From 47d7b23be51d7a8f362c65881be4a8dd0e100d06 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com> Date: Sun, 18 Jul 2021 14:57:21 +0200 Subject: file updated --- buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex | 60 ++++++++++++++++++++++++++++----- 1 file changed, 51 insertions(+), 9 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex index 83e0f94..4b30ec9 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex @@ -6,14 +6,40 @@ \section{Anwendungen des Reed-Solomon-Codes \label{reedsolomon:section:anwendung}} \rhead{Anwendungen} -\textcolor{red}{Platzierung der Bilder? Quellenangabe der Bilder?} In den vorherigen Abschnitten haben wir betrachtet, wie Reed-Solomon-Codes in der Theorie Funktionieren. In diesem Abschnitt werden wir einige Anwendungen vorstellen, bei denen ein Reed-Solomon-Code zum Einsatz kommt. + +Dabei teilen all diese Anwendungen das gleiche Problem: Die Daten können nur durch einen (höchst Wahrscheinlichen) fehlerbehafteten Kanal empfangen werden. Es gibt keine andere Methode an diese Daten zu kommen als über diesen Kanal. + + +In der Netzwerktechnik zum Beispiel ist es üblich, dass bei Paketverluste oder beschädigt empfangene Datenpakete diese einfach noch einmal inert wenigen Millisekunden angefordert werden können. +In der Raumfahrt ist dies nicht möglich, da aufgrund der beschränkten Speichermöglichkeit die gesammelten Daten so rasch wie möglich zur Erde gesendet werden. +Diese Daten wiederum brauchen aufgrund der grossen Distanz Stunden bis die Daten beim Empfänger ankommen. +Fehlerhafte Daten kann also auf Grund der Zeitverzögerung nicht mehr angefordert werden. + +Bei CDs oder DVDs gibt es zwar kein Zeitliches Problem, jedoch erschweren Kratzer, Verschmutzungen oder Produktionsfehler das Lesen einer solchen Disk. +Da vor allem Produktionsfehler und Kratzer irreversibel sind und die Disk nicht nach jedem Kratzer ersetzt werden muss, so wird die korrekte Ausgabe der gespeicherten Information durch die Fehlerkorrektur sichergestellt. + +Ein ähnlicher Ansatz verfolgen QR-Codes, wobei die Information auch dann noch gelesen werden kann wenn der Code nicht mehr vollständig vorhanden ist. + +%Wie man sieht, eignen sich Reed-Solomon-Codes vor allem für Anwendungen, bei der die Informationen nicht auf einen Anderen Weg beschafft werden kann. +% +% +%, bei denen die Wahrscheinlichkeit hoch ist, dass während der Übertragung +% +%Es ist deshalb umso wichtiger die Daten Codiert zu lesen um so gleich die Lesefehler zu korrigieren. +% +% da aufgrund der grossen Distanz Stunden vergehen können bis gesendete Daten auf der Erde empfangen werden kann. +% + + Obwohl alle diese Codes nach dem gleichen Prinzip arbeiten gibt es starke Unterschiede in deren Funktionsweise. Dies kommt vor allem daher, da die Codes nur Ressourcen zur Verfügung haben, die von der Hardware bereitstellt wird, auf denen die Codes implementiert wurden. Diese Codes bedienen sich daher verschiedener Tricks und Optimierungen um möglichst effizient zu arbeiten. -% + +Um die Fähigkeit eines verwendeten Reed-Solomon-Codes zu beschreiben verwendet man die Notation ($n$,$k$), wobei $n$ die Grösse des Nachrichtenblocks angibt und $k$ die Anzahl der Stellen, die für Nutzdaten gebraucht werden können. + %Dies kommt vor allem daher, da diese Codes an ihre Hardware gebunden sind, auf denen sie implementiert worden sind. %Deshalb wurden diese Codes stark optimiert damit sie möglichst Effizient arbeiten können. % @@ -45,8 +71,17 @@ Diese Codes bedienen sich daher verschiedener Tricks und Optimierungen um mögli %In den letzten abschnitten haben wir uns ausführlich die Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes angeschaut. In diesem Abschnitt möchten wir dem Leser ein paar bekannte beispiele vorstellen, in denen Reed-Solomon-Codes zum einsatz kommen. Es sei jedoch angemerkt, dass diese Anwendungen in der Umsetzung oft ein wenig anderst funktionieren als hier vorgestellt. Dies wurde vor allem wegen technischen optimierungen realisiert. (technische tricks und finessen), von der logik jedoch sehr stark an unserem Beispiel orientieren \subsection{Raumfahrt} -Obwohl Reed-Solomon-Codes bereits in den 1960er entwickelt wurden fanden sie erstmals Anwendung in der Voyager Raumsonde der NASA. Die Daten der zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden werden mit einem RS(255,233)-Code \textcolor{red}{benötigt das weitere erklärungen, wie z.b. 255: grösse nachrichtenblock, 233: anzahl der nutzbaren daten ?} zusammen mit einem konventionellen Faltungscode übertragen. - +Obwohl Reed-Solomon-Codes bereits in den 1960er entwickelt wurden fanden sie erstmals Anwendung in der Voyager Raumsonde der NASA. Die Daten der zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden (siehe Abbildung \ref{fig:voyager}) werden mit einem ($255$,$233$)-Code +Codiert. +Der Nachrichtenblock hat somit eine Länge von $255$ Zahlen, wovon $233$ als Nutzlast zur Verfügung stehen. +Damit ist es möglich bis zu $11$ Fehler im Nachrichtenblock zu korrigieren. +Der Codierte Nachrichtenblock wird in kleinere Blöcke aufgeteilt, mit einem Faltungscode erneut Codiert und anschliessend gesendet. Ein Faltungscode ist wie ein Reed-Solomon-Code in der Lage Fehler zu korrigieren, Funktioniert aber nach einem ganz anderen Prinzip. +Durch diese doppelte Codierung wird eine äusserst hohe Übertragungssicherheit garantiert. +% +%Dabei steht die Zahl 255 für grösse des Nachrichtenblocks, der die Anzahl 233 +% +% +% \textcolor{red}{benötigt das weitere Erklärungen, wie z.b. 255: grösse Nachrichtenblock, 233: anzahl der nutzbaren daten ?} zusammen mit einem konventionellen Faltungscode übertragen. Eine von der Sonde gesendete Nachricht hat eine Blockgrösse von 255 Zeichen, wovon 233 für die Nutzdaten gebraucht werden können. Dieser Code ist somit in der Lage 11 Fehler in einem Nachrichtenblock zu korrigieren. % % Die zwei im Jahre 1977 gestarteten Sonden senden Daten mit der Hilfe eines RS(255,233)-Code für die digitalen Bilder sowie einem konventionellen Faltungscode. % @@ -56,14 +91,14 @@ Obwohl Reed-Solomon-Codes bereits in den 1960er entwickelt wurden fanden sie ers \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Voyager_Sonde} - \caption{Voyager Raumsonde} + \caption{Mit einer Entfernung von über 22.8 Milliarden Kilometer ist die Voyager 1 Raumsonde das am weitesten entfernte, von Menschen erschaffene Objekt. Obwohl ihre Schwestersonde Voyager 2 zuerst ins All gestartet wurde befindet Sie sich ``nur'' 19 Milliarden Kilometer weit weg von der Erde. Aufgrund abnehmender Batterieleistung werden die beiden Sonden ihre wissenschaftlichen Aktivitäten etwa 2025 einstellen, bleiben aber bis in die 2030er mit uns in Kontakt.} \label{fig:voyager} \end{figure} \subsection{CD/DVD} Compact discs verwenden sogar zwei ineinander verschachtelte Reed-Solomon-Codes, einen (32,28)-Code und einen (28,24)-Code. -Beide Codes sind in der Lage, Fehler aus dem jeweils anderen gelesenen Block zu korrigieren. Dieses spezielle zusammenspielen dieser beiden Codes werden auch Cross-interleaved Reed-Solomon-Codes (CIRC) genannt. -Diese Vorgehensweise erzielt eine hohe Robustheit gegenüber Produktionsfehler oder Verschmutzung auf der Disc. Bei CD's sind diese in der Lage bis zu 4000 fehlerhafte Bits am Stück (ca. $2.5mm$) zu erkennen und zu korrigieren. +Beide Codes sind in der Lage, Fehler aus dem jeweils anderen gelesenen Block zu korrigieren. Dieses spezielle Zusammenspielen dieser beiden Codes werden auch Cross-interleaved Reed-Solomon-Codes (CIRC) genannt. +Diese Vorgehensweise erzielt eine hohe Robustheit gegenüber Produktionsfehlern oder Verschmutzung auf der Disc. Bei CDs sind diese in der Lage, bis zu 4000 fehlerhafte Bits am Stück (ca. $2.5mm$) zu erkennen und zu korrigieren. Die Digital Video Disc funktioniert nach dem selben Konzept mit grösseren Codeblöcken. Die DVD verwendet einen (208,192)-Code und einen (182,172)-Code. @@ -73,12 +108,19 @@ Die Digital Video Disc funktioniert nach dem selben Konzept mit grösseren Codeb \begin{figure} \centering \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc} - \caption{Compact Disc} + \caption{CDs kamen 1982 auf den Markt. Sie funktioniert durch das ``einbrennen'' von Punkten und Strichen, die die Daten repräsentieren. Gelesen werden diese wiederum durch die Reflektion eines Lasers an diesen Punkten und Strichen.} \label{fig:cd} \end{figure} \subsection{QR-Codes} -Quick Response Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel, nur dass QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Je nach grösse der Codierung ist der QR-Code im Endeffekt robuster gegen Beschädigungen. Bei Low Level Codes können 7\% der Daten Wiederhergestellt werden, beim High Level Code sind das sogar 30\%. +Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel der Abschnitte \ref{reedsolomon:section:codebsp} - \ref{reedsolomon:section:rekonstruktion} nur das QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Die Physische Grösse eines Codes ist stark abhängig von der Grösse der Codierung sowie dem Fehlerkorrektur-Level. Es ist so auf dem ersten Blick nicht ersichtlich, wie viel Nutzinformationen ein Qr-Code enthält. Die QR-Codes in Abbildung \ref{fig:qr} zeigen jeweils die Gleiche Information mit unterschiedlichem Fehlerkorrektur-Level. Codes mit einem höheren Korrektur-Level können auch für Desingner-Codes Zweckentfremdet werden. Dabei wird z.B. das Firmenlogo oder einen Schriftzug über den Qr-Code gelegt, ohne das die Funktion des Codes beeinträchtigt wird. Ein Beispiel dazu ist ebenfalls unter Abbildung \ref{fig:qr} \textcolor{red}{(noch nicht erstellt + beschreibung anpassen)} zu finden. + +% + +%So kann auf den ersten Blick nicht +% +% +% funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel, nur dass QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Je nach grösse der Codierung ist der QR-Code im Endeffekt robuster gegen Beschädigungen. Bei Low Level Codes können 7\% der Daten Wiederhergestellt werden, beim High Level Code sind das sogar 30\%. \begin{figure} \centering -- cgit v1.2.1 From 88de7e8d421d3d7395840fdf916bbd015254d43c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 19 Jul 2021 16:30:45 +0200 Subject: update --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 14 ++++---- buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex | 10 +++--- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 60 +++++++++++++++++++++------------- 3 files changed, 50 insertions(+), 34 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 025be3a..d276760 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -3,13 +3,17 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Diskrete Fourien Transformation +\section{Diskrete Fourier Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourientransformation. Dies wird weder eine erklärung der Forientransorfmation noch ein genauer gebrauch für den Reed-Solomon-Code. Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourientransformation auf Fehler reagiert. -wobei sie dann bei späteren Berchnungen ganz nütlich ist. +wobei sie dann bei späteren Berchnungen ganz nützlich ist. + +\subsection{Diskrete Fourientransformation Zusamenhang +\label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} +Die Diskrete Fourientransformation ist definiert als \subsection{Übertragungsabfolge \label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} @@ -22,9 +26,7 @@ Kommen nuun drei Fehler... hinzu zu diesem codierten Signal sind diese nicht zu Nach dem Empfangen... und decodieren ... erkennt man die fehlerhafte information in den Punkten 64 bis 100. Filtert man nur diese Punkte heraus und Transformiert sie mit Fourier erhält man die stellen an denen die Fehler sich eingeschlichen haben. -\subsection{Diskrete Fourientransformation Zusamenhang -\label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} -Die Diskrete Fourientransformation ist definiert als -.... + + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex index 3d40db1..2b1d878 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex @@ -6,13 +6,13 @@ \section{Einleitung \label{reedsolomon:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} -Der Reed-Solomon-Code ist entstaden im ... vom .. um, -das Problem der Daten Übertragung zu lösen. -In deiesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, Funktion oder Algorithmus erklärt. +Der Reed-Solomon-Code ist entstanden um, +das Problem der Fehler, bei der Datenübertragung, zu lösen. +In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, Funktion oder Algorithmus erklärt. Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen. -Um beim Daten Übertragen fehler zu erkennen könnte man die Daten jeweils doppelt senden, +Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, und so jeweilige Fehler zu erkennen. -Doch dies braucht schnell unmengen an Daten, wenn man nach vielen Fehler absichern möchte. +Doch nur schon um weinige Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 4a7716a..b0a772e 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -8,51 +8,65 @@ \rhead{Problemstellung} Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, zu Übertragen und Fehler zu erkennen. -Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkenen, +Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, man kann sogar einige Fehler korrigieren. \rhead{Polynom-Ansatz} -Eine Idee ist die Daten, -ein Polynom zu bilden und dieses dann mit bestimmten Punkten überträgt. +Eine Idee ist aus den Daten +ein Polynom zu bilden. +Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt. Nehmen wir als beisbiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, welche uns dann das Polynom \begin{equation} p(x) = -2x^2 + 1x + 5 +\textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} \label{reedsolomon:equation1} \end{equation} ergeben. -Übertragen werden nun die stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. -Grafisch sieht man dies dann im Abbild //TODO -Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger erkennen, welches das Richtige Polynom ist. -Der Leser/Empfänger weiss, mit welchem Grad das Polynom entwickelt wurde. +Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. +Grafisch sieht man dies dann in Abbildung % TODO +Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. +Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. \subsection{Beispiel} -Für das Beispeil aus der Gleichung \ref{reedsolomon:equation1}, +Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1}, ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben, kann man diese erkennen, da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten? Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. -Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden das das Polynom nicht stimmt. -Das Orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. -Dabei sollten mehr Übertragungspunkte gegeben werden. +Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt. +Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. +Dafür sind mehr übertragene Werte nötig. \section{Fehlerbestimmung \label{reedsolomon:section:Fehlerbestimmmung}} So wird ein Muster indentifiziert, welches genau vorherbestimmen kann, wie gross das Polynom sein muss und wie viele Übertragungspunkte gegeben werden müssen. -Durch ein klein wenig Überlegung ist klar das die anzahl Zahlen (Daten, ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), -die dan Entschlüsselt werden sollen den Grad des Polynoms minus 1 ergeben. +Um zu bestimmen wie viel Fehler erkennt und korriegiert werden können. +Die Anzahl Zahlen (Daten, ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), +die Entschlüsselt werden sollen, brauchen die gleiche Anzahl an Polynomgraden, beginnend bei Grad 0. ( \( k-1 \) ) Für die Anzahl an Übertragungspunkte, muss bestimmt werden wieviel Fehler erkennt und korrigiert werden sollen. -Mit Hilfe der Tabelle.... sieht man das es bei $$t$$ Fehlern und $$k$$ Nutzlast, -für das Übertragen $$k+2t$$ Punkte gegben werden müssen. - -Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $$2t$$ Fehler erkannt werden. -um zurück auf unser Beispiel zu kommen, -können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $$2t = 2*2 = 4 $$ Punkten falsch liegen -und es wird kein eindeutiges Polynom 2ten Grades erkannt, und somit die Nutzlast Daten als fehlerhaft deklariert. - -Ein Polynom durch Punkt mit Polynom Interpolation zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig. +Mit Hilfe der Tabelle, sieht man das es bei $t$ Fehlern und $k$ Nutzlast Zahlen, +$k+2t$ Punkte übertragen werden müssen. +\begin{center} + \begin{tabular}{ c c c } + \hline + Nutzlas & Fehler & Übertragen \\ + \hline + 3 & 2 & 7 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\ + 4 & 2 & 8 Werte eines Polynoms vom Grad 3 \\ + 3 & 3 & 9 Werte eines Polynoms vom Grad 2 \\ + \hline + $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ + \hline + \end{tabular} +\end{center} +Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden. +Um zurück auf unser Beispiel zu kommen, +können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $2t = 2\cdot2 = 4 $ Punkten falsch liegen +und es wird kein eindeutiges Polynom zweiten Grades erkannt, und somit die Nutzlast Daten als fehlerhaft deklariert. +Um aus den Übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden, +doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig. -- cgit v1.2.1 From 997e5ae44bcb81c81fbbf0c4fa29269ffe93fc24 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 19 Jul 2021 16:55:45 +0200 Subject: try to add picture --- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 10 +++++- buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex | 51 +++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 60 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index b0a772e..28b65bd 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -25,9 +25,17 @@ p(x) \end{equation} ergeben. Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. -Grafisch sieht man dies dann in Abbildung % TODO +Grafisch sieht man dies dann in Abbildung Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2.pdf} + \caption{Polynom \eqref{reedsolomon:equation1}} + \label{fig:polynom} +\end{figure} + \subsection{Beispiel} Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1}, ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex new file mode 100644 index 0000000..be9a65e --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +% polynome2 +%------------------- +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\newcommand{\teiler}{40} +\begin{document} +% Übertragen von den Zahlen +% \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5} +% als $ p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} $.\newline +% Versende $ (p(1),p(2),...,p(7)) = (\textcolor{green}{8}, +% \textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26}, +% \textcolor{green}{ 41}, \textcolor{green}{60}, +% \textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$ + + + \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + \draw[color=blue, line width=1.4pt] + plot[domain=0:8, samples=100] + ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); + \draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}]; + \def\punkt#1{ + \fill[color=green] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + \punkt{(1,8/\teiler)} + %\punkt{(2,15/\teiler)} + %\punkt{(3,26/\teiler)} + \punkt{(4,41/\teiler)} + \punkt{(5,60/\teiler)} + \punkt{(6,83/\teiler)} + \punkt{(7,110/\teiler)} + \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] + plot[domain=0.5:7, samples=100] + ({\x},{(0.1958*\x^2-1.2875*\x+3.0417)}); + \def\erpunkt#1{ + \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + \erpunkt{(2,50/\teiler)} + \erpunkt{(3,0.9414)} + + \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; + \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; + \end{tikzpicture} +\end{document} -- cgit v1.2.1 From faf8fab3819a2b1eeb5529866716d545b52f6285 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 19 Jul 2021 17:36:11 +0200 Subject: another try --- buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt | 96 +++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt | 96 +++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/experiments/empfangen.txt | 96 +++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/experiments/f.m | 22 ++++-- buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt | 96 +++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt | 96 +++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt | 96 +++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt | 96 +++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 7 +- buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex | 32 ++++---- buch/papers/reedsolomon/packages.tex | 2 + 11 files changed, 712 insertions(+), 23 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/empfangen.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt new file mode 100644 index 0000000..a57fb3e --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +305 +114.502535214877 +86.2532974498148 +10.2450106137816 +68.1373455525487 +12.2281691909479 +3.18633753309102 +20.0196562371296 +12.2767246322969 +11.7216140392957 +24.8752690882777 +16.2978466490127 +23.2518118214845 +16.5845482358975 +15.6140674930647 +33.396205039034 +20.7846096908265 +19.3528753492232 +16.3850575123207 +20.9502842499826 +17.064465004608 +11.7252100463969 +31.1005540675575 +29.4336965143315 +26.6270539113887 +18.0164813754079 +24.7444243500799 +7.51007272621331 +4.06984153366859 +27.215173252412 +17.2339815787965 +23.5539874432174 +22.2710574513201 +14.7961619823174 +25.5530773949688 +33.4185813747547 +11.5478676394508 +21.0691619228239 +28.7948800016184 +12.3795084046074 +17.0082930449459 +19.7473571196866 +18.4490385219626 +12.2195365467659 +7.58568158110485 +6.02300839250873 +14.565530706253 +3.78959213976527 +21 +3.78959213976527 +14.565530706253 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b/buch/papers/reedsolomon/experiments/f.m @@ -1,8 +1,8 @@ -# -# f.m -- Reed-Solomon-Visualisierung mit FFT -# -# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule -# +% +% f.m -- Reed-Solomon-Visualisierung mit FFT +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule + N = 64; b = 32; l = N + b; @@ -59,3 +59,15 @@ plot(locator); xlim([1, l]); title("Locator"); pause() + +writematrix(abs(signal), 'signal.txt') +writematrix(abs(codiert), 'codiert.txt') +writematrix(fehler, 'fehler.txt') +writematrix(abs(empfangen), 'empfangen.txt') +writematrix(abs(decodiert), 'decodiert.txt') +writematrix(abs(syndrom), 'syndrom.txt') +writematrix(locator, 'locator.txt') + + + + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt new file mode 100644 index 0000000..b8f9afb --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0 +0 +0 +0 +0 +0 +2 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +2 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt new file mode 100644 index 0000000..421d36e --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0.0301224340566959 +0.141653026854878 +0.138226631799375 +0.0339903276086926 +0.310585462557496 +0.551427312631386 +0.628514858396816 +0.511023862515591 +0.275861355940448 +0.0502396354182231 +0.0901855025475772 +0.110759344849757 +0.0684618905062958 +0.0362855426992255 +0.0697096919781522 +0.109288539370249 +0.0923187999496619 +0.0512198536768151 +0.274192386987786 +0.513496149536541 +0.633154426602464 +0.553283743533939 +0.307840573214511 +0.0341664350328389 +0.140270857956999 +0.138527177682829 +0.0296375477361526 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+0.0247199397628717 +0.0680137859566989 +0.0753882708734869 +0.0273637831604916 +0.0407867704453288 +0.0632964886441987 +0.0309749128751131 +0.0315202035072016 +0.0627625211892194 +0.0360843918243526 +0.0279492055149482 +0.0677921493367224 +0.0437167157553051 +0.0270640150996341 +0.0783380025231665 +0.0561293738314322 +0.0278742033265804 +0.0981443889498686 +0.0794543457386637 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt new file mode 100644 index 0000000..202dd02 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +5 +4 +4 +3 +5 +5 +8 +8 +6 +4 +8 +5 +4 +9 +9 +6 +6 +6 +2 +3 +5 +2 +8 +2 +2 +2 +2 +4 +3 +9 +4 +2 +9 +10 +4 +1 +3 +4 +6 +3 +6 +7 +2 +1 +3 +3 +4 +5 +1 +3 +8 +0 +9 +7 +5 +6 +2 +5 +10 +5 +5 +2 +5 +6 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt new file mode 100644 index 0000000..59b9dc4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0.0275599094902566 +0.0115837187254189 +0.0258777610142382 +0.0224618032819705 +0.0441059468994403 +0.0474504002669344 +0.0227694695500614 +0.0271436638090525 +0.0104166666666661 +0.027143663809052 +0.0227694695500605 +0.0474504002669342 +0.04410594689944 +0.0224618032819704 +0.0258777610142386 +0.0115837187254188 +0.027559909490256 +0.0245124379481791 +0.0499782237195213 +0.0401432022864264 +0.023292374765623 +0.0237974288564093 +0.0143895905726623 +0.0271745729691686 +0.0275599094902561 +0.051550167218498 +0.0358255004834538 +0.0247005083663728 +0.0210194725405181 +0.0177592928994299 +0.0261327016093146 +0.0314909067039408 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 28b65bd..5e91559 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -31,7 +31,8 @@ Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2.pdf} + %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2} + %\input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex} \caption{Polynom \eqref{reedsolomon:equation1}} \label{fig:polynom} \end{figure} @@ -43,7 +44,7 @@ Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben, kann man diese erkennen, da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten? Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, -gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. +gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom} Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt. Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. Dafür sind mehr übertragene Werte nötig. @@ -58,6 +59,7 @@ die Entschlüsselt werden sollen, brauchen die gleiche Anzahl an Polynomgraden, Für die Anzahl an Übertragungspunkte, muss bestimmt werden wieviel Fehler erkennt und korrigiert werden sollen. Mit Hilfe der Tabelle, sieht man das es bei $t$ Fehlern und $k$ Nutzlast Zahlen, $k+2t$ Punkte übertragen werden müssen. + \begin{center} \begin{tabular}{ c c c } \hline @@ -71,6 +73,7 @@ $k+2t$ Punkte übertragen werden müssen. \hline \end{tabular} \end{center} + Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden. Um zurück auf unser Beispiel zu kommen, können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $2t = 2\cdot2 = 4 $ Punkten falsch liegen diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex index be9a65e..4fdfc81 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex @@ -1,21 +1,21 @@ % polynome2 %------------------- -\documentclass[tikz]{standalone} -\usepackage{amsmath} -\usepackage{times} -\usepackage{txfonts} -\usepackage{pgfplots} -\usepackage{csvsimple} -\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +%\documentclass[tikz]{standalone} +%\usepackage{amsmath} +%\usepackage{times} +%\usepackage{txfonts} +%\usepackage{pgfplots} +%\usepackage{csvsimple} +%\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} \newcommand{\teiler}{40} -\begin{document} -% Übertragen von den Zahlen -% \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5} -% als $ p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} $.\newline -% Versende $ (p(1),p(2),...,p(7)) = (\textcolor{green}{8}, -% \textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26}, -% \textcolor{green}{ 41}, \textcolor{green}{60}, -% \textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$ +%\begin{document} + Übertragen von den Zahlen + \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5} + als $ p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} $.\newline + Versende $ (p(1),p(2),...,p(7)) = (\textcolor{green}{8}, + \textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26}, + \textcolor{green}{ 41}, \textcolor{green}{60}, + \textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$ \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] @@ -48,4 +48,4 @@ \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; \end{tikzpicture} -\end{document} +%\end{document} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/packages.tex b/buch/papers/reedsolomon/packages.tex index 3643731..4b1ee68 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/packages.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/packages.tex @@ -8,3 +8,5 @@ % following example %\usepackage{packagename} +\usepackage{pgfplots} + -- cgit v1.2.1 From 1a539e1764591e3daf7a254a038f956209e7f942 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 19 Jul 2021 17:46:05 +0200 Subject: minor changes --- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/main.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/teil2.tex | 40 --------------------------------------- 3 files changed, 2 insertions(+), 42 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/teil2.tex (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 5e91559..08864cf 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -33,7 +33,7 @@ Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt \centering %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2} %\input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex} - \caption{Polynom \eqref{reedsolomon:equation1}} + \caption{Polynom } \label{fig:polynom} \end{figure} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex index 6bd04f2..18994dc 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex @@ -30,7 +30,7 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren % Joshua \input{papers/reedsolomon/einleitung.tex} \input{papers/reedsolomon/idee.tex} -\input{papers/reedsolomon/teil2.tex} +%\input{papers/reedsolomon/teil2.tex} \input{papers/reedsolomon/dtf.tex} % Michael diff --git a/buch/papers/reedsolomon/teil2.tex b/buch/papers/reedsolomon/teil2.tex deleted file mode 100644 index b2adc9f..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{reedsolomon:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{reedsolomon:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - -- cgit v1.2.1 From bb1a2ba9187459d0304e2fa073306c333ae5f236 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com> Date: Mon, 19 Jul 2021 20:47:33 +0200 Subject: final pictures added, sources updated --- buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex | 28 ++++++++++- buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode.png | Bin 0 -> 163253 bytes .../images/designer_qrcode_ohnelogo.png | Bin 0 -> 133792 bytes buch/papers/reedsolomon/main.tex | 6 +++ buch/papers/reedsolomon/references.bib | 53 +++++++++++++++++++++ 5 files changed, 85 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode.png create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo.png (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex index 4b30ec9..c03b1a4 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex @@ -113,7 +113,7 @@ Die Digital Video Disc funktioniert nach dem selben Konzept mit grösseren Codeb \end{figure} \subsection{QR-Codes} -Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel der Abschnitte \ref{reedsolomon:section:codebsp} - \ref{reedsolomon:section:rekonstruktion} nur das QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Die Physische Grösse eines Codes ist stark abhängig von der Grösse der Codierung sowie dem Fehlerkorrektur-Level. Es ist so auf dem ersten Blick nicht ersichtlich, wie viel Nutzinformationen ein Qr-Code enthält. Die QR-Codes in Abbildung \ref{fig:qr} zeigen jeweils die Gleiche Information mit unterschiedlichem Fehlerkorrektur-Level. Codes mit einem höheren Korrektur-Level können auch für Desingner-Codes Zweckentfremdet werden. Dabei wird z.B. das Firmenlogo oder einen Schriftzug über den Qr-Code gelegt, ohne das die Funktion des Codes beeinträchtigt wird. Ein Beispiel dazu ist ebenfalls unter Abbildung \ref{fig:qr} \textcolor{red}{(noch nicht erstellt + beschreibung anpassen)} zu finden. +Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel der Abschnitte \ref{reedsolomon:section:codebsp} - \ref{reedsolomon:section:rekonstruktion} nur das QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Die Physische Grösse eines Codes ist stark abhängig von der Grösse der Codierung sowie dem Fehlerkorrektur-Level. Es ist so auf dem ersten Blick nicht ersichtlich, wie viel Nutzinformationen ein Qr-Code enthält. Die QR-Codes in Abbildung \ref{fig:qr} zeigen jeweils die Gleiche Information mit unterschiedlichem Fehlerkorrektur-Level. Codes mit einem höheren Korrektur-Level können auch für Designer-Codes Zweckentfremdet werden. Dabei wird z.B. das Firmenlogo oder einen Schriftzug über den Qr-Code gelegt, ohne das die Funktion des Codes beeinträchtigt wird. Ein Beispiel dazu ist unter Abbildung \ref{fig:designqr} zu finden. % @@ -130,6 +130,30 @@ Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen \subfigure[]{ \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_l} } - \caption{(a) High Level Code, (b) Low Level Code} +% \subfigure[]{ +% \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo} +% } +% \subfigure[]{ +% \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/designer_qrcode} +% } + \caption{Anhand der grösse würde man darauf schliessen, dass bei (a) mehr Informationen Codiert sind als bei (b). Tatsächlich aber beinhalten beide Codes die gleiche Information. Das liegt daran, da die Fehlerkorrekturfähigkeit von QR-Codes sich in insgesamt vier Levels aufteilen lassen. Der höchste Fehlerkorrektur-Level, der bei (a) angewendet wurde, ist in der Lage, bis zu 30\% der Daten wiederherzustellen. Der kleinste Level schafft etwa 7\%, der in (b) veranschaulicht wird. Da die Grösse also nichts über die Menge an Daten aussagt, könnte es sich bei (a) auch um einen Code mit viel Nutzdaten und kleinem Fehlerkorrektur-Level handeln. Der Unterschied ist von Auge nicht sichtbar.} \label{fig:qr} \end{figure} + +\begin{figure} + \centering +% \subfigure[]{ +% \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_h} +% } +% \subfigure[]{ +% \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/qrcode_l} +% } + \subfigure[]{ + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo} + } + \subfigure[]{ + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/designer_qrcode} + } + \caption{Während (a) noch ein unveränderter QR-Code repräsentiert, handelt es sich bei (b) nun um einen Designer-QR-Code. Beide Codes verfügen über einen mittleren Fehlerkorrektur-Level von theoretisch 15\%. Da bei (b) jetzt einen Teil des Codes durch ein Logo verdeckt wird, schränkt sich dadurch die Fehlerkorrekturfähigkeit je nach grösse des verdeckten Teils mehr oder weniger stark ein. Unser Designer-Code in (b) ist nur noch in der Lage etwa 9\% des Codes zu rekonstruieren.} + \label{fig:designqr} +\end{figure} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode.png b/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode.png new file mode 100644 index 0000000..a9e0505 Binary files /dev/null and b/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode.png differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo.png b/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo.png new file mode 100644 index 0000000..fe4251d Binary files /dev/null and b/buch/papers/reedsolomon/images/designer_qrcode_ohnelogo.png differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex index 6bd04f2..a400508 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex @@ -45,6 +45,12 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren \nocite{reedsolomon:weitz} \nocite{reedsolomon:informationkommunikation} +\nocite{reedsolomon:voyager_programm} +\nocite{reedsolomon:voyager} +\nocite{reedsolomon:cd_wiki} +\nocite{reedsolomon:cd} +\nocite{reedsolomon:qr_wiki} +\nocite{reedsolomon:qr} %\nocite{reedsolomon:mendezmueller} \printbibliography[heading=subbibliography] diff --git a/buch/papers/reedsolomon/references.bib b/buch/papers/reedsolomon/references.bib index 731bd35..e0a75a8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/references.bib +++ b/buch/papers/reedsolomon/references.bib @@ -23,3 +23,56 @@ volume = {1} } +@online{reedsolomon:voyager_programm, + title = {Information über das Voyager Programm}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Voyager-Programm}, + date = {2021-07-19}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {19} +} + +@online{reedsolomon:voyager, + title = {Bild der Voyager Raumsonde}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Voyager_1}, + date = {2021-07-19}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {19} +} + +@online{reedsolomon:cd_wiki, + title = {Alles über die CD}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Compact_Disc}, + date = {2021-07-19}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {19} +} + +@online{reedsolomon:cd, + title = {Funktionsweise des QR-Codes}, + url = {https://www.stickpng.com/img/electronics/compact-discs/stack-compact-disc}, + date = {2021-07-19}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {19} +} + +@online{reedsolomon:qr_wiki, + title = {Funktionsweise des QR-Codes}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/QR-Code}, + date = {2021-07-19}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {19} +} + +@online{reedsolomon:qr, + title = {Tool zum erstellen von QR-Codes}, + url = {https://www.qrcode-generator.ch}, + date = {2021-07-19}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {19} +} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From c8ac17e1f78eca79d8a2a62d0567f5ee02f4575c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 21 Jul 2021 15:17:21 +0200 Subject: update --- .../RS presentation/images/polynom1 - Kopie.tex | 33 ++++ buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 10 +- buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt | 192 ++++++++++----------- buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt | 192 ++++++++++----------- buch/papers/reedsolomon/experiments/empfangen.txt | 192 ++++++++++----------- buch/papers/reedsolomon/experiments/f.m | 17 +- buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt | 192 ++++++++++----------- buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt | 192 ++++++++++----------- buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex | 91 ++++++++++ buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt | 192 ++++++++++----------- buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt | 192 ++++++++++----------- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 27 +-- buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex | 77 +++++++++ buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex | 88 +++++----- 14 files changed, 946 insertions(+), 741 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1 - Kopie.tex create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1 - Kopie.tex b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1 - Kopie.tex new file mode 100644 index 0000000..038e93e --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/RS presentation/images/polynom1 - Kopie.tex @@ -0,0 +1,33 @@ +% polynome1 +%------------------- +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\newcommand{\teiler}{40} +\begin{document} + + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + + \begin{axis}[ + axis lines = left, + xlabel = \(x\), + ylabel = {\(f(x)\)}, + ] + %Below the red parabola is defined + \addplot[ + color=blue, + ] + coordinates { + (0,23.1)(10,27.5)(20,32)(30,37.8)(40,44.6)(60,61.8)(80,83.8)(100,114) + }; + %Here the blue parabola is defined + + \end{axis} +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index d276760..f011ac3 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -26,7 +26,9 @@ Kommen nuun drei Fehler... hinzu zu diesem codierten Signal sind diese nicht zu Nach dem Empfangen... und decodieren ... erkennt man die fehlerhafte information in den Punkten 64 bis 100. Filtert man nur diese Punkte heraus und Transformiert sie mit Fourier erhält man die stellen an denen die Fehler sich eingeschlichen haben. - - - - +\begin{figure} + \centering + \input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} + \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} + \label{fig:sendorder} +\end{figure} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt index a57fb3e..4a481d8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt @@ -1,96 +1,96 @@ -305 -114.502535214877 -86.2532974498148 -10.2450106137816 -68.1373455525487 -12.2281691909479 -3.18633753309102 -20.0196562371296 -12.2767246322969 -11.7216140392957 -24.8752690882777 -16.2978466490127 -23.2518118214845 -16.5845482358975 -15.6140674930647 -33.396205039034 -20.7846096908265 -19.3528753492232 -16.3850575123207 -20.9502842499826 -17.064465004608 -11.7252100463969 -31.1005540675575 -29.4336965143315 -26.6270539113887 -18.0164813754079 -24.7444243500799 -7.51007272621331 -4.06984153366859 -27.215173252412 -17.2339815787965 -23.5539874432174 -22.2710574513201 -14.7961619823174 -25.5530773949688 -33.4185813747547 -11.5478676394508 -21.0691619228239 -28.7948800016184 -12.3795084046074 -17.0082930449459 -19.7473571196866 -18.4490385219626 -12.2195365467659 -7.58568158110485 -6.02300839250873 -14.565530706253 -3.78959213976527 -21 -3.78959213976527 -14.565530706253 -6.02300839250873 -7.58568158110485 -12.2195365467659 -18.4490385219626 -19.7473571196866 -17.0082930449459 -12.3795084046074 -28.7948800016184 -21.0691619228239 -11.5478676394508 -33.4185813747547 -25.5530773949688 -14.7961619823174 -22.2710574513201 -23.5539874432174 -17.2339815787965 -27.215173252412 -4.06984153366859 -7.51007272621331 -24.7444243500799 -18.0164813754079 -26.6270539113887 -29.4336965143315 -31.1005540675575 -11.7252100463969 -17.064465004608 -20.9502842499826 -16.3850575123207 -19.3528753492232 -20.7846096908265 -33.396205039034 -15.6140674930647 -16.5845482358975 -23.2518118214845 -16.2978466490127 -24.8752690882777 -11.7216140392957 -12.2767246322969 -20.0196562371296 -3.18633753309102 -12.2281691909479 -68.1373455525487 -10.2450106137816 -86.2532974498148 -114.502535214877 +0,284 +1,131.570790435043 +2,41.9840308053375 +3,12.1189172092243 +4,23.8408857476069 +5,69.1793197789512 +6,24.0186013379153 +7,37.3066577242559 +8,18.2010889773887 +9,12.3214904922455 +10,15.6627133315015 +11,24.5237955316204 +12,32.1114345314062 +13,44.9845039238714 +14,13.5324640263625 +15,10.1736266929292 +16,4.58257569495584 +17,23.217268502288 +18,16.5769107917917 +19,6.89948680823017 +20,4.84567134895776 +21,10.4219666223433 +22,43.6179140616243 +23,35.9073375743642 +24,15.0332963783729 +25,21.7594021268945 +26,23.2496572716993 +27,17.9815599423852 +28,11.3577742151117 +29,38.467599433197 +30,28.3035029562577 +31,9.54321919833388 +32,21.377558326432 +33,17.6292439561917 +34,12.6951848921471 +35,20.0667752354841 +36,22.9097309529208 +37,8.78894645948548 +38,13.360682005498 +39,25.1757616314718 +40,38.0357773686457 +41,18.4633287776253 +42,19.0584505869806 +43,10.8631093309173 +44,12.6147770818983 +45,12.5398140021274 +46,34.901983501949 +47,22.3480442021702 +48,6 +49,22.3480442021702 +50,34.901983501949 +51,12.5398140021274 +52,12.6147770818983 +53,10.8631093309173 +54,19.0584505869806 +55,18.4633287776253 +56,38.0357773686457 +57,25.1757616314718 +58,13.360682005498 +59,8.78894645948548 +60,22.9097309529208 +61,20.0667752354841 +62,12.6951848921471 +63,17.6292439561917 +64,21.377558326432 +65,9.54321919833388 +66,28.3035029562577 +67,38.467599433197 +68,11.3577742151117 +69,17.9815599423852 +70,23.2496572716993 +71,21.7594021268945 +72,15.0332963783729 +73,35.9073375743642 +74,43.6179140616243 +75,10.4219666223433 +76,4.84567134895776 +77,6.89948680823017 +78,16.5769107917917 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-writematrix(fehler, 'fehler.txt') -writematrix(abs(empfangen), 'empfangen.txt') -writematrix(abs(decodiert), 'decodiert.txt') -writematrix(abs(syndrom), 'syndrom.txt') -writematrix(locator, 'locator.txt') - - +writematrix([transpose(counter), abs(signal)], 'signal.txt') +writematrix([transpose(counter), abs(codiert)], 'codiert.txt') +writematrix([transpose(counter), fehler], 'fehler.txt') +writematrix([transpose(counter), abs(empfangen)], 'empfangen.txt') +writematrix([transpose(counter), abs(decodiert)], 'decodiert.txt') +writematrix([transpose(counter), abs(syndrom)], 'syndrom.txt') +writematrix([transpose(counter), locator], 'locator.txt') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt index b8f9afb..23f1a83 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt @@ -1,96 +1,96 @@ -0 -0 -0 -0 -0 -0 -2 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -2 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 +0,0 +1,0 +2,0 +3,0 +4,0 +5,0 +6,2 +7,0 +8,0 +9,0 +10,0 +11,0 +12,0 +13,0 +14,0 +15,0 +16,0 +17,0 +18,0 +19,0 +20,2 +21,0 +22,0 +23,0 +24,0 +25,0 +26,0 +27,0 +28,0 +29,0 +30,0 +31,0 +32,0 +33,0 +34,0 +35,0 +36,0 +37,0 +38,0 +39,0 +40,0 +41,0 +42,0 +43,0 +44,0 +45,0 +46,0 +47,0 +48,0 +49,0 +50,0 +51,0 +52,0 +53,0 +54,0 +55,0 +56,0 +57,0 +58,0 +59,0 +60,0 +61,0 +62,0 +63,0 +64,0 +65,0 +66,0 +67,0 +68,0 +69,0 +70,0 +71,0 +72,0 +73,0 +74,1 +75,0 +76,0 +77,0 +78,0 +79,0 +80,0 +81,0 +82,0 +83,0 +84,0 +85,0 +86,0 +87,0 +88,0 +89,0 +90,0 +91,0 +92,0 +93,0 +94,0 +95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt index 421d36e..b28988c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt @@ -1,96 +1,96 @@ -0.0301224340566959 -0.141653026854878 -0.138226631799375 -0.0339903276086926 -0.310585462557496 -0.551427312631386 -0.628514858396816 -0.511023862515591 -0.275861355940448 -0.0502396354182231 -0.0901855025475772 -0.110759344849757 -0.0684618905062958 -0.0362855426992255 -0.0697096919781522 -0.109288539370249 -0.0923187999496619 -0.0512198536768151 -0.274192386987786 -0.513496149536541 -0.633154426602464 -0.553283743533939 -0.307840573214511 -0.0341664350328389 -0.140270857956999 -0.138527177682829 -0.0296375477361526 -0.0816962563186064 -0.0944383203811072 -0.0263932110686224 -0.058588134840207 -0.0737117341600011 -0.0239973937701886 -0.0464215468420024 -0.0616218854220982 -0.0221963086695035 -0.0390764778127614 -0.0537637218396927 -0.0208333333333355 -0.0343107696069015 -0.0483441215964522 -0.0198077862118787 -0.0311207395968709 -0.0444955089373439 -0.0190533549944134 -0.0290049795038704 -0.0417536642697542 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row sep=20mm]{ + \node(signal) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Signal}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {signal.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(codiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Codiert}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {codiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; \\ + + &\node(fehler) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {fehler.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(decodiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {decodiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(empfangen) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {empfangen.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(syndrom) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {syndrom.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(locator) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {locator.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ +}; + %FFT & IFFT deskription + + \draw[thin,gray,dashed] (0,15) to (0,-15); + \node(FFT) [ scale=0.7] at (0,15.3) {FFT IFFT}; + + %Arrows + \draw[ultra thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); + \draw[ultra thick, ->] (codiert.south) to (fehler.north); + \draw[ultra thick, ->] (fehler.south) to (empfangen.north); + \draw[ultra thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); + \draw[ultra thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); + \draw(decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; + \draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + + + \end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt index 202dd02..c4fa5f8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt @@ -1,96 +1,96 @@ -5 -4 -4 -3 -5 -5 -8 -8 -6 -4 -8 -5 -4 -9 -9 -6 -6 -6 -2 -3 -5 -2 -8 -2 -2 -2 -2 -4 -3 -9 -4 -2 -9 -10 -4 -1 -3 -4 -6 -3 -6 -7 -2 -1 -3 -3 -4 -5 -1 -3 -8 -0 -9 -7 -5 -6 -2 -5 -10 -5 -5 -2 -5 -6 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 +0,6 +1,6 +2,0 +3,6 +4,4 +5,0 +6,5 +7,2 +8,1 +9,2 +10,1 +11,2 +12,0 +13,6 +14,3 +15,5 +16,7 +17,5 +18,5 +19,4 +20,1 +21,5 +22,9 +23,9 +24,3 +25,2 +26,6 +27,6 +28,4 +29,2 +30,9 +31,1 +32,1 +33,1 +34,2 +35,6 +36,6 +37,1 +38,9 +39,7 +40,7 +41,1 +42,9 +43,9 +44,10 +45,9 +46,8 +47,5 +48,2 +49,4 +50,1 +51,0 +52,9 +53,3 +54,3 +55,3 +56,5 +57,6 +58,0 +59,8 +60,6 +61,9 +62,3 +63,4 +64,0 +65,0 +66,0 +67,0 +68,0 +69,0 +70,0 +71,0 +72,0 +73,0 +74,0 +75,0 +76,0 +77,0 +78,0 +79,0 +80,0 +81,0 +82,0 +83,0 +84,0 +85,0 +86,0 +87,0 +88,0 +89,0 +90,0 +91,0 +92,0 +93,0 +94,0 +95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt index 59b9dc4..8ca9eed 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt @@ -1,96 +1,96 @@ -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0.0275599094902566 -0.0115837187254189 -0.0258777610142382 -0.0224618032819705 -0.0441059468994403 -0.0474504002669344 -0.0227694695500614 -0.0271436638090525 -0.0104166666666661 -0.027143663809052 -0.0227694695500605 -0.0474504002669342 -0.04410594689944 -0.0224618032819704 -0.0258777610142386 -0.0115837187254188 -0.027559909490256 -0.0245124379481791 -0.0499782237195213 -0.0401432022864264 -0.023292374765623 -0.0237974288564093 -0.0143895905726623 -0.0271745729691686 -0.0275599094902561 -0.051550167218498 -0.0358255004834538 -0.0247005083663728 -0.0210194725405181 -0.0177592928994299 -0.0261327016093146 -0.0314909067039408 +0,0 +1,0 +2,0 +3,0 +4,0 +5,0 +6,0 +7,0 +8,0 +9,0 +10,0 +11,0 +12,0 +13,0 +14,0 +15,0 +16,0 +17,0 +18,0 +19,0 +20,0 +21,0 +22,0 +23,0 +24,0 +25,0 +26,0 +27,0 +28,0 +29,0 +30,0 +31,0 +32,0 +33,0 +34,0 +35,0 +36,0 +37,0 +38,0 +39,0 +40,0 +41,0 +42,0 +43,0 +44,0 +45,0 +46,0 +47,0 +48,0 +49,0 +50,0 +51,0 +52,0 +53,0 +54,0 +55,0 +56,0 +57,0 +58,0 +59,0 +60,0 +61,0 +62,0 +63,0 +64,0.0275599094902563 +65,0.0115837187254191 +66,0.025877761014238 +67,0.0224618032819697 +68,0.04410594689944 +69,0.0474504002669341 +70,0.0227694695500626 +71,0.0271436638090525 +72,0.0104166666666667 +73,0.0271436638090523 +74,0.0227694695500608 +75,0.0474504002669343 +76,0.0441059468994397 +77,0.0224618032819701 +78,0.0258777610142379 +79,0.0115837187254183 +80,0.027559909490256 +81,0.0245124379481793 +82,0.0499782237195209 +83,0.0401432022864265 +84,0.0232923747656228 +85,0.0237974288564099 +86,0.0143895905726624 +87,0.0271745729691685 +88,0.0275599094902567 +89,0.0515501672184983 +90,0.0358255004834542 +91,0.024700508366373 +92,0.0210194725405171 +93,0.0177592928994296 +94,0.0261327016093158 +95,0.0314909067039411 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 08864cf..39adbbf 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -25,23 +25,20 @@ p(x) \end{equation} ergeben. Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. -Grafisch sieht man dies dann in Abbildung +Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, +mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{green}{8}, +\textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26}, +\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60}, +\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$ Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. -\begin{figure} - \centering - %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2} - %\input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex} - \caption{Polynom } - \label{fig:polynom} -\end{figure} - \subsection{Beispiel} Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1}, ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben, kann man diese erkennen, -da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. +Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen, +da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. +(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{green}{grünen Punkte}) Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten? Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom} @@ -49,6 +46,14 @@ Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt. Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. Dafür sind mehr übertragene Werte nötig. +\begin{figure} + \centering + %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2} + \input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex} + \caption{Polynom $p(x)$ \eqref{reedsolomon:equation1}} + \label{fig:polynom} +\end{figure} + \section{Fehlerbestimmung \label{reedsolomon:section:Fehlerbestimmmung}} So wird ein Muster indentifiziert, welches genau vorherbestimmen kann, diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex new file mode 100644 index 0000000..e6d3b47 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex @@ -0,0 +1,77 @@ +% +% Plot der èbertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT +% +\tikzset{ + node/.style={rectangle, draw=black!100, thick, on grid}, % on grid added + dangling node/.style={node, fill=black!30} +} +\begin{tikzpicture}[] + +%--------------------------------------------------------------- + %Knote +\matrix[draw = none, column sep=20mm, row sep=20mm]{ + \node(signal) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Signal}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {signal.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(codiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Codiert}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {codiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; \\ + + &\node(fehler) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {fehler.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(decodiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {decodiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(empfangen) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {empfangen.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(syndrom) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {syndrom.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(locator) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {locator.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ +}; +%------------------------------------------------------------- + %FFT & IFFT deskription + + \draw[thin,gray,dashed] (0,15) to (0,-15); + \node(FFT) [ scale=0.7] at (0,15.3) {FFT IFFT}; + + %Arrows + \draw[ultra thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); + \draw[ultra thick, ->] (codiert.south) to (fehler.north); + \draw[ultra thick, ->] (fehler.south) to (empfangen.north); + \draw[ultra thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); + \draw[ultra thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); + \draw(decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; + \draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + + \end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex index 4fdfc81..288b51c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex @@ -1,51 +1,49 @@ -% polynome2 +% polynome %------------------- -%\documentclass[tikz]{standalone} -%\usepackage{amsmath} -%\usepackage{times} -%\usepackage{txfonts} -%\usepackage{pgfplots} -%\usepackage{csvsimple} -%\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +% Teiler für das Skalieren der Grafik /40 \newcommand{\teiler}{40} -%\begin{document} - Übertragen von den Zahlen - \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5} - als $ p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} $.\newline - Versende $ (p(1),p(2),...,p(7)) = (\textcolor{green}{8}, - \textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26}, - \textcolor{green}{ 41}, \textcolor{green}{60}, - \textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$ + + +%////////////////////////////////////// + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + \draw[color=blue, line width=1.4pt] + plot[domain=0:8, samples=100] + ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); + + \draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}]; + + \def\punkt#1{ + \fill[color=green] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + + \def\hellpunkt#1{ + \fill[color=lightgray] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + + \punkt{(1,8/\teiler)} + \hellpunkt{(2,15/\teiler)} + \hellpunkt{(3,26/\teiler)} + \punkt{(4,41/\teiler)} + \punkt{(5,60/\teiler)} + \punkt{(6,83/\teiler)} + \punkt{(7,110/\teiler)} + \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] + plot[domain=0.5:7, samples=100] + ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); - \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] - \draw[color=blue, line width=1.4pt] - plot[domain=0:8, samples=100] - ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); - \draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}]; - \draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}]; - \def\punkt#1{ - \fill[color=green] #1 circle[radius=0.08]; - \draw #1 circle[radius=0.07]; - } - \punkt{(1,8/\teiler)} - %\punkt{(2,15/\teiler)} - %\punkt{(3,26/\teiler)} - \punkt{(4,41/\teiler)} - \punkt{(5,60/\teiler)} - \punkt{(6,83/\teiler)} - \punkt{(7,110/\teiler)} - \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] - plot[domain=0.5:7, samples=100] - ({\x},{(0.1958*\x^2-1.2875*\x+3.0417)}); - \def\erpunkt#1{ - \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; - \draw #1 circle[radius=0.07]; - } - \erpunkt{(2,50/\teiler)} - \erpunkt{(3,0.9414)} + \def\erpunkt#1{ + \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + \erpunkt{(2,50/\teiler)} + \erpunkt{(3,37.66/\teiler)} - \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; - \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; - \end{tikzpicture} + \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; + \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; +\end{tikzpicture} %\end{document} -- cgit v1.2.1 From 3e112e15ffe65ede9c2a13077e358e9efe565d03 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 21 Jul 2021 15:26:35 +0200 Subject: txt files to images ordner --- buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt | 96 ++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt | 96 ++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/images/empfangen.txt | 96 ++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/images/fehler.txt | 96 ++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt | 96 ++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt | 96 ++++++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt | 96 ++++++++++++++++++++++++++++ 7 files changed, 672 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/empfangen.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/fehler.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt new file mode 100644 index 0000000..4a481d8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,284 +1,131.570790435043 +2,41.9840308053375 +3,12.1189172092243 +4,23.8408857476069 +5,69.1793197789512 +6,24.0186013379153 +7,37.3066577242559 +8,18.2010889773887 +9,12.3214904922455 +10,15.6627133315015 +11,24.5237955316204 +12,32.1114345314062 +13,44.9845039238714 +14,13.5324640263625 +15,10.1736266929292 +16,4.58257569495584 +17,23.217268502288 +18,16.5769107917917 +19,6.89948680823017 +20,4.84567134895776 +21,10.4219666223433 +22,43.6179140616243 +23,35.9073375743642 +24,15.0332963783729 +25,21.7594021268945 +26,23.2496572716993 +27,17.9815599423852 +28,11.3577742151117 +29,38.467599433197 +30,28.3035029562577 +31,9.54321919833388 +32,21.377558326432 +33,17.6292439561917 +34,12.6951848921471 +35,20.0667752354841 +36,22.9097309529208 +37,8.78894645948548 +38,13.360682005498 +39,25.1757616314718 +40,38.0357773686457 +41,18.4633287776253 +42,19.0584505869806 +43,10.8631093309173 +44,12.6147770818983 +45,12.5398140021274 +46,34.901983501949 +47,22.3480442021702 +48,6 +49,22.3480442021702 +50,34.901983501949 +51,12.5398140021274 +52,12.6147770818983 +53,10.8631093309173 +54,19.0584505869806 +55,18.4633287776253 +56,38.0357773686457 +57,25.1757616314718 +58,13.360682005498 +59,8.78894645948548 +60,22.9097309529208 +61,20.0667752354841 +62,12.6951848921471 +63,17.6292439561917 +64,21.377558326432 +65,9.54321919833388 +66,28.3035029562577 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+88,18.2010889773887 +89,37.3066577242559 +90,24.0186013379153 +91,69.1793197789512 +92,23.8408857476069 +93,12.1189172092243 +94,41.9840308053375 +95,131.570790435043 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/fehler.txt new file mode 100644 index 0000000..23f1a83 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/fehler.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0 +1,0 +2,0 +3,0 +4,0 +5,0 +6,2 +7,0 +8,0 +9,0 +10,0 +11,0 +12,0 +13,0 +14,0 +15,0 +16,0 +17,0 +18,0 +19,0 +20,2 +21,0 +22,0 +23,0 +24,0 +25,0 +26,0 +27,0 +28,0 +29,0 +30,0 +31,0 +32,0 +33,0 +34,0 +35,0 +36,0 +37,0 +38,0 +39,0 +40,0 +41,0 +42,0 +43,0 +44,0 +45,0 +46,0 +47,0 +48,0 +49,0 +50,0 +51,0 +52,0 +53,0 +54,0 +55,0 +56,0 +57,0 +58,0 +59,0 +60,0 +61,0 +62,0 +63,0 +64,0 +65,0 +66,0 +67,0 +68,0 +69,0 +70,0 +71,0 +72,0 +73,0 +74,1 +75,0 +76,0 +77,0 +78,0 +79,0 +80,0 +81,0 +82,0 +83,0 +84,0 +85,0 +86,0 +87,0 +88,0 +89,0 +90,0 +91,0 +92,0 +93,0 +94,0 +95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt new file mode 100644 index 0000000..b28988c --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0.0301224340567056 +1,0.141653026854885 +2,0.138226631799377 +3,0.0339903276086929 +4,0.310585462557496 +5,0.551427312631385 +6,0.628514858396814 +7,0.51102386251559 +8,0.275861355940449 +9,0.0502396354182268 +10,0.090185502547573 +11,0.110759344849756 +12,0.0684618905063001 +13,0.0362855426992259 +14,0.0697096919781468 +15,0.109288539370248 +16,0.0923187999496653 +17,0.0512198536768088 +18,0.274192386987782 +19,0.51349614953654 +20,0.633154426602466 +21,0.553283743533942 +22,0.307840573214514 +23,0.0341664350328392 +24,0.140270857957 +25,0.138527177682831 +26,0.029637547736156 +27,0.0816962563186052 +28,0.0944383203811073 +29,0.0263932110686261 +30,0.0585881348402056 +31,0.0737117341599984 +32,0.0239973937701886 +33,0.0464215468420038 +34,0.0616218854220964 +35,0.0221963086695009 +36,0.0390764778127646 +37,0.0537637218396934 +38,0.0208333333333332 +39,0.0343107696069045 +40,0.0483441215964552 +41,0.0198077862118806 +42,0.0311207395968725 +43,0.0444955089373458 +44,0.0190533549944159 +45,0.0290049795038723 +46,0.0417536642697558 +47,0.0185261550443084 +48,0.0277059929762261 +49,0.0398606084144816 +50,0.0181978813094817 +51,0.0271098219177584 +52,0.0386836665079729 +53,0.0180518611046889 +54,0.0272138992557141 +55,0.0381891287148314 +56,0.0180809085252469 +57,0.0281418959420061 +58,0.0384596362516637 +59,0.0182864418432272 +60,0.0302250788423173 +61,0.0397874837986351 +62,0.0186786556701694 +63,0.0342489348284216 +64,0.0429932815348666 +65,0.0192777878591759 +66,0.0422808966931999 +67,0.0506815964680563 +68,0.0201167847752226 +69,0.0615048274405271 +70,0.0744953894508454 +71,0.021246054596492 +72,0.142602265816215 +73,0.273502052865436 +74,0.325309673287599 +75,0.272705389655349 +76,0.149074257381345 +77,0.0247199397628712 +78,0.0680137859566976 +79,0.075388270873485 +80,0.0273637831604903 +81,0.0407867704453274 +82,0.0632964886441949 +83,0.0309749128751093 +84,0.0315202035072035 +85,0.0627625211892184 +86,0.0360843918243497 +87,0.02794920551495 +88,0.0677921493367236 +89,0.0437167157553067 +90,0.0270640150996317 +91,0.0783380025231622 +92,0.0561293738314281 +93,0.0278742033265809 +94,0.0981443889498639 +95,0.0794543457386548 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt new file mode 100644 index 0000000..c4fa5f8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,6 +1,6 +2,0 +3,6 +4,4 +5,0 +6,5 +7,2 +8,1 +9,2 +10,1 +11,2 +12,0 +13,6 +14,3 +15,5 +16,7 +17,5 +18,5 +19,4 +20,1 +21,5 +22,9 +23,9 +24,3 +25,2 +26,6 +27,6 +28,4 +29,2 +30,9 +31,1 +32,1 +33,1 +34,2 +35,6 +36,6 +37,1 +38,9 +39,7 +40,7 +41,1 +42,9 +43,9 +44,10 +45,9 +46,8 +47,5 +48,2 +49,4 +50,1 +51,0 +52,9 +53,3 +54,3 +55,3 +56,5 +57,6 +58,0 +59,8 +60,6 +61,9 +62,3 +63,4 +64,0 +65,0 +66,0 +67,0 +68,0 +69,0 +70,0 +71,0 +72,0 +73,0 +74,0 +75,0 +76,0 +77,0 +78,0 +79,0 +80,0 +81,0 +82,0 +83,0 +84,0 +85,0 +86,0 +87,0 +88,0 +89,0 +90,0 +91,0 +92,0 +93,0 +94,0 +95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt new file mode 100644 index 0000000..8ca9eed --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0 +1,0 +2,0 +3,0 +4,0 +5,0 +6,0 +7,0 +8,0 +9,0 +10,0 +11,0 +12,0 +13,0 +14,0 +15,0 +16,0 +17,0 +18,0 +19,0 +20,0 +21,0 +22,0 +23,0 +24,0 +25,0 +26,0 +27,0 +28,0 +29,0 +30,0 +31,0 +32,0 +33,0 +34,0 +35,0 +36,0 +37,0 +38,0 +39,0 +40,0 +41,0 +42,0 +43,0 +44,0 +45,0 +46,0 +47,0 +48,0 +49,0 +50,0 +51,0 +52,0 +53,0 +54,0 +55,0 +56,0 +57,0 +58,0 +59,0 +60,0 +61,0 +62,0 +63,0 +64,0.0275599094902563 +65,0.0115837187254191 +66,0.025877761014238 +67,0.0224618032819697 +68,0.04410594689944 +69,0.0474504002669341 +70,0.0227694695500626 +71,0.0271436638090525 +72,0.0104166666666667 +73,0.0271436638090523 +74,0.0227694695500608 +75,0.0474504002669343 +76,0.0441059468994397 +77,0.0224618032819701 +78,0.0258777610142379 +79,0.0115837187254183 +80,0.027559909490256 +81,0.0245124379481793 +82,0.0499782237195209 +83,0.0401432022864265 +84,0.0232923747656228 +85,0.0237974288564099 +86,0.0143895905726624 +87,0.0271745729691685 +88,0.0275599094902567 +89,0.0515501672184983 +90,0.0358255004834542 +91,0.024700508366373 +92,0.0210194725405171 +93,0.0177592928994296 +94,0.0261327016093158 +95,0.0314909067039411 -- cgit v1.2.1 From 93db2b408895beda3ec4d06ff3f81180ca3c7377 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 21 Jul 2021 15:47:40 +0200 Subject: to fix --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index f011ac3..27c6150 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -28,7 +28,7 @@ Filtert man nur diese Punkte heraus und Transformiert sie mit Fourier erhält ma \begin{figure} \centering - \input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} + %\input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} \label{fig:sendorder} \end{figure} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 5397a77e20a23338279ffe4faa59453104be5b95 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 21 Jul 2021 21:18:31 +0200 Subject: update --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 41 ++++++--- buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex | 130 +++++++++++++++------------ buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex | 68 ++++++++------ buch/papers/reedsolomon/packages.tex | 2 +- 4 files changed, 143 insertions(+), 98 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 27c6150..a111527 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -14,21 +14,42 @@ wobei sie dann bei späteren Berchnungen ganz nützlich ist. \subsection{Diskrete Fourientransformation Zusamenhang \label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} Die Diskrete Fourientransformation ist definiert als - + \[ + \label{ft_discrete} + \hat{c}_{k} + = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} + {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} + \] +, wenn man nun + \[ + w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k} + \] +ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man + \[ + \hat{c}_{k}=\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) + \] +was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. \subsection{Übertragungsabfolge \label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} -Das Signal.... sind die Daten, Zahlen welche übertragen werden sollen. -Das speziell ist das wir 100 Punkte übertragen und von 64 bis 100, -werden nur Null Punkte übertragen, dies weiss auch unser Empfänger. -Nun wird das Signal in Abbildung... codiert... -Somit wird die Information jedes Punktes auf das ganze spektrum von 0 bis 100 übertragen. -Kommen nuun drei Fehler... hinzu zu diesem codierten Signal sind diese nicht zu erkennen. -Nach dem Empfangen... und decodieren ... erkennt man die fehlerhafte information in den Punkten 64 bis 100. -Filtert man nur diese Punkte heraus und Transformiert sie mit Fourier erhält man die stellen an denen die Fehler sich eingeschlichen haben. + +\begin{enumerate}[1)] +\item Das Signal hat 64 die Daten, Zahlen welche übertragen werden sollen. +Dabei zusätzlich nach 16 Fehler abgesichert, macht insgesamt 96 Übertragungszahlen. +\item Nun wurde mittels der schnellen diskreten Fourientransformation diese 96 codiert. +Das heisst alle information ist in alle Zahlenvorhanden. +\item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. +\item Dieses wird nun Empfangen und mittels inversen diskreten Fourientransormation, wieder rücktransformiert. +\item Nun sieht man den Fehler im Decodieren in den Übertragungsstellen 64 bis 96. +\item Nimmt man nun nur diese Stellen 64 bis 96, auch Syndrom genannt, und Transformiert diese. +\item Bekommt man die Fehlerstellen im Locator wieder, zwar nichtso genau, dennoch erkkent man wo die Fehler stattgefunden haben. +\end{enumerate} \begin{figure} \centering - %\input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} + \resizebox{0.9\textwidth}{!}{ + %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/plot.pdf} + \input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} + } \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} \label{fig:sendorder} \end{figure} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex b/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex index bf9aadc..2196c82 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex @@ -13,69 +13,73 @@ \newcommand{\y}{-8} \begin{document} -\tikzset{ - node/.style={rectangle, draw=black!100, thick, on grid}, % on grid added - dangling node/.style={node, fill=black!30} -} \begin{tikzpicture}[] - -\filldraw[red] (0,0) circle (5mm); - %Knote -\matrix[draw = none, column sep=20mm, row sep=20mm]{ - \node(signal) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Signal}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {signal.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - \node(codiert) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Codiert}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {codiert.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; \\ + %--------------------------------------------------------------- + %Knote + \matrix[draw = none, column sep=20mm, row sep=4mm]{ + \node(signal) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + title = {\Large {Signal}}, + xlabel={Anzahl Übertragene Zahlen}, + xtick={0,20,40,64,80,98},] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {signal.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & - &\node(fehler) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {fehler.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ - - \node(decodiert) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {decodiert.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(empfangen) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {empfangen.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ - - \node(syndrom) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {syndrom.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(locator) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {locator.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ -}; + \node(codiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Codiert}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {codiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; \\ + + &\node(fehler) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}] + \addplot[red] table[col sep=comma] {fehler.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(decodiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {decodiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(empfangen) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {empfangen.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(syndrom) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {syndrom.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(locator) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {locator.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + }; + %------------------------------------------------------------- %FFT & IFFT deskription - - \draw[thin,gray,dashed] (0,15) to (0,-15); - \node(FFT) [ scale=0.7] at (0,15.3) {FFT IFFT}; + \draw[thin,gray,dashed] (0,12) to (0,-12); + \node(IFFT) [scale=0.7] at (0,12.3) {IFFT}; + \draw[<-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); + \node(FFT) [scale=0.7, above of=IFFT] {FFT}; + \draw[->](FFT.north west)--(FFT.north east); + + \draw[thick, ->,] (fehler.west)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); %Arrows \draw[ultra thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); \draw[ultra thick, ->] (codiert.south) to (fehler.north); @@ -85,7 +89,15 @@ \draw(decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; \draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + %item + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west)+(1,0) {1}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (fehler.north west) {3}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; - \end{tikzpicture} +\end{tikzpicture} \end{document} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex index e6d3b47..83a89eb 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex @@ -1,77 +1,89 @@ % -% Plot der èbertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT +% Plot der Übertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT % -\tikzset{ - node/.style={rectangle, draw=black!100, thick, on grid}, % on grid added - dangling node/.style={node, fill=black!30} -} \begin{tikzpicture}[] %--------------------------------------------------------------- %Knote -\matrix[draw = none, column sep=20mm, row sep=20mm]{ +\matrix[draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ \node(signal) [] { \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Signal}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {signal.txt}; + \begin{axis} + [title = {\Large {Signal}}, + xlabel={Anzahl Übertragene Zahlen}, + xtick={0,20,40,64,80,98},] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/signal.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}}; & \node(codiert) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis}[title = {\Large {Codiert}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {codiert.txt}; + \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/codiert.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}}; \\ &\node(fehler) [] { \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {fehler.txt}; + \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}, + xtick={7,21,75}] + \addplot[red] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/fehler.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ \node(decodiert) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {decodiert.txt}; + \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/decodiert.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}}; & \node(empfangen) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {empfangen.txt}; + \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/empfangen.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ \node(syndrom) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {syndrom.txt}; + \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/syndrom.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}}; & \node(locator) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {locator.txt}; + \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/locator.