kann sogar einige Fehler korrigieren.
-Der unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird mit: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
-Beim Korrigieren werden Fehler erkennt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
-Auch eine Variante wäre es die Daten nach einem Fehler nachdem Fehlerhaften senden, nochmals versenden(auch hier wieder doppelt und dreifach Sendung), 
+Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
+Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
+Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wieder doppelt und dreifach Sendung), 
 was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. 
 \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen}
 \ref{reedsolomon:section:anwendung}
@@ -24,8 +24,8 @@ was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist.
 \subsection{Polynom-Ansatz
 \label{reedsolomon:section:polynomansatz}}
 \rhead{Polynom-Ansatz}
-Eine Idee ist aus den Daten ein Polynom zu bilden.
-Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt.
+Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden.
+Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten errechnet und diese Punkte dann überträgt.
 \begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
 welche uns dann das Polynom 
 \begin{equation}
@@ -48,18 +48,17 @@ Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
-Aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1},
-ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
-Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen,
-da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. 
-(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{darkgreen}{grünen Punkte})
+Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
+Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abb. \ref{fig:polynom} \textcolor{red}{roten Punkte}),
+kann man diese erkennen, da alle Punkte, die korrekt sind, auf der Parabel liegen müssen. 
+(Bei Abb. \ref{fig:polynom} \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte})
 Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten?
 Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
-gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom}
-Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
+gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. \ref{fig:polynom}
+Werden es mehr Fehler kann nur erkannt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
 Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
-Da das Konkurenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleited.
-Um das Konkurenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig.
+Da das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet.
+Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig.
 \end{beispiel}
 
 \begin{figure}
@@ -72,25 +71,25 @@ Um das Konkurenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übe
 
 \section{Fehlerkorekturstellen bestimmen
 \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
-Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, die dann Fehler korrigieren,
-muss man zuerst Wissen wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
+Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren,
+muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
 Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, 
-brauchen die gleiche Anzahl an Polynomgraden, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$.
+brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$.
 Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel.
-\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir 7 \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} senden.
-Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurenzpolynom,
-maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurenzpolynom ist das gleiche wie das Original. 
+\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir  \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden.
+Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom,
+maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. 
 Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen.
 \end{beispiel}
-Durch das erkennen des Schemas in der Tabelle\ref{tabel:fehlerkorrekturstellen}
+Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung
 \begin{equation}
     \frac{\textcolor{darkgreen}{u}-\textcolor{blue}{k}}{\textcolor{red}{t}}
     =2
     \label{reedsolomon:equation2}
 \end{equation}
-zeigt sich das es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
+zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
 
-\begin{center}
+\begin{table}
     \begin{tabular}{ c c | c} 
         \hline
         Nutzlas & Fehler & Übertragen \\
@@ -102,11 +101,10 @@ zeigt sich das es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
         $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ 
         \hline
     \end{tabular}
-    Fehlerkorrekturstellen Bestimmung TODO: Tabellenreferenz
-	\label{tabel:fehlerkorrekturstellen}
-\end{center}
+    \caption{\label{tab:fehlerkorrekturstellen} Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.}
+\end{table}
 
-Ein Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert.
-Um aus den Übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden,
-doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig.
+Ein Nebeneffekt ist, dass dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert.
+Um aus den übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden,
+doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und fehleranfällig.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 0cd67d0c23d8781999522a05cf2c5c49e76e3326 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Fri, 30 Jul 2021 11:41:58 +0200
Subject: save

---
 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 31 ++++++++++++++++---------------
 1 file changed, 16 insertions(+), 15 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index d8b8a93..41e0d4c 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -1,8 +1,6 @@
 %
 % idee.tex -- Polynom Idee
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
 \section{Idee
 \label{reedsolomon:section:idee}}
 \rhead{Problemstellung}
@@ -12,14 +10,14 @@ Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppel
 Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise.
 Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, 
 zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
-Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
+Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
 man kann sogar einige Fehler korrigieren.
 Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
 Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
-Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wieder doppelt und dreifach Sendung), 
+Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), 
 was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. 
-\externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen}
-\ref{reedsolomon:section:anwendung}
+Anwendungen finden sind im Abchnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen}
+\ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben.
 
