From 81527bd39cb20969fa3a84c85a843bca511dcb51 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 24 May 2021 17:18:21 +0200
Subject: created rekonstruktion.tex

---
 buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex | 40 ++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 40 insertions(+)
 create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
new file mode 100644
index 0000000..a3edba4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
@@ -0,0 +1,40 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Nachricht Rekonstruieren
+\label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
+\rhead{Teil 3}
+Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
+accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
+quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
+dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
+aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
+eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
+est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
+velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
+et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
+veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
+nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
+reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
+consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
+pariatur?
+
+\subsection{De finibus bonorum et malorum
+\label{reedsolomon:subsection:malorum}}
+At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
+blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
+dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
+provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
+animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
+est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
+est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
+placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
+repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
+rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
+sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
+sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
+consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+
+
-- 
cgit v1.2.1


From e86e0ad0e4415450a9c8b28917024ee6d0d77da5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 28 May 2021 15:23:51 +0200
Subject: text added

---
 buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex | 204 ++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 174 insertions(+), 30 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
index a3edba4..8cb7744 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
@@ -5,36 +5,180 @@
 %
 \section{Nachricht Rekonstruieren
 \label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
+\rhead{Rekonstruktion}
+Im letzten Kapitel haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die Fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
+Mit diesen Stellen soll es uns nun möglich sein, aus dem fehlerhaften empfangenen Nachrichtenvektor wieder unsere Nachricht zu rekonstruieren.
+Das Lokatorpolynom
+\[
+d(X) = (X - a^3)(X-a^8)
+\]
+markiert dabei diese Fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor
+\[
+w = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4].
+\]
+Als Ausgangslage verwenden wir die Matrix, mit der wir den Nachrichtenvektor ursprünglich codiert haben.
+Unser Ziel ist es wie auch schon im Kapitel X.X (Rekonstuktion ohne Fehler) eine Möglichkeit zu finden, wie wir den Übertragungsvektor decodieren können. 
+Aufgrund der Fehlerstellen müssen wir aber davon ausgehen, das wir nicht mehr den gleichen Weg verfolgen können wie wir im Kapitel X.X angewendet haben.
 
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{reedsolomon:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen.
+\[
+\textcolor{gray}{
+	\begin{pmatrix}
+		a^0 \\ a^1 \\ a^2 \\ \textcolor{red}{a^3} \\ a^4 \\ a^5 \\ a^6 \\ a^7 \\ \textcolor{red}{a^8} \\ a^9 \\
+\end{pmatrix}}
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ \textcolor{red}{8} \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ \textcolor{red}{1} \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&	8^9\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^3}&	\textcolor{red}{8^6}&	\textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{12}}& \textcolor{red}{8^{15}}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{27}}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^8}& \textcolor{red}{8^{16}}& \textcolor{red}{8^{24}}& \textcolor{red}{8^{32}}& \textcolor{red}{8^{40}}& \textcolor{red}{8^{48}}& \textcolor{red}{8^{56}}& \textcolor{red}{8^{64}}& \textcolor{red}{8^{72}}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher kein weiterer Nutzen. 
+Aus diesem Grund werden diese Stellen aus dem Vektor entfernt, was wir hier ohne Probleme machen können, da dieser Code ja über Fehlerkorrekturstellen verfügt, deren Aufgabe es ist, eine bestimmte Anzahl an Fehler kompensieren zu können.
+Die dazugehörigen Zeilen in der Matrix werden ebenfalls entfernt, da die Matrix gleich viele Zeilen wie im Übertragungsvektor aufweisen muss, damit man ihn decodieren kann.
 