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ }; %------------------------------------------------------------- %FFT & IFFT deskription - \draw[thin,gray,dashed] (0,15) to (0,-15); - \node(FFT) [ scale=0.7] at (0,15.3) {FFT IFFT}; - - %Arrows - \draw[ultra thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); - \draw[ultra thick, ->] (codiert.south) to (fehler.north); - \draw[ultra thick, ->] (fehler.south) to (empfangen.north); - \draw[ultra thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); - \draw[ultra thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); - \draw(decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; - \draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); - - \end{tikzpicture} \ No newline at end of file +\draw[thin,gray,dashed] (0,12) to (0,-12); +\node(IFFT) [scale=0.7] at (0,12.3) {IFFT}; +\draw[<-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); +\node(FFT) [scale=0.7, above of=IFFT] {FFT}; +\draw[->](FFT.north west)--(FFT.north east); + +\draw[thick, ->,] (fehler.west)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); +%Arrows +\draw[ultra thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); +\draw[ultra thick, ->] (codiert.south) to (fehler.north); +\draw[ultra thick, ->] (fehler.south) to (empfangen.north); +\draw[ultra thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); +\draw[ultra thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); +\draw(decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; +\draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + +%item +\node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; +\node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; +\node[circle, draw, fill =lightgray] at (fehler.north west) {3}; +\node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; +\node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; +\node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; +\node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; +\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/packages.tex b/buch/papers/reedsolomon/packages.tex index 4b1ee68..b84e228 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/packages.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/packages.tex @@ -9,4 +9,4 @@ %\usepackage{packagename} \usepackage{pgfplots} - +\usepackage{filecontents} -- cgit v1.2.1 From cccb51c61e5423ab8bc42ff327bc577dfc5aca24 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Thu, 22 Jul 2021 10:35:04 +0200 Subject: typo --- buch/papers/reedsolomon/Makefile.inc | 18 +++++++++++++----- 1 file changed, 13 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/Makefile.inc b/buch/papers/reedsolomon/Makefile.inc index 6a676f8..ea51f7a 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/Makefile.inc +++ b/buch/papers/reedsolomon/Makefile.inc @@ -6,9 +6,17 @@ dependencies-reedsolomon = \ papers/reedsolomon/packages.tex \ papers/reedsolomon/main.tex \ - papers/reedsolomon/references.bib \ - papers/reedsolomon/teil0.tex \ - papers/reedsolomon/teil1.tex \ - papers/reedsolomon/teil2.tex \ - papers/reedsolomon/teil3.tex + papers/reedsolomon/einleitung.tex \ + papers/reedsolomon/idee.tex \ + papers/reedsolomon/dtf.tex \ + papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex \ + papers/reedsolomon/codebsp.tex \ + papers/reedsolomon/decohnefehler.tex \ + papers/reedsolomon/decmitfehler.tex \ + papers/reedsolomon/rekonstruktion.tex \ + papers/reedsolomon/zusammenfassung.tex \ + papers/reedsolomon/anwendungen.tex \ + papers/reedsolomon/hilfstabellen.tex \ + papers/reedsolomon/references.bib + -- cgit v1.2.1 From f12bfc8392b2f09416fb2171a4dd0107ebe16722 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 26 Jul 2021 14:17:05 +0200 Subject: update some files too --- buch/papers/reedsolomon/Makefile | 50 ++++++++++- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 29 ++++--- buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex | 10 +-- buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf | Bin 0 -> 60217 bytes buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf | Bin 0 -> 20327 bytes buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 13 ++- buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt | 96 --------------------- buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt | 96 --------------------- buch/papers/reedsolomon/images/empfangen.txt | 96 --------------------- buch/papers/reedsolomon/images/fehler.txt | 96 --------------------- buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt | 96 --------------------- buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex | 89 ------------------- buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex | 49 ----------- buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt | 96 --------------------- buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt | 96 --------------------- buch/papers/reedsolomon/main.tex | 20 ----- buch/papers/reedsolomon/standalone.tex | 30 +++++++ buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf | Bin 0 -> 1782700 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/codiert.txt | 96 +++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/decodiert.txt | 96 +++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/empfangen.txt | 96 +++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/fehler.txt | 96 +++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/locator.txt | 96 +++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex | 99 ++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex | 57 +++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/signal.txt | 96 +++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/syndrom.txt | 96 +++++++++++++++++++++ 28 files changed, 939 insertions(+), 853 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/empfangen.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/fehler.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/standalone.tex create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/codiert.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/decodiert.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/empfangen.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/fehler.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/locator.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/signal.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/syndrom.txt (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/Makefile b/buch/papers/reedsolomon/Makefile index 9c96e88..25fd98b 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/Makefile +++ b/buch/papers/reedsolomon/Makefile @@ -4,6 +4,52 @@ # (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller # -images: - @echo "no images to be created in reedsolomon" +SOURCES := \ + anwendungen.tex \ + codebsp.tex \ + decmitfehler.tex \ + decohnefehler.tex \ + dtf.tex \ + einleitung.tex \ + endlichekoerper.tex \ + hilfstabellen.tex \ + idee.tex \ + main.tex \ + packages.tex \ + rekonstruktion.tex \ + restetabelle1.tex \ + restetabelle2.tex \ + standalone.tex \ + zusammenfassung.tex + +TIKZFIGURES := \ + tikz/polynom2.tex \ + tikz/plotfft.tex + +FIGURES := $(patsubst tikz/%.tex, figures/%.pdf, $(TIKZFIGURES)) + + +all: images standalone + + +.PHONY: images +images: $(FIGURES) + +figures/%.pdf: tikz/%.tex + mkdir -p figures + pdflatex --output-directory=figures $< + +.PHONY: standalone +standalone: standalone.tex $(SOURCES) $(FIGURES) + mkdir -p standalone + cd ../..; \ + pdflatex \ + --halt-on-error \ + --shell-escape \ + --output-directory=papers/reedsolomon/standalone \ + papers/reedsolomon/standalone.tex; + cd standalone; \ + bibtex standalone; \ + makeindex standalone; + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index a111527..62e44cc 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -14,20 +14,27 @@ wobei sie dann bei späteren Berchnungen ganz nützlich ist. \subsection{Diskrete Fourientransformation Zusamenhang \label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} Die Diskrete Fourientransformation ist definiert als - \[ - \label{ft_discrete} +\begin{equation} \hat{c}_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} - \] + \label{reedsolomon:DFT} +\end{equation} + , wenn man nun - \[ - w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k} - \] +\begin{equation} + w = + e^{-\frac{2\pi j}{N} k} + \label{reedsolomon:DFT_summand} +\end{equation} + ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man - \[ - \hat{c}_{k}=\frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) - \] +\begin{equation} + \hat{c}_{k}= + \frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) + \label{reedsolomon:DFT_polynom} +\end{equation} + was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. \subsection{Übertragungsabfolge \label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} @@ -47,8 +54,8 @@ Das heisst alle information ist in alle Zahlenvorhanden. \begin{figure} \centering \resizebox{0.9\textwidth}{!}{ - %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/plot.pdf} - \input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} + %\input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} } \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} \label{fig:sendorder} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex index 2b1d878..074df05 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex @@ -7,13 +7,11 @@ \label{reedsolomon:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} Der Reed-Solomon-Code ist entstanden um, -das Problem der Fehler, bei der Datenübertragung, zu lösen. -In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, Funktion oder Algorithmus erklärt. +das Problem der Fehler bei der Datenübertragung, zu lösen. +In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, +Funktion oder Algorithmus des Reed-Solomon-Code erklärt. Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen. -Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, -und so jeweilige Fehler zu erkennen. -Doch nur schon um weinige Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. -Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex b/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex index 2196c82..4b156bb 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/experiments/plot.tex @@ -90,7 +90,7 @@ \draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); %item - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west)+(1,0) {1}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (fehler.north west) {3}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf new file mode 100644 index 0000000..27992c9 Binary files /dev/null and b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf new file mode 100644 index 0000000..ae68385 Binary files /dev/null and b/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 39adbbf..e18ccd2 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -1,15 +1,22 @@ % -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% idee.tex -- Beispiel-File für das Paper % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Idee \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} +Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, +und so jeweilige Fehler zu erkennen. +Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. +Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, zu Übertragen und Fehler zu erkennen. Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, man kann sogar einige Fehler korrigieren. +Der unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage kommt hat es Fehler oder keine, +beim korrigieren muss man den Fehler erkennun und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. +Auch eine variante wäre es die Daten nach einem Fehler einfach nochmals zu senden, was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvolll ist. \ref(reedsolomon:section:anwendung) \rhead{Polynom-Ansatz} Eine Idee ist aus den Daten @@ -48,8 +55,8 @@ Dafür sind mehr übertragene Werte nötig. \begin{figure} \centering - %\includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/polynom2} - \input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex} + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2} + %\input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex} \caption{Polynom $p(x)$ \eqref{reedsolomon:equation1}} \label{fig:polynom} \end{figure} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt deleted file mode 100644 index 4a481d8..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/codiert.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,284 -1,131.570790435043 -2,41.9840308053375 -3,12.1189172092243 -4,23.8408857476069 -5,69.1793197789512 -6,24.0186013379153 -7,37.3066577242559 -8,18.2010889773887 -9,12.3214904922455 -10,15.6627133315015 -11,24.5237955316204 -12,32.1114345314062 -13,44.9845039238714 -14,13.5324640263625 -15,10.1736266929292 -16,4.58257569495584 -17,23.217268502288 -18,16.5769107917917 -19,6.89948680823017 -20,4.84567134895776 -21,10.4219666223433 -22,43.6179140616243 -23,35.9073375743642 -24,15.0332963783729 -25,21.7594021268945 -26,23.2496572716993 -27,17.9815599423852 -28,11.3577742151117 -29,38.467599433197 -30,28.3035029562577 -31,9.54321919833388 -32,21.377558326432 -33,17.6292439561917 -34,12.6951848921471 -35,20.0667752354841 -36,22.9097309529208 -37,8.78894645948548 -38,13.360682005498 -39,25.1757616314718 -40,38.0357773686457 -41,18.4633287776253 -42,19.0584505869806 -43,10.8631093309173 -44,12.6147770818983 -45,12.5398140021274 -46,34.901983501949 -47,22.3480442021702 -48,6 -49,22.3480442021702 -50,34.901983501949 -51,12.5398140021274 -52,12.6147770818983 -53,10.8631093309173 -54,19.0584505869806 -55,18.4633287776253 -56,38.0357773686457 -57,25.1757616314718 -58,13.360682005498 -59,8.78894645948548 -60,22.9097309529208 -61,20.0667752354841 -62,12.6951848921471 -63,17.6292439561917 -64,21.377558326432 -65,9.54321919833388 -66,28.3035029562577 -67,38.467599433197 -68,11.3577742151117 -69,17.9815599423852 -70,23.2496572716993 -71,21.7594021268945 -72,15.0332963783729 -73,35.9073375743642 -74,43.6179140616243 -75,10.4219666223433 -76,4.84567134895776 -77,6.89948680823017 -78,16.5769107917917 -79,23.217268502288 -80,4.58257569495584 -81,10.1736266929292 -82,13.5324640263625 -83,44.9845039238714 -84,32.1114345314062 -85,24.5237955316204 -86,15.6627133315015 -87,12.3214904922455 -88,18.2010889773887 -89,37.3066577242559 -90,24.0186013379153 -91,69.1793197789512 -92,23.8408857476069 -93,12.1189172092243 -94,41.9840308053375 -95,131.570790435043 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt deleted file mode 100644 index f6221e6..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/decodiert.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,6.05208333333333 -1,6.02602539785853 -2,0.0261327016093151 -3,5.98927158561317 -4,4.019445724874 -5,0.0247005083663722 -6,4.97798278395618 -7,1.95246440445439 -8,0.974000110512201 -9,2.00528527696027 -10,1.00071804528155 -11,1.97630907888264 -12,0.0232923747656228 -13,6.01302820392331 -14,3.03567381915226 -15,5.02435590137329 -16,7.00526061008995 -17,5.00739608089369 -18,5.02211514480064 -19,4.02175864806658 -20,1.00236543833726 -21,4.98147315261261 -22,8.97728828610336 -23,8.98481304394618 -24,2.98958333333333 -25,1.98491220960989 -26,5.97728835934715 -27,5.98144124907561 -28,4.00163839998525 -29,2.02176249296313 -30,9.02210713874162 -31,1.00742763919872 -32,1.00557258081044 -33,1.02435888848794 -34,2.03577412756745 -35,6.01302820392331 -36,5.97917574041123 -37,0.976310374034338 -38,9.00062625447998 -39,7.00515849238528 -40,6.97396416790894 -41,0.95256880864368 -42,8.97794719866783 -43,9.01850701506487 -44,10.0194409579917 -45,8.98926601525997 -46,7.9866590265379 -47,5.02603060999077 -48,2.05208333333333 -49,4.02603841132848 -50,0.986882897867895 -51,0.0177592928994285 -52,9.01944131204563 -53,3.0185365665612 -54,2.97803642439316 -55,2.95243072164649 -56,4.97396651395488 -57,6.00516695947321 -58,0.0143895905726619 -59,7.97630812771393 -60,5.97917574041123 -61,9.01298821331865 -62,3.03567381915226 -63,4.02435609145793 -64,0.0275599094902563 -65,0.0115837187254191 -66,0.025877761014238 -67,0.0224618032819697 -68,0.04410594689944 -69,0.0474504002669341 -70,0.0227694695500626 -71,0.0271436638090525 -72,0.0104166666666667 -73,0.0271436638090523 -74,0.0227694695500608 -75,0.0474504002669343 -76,0.0441059468994397 -77,0.0224618032819701 -78,0.0258777610142379 -79,0.0115837187254183 -80,0.027559909490256 -81,0.0245124379481793 -82,0.0499782237195209 -83,0.0401432022864265 -84,0.0232923747656228 -85,0.0237974288564099 -86,0.0143895905726624 -87,0.0271745729691685 -88,0.0275599094902567 -89,0.0515501672184983 -90,0.0358255004834542 -91,0.024700508366373 -92,0.0210194725405171 -93,0.0177592928994296 -94,0.0261327016093158 -95,0.0314909067039411 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/empfangen.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/empfangen.txt deleted file mode 100644 index 38c13b0..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/empfangen.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,284 -1,131.570790435043 -2,41.9840308053375 -3,12.1189172092243 -4,23.8408857476069 -5,69.1793197789512 -6,23.6290258699579 -7,37.3066577242559 -8,18.2010889773887 -9,12.3214904922455 -10,15.6627133315015 -11,24.5237955316204 -12,32.1114345314062 -13,44.9845039238714 -14,13.5324640263625 -15,10.1736266929292 -16,4.58257569495584 -17,23.217268502288 -18,16.5769107917917 -19,6.89948680823017 -20,5.55320238736303 -21,10.4219666223433 -22,43.6179140616243 -23,35.9073375743642 -24,15.0332963783729 -25,21.7594021268945 -26,23.2496572716993 -27,17.9815599423852 -28,11.3577742151117 -29,38.467599433197 -30,28.3035029562577 -31,9.54321919833388 -32,21.377558326432 -33,17.6292439561917 -34,12.6951848921471 -35,20.0667752354841 -36,22.9097309529208 -37,8.78894645948548 -38,13.360682005498 -39,25.1757616314718 -40,38.0357773686457 -41,18.4633287776253 -42,19.0584505869806 -43,10.8631093309173 -44,12.6147770818983 -45,12.5398140021274 -46,34.901983501949 -47,22.3480442021702 -48,6 -49,22.3480442021702 -50,34.901983501949 -51,12.5398140021274 -52,12.6147770818983 -53,10.8631093309173 -54,19.0584505869806 -55,18.4633287776253 -56,38.0357773686457 -57,25.1757616314718 -58,13.360682005498 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-0,0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0 -5,0 -6,2 -7,0 -8,0 -9,0 -10,0 -11,0 -12,0 -13,0 -14,0 -15,0 -16,0 -17,0 -18,0 -19,0 -20,2 -21,0 -22,0 -23,0 -24,0 -25,0 -26,0 -27,0 -28,0 -29,0 -30,0 -31,0 -32,0 -33,0 -34,0 -35,0 -36,0 -37,0 -38,0 -39,0 -40,0 -41,0 -42,0 -43,0 -44,0 -45,0 -46,0 -47,0 -48,0 -49,0 -50,0 -51,0 -52,0 -53,0 -54,0 -55,0 -56,0 -57,0 -58,0 -59,0 -60,0 -61,0 -62,0 -63,0 -64,0 -65,0 -66,0 -67,0 -68,0 -69,0 -70,0 -71,0 -72,0 -73,0 -74,1 -75,0 -76,0 -77,0 -78,0 -79,0 -80,0 -81,0 -82,0 -83,0 -84,0 -85,0 -86,0 -87,0 -88,0 -89,0 -90,0 -91,0 -92,0 -93,0 -94,0 -95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt deleted file mode 100644 index b28988c..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/locator.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,0.0301224340567056 -1,0.141653026854885 -2,0.138226631799377 -3,0.0339903276086929 -4,0.310585462557496 -5,0.551427312631385 -6,0.628514858396814 -7,0.51102386251559 -8,0.275861355940449 -9,0.0502396354182268 -10,0.090185502547573 -11,0.110759344849756 -12,0.0684618905063001 -13,0.0362855426992259 -14,0.0697096919781468 -15,0.109288539370248 -16,0.0923187999496653 -17,0.0512198536768088 -18,0.274192386987782 -19,0.51349614953654 -20,0.633154426602466 -21,0.553283743533942 -22,0.307840573214514 -23,0.0341664350328392 -24,0.140270857957 -25,0.138527177682831 -26,0.029637547736156 -27,0.0816962563186052 -28,0.0944383203811073 -29,0.0263932110686261 -30,0.0585881348402056 -31,0.0737117341599984 -32,0.0239973937701886 -33,0.0464215468420038 -34,0.0616218854220964 -35,0.0221963086695009 -36,0.0390764778127646 -37,0.0537637218396934 -38,0.0208333333333332 -39,0.0343107696069045 -40,0.0483441215964552 -41,0.0198077862118806 -42,0.0311207395968725 -43,0.0444955089373458 -44,0.0190533549944159 -45,0.0290049795038723 -46,0.0417536642697558 -47,0.0185261550443084 -48,0.0277059929762261 -49,0.0398606084144816 -50,0.0181978813094817 -51,0.0271098219177584 -52,0.0386836665079729 -53,0.0180518611046889 -54,0.0272138992557141 -55,0.0381891287148314 -56,0.0180809085252469 -57,0.0281418959420061 -58,0.0384596362516637 -59,0.0182864418432272 -60,0.0302250788423173 -61,0.0397874837986351 -62,0.0186786556701694 -63,0.0342489348284216 -64,0.0429932815348666 -65,0.0192777878591759 -66,0.0422808966931999 -67,0.0506815964680563 -68,0.0201167847752226 -69,0.0615048274405271 -70,0.0744953894508454 -71,0.021246054596492 -72,0.142602265816215 -73,0.273502052865436 -74,0.325309673287599 -75,0.272705389655349 -76,0.149074257381345 -77,0.0247199397628712 -78,0.0680137859566976 -79,0.075388270873485 -80,0.0273637831604903 -81,0.0407867704453274 -82,0.0632964886441949 -83,0.0309749128751093 -84,0.0315202035072035 -85,0.0627625211892184 -86,0.0360843918243497 -87,0.02794920551495 -88,0.0677921493367236 -89,0.0437167157553067 -90,0.0270640150996317 -91,0.0783380025231622 -92,0.0561293738314281 -93,0.0278742033265809 -94,0.0981443889498639 -95,0.0794543457386548 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex deleted file mode 100644 index 83a89eb..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/plotfft.tex +++ /dev/null @@ -1,89 +0,0 @@ -% -% Plot der Übertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT -% -\begin{tikzpicture}[] - -%--------------------------------------------------------------- - %Knote -\matrix[draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ - \node(signal) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis} - [title = {\Large {Signal}}, - xlabel={Anzahl Übertragene Zahlen}, - xtick={0,20,40,64,80,98},] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/signal.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(codiert) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Codiert}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/codiert.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; \\ - - &\node(fehler) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}, - xtick={7,21,75}] - \addplot[red] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/fehler.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ - - \node(decodiert) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/decodiert.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(empfangen) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/empfangen.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ - - \node(syndrom) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/syndrom.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}}; & - - \node(locator) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {papers/reedsolomon/images/locator.txt}; - \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ -}; -%------------------------------------------------------------- - %FFT & IFFT deskription - -\draw[thin,gray,dashed] (0,12) to (0,-12); -\node(IFFT) [scale=0.7] at (0,12.3) {IFFT}; -\draw[<-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); -\node(FFT) [scale=0.7, above of=IFFT] {FFT}; -\draw[->](FFT.north west)--(FFT.north east); - -\draw[thick, ->,] (fehler.west)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); -%Arrows -\draw[ultra thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); -\draw[ultra thick, ->] (codiert.south) to (fehler.north); -\draw[ultra thick, ->] (fehler.south) to (empfangen.north); -\draw[ultra thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); -\draw[ultra thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); -\draw(decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; -\draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); - -%item -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (fehler.north west) {3}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; -\node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; -\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex deleted file mode 100644 index 288b51c..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/polynom2.tex +++ /dev/null @@ -1,49 +0,0 @@ -% polynome -%------------------- -% Teiler für das Skalieren der Grafik /40 -\newcommand{\teiler}{40} - - -%////////////////////////////////////// - -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] - \draw[color=blue, line width=1.4pt] - plot[domain=0:8, samples=100] - ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); - - \draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}]; - \draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}]; - - \def\punkt#1{ - \fill[color=green] #1 circle[radius=0.08]; - \draw #1 circle[radius=0.07]; - } - - \def\hellpunkt#1{ - \fill[color=lightgray] #1 circle[radius=0.08]; - \draw #1 circle[radius=0.07]; - } - - \punkt{(1,8/\teiler)} - \hellpunkt{(2,15/\teiler)} - \hellpunkt{(3,26/\teiler)} - \punkt{(4,41/\teiler)} - \punkt{(5,60/\teiler)} - \punkt{(6,83/\teiler)} - \punkt{(7,110/\teiler)} - - \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] - plot[domain=0.5:7, samples=100] - ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); - - \def\erpunkt#1{ - \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; - \draw #1 circle[radius=0.07]; - } - \erpunkt{(2,50/\teiler)} - \erpunkt{(3,37.66/\teiler)} - - \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; - \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; -\end{tikzpicture} -%\end{document} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt deleted file mode 100644 index c4fa5f8..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/signal.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,6 -1,6 -2,0 -3,6 -4,4 -5,0 -6,5 -7,2 -8,1 -9,2 -10,1 -11,2 -12,0 -13,6 -14,3 -15,5 -16,7 -17,5 -18,5 -19,4 -20,1 -21,5 -22,9 -23,9 -24,3 -25,2 -26,6 -27,6 -28,4 -29,2 -30,9 -31,1 -32,1 -33,1 -34,2 -35,6 -36,6 -37,1 -38,9 -39,7 -40,7 -41,1 -42,9 -43,9 -44,10 -45,9 -46,8 -47,5 -48,2 -49,4 -50,1 -51,0 -52,9 -53,3 -54,3 -55,3 -56,5 -57,6 -58,0 -59,8 -60,6 -61,9 -62,3 -63,4 -64,0 -65,0 -66,0 -67,0 -68,0 -69,0 -70,0 -71,0 -72,0 -73,0 -74,0 -75,0 -76,0 -77,0 -78,0 -79,0 -80,0 -81,0 -82,0 -83,0 -84,0 -85,0 -86,0 -87,0 -88,0 -89,0 -90,0 -91,0 -92,0 -93,0 -94,0 -95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt deleted file mode 100644 index 8ca9eed..