 \subsection{Polynom-Ansatz
 \label{reedsolomon:section:polynomansatz}}
@@ -43,28 +41,29 @@ mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8},
 \textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, 
 \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$
 Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
-Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. 
+Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen \textcolor{darkgreen}{Werte} übermittelt wurden. 
 Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der Farbe grün \textcolor{darkgreen}{Übermitteln}.
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}
 Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
-Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abb. \ref{fig:polynom} \textcolor{red}{roten Punkte}),
-kann man diese erkennen, da alle Punkte, die korrekt sind, auf der Parabel liegen müssen. 
-(Bei Abb. \ref{fig:polynom} \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte})
+Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,in der Abbilbung \ref{fig:polynom} die \textcolor{red}{roten Punkte}).
+Erkennt man diese Fehler, da alle korrekten Punkte auf der Parabel liegen müssen. 
+Die \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte} bestimmen die Parabel, und die Fehler können zu den 
+\textcolor{gray}{Orginalpunkte} rekonstruiert werden.
 Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten?
 Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
 gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. \ref{fig:polynom}
 Werden es mehr Fehler kann nur erkannt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
 Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
-Da das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet.
+Da andere Polynome oder das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet.
 Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig.
 \end{beispiel}
 
-\begin{figure}
+\begin{figure}%[!ht]
 	\centering
-	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2}
-    %\input{papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex}
+	%\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2}
+    \input{papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex}
 	\caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}}
 	\label{fig:polynom}
 \end{figure}
@@ -90,6 +89,7 @@ Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen,
 zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
 
 \begin{table}
+    \centering
     \begin{tabular}{ c c | c} 
         \hline
         Nutzlas & Fehler & Übertragen \\
@@ -101,7 +101,8 @@ zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
         $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ 
         \hline
     \end{tabular}
-    \caption{\label{tab:fehlerkorrekturstellen} Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.}
+    \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.}
+    \label{tab:fehlerkorrekturstellen}
 \end{table}
 
 Ein Nebeneffekt ist, dass dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert.
-- 
cgit v1.2.1


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diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 41e0d4c..7620df1 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -16,7 +16,7 @@ Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur di
 Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
 Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), 
 was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. 
-Anwendungen finden sind im Abchnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen}
+Anwendungen finden sind im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen}
 \ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben.
 
 \subsection{Polynom-Ansatz
-- 
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diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 7620df1..c071b5e 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -5,60 +5,78 @@
 \label{reedsolomon:section:idee}}
 \rhead{Problemstellung}
 Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden,
-und so jeweilige Fehler zu erkennen.
+    also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einen Fehler zu erkennen.
+Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll,
+dann werden die Daten drei oder vierfach versendet.
 Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet.
-Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise.
 Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, 
-zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
+    zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
 Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
-man kann sogar einige Fehler korrigieren.
+    man kann sogar einige Fehler korrigieren.
 Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
 Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
-Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), 
-was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. 
+Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise.
 Anwendungen finden sind im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen}
 \ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben.
 