+Daraus resultiert
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	8^6&	8^7&    8^8&    8^9\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& 8^{12}& 8^{14}& 8^{16}& 8^{18}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& 8^{24}& 8^{28}& 8^{32}& 8^{36}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& 8^{30}& 8^{35}& 8^{40}& 8^{45}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& 8^{36}& 8^{42}& 8^{48}& 8^{54}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& 8^{42}& 8^{49}& 8^{56}& 8^{63}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& 8^{54}& 8^{63}& 8^{72}& 8^{81}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die Matrix ist jedoch nicht mehr quadratisch, was eine Rekonstruktion durch Inversion ausschliesst. 
+Um die quadratische Form wieder herzustellen müssen wir zwei Spalten aus der Matrix entfernen.
+Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das die Nachricht aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil besteht, wobei der letzteres bekanntlich aus lauter Nullstellen besteht.
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	\textcolor{green}{8^6}&	   \textcolor{green}{8^7}&    \textcolor{green}{8^8}&    \textcolor{green}{8^9}\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& \textcolor{green}{8^{12}}& \textcolor{green}{8^{14}}& \textcolor{green}{8^{16}}& \textcolor{green}{8^{18}}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor{green}{8^{24}}& \textcolor{green}{8^{28}}& \textcolor{green}{8^{32}}& \textcolor{green}{8^{36}}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor{green}{8^{30}}& \textcolor{green}{8^{35}}& \textcolor{green}{8^{40}}& \textcolor{green}{8^{45}}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor{green}{8^{36}}& \textcolor{green}{8^{42}}& \textcolor{green}{8^{48}}& \textcolor{green}{8^{54}}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor{green}{8^{42}}& \textcolor{green}{8^{49}}& \textcolor{green}{8^{56}}& \textcolor{green}{8^{63}}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor{green}{8^{54}}& \textcolor{green}{8^{63}}& \textcolor{green}{8^{72}}& \textcolor{green}{8^{81}}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{green}{m_6} \\ \textcolor{green}{m_7} \\ \textcolor{green}{m_8} \\ \textcolor{green}{m_9} \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Wir nehmen die Entsprechenden Spalten aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{4} \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^7}& \textcolor{red}{8^{14}}& \textcolor{red}{8^{21}}& \textcolor{red}{8^{28}}& \textcolor{red}{8^{35}}\\
+	\textcolor{red}{8^0}&	\textcolor{red}{8^9}& \textcolor{red}{8^{18}}& \textcolor{red}{8^{27}}& \textcolor{red}{8^{36}}& \textcolor{red}{8^{45}}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Die roten Zeilen können wir aufgrund der Überbestimmtheit ebenfalls entfernen und erhalten so die gesuchte quadratische Matrix
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+.
+\]
+Nun können wir den Gauss-Algorithmus anwenden um die Matrix zu Invertieren.
+\[
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	1&  1& 1&  1& 1&  1\\
+	1&  8& 9&  6& 4& 10\\
+	1&  9& 4&  3& 5&  1\\
+	1&  4& 5&  9& 3&  1\\
+	1& 10& 1& 10& 1& 10\\
+	1&  3& 9&  5& 4&  1\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\begin{pmatrix}
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+	6&  4&  4&  6& 2&  1\\
+	2&  7& 10&  3& 4&  7\\
+	1&  8&  9&  8& 3&  4\\
+	3&  6&  6&  4& 5&  9\\
+	10& 10&  9&  8& 1&  6\\
+	1&  9&  6&  4& 7&  6\\
+\end{pmatrix}
+\cdot
+\begin{pmatrix}
+	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\
+\end{pmatrix}
+\]
+Multiplizieren wir nun aus, erhalten wir unseren Nutzdatenteil
+\[
+m = [4,7,2,5,8,1]
+\]
+zurück, den wir ursprünglich versendet haben.
 
-- 
cgit v1.2.1


From 73d5c3d4df0f73e96c1bac2ae1ce3b4dfcdc9d90 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 10 Jun 2021 12:23:57 +0200
Subject: updated a lot