 \subsection{Polynom-Ansatz
 \label{reedsolomon:section:polynomansatz}}
 \rhead{Polynom-Ansatz}
-Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden.
-Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten errechnet und diese Punkte dann überträgt.
-\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
-welche uns dann das Polynom 
+Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. 
+In deieser Art arbeitet der Reed-Solomon-Code.
+Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen.
+\begin{beispiel} Nehmen wir zum Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
+    welche uns dann das Polynom 
 \begin{equation}
 p(x)
 =
 \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5}
 \label{reedsolomon:equation1}
 \end{equation}
-ergeben.
+ergibt.
+\par 
+Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. 
+Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte,
+    das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren.
+Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, 
+    sie kann nachgeschaut werden oder als Funktion angewendet werden.
+Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}.
+Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren?
+Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte.
 Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} 
-dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
+    dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
 Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, 
-mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, 
-\textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26},
-\textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, 
-\textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$
-Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren.
-Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen \textcolor{darkgreen}{Werte} übermittelt wurden. 
-Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der Farbe grün \textcolor{darkgreen}{Übermitteln}.
-\end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}
-Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar.
-Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,in der Abbilbung \ref{fig:polynom} die \textcolor{red}{roten Punkte}).
-Erkennt man diese Fehler, da alle korrekten Punkte auf der Parabel liegen müssen. 
-Die \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte} bestimmen die Parabel, und die Fehler können zu den 
-\textcolor{gray}{Orginalpunkte} rekonstruiert werden.
-Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten?
-Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten,
-gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. \ref{fig:polynom}
-Werden es mehr Fehler kann nur erkannt werden, dass das Polynom nicht stimmt.
-Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden.
-Da andere Polynome oder das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet.
-Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig.
-\end{beispiel}
+    mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, 
+    \textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26},
+    \textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, 
+    \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$
+Nun wird durch drei der 7 Punkte das Polynom eindeutig bestimmbar und 
+    alle anderen müssen auf diesem Polynom liegen.
+Dabei gingen wir von keinem Fehler aus,
+    hat es Fehler in der Übertragunge gegeben.
+Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
+\begin{enumerate}
+    \item \textit{Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten.
+        Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein, 
+        ansonsten ist der Fehler ein Orginalpunkt und somit kein Fehler.
+        Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden.
+        \par Orginal mit 6 Punkte > 3 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden
+        Damit ist klar das unser Polynom mit 6 Punkten richtig ist und unser Fehler kann rekonstruiert werden.
+    \item \textit{Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden.
+        Da der zweite Fehler frei wählbar ist kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}.
+        Nun haben wir, wie in unserer Grafik \ref{fig:polynom}, ein Polynom mit 5 übereinstimmenden und eines mit 4 Punkten.
+        Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen welches das original Polynom ist.
+        \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden
+    \item \textit{Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden.
+        Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom.
+        Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen.
+        Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden.
+        \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom nicht gefunden
+    \item \textit{Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
+        Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden.
+    \item \textit{Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und 
+        somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht.
+\end{enumerate}
 
 \begin{figure}%[!ht]
 	\centering
@@ -71,13 +89,13 @@ Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Üb
 \section{Fehlerkorekturstellen bestimmen
 \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
 Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren,
-muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
+    muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
 Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, 
-brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$.
+    brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$.
 Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel.
 \begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir  \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden.
 Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom,
-maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. 
+    maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. 
 Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen.
 \end{beispiel}
 Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung
@@ -86,7 +104,7 @@ Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen,
     =2
     \label{reedsolomon:equation2}
 \end{equation}
-zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
+    zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
 
 \begin{table}
     \centering
-- 
cgit v1.2.1


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diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index c071b5e..3061498 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -4,79 +4,69 @@
 \section{Idee
 \label{reedsolomon:section:idee}}
 \rhead{Problemstellung}
-Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden,
-    also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einen Fehler zu erkennen.
+Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden,
+    also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einzelne Fehler erkennen.
 Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll,
 dann werden die Daten drei oder vierfach versendet.
 Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet.
 Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, 
-    zu Übertragen und Fehler zu erkennen.
-Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, 
-    man kann sogar einige Fehler korrigieren.
+    zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren.
 Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
 Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
-Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise.
-Anwendungen finden sind im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen}
-\ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben.
+Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals auffordert.
+Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfach Übertragung.
+In Anwendungen des Reed-Soöomon-Code \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung}
+ist dies vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich.
+Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise.
 
 \subsection{Polynom-Ansatz
 \label{reedsolomon:section:polynomansatz}}
 \rhead{Polynom-Ansatz}
-Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. 
-In deieser Art arbeitet der Reed-Solomon-Code.
+Eine zentrale Idee des Reed-Solomon-Code ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. 
 Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen.
-\begin{beispiel} Nehmen wir zum Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
-    welche uns dann das Polynom 
+\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5},
+    welche übertragen werden sollen. Daraus bilden wir das Polynom
 \begin{equation}
 p(x)
 =
 \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5}
 \label{reedsolomon:equation1}
-\end{equation}
-ergibt.
+\end{equation}.
 \par 
 Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. 
 Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte,
     das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren.
-Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, 
-    sie kann nachgeschaut werden oder als Funktion angewendet werden.
+Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation,
+    wir brauchen sie als Funktion, die von Punktn ein Polynom errechnet.
 Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}.
 Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren?
 Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte.
 Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} 
-    dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes.
-Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, 
-    mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, 
-    \textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26},
-    \textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, 
-    \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$
-Nun wird durch drei der 7 Punkte das Polynom eindeutig bestimmbar und 
-    alle anderen müssen auf diesem Polynom liegen.
-Dabei gingen wir von keinem Fehler aus,
-    hat es Fehler in der Übertragunge gegeben.
+    dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 .
+In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt,
+die \textcolor{darkgreen}{übertragene Werte} des Polynoms sind grün.
+Die grünen Punkte bestimmen die Parabel. 
+Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punktenicht auf der Parabel liegen.
+Somit könnendie grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert.
+bis zu wivielen Fehler können wir nun korrigieren im Beispiel korrigieren?
 Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
-\begin{enumerate}
-    \item \textit{Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten.
-        Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein, 
-        ansonsten ist der Fehler ein Orginalpunkt und somit kein Fehler.
+\begin{itemize}
+    \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten.
+        Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein.
         Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden.
-        \par Orginal mit 6 Punkte > 3 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden
-        Damit ist klar das unser Polynom mit 6 Punkten richtig ist und unser Fehler kann rekonstruiert werden.
-    \item \textit{Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden.
-        Da der zweite Fehler frei wählbar ist kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}.
-        Nun haben wir, wie in unserer Grafik \ref{fig:polynom}, ein Polynom mit 5 übereinstimmenden und eines mit 4 Punkten.
-        Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen welches das original Polynom ist.
-        \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden
-    \item \textit{Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden.
+    \item Bei \textit{2 Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden.
+        Da der zweite Fehler frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}.
+        Nun haben wir, ein originles Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten.
+        Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das original Polynom ist.
+    \item Bei \textit{3 Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden.
         Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom.
         Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen.
         Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden.
-        \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom nicht gefunden
-    \item \textit{Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
+    \item Bei \textit{4 Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
         Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden.
-    \item \textit{Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und 
+    \item Bei \textit{5 Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und 
         somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht.
-\end{enumerate}
+\end{itemize}
 
 \begin{figure}%[!ht]
 	\centering
@@ -85,27 +75,16 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
 	\caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}}
 	\label{fig:polynom}
 \end{figure}
-
-\section{Fehlerkorekturstellen bestimmen
-\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
-Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren,
-    muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
-Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, 
-    brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$.
-Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel.
-\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir  \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden.
-Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom,
-    maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. 
-Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen.
 \end{beispiel}
-Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung
-\begin{equation}
-    \frac{\textcolor{darkgreen}{u}-\textcolor{blue}{k}}{\textcolor{red}{t}}
-    =2
-    \label{reedsolomon:equation2}
-\end{equation}
-    zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht.
 
+\section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen
+\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
+Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren,
+    muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
+Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$.
+Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, brauchen redundanz.
+Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, 
+    erkennt man almählich ein Muster.
 \begin{table}
     \centering
     \begin{tabular}{ c c | c} 
@@ -122,8 +101,17 @@ Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen,
     \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.}
     \label{tab:fehlerkorrekturstellen}
 \end{table}
+Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem Konkurenzierenden.
+Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler 2 übertragungspunkte mehr.
+Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl
+\begin{equation}
+    \textcolor{darkgreen}{u}=
+    \textcolor{blue}{k}2\textcolor{red}{t}
+    \label{reedsolomon:equation2}
+\end{equation}.
 