---
 buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex | 33 +++++++++++++++---------------
 1 file changed, 17 insertions(+), 16 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
index 8cb7744..89a700f 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
@@ -1,24 +1,25 @@
 %
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+% rekonstruktion.tex
+% Autor: Michael Steiner
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Nachricht Rekonstruieren
 \label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
 \rhead{Rekonstruktion}
-Im letzten Kapitel haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die Fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
+Im letzten Kapitel haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
 Mit diesen Stellen soll es uns nun möglich sein, aus dem fehlerhaften empfangenen Nachrichtenvektor wieder unsere Nachricht zu rekonstruieren.
 Das Lokatorpolynom
 \[
-d(X) = (X - a^3)(X-a^8)
+l(X) = (X - a^3)(X-a^8)
 \]
-markiert dabei diese Fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor
+markiert dabei diese fehlerhaften Stellen im Übertragungsvektor
 \[
 w = [5,3,6,8,2,10,2,7,1,4].
 \]
 Als Ausgangslage verwenden wir die Matrix, mit der wir den Nachrichtenvektor ursprünglich codiert haben.
-Unser Ziel ist es wie auch schon im Kapitel X.X (Rekonstuktion ohne Fehler) eine Möglichkeit zu finden, wie wir den Übertragungsvektor decodieren können. 
-Aufgrund der Fehlerstellen müssen wir aber davon ausgehen, das wir nicht mehr den gleichen Weg verfolgen können wie wir im Kapitel X.X angewendet haben.
+Unser Ziel ist es wie auch schon im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} eine Möglichkeit zu finden, wie wir den Übertragungsvektor decodieren können. 
+Aufgrund der Fehlerstellen müssen wir aber davon ausgehen, das wir nicht mehr den gleichen Weg verfolgen können wie wir im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} angewendet haben.
 
 Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen.
 \[
@@ -82,21 +83,21 @@ Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das di
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
-	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}&    \textcolor{green}{8^0}\\
-	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	\textcolor{green}{8^6}&	   \textcolor{green}{8^7}&    \textcolor{green}{8^8}&    \textcolor{green}{8^9}\\
-	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& \textcolor{green}{8^{12}}& \textcolor{green}{8^{14}}& \textcolor{green}{8^{16}}& \textcolor{green}{8^{18}}\\
-	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor{green}{8^{24}}& \textcolor{green}{8^{28}}& \textcolor{green}{8^{32}}& \textcolor{green}{8^{36}}\\
-	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor{green}{8^{30}}& \textcolor{green}{8^{35}}& \textcolor{green}{8^{40}}& \textcolor{green}{8^{45}}\\
-	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor{green}{8^{36}}& \textcolor{green}{8^{42}}& \textcolor{green}{8^{48}}& \textcolor{green}{8^{54}}\\
-	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor{green}{8^{42}}& \textcolor{green}{8^{49}}& \textcolor{green}{8^{56}}& \textcolor{green}{8^{63}}\\
-	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor{green}{8^{54}}& \textcolor{green}{8^{63}}& \textcolor{green}{8^{72}}& \textcolor{green}{8^{81}}\\
+	8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    8^0&    \textcolor{darkgreen}{8^0}&    \textcolor{darkgreen}{8^0}&    \textcolor{darkgreen}{8^0}&    \textcolor{darkgreen}{8^0}\\
+	8^0&	8^1&	8^2&	8^3&	8^4&	8^5&	\textcolor{darkgreen}{8^6}&	   \textcolor{darkgreen}{8^7}&    \textcolor{darkgreen}{8^8}&    \textcolor{darkgreen}{8^9}\\
+	8^0&	8^2&	8^4&	8^6&	8^8& 8^{10}& \textcolor{darkgreen}{8^{12}}& \textcolor{darkgreen}{8^{14}}& \textcolor{darkgreen}{8^{16}}& \textcolor{darkgreen}{8^{18}}\\
+	8^0&	8^4&	8^8& 8^{12}& 8^{16}& 8^{20}& \textcolor{darkgreen}{8^{24}}& \textcolor{darkgreen}{8^{28}}& \textcolor{darkgreen}{8^{32}}& \textcolor{darkgreen}{8^{36}}\\
+	8^0&	8^5& 8^{10}& 8^{15}& 8^{20}& 8^{25}& \textcolor{darkgreen}{8^{30}}& \textcolor{darkgreen}{8^{35}}& \textcolor{darkgreen}{8^{40}}& \textcolor{darkgreen}{8^{45}}\\
+	8^0&	8^6& 8^{12}& 8^{18}& 8^{24}& 8^{30}& \textcolor{darkgreen}{8^{36}}& \textcolor{darkgreen}{8^{42}}& \textcolor{darkgreen}{8^{48}}& \textcolor{darkgreen}{8^{54}}\\
+	8^0&	8^7& 8^{14}& 8^{21}& 8^{28}& 8^{35}& \textcolor{darkgreen}{8^{42}}& \textcolor{darkgreen}{8^{49}}& \textcolor{darkgreen}{8^{56}}& \textcolor{darkgreen}{8^{63}}\\
+	8^0&	8^9& 8^{18}& 8^{27}& 8^{36}& 8^{45}& \textcolor{darkgreen}{8^{54}}& \textcolor{darkgreen}{8^{63}}& \textcolor{darkgreen}{8^{72}}& \textcolor{darkgreen}{8^{81}}\\
 \end{pmatrix}
 \cdot
 \begin{pmatrix}
-	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{green}{m_6} \\ \textcolor{green}{m_7} \\ \textcolor{green}{m_8} \\ \textcolor{green}{m_9} \\
+	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{darkgreen}{m_6} \\ \textcolor{darkgreen}{m_7} \\ \textcolor{darkgreen}{m_8} \\ \textcolor{darkgreen}{m_9} \\
 \end{pmatrix}
 \]
-Wir nehmen die Entsprechenden Spalten aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem
+Wir nehmen die entsprechenden Spalten aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem
 \[
 \begin{pmatrix}
 	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{4} \\
-- 
cgit v1.2.1