-Ein Nebeneffekt ist, dass dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert.
-Um aus den übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden,
-doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und fehleranfällig.
+Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert.
+Nun haben wir für jede rekonstruktion des Polynoms, die Polynominterpolation gebraucht.
+Diese Polynoiminterpolation ist leider schwierig und fehleranfällig.
+Deshalb finden wir eine alternative im nächsten Abschnitt.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 00406f140fd8a0680ef9d03a88ec032134e13566 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Sat, 7 Aug 2021 14:22:04 +0200
Subject: +

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 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 3061498..2142f88 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -106,7 +106,7 @@ Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler 2 übertragungspunkte mehr.
 Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl
 \begin{equation}
     \textcolor{darkgreen}{u}=
-    \textcolor{blue}{k}2\textcolor{red}{t}
+    \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}
     \label{reedsolomon:equation2}
 \end{equation}.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 787033c0f57c0890d2c248e95df70281546b3313 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: JODBaer <JODBaer@github.com>
Date: Mon, 9 Aug 2021 11:21:36 +0200
Subject: orthofehler korrigiert

---
 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 74 +++++++++++++++++++++-------------------
 1 file changed, 38 insertions(+), 36 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 2142f88..26e617c 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -5,18 +5,18 @@
 \label{reedsolomon:section:idee}}
 \rhead{Problemstellung}
 Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden,
-    also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einzelne Fehler erkennen.
-Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll,
+    also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweils einzelne Fehler erkennen.
+Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkannt werden soll und sogar noch das Orginal rekonstruiert werden soll,
 dann werden die Daten drei oder vierfach versendet.
 Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet.
 Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, 
     zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren.
-Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
-Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren.
-Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals auffordert.
-Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfach Übertragung.
-In Anwendungen des Reed-Soöomon-Code \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung}
-ist dies vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich.
+Der Unterschied des Fehler Erkennens und Korrigirens, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht?
+Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch die Originalwerte rekonstruiert.
+Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals anfordert.
+Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfachen Übertragung.
+In Anwendungen des Reed-Solomon-Codes Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung}
+    ist diese vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich.
 Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise.
 
 \subsection{Polynom-Ansatz
@@ -34,35 +34,35 @@ p(x)
 \end{equation}.
 \par 
 Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. 
-Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte,
+Bei einer fehlerlosen Übertragung können wir mit 3 übertragene Werte
     das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren.
-Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation,
-    wir brauchen sie als Funktion, die von Punktn ein Polynom errechnet.
-Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}.
+Wir brauchen Polynominterpolation als Methode, um aus Punkte wieder Polynom zu berechnen.
+Die Koeffizente des rekonstruierten Polynoms sind dann unsere gesendeten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}.
+\par 
 Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren?
-Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte.
+Versuchen wir doch mehr Werte zu übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte.
 Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} 
-    dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 .
+    dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3, \dots , 7.
 In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt,
-die \textcolor{darkgreen}{übertragene Werte} des Polynoms sind grün.
+    die \textcolor{darkgreen}{übertragenen Werte} des Polynoms sind grün.
 Die grünen Punkte bestimmen die Parabel. 
-Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punktenicht auf der Parabel liegen.
-Somit könnendie grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert.
-bis zu wivielen Fehler können wir nun korrigieren im Beispiel korrigieren?
+Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punkte nicht auf der Parabel liegen.
+Somit können die grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert.
+Bis zu wievielen Fehler können wir nun im Beispiel korrigieren?
 Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
 \begin{itemize}
-    \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten.
-        Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein.
-        Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden.
-    \item Bei \textit{2 Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden.
+    \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurrenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen.
+        Dabei können aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein.
+        Da 6 > 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden.
+    \item Bei \textit{2 Fehlern} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein Konkurrenzpolynom bilden.
         Da der zweite Fehler frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}.
-        Nun haben wir, ein originles Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten.
-        Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das original Polynom ist.
-    \item Bei \textit{3 Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden.
+        Nun haben wir, ein originales Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten.
+        Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist.
+    \item Bei \textit{3 Fehlern} kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden.
         Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom.
-        Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen.
-        Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden.
-    \item Bei \textit{4 Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
+        Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem originalen.
+        Das Originalpolynom kann nicht mehr gefunden werden.
+    \item Bei \textit{4 Fehlern} Es kann noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
         Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden.
     \item Bei \textit{5 Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und 
         somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht.
@@ -75,17 +75,18 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
 	\caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}}
 	\label{fig:polynom}
 \end{figure}
+\qedhere
 \end{beispiel}
 
 \section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen
 \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
 Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren,
     muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
-Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$.
-Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, brauchen redundanz.
+Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$.
+Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz.
 Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, 
     erkennt man almählich ein Muster.
-\begin{table}
+\begin{table}%[!ht]
     \centering
     \begin{tabular}{ c c | c} 
         \hline
@@ -101,17 +102,18 @@ Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch,
     \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.}
     \label{tab:fehlerkorrekturstellen}
 \end{table}
-Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem Konkurenzierenden.
-Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler 2 übertragungspunkte mehr.
+Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem konkurenzierenden.
+Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler zwei Übertragungspunkte mehr.
 Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl
 \begin{equation}
     \textcolor{darkgreen}{u}=
-    \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}
+    \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}.
     \label{reedsolomon:equation2}
-\end{equation}.
+\end{equation}
 
 Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert.
-Nun haben wir für jede rekonstruktion des Polynoms, die Polynominterpolation gebraucht.
+Für die Polynomkoeffizente nach der Übertragung zu rekonstruieren, 
+    haben wir jedes mal die Polynominterpolationmethode angewendet.
 Diese Polynoiminterpolation ist leider schwierig und fehleranfällig.
 Deshalb finden wir eine alternative im nächsten Abschnitt.
 
-- 
cgit v1.2.1


From f54db89a60364ccec5822ab025d2caadb52def8c Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Mon, 9 Aug 2021 13:45:45 +0200
Subject: feinheiten

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 buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 23 ++++++++++++-----------
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(limited to 'buch/papers/reedsolomon/idee.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
index 26e617c..6ee42ef 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex
@@ -51,20 +51,20 @@ Somit können die grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit ko
 Bis zu wievielen Fehler können wir nun im Beispiel korrigieren?
 Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
 \begin{itemize}
-    \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurrenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen.
+    \item[\textit{1 Fehler}:] Bei einem Fehler können konkurrenzierende, aber falsche Polynome zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen.
         Dabei können aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein.
         Da 6 > 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden.
-    \item Bei \textit{2 Fehlern} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein Konkurrenzpolynom bilden.
-        Da der zweite Fehler frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}.
-        Nun haben wir, ein originales Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten.
+    \item[\textit{2 Fehler}:] Bei Zwei Fehlern kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein konkurrenzierendes, aber falsches Polynom bilden.
+        Da der zweite \textcolor{red}{Fehler} frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem \textcolor{gray}{Konkurrenzpolynom} liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}.
+        Nun haben wir, ein \textcolor{blue}{originales Polynom} mit \textcolor{darkgreen}{5} übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten.
         Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist.
-    \item Bei \textit{3 Fehlern} kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden.
+    \item[\textit{3 Fehler}:] Bei Drei kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden.
         Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom.
         Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem originalen.
         Das Originalpolynom kann nicht mehr gefunden werden.
-    \item Bei \textit{4 Fehlern} Es kann noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
+    \item[\textit{4 Fehler}:] Bei Vier, kann es noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben.
         Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden.
-    \item Bei \textit{5 Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und 
+    \item[\textit{5 Fehler}] Bei Fünf, kann mit den 2 originalen Punkte das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und 
         somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht.
 \end{itemize}
 
@@ -82,8 +82,8 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt:
 \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}}
 Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren,
     muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. 
-Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$.
-Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz.
+Die Anzahl Datenwerte, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente \textcolor{blue}{$k$} und somit den Grad $k-1$.
+Die Bestimmung der Anzahl der Fehler \textcolor{red}{$t$}, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz.
 Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, 
     erkennt man almählich ein Muster.
 \begin{table}%[!ht]
@@ -102,9 +102,10 @@ Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch,
     \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.}
     \label{tab:fehlerkorrekturstellen}
 \end{table}
+\par 
 Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem konkurenzierenden.
-Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler zwei Übertragungspunkte mehr.
-Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl
+Somit braucht man für die Übertragung pro \textcolor{red}{Fehler} zwei Übertragungspunkte mehr.
+Wie in der Tabelle ergibt sich diese \textcolor{darkgreen}{Übertragungsanzahl}
 \begin{equation}
     \textcolor{darkgreen}{u}=
     \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}.
-- 
cgit v1.2.1