From f04279543c41d828b0684fe603e09cfb4f9ed8b1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 23 Jun 2021 20:00:21 +0200
Subject: several changes

---
 buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
index 89a700f..40919d7 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
 %
 \section{Nachricht Rekonstruieren
 \label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
-\rhead{Rekonstruktion}
+\rhead{Rekonstruktion der Nachricht}
 Im letzten Kapitel haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
 Mit diesen Stellen soll es uns nun möglich sein, aus dem fehlerhaften empfangenen Nachrichtenvektor wieder unsere Nachricht zu rekonstruieren.
 Das Lokatorpolynom
-- 
cgit v1.2.1


From fa0d3a4ead1df4b8587035b8b62b42375f970ba9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 24 Jun 2021 18:47:13 +0200
Subject: all files updated and corrected

---
 buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex | 9 ++++++---
 1 file changed, 6 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
index 40919d7..04e748c 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \section{Nachricht Rekonstruieren
 \label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
 \rhead{Rekonstruktion der Nachricht}
-Im letzten Kapitel haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
+Im letzten Abschnitt haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
 Mit diesen Stellen soll es uns nun möglich sein, aus dem fehlerhaften empfangenen Nachrichtenvektor wieder unsere Nachricht zu rekonstruieren.
 Das Lokatorpolynom
 \[
@@ -21,7 +21,7 @@ Als Ausgangslage verwenden wir die Matrix, mit der wir den Nachrichtenvektor urs
 Unser Ziel ist es wie auch schon im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} eine Möglichkeit zu finden, wie wir den Übertragungsvektor decodieren können. 
 Aufgrund der Fehlerstellen müssen wir aber davon ausgehen, das wir nicht mehr den gleichen Weg verfolgen können wie wir im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:decohnefehler} angewendet haben.
 
-Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen.
+Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen:
 \[
 \textcolor{gray}{
 	\begin{pmatrix}
@@ -47,8 +47,9 @@ Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen.
 \begin{pmatrix}
 	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ m_6 \\ m_7 \\ m_8 \\ m_9 \\
 \end{pmatrix}
+.
 \]
-Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher kein weiterer Nutzen. 
+Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher keinen weiterer Nutzen. 
 Aus diesem Grund werden diese Stellen aus dem Vektor entfernt, was wir hier ohne Probleme machen können, da dieser Code ja über Fehlerkorrekturstellen verfügt, deren Aufgabe es ist, eine bestimmte Anzahl an Fehler kompensieren zu können.
 Die dazugehörigen Zeilen in der Matrix werden ebenfalls entfernt, da die Matrix gleich viele Zeilen wie im Übertragungsvektor aufweisen muss, damit man ihn decodieren kann.
 
@@ -183,3 +184,5 @@ m = [4,7,2,5,8,1]
 \]
 zurück, den wir ursprünglich versendet haben.
 
+Wir möchten noch anmerken, dass es mehrere Wege für die Rekonstruktion des Nutzdatenteils gibt, diese aber alle auf dem Lokatorpolynom basieren. 
+
-- 
cgit v1.2.1


From 60d4a3350dc813cbd17c8dd8cf0a4b50b0f84346 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 14 Jul 2021 17:01:21 +0200
Subject: various chapters updated, zusammenfassung filld with content

---
 buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex | 7 ++++---
 1 file changed, 4 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
index 04e748c..38d54a2 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Nachricht Rekonstruieren
+\section{Nachricht rekonstruieren
 \label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
 \rhead{Rekonstruktion der Nachricht}
 Im letzten Abschnitt haben wir eine Möglichkeit gefunden, wie wir die fehlerhaften Stellen lokalisieren können.
@@ -49,7 +49,7 @@ Wir stellen also die Matrix auf und markieren gleichzeitig die Fehlerstellen:
 \end{pmatrix}
 .
 \]
-Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher keinen weiterer Nutzen. 
+Die rot markierten Stellen im Übertragungsvektor enthalten Fehler und bringt uns daher keinen weiteren Nutzen. 
 Aus diesem Grund werden diese Stellen aus dem Vektor entfernt, was wir hier ohne Probleme machen können, da dieser Code ja über Fehlerkorrekturstellen verfügt, deren Aufgabe es ist, eine bestimmte Anzahl an Fehler kompensieren zu können.
 Die dazugehörigen Zeilen in der Matrix werden ebenfalls entfernt, da die Matrix gleich viele Zeilen wie im Übertragungsvektor aufweisen muss, damit man ihn decodieren kann.
 
@@ -78,6 +78,7 @@ Daraus resultiert
 Die Matrix ist jedoch nicht mehr quadratisch, was eine Rekonstruktion durch Inversion ausschliesst. 
 Um die quadratische Form wieder herzustellen müssen wir zwei Spalten aus der Matrix entfernen.
 Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das die Nachricht aus Nutzdatenteil und Fehlerkorrekturteil besteht, wobei der letzteres bekanntlich aus lauter Nullstellen besteht.
+Wir nehmen die markierten Spalten in
 \[
 \begin{pmatrix}
 	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ 7 \\ 4 \\
@@ -98,7 +99,7 @@ Wir kennen aber das Resultat aus den letzten vier Spalten, da wir wissen, das di
 	m_0 \\ m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \\ \textcolor{darkgreen}{m_6} \\ \textcolor{darkgreen}{m_7} \\ \textcolor{darkgreen}{m_8} \\ \textcolor{darkgreen}{m_9} \\
 \end{pmatrix}
 \]
-Wir nehmen die entsprechenden Spalten aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem
+aus der Matrix heraus und erhalten so das Überbestimmte Gleichungssystem
 \[
 \begin{pmatrix}
 	5 \\ 3 \\ 6 \\ 2 \\ 10 \\ 2 \\ \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{4} \\
-- 
cgit v1.2.1


From 7f6814025b2f4ca6a2cc04488a92cd484444c4d7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 14 Jul 2021 17:31:13 +0200
Subject: file description updated

---
 buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex | 5 ++---
 1 file changed, 2 insertions(+), 3 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex')

diff --git a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
index 38d54a2..b099e68 100644
--- a/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
+++ b/buch/papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex
@@ -1,8 +1,7 @@
 %
-% rekonstruktion.tex
-% Autor: Michael Steiner
+% rekonstruktion.tex -- Rekonstruktion
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Nachricht rekonstruieren
 \label{reedsolomon:section:rekonstruktion}}
-- 
cgit v1.2.1