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/images/syndrom.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0 -5,0 -6,0 -7,0 -8,0 -9,0 -10,0 -11,0 -12,0 -13,0 -14,0 -15,0 -16,0 -17,0 -18,0 -19,0 -20,0 -21,0 -22,0 -23,0 -24,0 -25,0 -26,0 -27,0 -28,0 -29,0 -30,0 -31,0 -32,0 -33,0 -34,0 -35,0 -36,0 -37,0 -38,0 -39,0 -40,0 -41,0 -42,0 -43,0 -44,0 -45,0 -46,0 -47,0 -48,0 -49,0 -50,0 -51,0 -52,0 -53,0 -54,0 -55,0 -56,0 -57,0 -58,0 -59,0 -60,0 -61,0 -62,0 -63,0 -64,0.0275599094902563 -65,0.0115837187254191 -66,0.025877761014238 -67,0.0224618032819697 -68,0.04410594689944 -69,0.0474504002669341 -70,0.0227694695500626 -71,0.0271436638090525 -72,0.0104166666666667 -73,0.0271436638090523 -74,0.0227694695500608 -75,0.0474504002669343 -76,0.0441059468994397 -77,0.0224618032819701 -78,0.0258777610142379 -79,0.0115837187254183 -80,0.027559909490256 -81,0.0245124379481793 -82,0.0499782237195209 -83,0.0401432022864265 -84,0.0232923747656228 -85,0.0237974288564099 -86,0.0143895905726624 -87,0.0271745729691685 -88,0.0275599094902567 -89,0.0515501672184983 -90,0.0358255004834542 -91,0.024700508366373 -92,0.0210194725405171 -93,0.0177592928994296 -94,0.0261327016093158 -95,0.0314909067039411 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex index e68b947..327d01a 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex @@ -8,29 +8,9 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Joshua Bär und Michael Steiner} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} - % Joshua \input{papers/reedsolomon/einleitung.tex} \input{papers/reedsolomon/idee.tex} -%\input{papers/reedsolomon/teil2.tex} \input{papers/reedsolomon/dtf.tex} % Michael diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone.tex b/buch/papers/reedsolomon/standalone.tex new file mode 100644 index 0000000..c850d1f --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/standalone.tex @@ -0,0 +1,30 @@ +\documentclass{book} + +\input{common/packages.tex} + +% additional packages used by the individual papers, add a line for +% each paper +\input{papers/common/addpackages.tex} + +% workaround for biblatex bug +\makeatletter +\def\blx@maxline{77} +\makeatother +\addbibresource{chapters/references.bib} + +% Bibresources for each article +\input{papers/common/addbibresources.tex} + +% make sure the last index starts on an odd page +\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi} +\makeindex + +%\pgfplotsset{compat=1.12} +\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning +\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} + +\begin{document} + \input{common/macros.tex} + \def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip} + \input{papers/reedsolomon/main.tex} +\end{document} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf new file mode 100644 index 0000000..80af280 Binary files /dev/null and b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/codiert.txt new file mode 100644 index 0000000..4a481d8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/codiert.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,284 +1,131.570790435043 +2,41.9840308053375 +3,12.1189172092243 +4,23.8408857476069 +5,69.1793197789512 +6,24.0186013379153 +7,37.3066577242559 +8,18.2010889773887 +9,12.3214904922455 +10,15.6627133315015 +11,24.5237955316204 +12,32.1114345314062 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+82,13.5324640263625 +83,44.9845039238714 +84,32.1114345314062 +85,24.5237955316204 +86,15.6627133315015 +87,12.3214904922455 +88,18.2010889773887 +89,37.3066577242559 +90,24.0186013379153 +91,69.1793197789512 +92,23.8408857476069 +93,12.1189172092243 +94,41.9840308053375 +95,131.570790435043 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fehler.txt new file mode 100644 index 0000000..23f1a83 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fehler.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0 +1,0 +2,0 +3,0 +4,0 +5,0 +6,2 +7,0 +8,0 +9,0 +10,0 +11,0 +12,0 +13,0 +14,0 +15,0 +16,0 +17,0 +18,0 +19,0 +20,2 +21,0 +22,0 +23,0 +24,0 +25,0 +26,0 +27,0 +28,0 +29,0 +30,0 +31,0 +32,0 +33,0 +34,0 +35,0 +36,0 +37,0 +38,0 +39,0 +40,0 +41,0 +42,0 +43,0 +44,0 +45,0 +46,0 +47,0 +48,0 +49,0 +50,0 +51,0 +52,0 +53,0 +54,0 +55,0 +56,0 +57,0 +58,0 +59,0 +60,0 +61,0 +62,0 +63,0 +64,0 +65,0 +66,0 +67,0 +68,0 +69,0 +70,0 +71,0 +72,0 +73,0 +74,1 +75,0 +76,0 +77,0 +78,0 +79,0 +80,0 +81,0 +82,0 +83,0 +84,0 +85,0 +86,0 +87,0 +88,0 +89,0 +90,0 +91,0 +92,0 +93,0 +94,0 +95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/locator.txt new file mode 100644 index 0000000..b28988c --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/locator.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0.0301224340567056 +1,0.141653026854885 +2,0.138226631799377 +3,0.0339903276086929 +4,0.310585462557496 +5,0.551427312631385 +6,0.628514858396814 +7,0.51102386251559 +8,0.275861355940449 +9,0.0502396354182268 +10,0.090185502547573 +11,0.110759344849756 +12,0.0684618905063001 +13,0.0362855426992259 +14,0.0697096919781468 +15,0.109288539370248 +16,0.0923187999496653 +17,0.0512198536768088 +18,0.274192386987782 +19,0.51349614953654 +20,0.633154426602466 +21,0.553283743533942 +22,0.307840573214514 +23,0.0341664350328392 +24,0.140270857957 +25,0.138527177682831 +26,0.029637547736156 +27,0.0816962563186052 +28,0.0944383203811073 +29,0.0263932110686261 +30,0.0585881348402056 +31,0.0737117341599984 +32,0.0239973937701886 +33,0.0464215468420038 +34,0.0616218854220964 +35,0.0221963086695009 +36,0.0390764778127646 +37,0.0537637218396934 +38,0.0208333333333332 +39,0.0343107696069045 +40,0.0483441215964552 +41,0.0198077862118806 +42,0.0311207395968725 +43,0.0444955089373458 +44,0.0190533549944159 +45,0.0290049795038723 +46,0.0417536642697558 +47,0.0185261550443084 +48,0.0277059929762261 +49,0.0398606084144816 +50,0.0181978813094817 +51,0.0271098219177584 +52,0.0386836665079729 +53,0.0180518611046889 +54,0.0272138992557141 +55,0.0381891287148314 +56,0.0180809085252469 +57,0.0281418959420061 +58,0.0384596362516637 +59,0.0182864418432272 +60,0.0302250788423173 +61,0.0397874837986351 +62,0.0186786556701694 +63,0.0342489348284216 +64,0.0429932815348666 +65,0.0192777878591759 +66,0.0422808966931999 +67,0.0506815964680563 +68,0.0201167847752226 +69,0.0615048274405271 +70,0.0744953894508454 +71,0.021246054596492 +72,0.142602265816215 +73,0.273502052865436 +74,0.325309673287599 +75,0.272705389655349 +76,0.149074257381345 +77,0.0247199397628712 +78,0.0680137859566976 +79,0.075388270873485 +80,0.0273637831604903 +81,0.0407867704453274 +82,0.0632964886441949 +83,0.0309749128751093 +84,0.0315202035072035 +85,0.0627625211892184 +86,0.0360843918243497 +87,0.02794920551495 +88,0.0677921493367236 +89,0.0437167157553067 +90,0.0270640150996317 +91,0.0783380025231622 +92,0.0561293738314281 +93,0.0278742033265809 +94,0.0981443889498639 +95,0.0794543457386548 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex new file mode 100644 index 0000000..3036e14 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex @@ -0,0 +1,99 @@ +% +% Plot der Übertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{pgfplotstable} +\usepackage{csvsimple} +\usepackage{filecontents} + + +\begin{document} +\begin{tikzpicture}[] + + %--------------------------------------------------------------- + %Knote + \matrix[draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ + \node(signal) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis} + [title = {\Large {Signal}}, + xtick={0,20,40,64,80,98},] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(codiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Codiert}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; \\ + + &\node(fehler) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}, + xtick={7,21,75}] + \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(decodiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(empfangen) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(syndrom) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(locator) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] + \addplot[] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + }; + %------------------------------------------------------------- + %FFT & IFFT deskription + + \draw[thin,gray,dashed] (0,12) to (0,-12); + \node(IFFT) [scale=0.7] at (0,12.3) {IFFT}; + \draw[<-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); + \node(FFT) [scale=0.7, above of=IFFT] {FFT}; + \draw[->](FFT.north west)--(FFT.north east); + + \draw[thick, ->,] (fehler.west)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); + %Arrows + \draw[ultra thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); + \draw[ultra thick, ->] (codiert.south) to (fehler.north); + \draw[ultra thick, ->] (fehler.south) to (empfangen.north); + \draw[ultra thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); + \draw[ultra thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); + \draw(decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; + \draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + + %item + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (fehler.north west) {3}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; +\end{tikzpicture} +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex new file mode 100644 index 0000000..456e067 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex @@ -0,0 +1,57 @@ +% polynome +%------------------- + +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{pgfplots} + + +\begin{document} +% Teiler für das Skalieren der Grafik /40 +\newcommand{\teiler}{40} + + +%////////////////////////////////////// + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + \draw[color=blue, line width=1.4pt] + plot[domain=0:8, samples=100] + ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); + + \draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}]; + + \def\punkt#1{ + \fill[color=green] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + + \def\hellpunkt#1{ + \fill[color=lightgray] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + + \punkt{(1,8/\teiler)} + \hellpunkt{(2,15/\teiler)} + \hellpunkt{(3,26/\teiler)} + \punkt{(4,41/\teiler)} + \punkt{(5,60/\teiler)} + \punkt{(6,83/\teiler)} + \punkt{(7,110/\teiler)} + + \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] + plot[domain=0.5:7, samples=100] + ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); + + \def\erpunkt#1{ + \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + \erpunkt{(2,50/\teiler)} + \erpunkt{(3,37.66/\teiler)} + + \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; + \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; +\end{tikzpicture} +\end{document} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/signal.txt new file mode 100644 index 0000000..c4fa5f8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/signal.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,6 +1,6 +2,0 +3,6 +4,4 +5,0 +6,5 +7,2 +8,1 +9,2 +10,1 +11,2 +12,0 +13,6 +14,3 +15,5 +16,7 +17,5 +18,5 +19,4 +20,1 +21,5 +22,9 +23,9 +24,3 +25,2 +26,6 +27,6 +28,4 +29,2 +30,9 +31,1 +32,1 +33,1 +34,2 +35,6 +36,6 +37,1 +38,9 +39,7 +40,7 +41,1 +42,9 +43,9 +44,10 +45,9 +46,8 +47,5 +48,2 +49,4 +50,1 +51,0 +52,9 +53,3 +54,3 +55,3 +56,5 +57,6 +58,0 +59,8 +60,6 +61,9 +62,3 +63,4 +64,0 +65,0 +66,0 +67,0 +68,0 +69,0 +70,0 +71,0 +72,0 +73,0 +74,0 +75,0 +76,0 +77,0 +78,0 +79,0 +80,0 +81,0 +82,0 +83,0 +84,0 +85,0 +86,0 +87,0 +88,0 +89,0 +90,0 +91,0 +92,0 +93,0 +94,0 +95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/syndrom.txt new file mode 100644 index 0000000..8ca9eed --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/syndrom.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0 +1,0 +2,0 +3,0 +4,0 +5,0 +6,0 +7,0 +8,0 +9,0 +10,0 +11,0 +12,0 +13,0 +14,0 +15,0 +16,0 +17,0 +18,0 +19,0 +20,0 +21,0 +22,0 +23,0 +24,0 +25,0 +26,0 +27,0 +28,0 +29,0 +30,0 +31,0 +32,0 +33,0 +34,0 +35,0 +36,0 +37,0 +38,0 +39,0 +40,0 +41,0 +42,0 +43,0 +44,0 +45,0 +46,0 +47,0 +48,0 +49,0 +50,0 +51,0 +52,0 +53,0 +54,0 +55,0 +56,0 +57,0 +58,0 +59,0 +60,0 +61,0 +62,0 +63,0 +64,0.0275599094902563 +65,0.0115837187254191 +66,0.025877761014238 +67,0.0224618032819697 +68,0.04410594689944 +69,0.0474504002669341 +70,0.0227694695500626 +71,0.0271436638090525 +72,0.0104166666666667 +73,0.0271436638090523 +74,0.0227694695500608 +75,0.0474504002669343 +76,0.0441059468994397 +77,0.0224618032819701 +78,0.0258777610142379 +79,0.0115837187254183 +80,0.027559909490256 +81,0.0245124379481793 +82,0.0499782237195209 +83,0.0401432022864265 +84,0.0232923747656228 +85,0.0237974288564099 +86,0.0143895905726624 +87,0.0271745729691685 +88,0.0275599094902567 +89,0.0515501672184983 +90,0.0358255004834542 +91,0.024700508366373 +92,0.0210194725405171 +93,0.0177592928994296 +94,0.0261327016093158 +95,0.0314909067039411 -- cgit v1.2.1 From 91c10deedee35f5fa673de585c41c06b81248f14 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com> Date: Mon, 26 Jul 2021 20:59:51 +0200 Subject: Bonus-Chapter updated --- buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex | 35 +++++++++++++-------- .../reedsolomon/images/Compact_Disc_zoomed_in.png | Bin 0 -> 45679 bytes buch/papers/reedsolomon/main.tex | 1 + buch/papers/reedsolomon/references.bib | 11 ++++++- 4 files changed, 33 insertions(+), 14 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/images/Compact_Disc_zoomed_in.png (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex index c03b1a4..b9b1d69 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/anwendungen.tex @@ -7,21 +7,20 @@ \label{reedsolomon:section:anwendung}} \rhead{Anwendungen} -In den vorherigen Abschnitten haben wir betrachtet, wie Reed-Solomon-Codes in der Theorie Funktionieren. +In den vorherigen Abschnitten haben wir betrachtet, wie Reed-Solomon-Codes in der Theorie funktionieren. In diesem Abschnitt werden wir einige Anwendungen vorstellen, bei denen ein Reed-Solomon-Code zum Einsatz kommt. -Dabei teilen all diese Anwendungen das gleiche Problem: Die Daten können nur durch einen (höchst Wahrscheinlichen) fehlerbehafteten Kanal empfangen werden. Es gibt keine andere Methode an diese Daten zu kommen als über diesen Kanal. +Dabei teilen all diese Anwendungen das gleiche Problem: Die Daten können nur durch einen (höchst Wahrscheinlichen) fehlerbehafteten Kanal empfangen werden. Es gibt keine andere Methode, an diese Daten zu kommen, als über diesen Kanal. - -In der Netzwerktechnik zum Beispiel ist es üblich, dass bei Paketverluste oder beschädigt empfangene Datenpakete diese einfach noch einmal inert wenigen Millisekunden angefordert werden können. +In der Netzwerktechnik zum Beispiel ist es üblich, dass bei Paketverluste oder beschädigt empfangene Datenpaketen diese einfach noch einmal innert wenigen Millisekunden angefordert werden können. In der Raumfahrt ist dies nicht möglich, da aufgrund der beschränkten Speichermöglichkeit die gesammelten Daten so rasch wie möglich zur Erde gesendet werden. Diese Daten wiederum brauchen aufgrund der grossen Distanz Stunden bis die Daten beim Empfänger ankommen. Fehlerhafte Daten kann also auf Grund der Zeitverzögerung nicht mehr angefordert werden. -Bei CDs oder DVDs gibt es zwar kein Zeitliches Problem, jedoch erschweren Kratzer, Verschmutzungen oder Produktionsfehler das Lesen einer solchen Disk. +Bei CDs oder DVDs gibt es zwar kein zeitliches Problem, jedoch erschweren Kratzer, Verschmutzungen oder Produktionsfehler das Lesen einer solchen Disk. Da vor allem Produktionsfehler und Kratzer irreversibel sind und die Disk nicht nach jedem Kratzer ersetzt werden muss, so wird die korrekte Ausgabe der gespeicherten Information durch die Fehlerkorrektur sichergestellt. -Ein ähnlicher Ansatz verfolgen QR-Codes, wobei die Information auch dann noch gelesen werden kann wenn der Code nicht mehr vollständig vorhanden ist. +Einen ähnlichen Ansatz verfolgen QR-Codes, wobei die Information auch dann noch gelesen werden kann wenn der Code nicht mehr vollständig vorhanden ist. %Wie man sieht, eignen sich Reed-Solomon-Codes vor allem für Anwendungen, bei der die Informationen nicht auf einen Anderen Weg beschafft werden kann. % @@ -33,7 +32,6 @@ Ein ähnlicher Ansatz verfolgen QR-Codes, wobei die Information auch dann noch g % da aufgrund der grossen Distanz Stunden vergehen können bis gesendete Daten auf der Erde empfangen werden kann. % - Obwohl alle diese Codes nach dem gleichen Prinzip arbeiten gibt es starke Unterschiede in deren Funktionsweise. Dies kommt vor allem daher, da die Codes nur Ressourcen zur Verfügung haben, die von der Hardware bereitstellt wird, auf denen die Codes implementiert wurden. Diese Codes bedienen sich daher verschiedener Tricks und Optimierungen um möglichst effizient zu arbeiten. @@ -75,8 +73,14 @@ Obwohl Reed-Solomon-Codes bereits in den 1960er entwickelt wurden fanden sie ers Codiert. Der Nachrichtenblock hat somit eine Länge von $255$ Zahlen, wovon $233$ als Nutzlast zur Verfügung stehen. Damit ist es möglich bis zu $11$ Fehler im Nachrichtenblock zu korrigieren. -Der Codierte Nachrichtenblock wird in kleinere Blöcke aufgeteilt, mit einem Faltungscode erneut Codiert und anschliessend gesendet. Ein Faltungscode ist wie ein Reed-Solomon-Code in der Lage Fehler zu korrigieren, Funktioniert aber nach einem ganz anderen Prinzip. -Durch diese doppelte Codierung wird eine äusserst hohe Übertragungssicherheit garantiert. +Der Codierte Nachrichtenblock wird in kleinere Blöcke aufgeteilt, mit einem Faltungscode erneut Codiert und anschliessend gesendet. +Ein Faltungscode ist wie ein Reed-Solomon-Code in der Lage Fehler zu korrigieren, +Codiert seine Information aber auf eine andere weise. Aus jedem unterteilten Block wird vor dem Versenden ein Paritätsbit erzeugt und dem Block angehängt. Anhand diesem Paritätsbit überprüft der Empfänger, ob bei der Übertragung der Block beschädigt wurde. Ist dies der Fall, wird der Block bei der Decodierung nicht beachtet. Diese so entstandenen ``Lücken'' im Datenstrom werden wiederum vom Reed-Solomon-Code korrigiert. Dieses Zusammenspiel beider Codes garantiert so eine hohe Robustheit gegenüber Übertragungsfeher. + +% +% Funktioniert aber nach einem ganz anderen Prinzip. +% +%Durch diese doppelte Codierung wird eine äusserst hohe Übertragungssicherheit garantiert. % %Dabei steht die Zahl 255 für grösse des Nachrichtenblocks, der die Anzahl 233 % @@ -107,13 +111,18 @@ Die Digital Video Disc funktioniert nach dem selben Konzept mit grösseren Codeb \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.5\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc} - \caption{CDs kamen 1982 auf den Markt. Sie funktioniert durch das ``einbrennen'' von Punkten und Strichen, die die Daten repräsentieren. Gelesen werden diese wiederum durch die Reflektion eines Lasers an diesen Punkten und Strichen.} + \subfigure[]{ + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc} + } + \subfigure[]{ + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/reedsolomon/images/Compact_Disc_zoomed_in} + } + \caption{CDs kamen 1982 auf den Markt. Sie funktioniert durch das Einpressen oder Einbrennen von Punkten und Strichen, die die Daten repräsentieren. Gelesen werden diese wiederum durch die Reflektion eines Lasers an diesen Punkten und Strichen.} \label{fig:cd} \end{figure} \subsection{QR-Codes} -Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel der Abschnitte \ref{reedsolomon:section:codebsp} - \ref{reedsolomon:section:rekonstruktion} nur das QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Die Physische Grösse eines Codes ist stark abhängig von der Grösse der Codierung sowie dem Fehlerkorrektur-Level. Es ist so auf dem ersten Blick nicht ersichtlich, wie viel Nutzinformationen ein Qr-Code enthält. Die QR-Codes in Abbildung \ref{fig:qr} zeigen jeweils die Gleiche Information mit unterschiedlichem Fehlerkorrektur-Level. Codes mit einem höheren Korrektur-Level können auch für Designer-Codes Zweckentfremdet werden. Dabei wird z.B. das Firmenlogo oder einen Schriftzug über den Qr-Code gelegt, ohne das die Funktion des Codes beeinträchtigt wird. Ein Beispiel dazu ist unter Abbildung \ref{fig:designqr} zu finden. +Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen Prinzip wie in unserem Beispiel der Abschnitte \ref{reedsolomon:section:codebsp} - \ref{reedsolomon:section:rekonstruktion} nur das QR-Codes in einem $\mathbb{F}_{256}$ Körper arbeiten. Die physische Grösse eines Codes ist stark abhängig von der Menge an codierten Daten sowie dem verwendeten Fehlerkorrektur-Level. Es ist so auf dem ersten Blick nicht ersichtlich, wie viel Nutzinformationen ein Qr-Code enthält. Die QR-Codes in Abbildung \ref{fig:qr} zeigen jeweils die Gleiche Information mit unterschiedlichem Fehlerkorrektur-Level. Codes mit einem höheren Korrektur-Level können auch für Designer-Codes Zweckentfremdet werden. Dabei wird z.B. das Firmenlogo oder einen Schriftzug über den Qr-Code gelegt, ohne das die Funktion des Codes beeinträchtigt wird. Ein Beispiel dazu ist unter Abbildung \ref{fig:designqr} zu finden. % @@ -154,6 +163,6 @@ Quick Response Codes oder auch QR-Codes funktionieren nach einem sehr ähnlichen \subfigure[]{ \includegraphics[width=0.4\textwidth]{papers/reedsolomon/images/designer_qrcode} } - \caption{Während (a) noch ein unveränderter QR-Code repräsentiert, handelt es sich bei (b) nun um einen Designer-QR-Code. Beide Codes verfügen über einen mittleren Fehlerkorrektur-Level von theoretisch 15\%. Da bei (b) jetzt einen Teil des Codes durch ein Logo verdeckt wird, schränkt sich dadurch die Fehlerkorrekturfähigkeit je nach grösse des verdeckten Teils mehr oder weniger stark ein. Unser Designer-Code in (b) ist nur noch in der Lage etwa 9\% des Codes zu rekonstruieren.} + \caption{Während (a) noch einen unveränderten QR-Code repräsentiert, handelt es sich bei (b) nun um einen Designer-QR-Code. Beide Codes verfügen über einen mittleren Fehlerkorrektur-Level von theoretisch 15\%. Da bei (b) jetzt einen Teil des Codes durch ein Logo verdeckt wird, schränkt sich die Fehlerkorrekturfähigkeit je nach Grösse des verdeckten Teils mehr oder weniger stark ein. Unser Designer-Code in (b) ist nur noch in der Lage etwa 9\% des Codes zu rekonstruieren.} \label{fig:designqr} \end{figure} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/images/Compact_Disc_zoomed_in.png b/buch/papers/reedsolomon/images/Compact_Disc_zoomed_in.png new file mode 100644 index 0000000..69556d0 Binary files /dev/null and b/buch/papers/reedsolomon/images/Compact_Disc_zoomed_in.png differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/main.tex b/buch/papers/reedsolomon/main.tex index e68b947..ab4e4be 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/main.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/main.tex @@ -49,6 +49,7 @@ Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren \nocite{reedsolomon:voyager} \nocite{reedsolomon:cd_wiki} \nocite{reedsolomon:cd} +\nocite{reedsolomon:strichepunkte} \nocite{reedsolomon:qr_wiki} \nocite{reedsolomon:qr} %\nocite{reedsolomon:mendezmueller} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/references.bib b/buch/papers/reedsolomon/references.bib index e0a75a8..b84b5a4 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/references.bib +++ b/buch/papers/reedsolomon/references.bib @@ -51,7 +51,7 @@ } @online{reedsolomon:cd, - title = {Funktionsweise des QR-Codes}, + title = {Abbildung einer CD}, url = {https://www.stickpng.com/img/electronics/compact-discs/stack-compact-disc}, date = {2021-07-19}, year = {2021}, @@ -59,6 +59,15 @@ day = {19} } +@online{reedsolomon:strichepunkte, + title = {Abbildung der Striche und Punkte einer CD}, + url = {https://www.researchgate.net/figure/The-readable-area-of-a-CD-is-magnified-in-order- to-see-the-pit-and-land-sizing-The_fig7_303401629}, + date = {2021-07-26}, + year = {2021}, + month = {7}, + day = {26} +} + @online{reedsolomon:qr_wiki, title = {Funktionsweise des QR-Codes}, url = {https://de.wikipedia.org/wiki/QR-Code}, -- cgit v1.2.1 From 88c208363cf560043f87c2c83fa251177e74cd1b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Tue, 27 Jul 2021 13:20:05 +0200 Subject: save --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 18 +++++------ buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex | 55 +++++++++++++++----------------- 3 files changed, 35 insertions(+), 40 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 62e44cc..ffe98f8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -53,7 +53,7 @@ Das heisst alle information ist in alle Zahlenvorhanden. \begin{figure} \centering - \resizebox{0.9\textwidth}{!}{ + \resizebox{\textwidth}{!}{ \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} %\input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} } diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index e18ccd2..519e642 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -22,7 +22,7 @@ Auch eine variante wäre es die Daten nach einem Fehler einfach nochmals zu send Eine Idee ist aus den Daten ein Polynom zu bilden. Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt. -Nehmen wir als beisbiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, +Nehmen wir als Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, welche uns dann das Polynom \begin{equation} p(x) @@ -31,21 +31,21 @@ p(x) \label{reedsolomon:equation1} \end{equation} ergeben. -Übertragen werden nun die Werte an den stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. +Übertragen werden nun die Werte dieses Polynomes an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, -mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{green}{8}, -\textcolor{green}{15}, \textcolor{green}{26}, -\textcolor{green}{41}, \textcolor{green}{60}, -\textcolor{green}{83}, \textcolor{green}{110})$ -Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hatt, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. +mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, +\textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26}, +\textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, +\textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$ +Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. \subsection{Beispiel} -Für das Beispeil aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1}, +Für das Beispiel aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1}, ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen, da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. -(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{green}{grünen Punkte}) +(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{darkgreen}{grünen Punkte}) Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten? Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom} diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex index 3036e14..db141a8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex @@ -15,30 +15,27 @@ %--------------------------------------------------------------- %Knote - \matrix[draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ + \matrix(m) [draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ + \node(signal) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis} [title = {\Large {Signal}}, - xtick={0,20,40,64,80,98},] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; + xtick={0,20,40,64,80,98}] + \addplot[black] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}}; & \node(codiert) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Codiert}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + \begin{tikzpicture}[] + \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert \space + \space Fehler}}, + xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] + \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; \end{axis} - \end{tikzpicture}}; \\ - - &\node(fehler) [] { - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[scale=0.6, title = {\Large {Fehler}}, - xtick={7,21,75}] - \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] + \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; \end{axis} - \end{tikzpicture}};\\ + \end{tikzpicture}}; \\ \node(decodiert) [] { \begin{tikzpicture} @@ -50,7 +47,7 @@ \node(empfangen) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ @@ -71,26 +68,24 @@ %------------------------------------------------------------- %FFT & IFFT deskription - \draw[thin,gray,dashed] (0,12) to (0,-12); - \node(IFFT) [scale=0.7] at (0,12.3) {IFFT}; - \draw[<-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); - \node(FFT) [scale=0.7, above of=IFFT] {FFT}; - \draw[->](FFT.north west)--(FFT.north east); + \draw[thin,gray,dashed] (0,9) to (0,-9); + \node(IFFT) [scale=0.8] at (0,9.3) {IFFT}; + \draw[stealth-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); + \node(FFT) [scale=0.8, above of=IFFT] {FFT}; + \draw[-stealth](FFT.north west)--(FFT.north east); - \draw[thick, ->,] (fehler.west)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); + \draw[thick, ->,] (codiert)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); %Arrows - \draw[ultra thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); - \draw[ultra thick, ->] (codiert.south) to (fehler.north); - \draw[ultra thick, ->] (fehler.south) to (empfangen.north); - \draw[ultra thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); - \draw[ultra thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); - \draw(decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; - \draw[ultra thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + \draw[thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); + \draw[thick, ->] (codiert.south) to (empfangen.north); + \draw[thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); + \draw[thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); + \draw[thick](decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; + \draw[thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); %item \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (fehler.north west) {3}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2+3}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; -- cgit v1.2.1 From c3c7a6320004974ba56eb98305b5ac9fa13d4a52 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Tue, 27 Jul 2021 17:10:19 +0200 Subject: save --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 20 +++-- buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt | 96 ---------------------- buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt | 96 ---------------------- buch/papers/reedsolomon/experiments/empfangen.txt | 96 ---------------------- buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt | 96 ---------------------- buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt | 96 ---------------------- buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt | 96 ---------------------- buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt | 96 ---------------------- buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf | Bin 60217 -> 59617 bytes buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf | Bin 20327 -> 20327 bytes buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf | Bin 1782700 -> 1828186 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex | 6 +- 12 files changed, 15 insertions(+), 683 deletions(-) delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/empfangen.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt delete mode 100644 buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index ffe98f8..73d0d12 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -7,21 +7,21 @@ \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourientransformation. -Dies wird weder eine erklärung der Forientransorfmation noch ein genauer gebrauch -für den Reed-Solomon-Code. Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourientransformation auf Fehler reagiert. +Dies wird weder eine erklärung der Forientransorfmation noch ein genauer gebrauchfür den Reed-Solomon-Code. +Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourientransformation auf Fehler reagiert. wobei sie dann bei späteren Berchnungen ganz nützlich ist. -\subsection{Diskrete Fourientransformation Zusamenhang +\subsection{Diskrete Fourietransformation Zusamenhang \label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} -Die Diskrete Fourientransformation ist definiert als +Die Diskrete Fourietransformation ist definiert als \begin{equation} \hat{c}_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} - \label{reedsolomon:DFT} + ,\label{reedsolomon:DFT} \end{equation} -, wenn man nun +wenn man nun \begin{equation} w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k} @@ -38,8 +38,12 @@ ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. \subsection{Übertragungsabfolge \label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} - -\begin{enumerate}[1)] +Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 16 Fehler abzusicheren, +16 Fehler erkennen und rekonstruieren. +Dieser Auftrag soll mittels Fouriertransformation bewerkstelligt werden. +In der Abbildung \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge} sieht man dies Schritt für schritt, +und hier werden die einzelne Schritte erklärt. +\begin{enumerate}[(1)] \item Das Signal hat 64 die Daten, Zahlen welche übertragen werden sollen. Dabei zusätzlich nach 16 Fehler abgesichert, macht insgesamt 96 Übertragungszahlen. \item Nun wurde mittels der schnellen diskreten Fourientransformation diese 96 codiert. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt deleted file mode 100644 index 4a481d8..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/codiert.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,284 -1,131.570790435043 -2,41.9840308053375 -3,12.1189172092243 -4,23.8408857476069 -5,69.1793197789512 -6,24.0186013379153 -7,37.3066577242559 -8,18.2010889773887 -9,12.3214904922455 -10,15.6627133315015 -11,24.5237955316204 -12,32.1114345314062 -13,44.9845039238714 -14,13.5324640263625 -15,10.1736266929292 -16,4.58257569495584 -17,23.217268502288 -18,16.5769107917917 -19,6.89948680823017 -20,4.84567134895776 -21,10.4219666223433 -22,43.6179140616243 -23,35.9073375743642 -24,15.0332963783729 -25,21.7594021268945 -26,23.2496572716993 -27,17.9815599423852 -28,11.3577742151117 -29,38.467599433197 -30,28.3035029562577 -31,9.54321919833388 -32,21.377558326432 -33,17.6292439561917 -34,12.6951848921471 -35,20.0667752354841 -36,22.9097309529208 -37,8.78894645948548 -38,13.360682005498 -39,25.1757616314718 -40,38.0357773686457 -41,18.4633287776253 -42,19.0584505869806 -43,10.8631093309173 -44,12.6147770818983 -45,12.5398140021274 -46,34.901983501949 -47,22.3480442021702 -48,6 -49,22.3480442021702 -50,34.901983501949 -51,12.5398140021274 -52,12.6147770818983 -53,10.8631093309173 -54,19.0584505869806 -55,18.4633287776253 -56,38.0357773686457 -57,25.1757616314718 -58,13.360682005498 -59,8.78894645948548 -60,22.9097309529208 -61,20.0667752354841 -62,12.6951848921471 -63,17.6292439561917 -64,21.377558326432 -65,9.54321919833388 -66,28.3035029562577 -67,38.467599433197 -68,11.3577742151117 -69,17.9815599423852 -70,23.2496572716993 -71,21.7594021268945 -72,15.0332963783729 -73,35.9073375743642 -74,43.6179140616243 -75,10.4219666223433 -76,4.84567134895776 -77,6.89948680823017 -78,16.5769107917917 -79,23.217268502288 -80,4.58257569495584 -81,10.1736266929292 -82,13.5324640263625 -83,44.9845039238714 -84,32.1114345314062 -85,24.5237955316204 -86,15.6627133315015 -87,12.3214904922455 -88,18.2010889773887 -89,37.3066577242559 -90,24.0186013379153 -91,69.1793197789512 -92,23.8408857476069 -93,12.1189172092243 -94,41.9840308053375 -95,131.570790435043 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt deleted file mode 100644 index f6221e6..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/decodiert.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,6.05208333333333 -1,6.02602539785853 -2,0.0261327016093151 -3,5.98927158561317 -4,4.019445724874 -5,0.0247005083663722 -6,4.97798278395618 -7,1.95246440445439 -8,0.974000110512201 -9,2.00528527696027 -10,1.00071804528155 -11,1.97630907888264 -12,0.0232923747656228 -13,6.01302820392331 -14,3.03567381915226 -15,5.02435590137329 -16,7.00526061008995 -17,5.00739608089369 -18,5.02211514480064 -19,4.02175864806658 -20,1.00236543833726 -21,4.98147315261261 -22,8.97728828610336 -23,8.98481304394618 -24,2.98958333333333 -25,1.98491220960989 -26,5.97728835934715 -27,5.98144124907561 -28,4.00163839998525 -29,2.02176249296313 -30,9.02210713874162 -31,1.00742763919872 -32,1.00557258081044 -33,1.02435888848794 -34,2.03577412756745 -35,6.01302820392331 -36,5.97917574041123 -37,0.976310374034338 -38,9.00062625447998 -39,7.00515849238528 -40,6.97396416790894 -41,0.95256880864368 -42,8.97794719866783 -43,9.01850701506487 -44,10.0194409579917 -45,8.98926601525997 -46,7.9866590265379 -47,5.02603060999077 -48,2.05208333333333 -49,4.02603841132848 -50,0.986882897867895 -51,0.0177592928994285 -52,9.01944131204563 -53,3.0185365665612 -54,2.97803642439316 -55,2.95243072164649 -56,4.97396651395488 -57,6.00516695947321 -58,0.0143895905726619 -59,7.97630812771393 -60,5.97917574041123 -61,9.01298821331865 -62,3.03567381915226 -63,4.02435609145793 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-1,131.570790435043 -2,41.9840308053375 -3,12.1189172092243 -4,23.8408857476069 -5,69.1793197789512 -6,23.6290258699579 -7,37.3066577242559 -8,18.2010889773887 -9,12.3214904922455 -10,15.6627133315015 -11,24.5237955316204 -12,32.1114345314062 -13,44.9845039238714 -14,13.5324640263625 -15,10.1736266929292 -16,4.58257569495584 -17,23.217268502288 -18,16.5769107917917 -19,6.89948680823017 -20,5.55320238736303 -21,10.4219666223433 -22,43.6179140616243 -23,35.9073375743642 -24,15.0332963783729 -25,21.7594021268945 -26,23.2496572716993 -27,17.9815599423852 -28,11.3577742151117 -29,38.467599433197 -30,28.3035029562577 -31,9.54321919833388 -32,21.377558326432 -33,17.6292439561917 -34,12.6951848921471 -35,20.0667752354841 -36,22.9097309529208 -37,8.78894645948548 -38,13.360682005498 -39,25.1757616314718 -40,38.0357773686457 -41,18.4633287776253 -42,19.0584505869806 -43,10.8631093309173 -44,12.6147770818983 -45,12.5398140021274 -46,34.901983501949 -47,22.3480442021702 -48,6 -49,22.3480442021702 -50,34.901983501949 -51,12.5398140021274 -52,12.6147770818983 -53,10.8631093309173 -54,19.0584505869806 -55,18.4633287776253 -56,38.0357773686457 -57,25.1757616314718 -58,13.360682005498 -59,8.78894645948548 -60,22.9097309529208 -61,20.0667752354841 -62,12.6951848921471 -63,17.6292439561917 -64,21.377558326432 -65,9.54321919833388 -66,28.3035029562577 -67,38.467599433197 -68,11.3577742151117 -69,17.9815599423852 -70,23.2496572716993 -71,21.7594021268945 -72,15.0332963783729 -73,35.9073375743642 -74,44.6135417384784 -75,10.4219666223433 -76,4.84567134895776 -77,6.89948680823017 -78,16.5769107917917 -79,23.217268502288 -80,4.58257569495584 -81,10.1736266929292 -82,13.5324640263625 -83,44.9845039238714 -84,32.1114345314062 -85,24.5237955316204 -86,15.6627133315015 -87,12.3214904922455 -88,18.2010889773887 -89,37.3066577242559 -90,24.0186013379153 -91,69.1793197789512 -92,23.8408857476069 -93,12.1189172092243 -94,41.9840308053375 -95,131.570790435043 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt deleted file mode 100644 index 23f1a83..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/fehler.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0 -5,0 -6,2 -7,0 -8,0 -9,0 -10,0 -11,0 -12,0 -13,0 -14,0 -15,0 -16,0 -17,0 -18,0 -19,0 -20,2 -21,0 -22,0 -23,0 -24,0 -25,0 -26,0 -27,0 -28,0 -29,0 -30,0 -31,0 -32,0 -33,0 -34,0 -35,0 -36,0 -37,0 -38,0 -39,0 -40,0 -41,0 -42,0 -43,0 -44,0 -45,0 -46,0 -47,0 -48,0 -49,0 -50,0 -51,0 -52,0 -53,0 -54,0 -55,0 -56,0 -57,0 -58,0 -59,0 -60,0 -61,0 -62,0 -63,0 -64,0 -65,0 -66,0 -67,0 -68,0 -69,0 -70,0 -71,0 -72,0 -73,0 -74,1 -75,0 -76,0 -77,0 -78,0 -79,0 -80,0 -81,0 -82,0 -83,0 -84,0 -85,0 -86,0 -87,0 -88,0 -89,0 -90,0 -91,0 -92,0 -93,0 -94,0 -95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt deleted file mode 100644 index b28988c..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/locator.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,0.0301224340567056 -1,0.141653026854885 -2,0.138226631799377 -3,0.0339903276086929 -4,0.310585462557496 -5,0.551427312631385 -6,0.628514858396814 -7,0.51102386251559 -8,0.275861355940449 -9,0.0502396354182268 -10,0.090185502547573 -11,0.110759344849756 -12,0.0684618905063001 -13,0.0362855426992259 -14,0.0697096919781468 -15,0.109288539370248 -16,0.0923187999496653 -17,0.0512198536768088 -18,0.274192386987782 -19,0.51349614953654 -20,0.633154426602466 -21,0.553283743533942 -22,0.307840573214514 -23,0.0341664350328392 -24,0.140270857957 -25,0.138527177682831 -26,0.029637547736156 -27,0.0816962563186052 -28,0.0944383203811073 -29,0.0263932110686261 -30,0.0585881348402056 -31,0.0737117341599984 -32,0.0239973937701886 -33,0.0464215468420038 -34,0.0616218854220964 -35,0.0221963086695009 -36,0.0390764778127646 -37,0.0537637218396934 -38,0.0208333333333332 -39,0.0343107696069045 -40,0.0483441215964552 -41,0.0198077862118806 -42,0.0311207395968725 -43,0.0444955089373458 -44,0.0190533549944159 -45,0.0290049795038723 -46,0.0417536642697558 -47,0.0185261550443084 -48,0.0277059929762261 -49,0.0398606084144816 -50,0.0181978813094817 -51,0.0271098219177584 -52,0.0386836665079729 -53,0.0180518611046889 -54,0.0272138992557141 -55,0.0381891287148314 -56,0.0180809085252469 -57,0.0281418959420061 -58,0.0384596362516637 -59,0.0182864418432272 -60,0.0302250788423173 -61,0.0397874837986351 -62,0.0186786556701694 -63,0.0342489348284216 -64,0.0429932815348666 -65,0.0192777878591759 -66,0.0422808966931999 -67,0.0506815964680563 -68,0.0201167847752226 -69,0.0615048274405271 -70,0.0744953894508454 -71,0.021246054596492 -72,0.142602265816215 -73,0.273502052865436 -74,0.325309673287599 -75,0.272705389655349 -76,0.149074257381345 -77,0.0247199397628712 -78,0.0680137859566976 -79,0.075388270873485 -80,0.0273637831604903 -81,0.0407867704453274 -82,0.0632964886441949 -83,0.0309749128751093 -84,0.0315202035072035 -85,0.0627625211892184 -86,0.0360843918243497 -87,0.02794920551495 -88,0.0677921493367236 -89,0.0437167157553067 -90,0.0270640150996317 -91,0.0783380025231622 -92,0.0561293738314281 -93,0.0278742033265809 -94,0.0981443889498639 -95,0.0794543457386548 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt deleted file mode 100644 index c4fa5f8..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/signal.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,6 -1,6 -2,0 -3,6 -4,4 -5,0 -6,5 -7,2 -8,1 -9,2 -10,1 -11,2 -12,0 -13,6 -14,3 -15,5 -16,7 -17,5 -18,5 -19,4 -20,1 -21,5 -22,9 -23,9 -24,3 -25,2 -26,6 -27,6 -28,4 -29,2 -30,9 -31,1 -32,1 -33,1 -34,2 -35,6 -36,6 -37,1 -38,9 -39,7 -40,7 -41,1 -42,9 -43,9 -44,10 -45,9 -46,8 -47,5 -48,2 -49,4 -50,1 -51,0 -52,9 -53,3 -54,3 -55,3 -56,5 -57,6 -58,0 -59,8 -60,6 -61,9 -62,3 -63,4 -64,0 -65,0 -66,0 -67,0 -68,0 -69,0 -70,0 -71,0 -72,0 -73,0 -74,0 -75,0 -76,0 -77,0 -78,0 -79,0 -80,0 -81,0 -82,0 -83,0 -84,0 -85,0 -86,0 -87,0 -88,0 -89,0 -90,0 -91,0 -92,0 -93,0 -94,0 -95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt deleted file mode 100644 index 8ca9eed..0000000 --- a/buch/papers/reedsolomon/experiments/syndrom.txt +++ /dev/null @@ -1,96 +0,0 @@ -0,0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0 -5,0 -6,0 -7,0 -8,0 -9,0 -10,0 -11,0 -12,0 -13,0 -14,0 -15,0 -16,0 -17,0 -18,0 -19,0 -20,0 -21,0 -22,0 -23,0 -24,0 -25,0 -26,0 -27,0 -28,0 -29,0 -30,0 -31,0 -32,0 -33,0 -34,0 -35,0 -36,0 -37,0 -38,0 -39,0 -40,0 -41,0 -42,0 -43,0 -44,0 -45,0 -46,0 -47,0 -48,0 -49,0 -50,0 -51,0 -52,0 -53,0 -54,0 -55,0 -56,0 -57,0 -58,0 -59,0 -60,0 -61,0 -62,0 -63,0 -64,0.0275599094902563 -65,0.0115837187254191 -66,0.025877761014238 -67,0.0224618032819697 -68,0.04410594689944 -69,0.0474504002669341 -70,0.0227694695500626 -71,0.0271436638090525 -72,0.0104166666666667 -73,0.0271436638090523 -74,0.0227694695500608 -75,0.0474504002669343 -76,0.0441059468994397 -77,0.0224618032819701 -78,0.0258777610142379 -79,0.0115837187254183 -80,0.027559909490256 -81,0.0245124379481793 -82,0.0499782237195209 -83,0.0401432022864265 -84,0.0232923747656228 -85,0.0237974288564099 -86,0.0143895905726624 -87,0.0271745729691685 -88,0.0275599094902567 -89,0.0515501672184983 -90,0.0358255004834542 -91,0.024700508366373 -92,0.0210194725405171 -93,0.0177592928994296 -94,0.0261327016093158 -95,0.0314909067039411 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf index 27992c9..c5e21e3 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf index ae68385..dd6cdd3 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf index 80af280..a984f35 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex index db141a8..14af683 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex @@ -22,7 +22,7 @@ \begin{axis} [title = {\Large {Signal}}, xtick={0,20,40,64,80,98}] - \addplot[black] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}}; & @@ -54,14 +54,14 @@ \node(syndrom) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] - \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; + \addplot[black] table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}}; & \node(locator) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] - \addplot[] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; + \addplot[gray] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ }; -- cgit v1.2.1 From 5daff6cc906d9abb2a913569588a0666b4d53b4a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 28 Jul 2021 17:52:37 +0200 Subject: rewrite some texts --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 42 ++++++++----- buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf | Bin 20327 -> 20317 bytes buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 73 +++++++++++++--------- buch/papers/reedsolomon/packages.tex | 2 + buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf | Bin 1828186 -> 1835615 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex | 11 ++-- 6 files changed, 79 insertions(+), 49 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 73d0d12..e9aacfb 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -3,57 +3,65 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Diskrete Fourier Transformation +\section{Übertragung mit hilfe der Diskrete Fourier Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourientransformation. -Dies wird weder eine erklärung der Forientransorfmation noch ein genauer gebrauchfür den Reed-Solomon-Code. +Dies wird weder eine Erklärung der Forientransorfmation, noch ein genauer gebrauch für den Reed-Solomon-Code. Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourientransformation auf Fehler reagiert. wobei sie dann bei späteren Berchnungen ganz nützlich ist. \subsection{Diskrete Fourietransformation Zusamenhang \label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} -Die Diskrete Fourietransformation ist definiert als +Mit hilfe der Fourietransformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, +zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. +Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. +Nun zur definition der Diskrete Fourietransformation, diese ist definiert als \begin{equation} \hat{c}_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} ,\label{reedsolomon:DFT} \end{equation} - wenn man nun \begin{equation} w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k} \label{reedsolomon:DFT_summand} \end{equation} - ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man \begin{equation} \hat{c}_{k}= \frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) \label{reedsolomon:DFT_polynom} \end{equation} - was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. -\subsection{Übertragungsabfolge + +\subsection{Beispiel \label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} -Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 16 Fehler abzusicheren, -16 Fehler erkennen und rekonstruieren. +Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 32 Fehler abzusicheren, +16 Fehler erkennen und rekonstruieren. + Dieser Auftrag soll mittels Fouriertransformation bewerkstelligt werden. In der Abbildung \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge} sieht man dies Schritt für schritt, -und hier werden die einzelne Schritte erklärt. +und hier werden die einzelne Schritte erklärt: \begin{enumerate}[(1)] \item Das Signal hat 64 die Daten, Zahlen welche übertragen werden sollen. Dabei zusätzlich nach 16 Fehler abgesichert, macht insgesamt 96 Übertragungszahlen. -\item Nun wurde mittels der schnellen diskreten Fourientransformation diese 96 codiert. -Das heisst alle information ist in alle Zahlenvorhanden. -\item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. -\item Dieses wird nun Empfangen und mittels inversen diskreten Fourientransormation, wieder rücktransformiert. -\item Nun sieht man den Fehler im Decodieren in den Übertragungsstellen 64 bis 96. -\item Nimmt man nun nur diese Stellen 64 bis 96, auch Syndrom genannt, und Transformiert diese. -\item Bekommt man die Fehlerstellen im Locator wieder, zwar nichtso genau, dennoch erkkent man wo die Fehler stattgefunden haben. +(siehe Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}) +Die 32 Fehlerkorrekturstellen werden als Null Übertragen +\item Nun wurde mittels der diskreten Fourientransformation diese 96 codiert. +Das heisst alle Informationen ist in alle Zahlenvorhanden. (Auch die Fehlerkorrekturstellen Null) +\item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75.(die Skala ist Rechts) +Die Fehler können auf den ganzen 96 Übertragungswerten liegen, wie die 75 zeigt. +\item Dieses wird nun Empfangen und mittels inversen diskreten Fourientransormation, wieder rücktransformiert.(Iklusive der Fehler) +\item Nun sieht man den Fehler im Decodieren in den Übertragungsstellen 64 bis 96, da es dort nicht mehr Null ist. +\item Nimmt man nun nur diese Stellen 64 bis 96, dies definieren wir als Syndrom, und transformiert nur dieses Syndrom. +\item Bekommt man die Fehlerstellen wieder, zwar nichtso genau, dennoch erkennt man wo die Fehler stattgefunden haben. +Dies definieren wir als Locator. \end{enumerate} +Nun haben wir mit Hilfe der Fourietransformation die 3 Fehlerstellen durch das Syndrom lokalisiert, +jetzt gilt es nur noch diese zu korrigieren und wir haben unser originales Signal wieder. \begin{figure} \centering diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf index dd6cdd3..55a50ac 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/figures/polynom2.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 519e642..8ad3d27 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -1,5 +1,5 @@ % -% idee.tex -- Beispiel-File für das Paper +% idee.tex -- Polynom Idee % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % @@ -14,15 +14,19 @@ Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, zu Übertragen und Fehler zu erkennen. Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, man kann sogar einige Fehler korrigieren. -Der unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage kommt hat es Fehler oder keine, -beim korrigieren muss man den Fehler erkennun und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. -Auch eine variante wäre es die Daten nach einem Fehler einfach nochmals zu senden, was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvolll ist. \ref(reedsolomon:section:anwendung) +Der unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird mit: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? +Beim Korrigieren werden Fehler erkennt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. +Auch eine Variante wäre es die Daten nach einem Fehler nachdem Fehlerhaften senden, nochmals versenden(auch hier wieder doppelt und dreifach Sendung), +was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. +\externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} +\ref{reedsolomon:section:anwendung} +\subsection{Polynom-Ansatz +\label{reedsolomon:section:polynomansatz}} \rhead{Polynom-Ansatz} -Eine Idee ist aus den Daten -ein Polynom zu bilden. +Eine Idee ist aus den Daten ein Polynom zu bilden. Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt. -Nehmen wir als Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, +\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, welche uns dann das Polynom \begin{equation} p(x) @@ -31,7 +35,8 @@ p(x) \label{reedsolomon:equation1} \end{equation} ergeben. -Übertragen werden nun die Werte dieses Polynomes an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. +Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} +dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, \textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26}, @@ -39,9 +44,11 @@ mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$ Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. +Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der Farbe grün \textcolor{darkgreen}{Übermitteln}. +\end{beispiel} -\subsection{Beispiel} -Für das Beispiel aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1}, +\begin{beispiel} +Aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1}, ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen, da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. @@ -51,29 +58,40 @@ Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom} Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt. Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. -Dafür sind mehr übertragene Werte nötig. +Da das Konkurenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleited. +Um das Konkurenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig. +\end{beispiel} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2} - %\input{papers/reedsolomon/images/polynom2.tex} - \caption{Polynom $p(x)$ \eqref{reedsolomon:equation1}} + %\input{papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex} + \caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}} \label{fig:polynom} \end{figure} -\section{Fehlerbestimmung -\label{reedsolomon:section:Fehlerbestimmmung}} -So wird ein Muster indentifiziert, welches genau vorherbestimmen kann, -wie gross das Polynom sein muss und wie viele Übertragungspunkte gegeben werden müssen. -Um zu bestimmen wie viel Fehler erkennt und korriegiert werden können. -Die Anzahl Zahlen (Daten, ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), -die Entschlüsselt werden sollen, brauchen die gleiche Anzahl an Polynomgraden, beginnend bei Grad 0. ( \( k-1 \) ) -Für die Anzahl an Übertragungspunkte, muss bestimmt werden wieviel Fehler erkennt und korrigiert werden sollen. -Mit Hilfe der Tabelle, sieht man das es bei $t$ Fehlern und $k$ Nutzlast Zahlen, -$k+2t$ Punkte übertragen werden müssen. +\section{Fehlerkorekturstellen bestimmen +\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} +Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, die dann Fehler korrigieren, +muss man zuerst Wissen wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. +Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, +brauchen die gleiche Anzahl an Polynomgraden, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$. +Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel. +\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir 7 \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} senden. +Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurenzpolynom, +maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurenzpolynom ist das gleiche wie das Original. +Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen. +\end{beispiel} +Durch das erkennen des Schemas in der Tabelle\ref{tabel:fehlerkorrekturstellen} +\begin{equation} + \frac{\textcolor{darkgreen}{u}-\textcolor{blue}{k}}{\textcolor{red}{t}} + =2 + \label{reedsolomon:equation2} +\end{equation} +zeigt sich das es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. \begin{center} - \begin{tabular}{ c c c } + \begin{tabular}{ c c | c} \hline Nutzlas & Fehler & Übertragen \\ \hline @@ -84,12 +102,11 @@ $k+2t$ Punkte übertragen werden müssen. $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ \hline \end{tabular} + Fehlerkorrekturstellen Bestimmung TODO: Tabellenreferenz + \label{tabel:fehlerkorrekturstellen} \end{center} -Ein toller Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden. -Um zurück auf unser Beispiel zu kommen, -können von den 7 Übertragungspunkten bis zu $2t = 2\cdot2 = 4 $ Punkten falsch liegen -und es wird kein eindeutiges Polynom zweiten Grades erkannt, und somit die Nutzlast Daten als fehlerhaft deklariert. +Ein Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. Um aus den Übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden, doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/packages.tex b/buch/papers/reedsolomon/packages.tex index b84e228..40c6ea3 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/packages.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/packages.tex @@ -10,3 +10,5 @@ \usepackage{pgfplots} \usepackage{filecontents} +\usepackage{xr} + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf index a984f35..1f2f0b9 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex index 456e067..47dc679 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex @@ -29,9 +29,14 @@ \def\hellpunkt#1{ \fill[color=lightgray] #1 circle[radius=0.08]; - \draw #1 circle[radius=0.07]; + \draw[gray] #1 circle[ radius=0.07]; } + \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] + plot[domain=0.5:7, samples=100] + ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); + + \punkt{(1,8/\teiler)} \hellpunkt{(2,15/\teiler)} \hellpunkt{(3,26/\teiler)} @@ -40,9 +45,7 @@ \punkt{(6,83/\teiler)} \punkt{(7,110/\teiler)} - \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] - plot[domain=0.5:7, samples=100] - ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); + \def\erpunkt#1{ \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; -- cgit v1.2.1 From 8cc6ee76118ec1b446a732b9b7e06147737957d1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Thu, 29 Jul 2021 16:54:19 +0200 Subject: save typos --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 57 +++++++++++++++++-------------- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 56 +++++++++++++++--------------- buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex | 2 +- 3 files changed, 60 insertions(+), 55 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index e9aacfb..e9717c8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -9,35 +9,15 @@ Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourientransformation. Dies wird weder eine Erklärung der Forientransorfmation, noch ein genauer gebrauch für den Reed-Solomon-Code. Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourientransformation auf Fehler reagiert. -wobei sie dann bei späteren Berchnungen ganz nützlich ist. +Das ganze zeigen wir mit einem Beispiel einer Übertragung von Zahlen mit Hilfe der Fourientransformation. \subsection{Diskrete Fourietransformation Zusamenhang \label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} Mit hilfe der Fourietransformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. -Nun zur definition der Diskrete Fourietransformation, diese ist definiert als -\begin{equation} - \hat{c}_{k} - = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} - {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} - ,\label{reedsolomon:DFT} -\end{equation} -wenn man nun -\begin{equation} - w = - e^{-\frac{2\pi j}{N} k} - \label{reedsolomon:DFT_summand} -\end{equation} -ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man -\begin{equation} - \hat{c}_{k}= - \frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) - \label{reedsolomon:DFT_polynom} -\end{equation} -was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. -\subsection{Beispiel +\subsubsection{Beispiel einer Übertragung mit Fourientransformation \label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 32 Fehler abzusicheren, 16 Fehler erkennen und rekonstruieren. @@ -51,8 +31,8 @@ Dabei zusätzlich nach 16 Fehler abgesichert, macht insgesamt 96 Übertragungsza (siehe Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}) Die 32 Fehlerkorrekturstellen werden als Null Übertragen \item Nun wurde mittels der diskreten Fourientransformation diese 96 codiert. -Das heisst alle Informationen ist in alle Zahlenvorhanden. (Auch die Fehlerkorrekturstellen Null) -\item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75.(die Skala ist Rechts) +Das heisst alle Informationen ist in alle Zahlenvorhanden. Auch die Fehlerkorrekturstellen Null. +\item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. Die Fehler können auf den ganzen 96 Übertragungswerten liegen, wie die 75 zeigt. \item Dieses wird nun Empfangen und mittels inversen diskreten Fourientransormation, wieder rücktransformiert.(Iklusive der Fehler) \item Nun sieht man den Fehler im Decodieren in den Übertragungsstellen 64 bis 96, da es dort nicht mehr Null ist. @@ -71,4 +51,31 @@ jetzt gilt es nur noch diese zu korrigieren und wir haben unser originales Signa } \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} \label{fig:sendorder} -\end{figure} \ No newline at end of file +\end{figure} + +Nun zur definition der Diskrete Fourietransformation, diese ist definiert als +\begin{equation} + \hat{c}_{k} + = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} + {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}. + ,\label{reedsolomon:DFT} +\end{equation} +Wenn man nun +\begin{equation} + w = + e^{-\frac{2\pi j}{N} k} + \label{reedsolomon:DFT_summand} +\end{equation} +ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man +\begin{equation} + \hat{c}_{k}= + \frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) + \label{reedsolomon:DFT_polynom} +\end{equation} +was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. +Die Polynominterpolation und die Fourientransformation rechnen beide mit reelen Zahlen. +Wenn die Fehlerabweichung sehr sehr klein ist, erkennt man diese irgendwann nicht mehr. +Zusätzlich muss mann immer Grenzen bestimmen auf wieviel Stellen gerechnet wird und wie die Fehler erkannt werden im Locator. +Deshalb haben Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, +dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. + diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 8ad3d27..d8b8a93 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -14,9 +14,9 @@ Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, zu Übertragen und Fehler zu erkennen. Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, man kann sogar einige Fehler korrigieren. -Der unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird mit: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? -Beim Korrigieren werden Fehler erkennt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. -Auch eine Variante wäre es die Daten nach einem Fehler nachdem Fehlerhaften senden, nochmals versenden(auch hier wieder doppelt und dreifach Sendung), +Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? +Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. +Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wieder doppelt und dreifach Sendung), was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} @@ -24,8 +24,8 @@ was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. \subsection{Polynom-Ansatz \label{reedsolomon:section:polynomansatz}} \rhead{Polynom-Ansatz} -Eine Idee ist aus den Daten ein Polynom zu bilden. -Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten, ausrechnet und diese Punkte dann überträgt. +Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. +Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten errechnet und diese Punkte dann überträgt. \begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, welche uns dann das Polynom \begin{equation} @@ -48,18 +48,17 @@ Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der \end{beispiel} \begin{beispiel} -Aus der Gleichung \eqref{reedsolomon:equation1}, -ist ein Polynome zweiten Grades durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{red}{roten Punkte}) kann man diese erkennen, -da alle Punkte, die korrekt sind, auf dem Polynom liegen müssen. -(Bei Abbildung \ref{fig:polynom}\textcolor{darkgreen}{grünen Punkte}) +Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. +Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abb. \ref{fig:polynom} \textcolor{red}{roten Punkte}), +kann man diese erkennen, da alle Punkte, die korrekt sind, auf der Parabel liegen müssen. +(Bei Abb. \ref{fig:polynom} \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte}) Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten? Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, -gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt.\ref{fig:polynom} -Werden es mehr Fehler kann nur erkennt werden, dass das Polynom nicht stimmt. +gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. \ref{fig:polynom} +Werden es mehr Fehler kann nur erkannt werden, dass das Polynom nicht stimmt. Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. -Da das Konkurenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleited. -Um das Konkurenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig. +Da das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet. +Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig. \end{beispiel} \begin{figure} @@ -72,25 +71,25 @@ Um das Konkurenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übe \section{Fehlerkorekturstellen bestimmen \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} -Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, die dann Fehler korrigieren, -muss man zuerst Wissen wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. +Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, +muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, -brauchen die gleiche Anzahl an Polynomgraden, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$. +brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$. Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel. -\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir 7 \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} senden. -Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurenzpolynom, -maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurenzpolynom ist das gleiche wie das Original. +\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden. +Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom, +maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen. \end{beispiel} -Durch das erkennen des Schemas in der Tabelle\ref{tabel:fehlerkorrekturstellen} +Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung \begin{equation} \frac{\textcolor{darkgreen}{u}-\textcolor{blue}{k}}{\textcolor{red}{t}} =2 \label{reedsolomon:equation2} \end{equation} -zeigt sich das es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. +zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. -\begin{center} +\begin{table} \begin{tabular}{ c c | c} \hline Nutzlas & Fehler & Übertragen \\ @@ -102,11 +101,10 @@ zeigt sich das es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ \hline \end{tabular} - Fehlerkorrekturstellen Bestimmung TODO: Tabellenreferenz - \label{tabel:fehlerkorrekturstellen} -\end{center} + \caption{\label{tab:fehlerkorrekturstellen} Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} +\end{table} -Ein Nebeneffekt ist das dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. -Um aus den Übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden, -doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und Fehleranfällig. +Ein Nebeneffekt ist, dass dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. +Um aus den übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden, +doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und fehleranfällig. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex index 47dc679..80557fb 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex @@ -14,7 +14,7 @@ %////////////////////////////////////// -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,] \draw[color=blue, line width=1.4pt] plot[domain=0:8, samples=100] ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); -- cgit v1.2.1 From 0cd67d0c23d8781999522a05cf2c5c49e76e3326 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Fri, 30 Jul 2021 11:41:58 +0200 Subject: save --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 86 +++++++++++----------- buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf | Bin 59617 -> 59617 bytes buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 31 ++++---- buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf | Bin 1835615 -> 1835758 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex | 4 +- buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex | 80 ++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex | 50 +++++++++++++ 7 files changed, 193 insertions(+), 58 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index e9717c8..5cee77b 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -1,15 +1,13 @@ % -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% dtf.tex -- Idee mit DFT % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Übertragung mit hilfe der Diskrete Fourier Transformation +\section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourientransformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} -Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourientransformation. +Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourietransformation. Dies wird weder eine Erklärung der Forientransorfmation, noch ein genauer gebrauch für den Reed-Solomon-Code. -Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourientransformation auf Fehler reagiert. -Das ganze zeigen wir mit einem Beispiel einer Übertragung von Zahlen mit Hilfe der Fourientransformation. +Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourietransformation auf Fehler reagiert. +Das ganze zeigen wir mit einem Beispiel einer Übertragung von Zahlen mit Hilfe der Fourietransformation. \subsection{Diskrete Fourietransformation Zusamenhang \label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} @@ -17,63 +15,69 @@ Mit hilfe der Fourietransformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkt zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. -\subsubsection{Beispiel einer Übertragung mit Fourientransformation +\subsubsection{Beispiel einer Übertragung \label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 32 Fehler abzusicheren, 16 Fehler erkennen und rekonstruieren. -Dieser Auftrag soll mittels Fouriertransformation bewerkstelligt werden. -In der Abbildung \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge} sieht man dies Schritt für schritt, +Dieser Auftrag soll mittels Fouriertransformation bewerkstelligt werden. +In der Abbildung \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge} sieht man dies Schritt für Schritt, und hier werden die einzelne Schritte erklärt: \begin{enumerate}[(1)] -\item Das Signal hat 64 die Daten, Zahlen welche übertragen werden sollen. -Dabei zusätzlich nach 16 Fehler abgesichert, macht insgesamt 96 Übertragungszahlen. -(siehe Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}) -Die 32 Fehlerkorrekturstellen werden als Null Übertragen -\item Nun wurde mittels der diskreten Fourientransformation diese 96 codiert. -Das heisst alle Informationen ist in alle Zahlenvorhanden. Auch die Fehlerkorrekturstellen Null. -\item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. -Die Fehler können auf den ganzen 96 Übertragungswerten liegen, wie die 75 zeigt. -\item Dieses wird nun Empfangen und mittels inversen diskreten Fourientransormation, wieder rücktransformiert.(Iklusive der Fehler) -\item Nun sieht man den Fehler im Decodieren in den Übertragungsstellen 64 bis 96, da es dort nicht mehr Null ist. -\item Nimmt man nun nur diese Stellen 64 bis 96, dies definieren wir als Syndrom, und transformiert nur dieses Syndrom. -\item Bekommt man die Fehlerstellen wieder, zwar nichtso genau, dennoch erkennt man wo die Fehler stattgefunden haben. -Dies definieren wir als Locator. -\end{enumerate} -Nun haben wir mit Hilfe der Fourietransformation die 3 Fehlerstellen durch das Syndrom lokalisiert, -jetzt gilt es nur noch diese zu korrigieren und wir haben unser originales Signal wieder. - + \item Das Signal hat 64 die Daten $k$, hier zufällige Zahlen, welche übertragen werden sollen. + Zusätzlich soll nach 16 Fehler $t$, die rekonstruierbar sind abgesichert werden. + Das macht dann insgesamt $k + 2t = + 64 +2 \cdot 16= 96$ Übertragungszahlen. + (siehe Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}) + Die 32 Fehlerkorrekturstellen werden als Nullzahlen Übertragen. + \item Nun werden mittels der diskreten Fourietransformation diese 96 codiert, transformiert. + Das heisst alle Informationen ist in alle Zahlenvorhanden, auch die Fehlerkorrekturstellen Nullzahlen. + \item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. + Die Fehler können auf den ganzen 96 Übertragungswerten liegen, wie die 75 zeigt. +Zu Beachten ist auch noch, dass der Fehler um das 20- bis 150-Fache kleiner ist.Die Fehlerskala ist rechts. + \item Dieses wird nun Empfangen, man kann keine Fehler erkennen, da diese soviel kleiner sind. + Für das Decodieren wird die Inverse Fourietransformation angewendet, und alle Fehler werden mittransformiert. + \item Nun sieht man die Fehler im decodierten Signal in den Übertragungszahlen. + Von den Übertragungsstellen 64 bis 96 erkennt man, das diese nicht mehr Null sind. + \item Diese Fehlerkorrekturstellen 64 bis 96, dies definieren wir als Syndrom. + In diesem Syndrom ist die Fehlerinformation gespeichert und muss nur noch transformiert werden. + \item Hier sieht man genau wo die Fehler stattgefunden haben. + Leider nicht mehr mit der Qualtiätt der Ursprünglichen Fehler, sie sind nur noch 0.6 oder 0.4 gross. + Obwohl der Fehler um das 20Fache kleiner ist erkennt man im Locator die Fehlerstellen wieder. + \end{enumerate} + Nun haben wir mit Hilfe der Fourietransformation die 3 Fehlerstellen durch das Syndrom lokalisiert, + jetzt gilt es nur noch diese zu korrigieren und wir haben unser originales Signal wieder. \begin{figure} \centering - \resizebox{\textwidth}{!}{ - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} - %\input{papers/reedsolomon/images/plotfft.tex} + \resizebox{1.1\textwidth}{!}{ + %\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} + \input{papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex} } \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} \label{fig:sendorder} \end{figure} -Nun zur definition der Diskrete Fourietransformation, diese ist definiert als -\begin{equation} +Nun zur Definition der Diskrete Fourietransformation, diese ist definiert als + \begin{equation} \hat{c}_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}. ,\label{reedsolomon:DFT} -\end{equation} -Wenn man nun -\begin{equation} + \end{equation} + Wenn man nun + \begin{equation} w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k} \label{reedsolomon:DFT_summand} -\end{equation} -ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man -\begin{equation} + \end{equation} + ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man + \begin{equation} \hat{c}_{k}= \frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) \label{reedsolomon:DFT_polynom} -\end{equation} -was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. -Die Polynominterpolation und die Fourientransformation rechnen beide mit reelen Zahlen. + \end{equation} + was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. +Die Polynominterpolation und die Fourietransformation rechnen beide mit reelen Zahlen. Wenn die Fehlerabweichung sehr sehr klein ist, erkennt man diese irgendwann nicht mehr. Zusätzlich muss mann immer Grenzen bestimmen auf wieviel Stellen gerechnet wird und wie die Fehler erkannt werden im Locator. Deshalb haben Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf index c5e21e3..80d17d2 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index d8b8a93..41e0d4c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -1,8 +1,6 @@ % % idee.tex -- Polynom Idee % -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% \section{Idee \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} @@ -12,14 +10,14 @@ Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppel Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, zu Übertragen und Fehler zu erkennen. -Beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, +Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, man kann sogar einige Fehler korrigieren. Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. -Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wieder doppelt und dreifach Sendung), +Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. -\externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} -\ref{reedsolomon:section:anwendung} +Anwendungen finden sind im Abchnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} +\ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben. \subsection{Polynom-Ansatz \label{reedsolomon:section:polynomansatz}} @@ -43,28 +41,29 @@ mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, \textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$ Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. -Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen Werte übermittelt wurden. +Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen \textcolor{darkgreen}{Werte} übermittelt wurden. Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der Farbe grün \textcolor{darkgreen}{Übermitteln}. \end{beispiel} \begin{beispiel} Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,(Bei Abb. \ref{fig:polynom} \textcolor{red}{roten Punkte}), -kann man diese erkennen, da alle Punkte, die korrekt sind, auf der Parabel liegen müssen. -(Bei Abb. \ref{fig:polynom} \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte}) +Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,in der Abbilbung \ref{fig:polynom} die \textcolor{red}{roten Punkte}). +Erkennt man diese Fehler, da alle korrekten Punkte auf der Parabel liegen müssen. +Die \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte} bestimmen die Parabel, und die Fehler können zu den +\textcolor{gray}{Orginalpunkte} rekonstruiert werden. Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten? Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. \ref{fig:polynom} Werden es mehr Fehler kann nur erkannt werden, dass das Polynom nicht stimmt. Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. -Da das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet. +Da andere Polynome oder das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet. Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig. \end{beispiel} -\begin{figure} +\begin{figure}%[!ht] \centering - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2} - %\input{papers/reedsolomon/tikz/polynom2.tex} + %\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/polynom2} + \input{papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex} \caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}} \label{fig:polynom} \end{figure} @@ -90,6 +89,7 @@ Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. \begin{table} + \centering \begin{tabular}{ c c | c} \hline Nutzlas & Fehler & Übertragen \\ @@ -101,7 +101,8 @@ zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. $k$ & $t$ & $k+2t$ Werte eines Polynoms vom Grad $k-1$ \\ \hline \end{tabular} - \caption{\label{tab:fehlerkorrekturstellen} Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} + \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} + \label{tab:fehlerkorrekturstellen} \end{table} Ein Nebeneffekt ist, dass dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf index 1f2f0b9..4a44333 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex index 14af683..bb74dfb 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex @@ -69,9 +69,9 @@ %FFT & IFFT deskription \draw[thin,gray,dashed] (0,9) to (0,-9); - \node(IFFT) [scale=0.8] at (0,9.3) {IFFT}; + \node(IFFT) [scale=0.9] at (0,9.3) {IFFT}; \draw[stealth-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); - \node(FFT) [scale=0.8, above of=IFFT] {FFT}; + \node(FFT) [scale=0.9, above of=IFFT] {FFT}; \draw[-stealth](FFT.north west)--(FFT.north east); \draw[thick, ->,] (codiert)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex new file mode 100644 index 0000000..141d2ce --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex @@ -0,0 +1,80 @@ +\begin{tikzpicture}[] + + %--------------------------------------------------------------- + %Knote + \matrix(m) [draw = none, column sep=25mm, row sep=2mm]{ + + \node(signal) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis} + [title = {\Large {Signal}}, + xtick={0,20,40,64,80,98}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(codiert) [] { + \begin{tikzpicture}[] + \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert \space + \space Fehler}}, + xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] + \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + \end{axis} + \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] + \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; \\ + + \node(decodiert) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Decodiert}}] + \addplot[blue] table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(empfangen) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] + \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + + \node(syndrom) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Syndrom}}] + \addplot[black] table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}}; & + + \node(locator) [] { + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] + \addplot[gray] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; + \end{axis} + \end{tikzpicture}};\\ + }; + %------------------------------------------------------------- + %FFT & IFFT deskription + + \draw[thin,gray,dashed] (0,9) to (0,-9); + \node(IFFT) [scale=0.9] at (0,9.3) {IFFT}; + \draw[stealth-](IFFT.south west)--(IFFT.south east); + \node(FFT) [scale=0.9, above of=IFFT] {FFT}; + \draw[-stealth](FFT.north west)--(FFT.north east); + + \draw[thick, ->,] (codiert)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); + %Arrows + \draw[thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); + \draw[thick, ->] (codiert.south) to (empfangen.north); + \draw[thick, ->] (empfangen.west) to (decodiert.east); + \draw[thick, ->] (syndrom.east) to (locator.west); + \draw[thick](decodiert.south east)++(-1.8,1) ellipse (1.3cm and 0.8cm) ++(-1.3,0) coordinate(zoom) ; + \draw[thick, ->] (zoom) to[out=180, in=90] (syndrom.north); + + %item + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2+3}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; +\end{tikzpicture} \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex new file mode 100644 index 0000000..02968fd --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/polynomraw.tex @@ -0,0 +1,50 @@ +% polynomraw + +\newcommand{\teiler}{40} + + +%////////////////////////////////////// + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,] + \draw[color=blue, line width=1.4pt] + plot[domain=0:8, samples=100] + ({\x},{(2*\x^2+1*\x+5)/\teiler}); + + \draw[->] (-0.2,0) -- (8,0) coordinate[label={$x$}]; + \draw[->] (0,-0.2) -- (0,150/\teiler) coordinate[label={right:$p(x)$}]; + + \def\punkt#1{ + \fill[color=green] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + + \def\hellpunkt#1{ + \fill[color=lightgray] #1 circle[radius=0.08]; + \draw[gray] #1 circle[ radius=0.07]; + } + + \draw[color=gray,line width=1pt,dashed] + plot[domain=0.5:7, samples=100] + ({\x},{(7.832*\x^2-51.5*\x+121.668)/\teiler}); + + + \punkt{(1,8/\teiler)} + \hellpunkt{(2,15/\teiler)} + \hellpunkt{(3,26/\teiler)} + \punkt{(4,41/\teiler)} + \punkt{(5,60/\teiler)} + \punkt{(6,83/\teiler)} + \punkt{(7,110/\teiler)} + + + + \def\erpunkt#1{ + \fill[color=red] #1 circle[radius=0.08]; + \draw #1 circle[radius=0.07]; + } + \erpunkt{(2,50/\teiler)} + \erpunkt{(3,37.66/\teiler)} + + \draw(0,100/\teiler) -- (-0.1,100/\teiler) coordinate[label={left:$100$}]; + \draw(1,0) -- (1,-0.1) coordinate[label={below:$1$}]; +\end{tikzpicture} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From b9cca93f61c5a1200503c75ef548ab12cce21887 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Fri, 30 Jul 2021 11:45:36 +0200 Subject: sourc from tikz changed to pdf --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 5cee77b..4552bed 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -50,8 +50,8 @@ Zu Beachten ist auch noch, dass der Fehler um das 20- bis 150-Fache kleiner ist. \begin{figure} \centering \resizebox{1.1\textwidth}{!}{ - %\includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} - \input{papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex} + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} + %\input{papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex} } \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} \label{fig:sendorder} -- cgit v1.2.1 From e42e7f03932de6d3d0966bb603c58f7e603b240c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 2 Aug 2021 16:46:52 +0200 Subject: save --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf | Bin 1835758 -> 1830948 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex | 5 +++-- buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex | 1 + 5 files changed, 6 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 4552bed..3e16d81 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -42,7 +42,7 @@ Zu Beachten ist auch noch, dass der Fehler um das 20- bis 150-Fache kleiner ist. \item Diese Fehlerkorrekturstellen 64 bis 96, dies definieren wir als Syndrom. In diesem Syndrom ist die Fehlerinformation gespeichert und muss nur noch transformiert werden. \item Hier sieht man genau wo die Fehler stattgefunden haben. - Leider nicht mehr mit der Qualtiätt der Ursprünglichen Fehler, sie sind nur noch 0.6 oder 0.4 gross. + Leider nicht mehr mit der Qualtiätt der ursprünglichen Fehler, sie sind nur noch 0.6 oder 0.4 gross. Obwohl der Fehler um das 20Fache kleiner ist erkennt man im Locator die Fehlerstellen wieder. \end{enumerate} Nun haben wir mit Hilfe der Fourietransformation die 3 Fehlerstellen durch das Syndrom lokalisiert, diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 41e0d4c..7620df1 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -16,7 +16,7 @@ Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur di Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. -Anwendungen finden sind im Abchnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} +Anwendungen finden sind im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben. \subsection{Polynom-Ansatz diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf index 4a44333..2666d1e 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex index bb74dfb..3b0c421 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex @@ -8,6 +8,7 @@ \usepackage{pgfplotstable} \usepackage{csvsimple} \usepackage{filecontents} +\definecolor{darkgreen}{RGB}{0,0.6,0} \begin{document} @@ -30,7 +31,7 @@ \begin{tikzpicture}[] \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert \space + \space Fehler}}, xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] - \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + \addplot[darkgreen] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; \end{axis} \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; @@ -47,7 +48,7 @@ \node(empfangen) [] { \begin{tikzpicture} \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] - \addplot[green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \addplot[darkgreen] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex index 141d2ce..db35734 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex @@ -1,3 +1,4 @@ + \begin{tikzpicture}[] %--------------------------------------------------------------- -- cgit v1.2.1 From c059993bcc52aef36aee3a9c5d0b43777db9b061 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 4 Aug 2021 10:10:17 +0200 Subject: dtf ausgeschrieben --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 153 +++++++++++++++++++++++++--------------- 1 file changed, 95 insertions(+), 58 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 3e16d81..362f4eb 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -1,85 +1,122 @@ % % dtf.tex -- Idee mit DFT % -\section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourientransformation +\section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourier-Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} -Um die Polynominterpolation zu umgehen, gehen wir nun über in die Fourietransformation. -Dies wird weder eine Erklärung der Forientransorfmation, noch ein genauer gebrauch für den Reed-Solomon-Code. -Dieser Abschnitt zeigt nur wie die Fourietransformation auf Fehler reagiert. -Das ganze zeigen wir mit einem Beispiel einer Übertragung von Zahlen mit Hilfe der Fourietransformation. +Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt, +durch die Codierung, auf viele übertragene Werte verteilt werden. +Die Decodierung ist in der Lage, den ursprünglichen Datenwert zu rekonstruieren, +sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind. +\par +Die Fourier-Transformation transformiert einen einzelnen Wert, +eine Dirac-Funktion, auf ein Spektrum, welches sich über die ganze Frequenzachse erstreckt. +Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist. +Forausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. +\par +Es liegt daher nahe zu versuchen, die Fourier-Transformation +für Codierung und Decodierung zu verwenden. -\subsection{Diskrete Fourietransformation Zusamenhang -\label{reedsolomon:subsection:dtfzusamenhang}} -Mit hilfe der Fourietransformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, +\subsection{Beispiel mit Fehlerkorrektur mit Fourier-Transformation +\label{reedsolomon:subsection:sendbsp}} + +Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist. +Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes, +der später erklärt wird, analog ist. +\par +Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen, 32 Fehler erkennen und 16 Fehler rekonstruieren. +Mit hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. - -\subsubsection{Beispiel einer Übertragung -\label{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} -Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen und nach 32 Fehler abzusicheren, -16 Fehler erkennen und rekonstruieren. - -Dieser Auftrag soll mittels Fouriertransformation bewerkstelligt werden. -In der Abbildung \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge} sieht man dies Schritt für Schritt, -und hier werden die einzelne Schritte erklärt: -\begin{enumerate}[(1)] - \item Das Signal hat 64 die Daten $k$, hier zufällige Zahlen, welche übertragen werden sollen. - Zusätzlich soll nach 16 Fehler $t$, die rekonstruierbar sind abgesichert werden. - Das macht dann insgesamt $k + 2t = - 64 +2 \cdot 16= 96$ Übertragungszahlen. - (siehe Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}) - Die 32 Fehlerkorrekturstellen werden als Nullzahlen Übertragen. - \item Nun werden mittels der diskreten Fourietransformation diese 96 codiert, transformiert. - Das heisst alle Informationen ist in alle Zahlenvorhanden, auch die Fehlerkorrekturstellen Nullzahlen. - \item Nun kommen drei Fehler dazu an den Übertragungsstellen 7, 21 und 75. - Die Fehler können auf den ganzen 96 Übertragungswerten liegen, wie die 75 zeigt. -Zu Beachten ist auch noch, dass der Fehler um das 20- bis 150-Fache kleiner ist.Die Fehlerskala ist rechts. - \item Dieses wird nun Empfangen, man kann keine Fehler erkennen, da diese soviel kleiner sind. - Für das Decodieren wird die Inverse Fourietransformation angewendet, und alle Fehler werden mittransformiert. - \item Nun sieht man die Fehler im decodierten Signal in den Übertragungszahlen. - Von den Übertragungsstellen 64 bis 96 erkennt man, das diese nicht mehr Null sind. - \item Diese Fehlerkorrekturstellen 64 bis 96, dies definieren wir als Syndrom. - In diesem Syndrom ist die Fehlerinformation gespeichert und muss nur noch transformiert werden. - \item Hier sieht man genau wo die Fehler stattgefunden haben. - Leider nicht mehr mit der Qualtiätt der ursprünglichen Fehler, sie sind nur noch 0.6 oder 0.4 gross. - Obwohl der Fehler um das 20Fache kleiner ist erkennt man im Locator die Fehlerstellen wieder. - \end{enumerate} - Nun haben wir mit Hilfe der Fourietransformation die 3 Fehlerstellen durch das Syndrom lokalisiert, - jetzt gilt es nur noch diese zu korrigieren und wir haben unser originales Signal wieder. +\par \begin{figure} \centering - \resizebox{1.1\textwidth}{!}{ + \resizebox{\textwidth}{!}{ \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} %\input{papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex} } - \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:Übertragungsabfolge}} + \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}} \label{fig:sendorder} \end{figure} +In der Abbildung \ref{fig:sendorder} wird eine Übertragung Schritt für Schritt illustriert. +In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläutert: +\begin{enumerate}[(1)] + \item Das Signal ist mit 64 zufälligrn, ganzzahligen Datenwerten, zwischen 0 und 10. + Für die Rekonstruktion werden zusäzlich Datenwert benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu. + Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen + \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}. + Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der länge $N =96$. + \item Mit der Fourier-Transformation wird der ganze Signalvektor codiert. + Dadurch wird jede Informationseinheit auf alle Punkte des Spektrums verteilt. + \item Wir dürfen annehmen, dass bei der Übertragung, nur einzelne übertragene Werte durch Fehler, + verändert werden. + \par + Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 7, 21 und 75(\textcolor{red}{rote Kurve}), + die um einen Betrag verändert werden. + Dieser ist bis zu 150-mal kleiner, als die ursprünglichen codierte Werte. + Der Empfänger kennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind. + \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch Inverse Fourier-Transformation vollständig + wiederhergestellt werden. + Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96. + \par + Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen, Werte abweichend von Null, auftreten. + Somit haben wir bereits Fehler erkannt. + \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennenwir das Syndrom. + Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die Inverse Fourier-Transformation erzeugt. + \item Um die Fehler zu rekonstruieren, ann man versuchen, die Information im Syndrom mit Fourier-Transformation zu transformieren. + Da das Syndrom nur ein Teil der Fehlerinformation ist, liefert die Fourier-Transformation eine Approximation der Fehler. + Diese Approximation der Fehler ist genau genug, um die Fehlerstellen zu localisieren. +\end{enumerate} +Im Beispiel haben wir mit dem Syndrom nur etwa ein Drittel der Fehlerinformation, es ist daher zu erwarten, +dass die Fehlerwerte auch nur ein drittel so gross sind. +\par +Damit können die Fehler korrigiert und die Orginaldaten wiederhergestellt werden. +Der Rekonstruktionsauftrag ist damit erfolgreich ausgeführt. -Nun zur Definition der Diskrete Fourietransformation, diese ist definiert als +\subsection{Fourier-Transformation und Polynome\label{reedsolomon:subsection:ftandpolynom}} +Im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:polynomansatz} +wurden Werte eines Polynoms zur Codierung verwendet. +Die 7 Übertragungspunkte könnten ein Polynom +\begin{equation} + \textcolor{darkgreen}{p(x)} + = + \textcolor{blue}{a_0} + \textcolor{blue}{a_1}x + \textcolor{blue}{a_2}x^2 + + \textcolor{gray}{a_3}x^3 + \textcolor{gray}{a_4}x^4 + \textcolor{gray}{a_5}x^5 + + \textcolor{gray}{a_6}x^6 +\label{reedsolomon:equationpoly} +\end{equation} +sechsten Grades bestimmen. +Durch die Wahl von $\textcolor{gray}{a_3=0}$, $\textcolor{gray}{a_4=0}$, $\textcolor{gray}{a_5=0}$, $\textcolor{gray}{a_6=0}$ +erzeugen wir die, für die Fehlerkorrektur, +nötige Redundanz, ganz analog zum Schritt (1) im Beispiel. +\par +Die Analogie geht aber noch weiter. + Schreibt man + \( w = + e^{-\frac{2\pi j}{N} k}\) + \label{reedsolomon:DFT_summand}, damit wird aus der Formel \begin{equation} \hat{c}_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} - {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn}. + {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} ,\label{reedsolomon:DFT} \end{equation} - Wenn man nun + für die Diskrte-Fourier-Transformation das Polynom \begin{equation} - w = - e^{-\frac{2\pi j}{N} k} - \label{reedsolomon:DFT_summand} + q(w)= + \frac{{f}_0}{N} + \frac{{f}_1}{N} w^1 + \frac{{f}_2}{N} w^2 + \dots + \frac{{f}_{N-1}}{N} w^{N-1} + \label{reedsolomon:DFT_polynom} \end{equation} - ersetzte, und $N$ konstantbleibt, erhält man + Im Beispiel werden aber Werte des des Polynoms $q(w)$ für verschieden + \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots , k=N-1\) übermittelt. \begin{equation} - \hat{c}_{k}= - \frac{1}{N}( {f}_0 w^0 + {f}_1 w^1 + {f}_2 w^2 + \dots + {f}_{N-1} w^N) - \label{reedsolomon:DFT_polynom} + \textcolor{darkgreen}{q(w)}= + \frac{\textcolor{blue}{{f}_0}}{N} + \frac{\textcolor{blue}{{f}_1}}{N} w^1 + \frac{\textcolor{blue}{{f}_2}}{N} w^2 + \dots + + \frac{\textcolor{blue}{{f}_63}}{N} w^{63} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_64}}{N} w^{64} + \textcolor{gray}{\dots} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{N-1}}}{N} w^{N-1} + \label{reedsolomon:DFT_polynom2} \end{equation} - was überaust ähnlich zu unserem Polynomidee ist. -Die Polynominterpolation und die Fourietransformation rechnen beide mit reelen Zahlen. -Wenn die Fehlerabweichung sehr sehr klein ist, erkennt man diese irgendwann nicht mehr. -Zusätzlich muss mann immer Grenzen bestimmen auf wieviel Stellen gerechnet wird und wie die Fehler erkannt werden im Locator. -Deshalb haben Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, +Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reelen Zahlen. +Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist im die Fehler zu erkennen und rekonstruieren. +Deshalb haben die Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. -- cgit v1.2.1 From 4215ac353f9234914d5564f82f85045debb40d0b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 4 Aug 2021 11:22:14 +0200 Subject: save changes --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 7 ++++-- buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex | 39 ++++++++++++++++++++------------ 2 files changed, 29 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 362f4eb..a975da8 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -112,11 +112,14 @@ Die Analogie geht aber noch weiter. \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{q(w)}= \frac{\textcolor{blue}{{f}_0}}{N} + \frac{\textcolor{blue}{{f}_1}}{N} w^1 + \frac{\textcolor{blue}{{f}_2}}{N} w^2 + \dots + - \frac{\textcolor{blue}{{f}_63}}{N} w^{63} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_64}}{N} w^{64} + \textcolor{gray}{\dots} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{N-1}}}{N} w^{N-1} + \frac{\textcolor{blue}{{f}_{63}}}{N} w^{63} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{64}}}{N} w^{64} + \textcolor{gray}{\dots} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{N-1}}}{N} w^{N-1} \label{reedsolomon:DFT_polynom2} \end{equation} +Das syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten) +\par Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reelen Zahlen. -Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist im die Fehler zu erkennen und rekonstruieren. +Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren, +dann müssen wir von den Reelen-Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. Deshalb haben die Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex index 3b0c421..77c4dc3 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/plotfft.tex @@ -8,7 +8,7 @@ \usepackage{pgfplotstable} \usepackage{csvsimple} \usepackage{filecontents} -\definecolor{darkgreen}{RGB}{0,0.6,0} + \begin{document} @@ -29,12 +29,13 @@ \node(codiert) [] { \begin{tikzpicture}[] - \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert \space + \space Fehler}}, - xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] - \addplot[darkgreen] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; + % Beschriftung Rechts + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right,ytick={0}] + \addplot[color=white] {0}; \end{axis} - \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] - \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + + \begin{axis}[ title = {\Large {Codiert}}, axis y line*=left] + \addplot[color=black!60!green] table[col sep=comma] {tikz/codiert.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}}; \\ @@ -47,8 +48,12 @@ \node(empfangen) [] { \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen}}] - \addplot[darkgreen] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \begin{axis}[title = {\Large {Empfangen \space + \space Fehler}}, + xtick={0,40,60,100}, axis y line*=left] + \addplot[color=black!60!green] table[col sep=comma] {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \begin{axis}[xtick={7,21,75}, axis y line*=right] + \addplot[red] table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ @@ -61,7 +66,12 @@ \node(locator) [] { \begin{tikzpicture} - \begin{axis}[title = {\Large {Locator}}] + % Beschriftung Rechts + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right, ytick={0.3}]; + \addplot[color=black!60] {0.3}; + \end{axis} + + \begin{axis}[title = {\Large {Locator}},axis y line*=left] \addplot[gray] table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; \end{axis} \end{tikzpicture}};\\ @@ -75,7 +85,6 @@ \node(FFT) [scale=0.9, above of=IFFT] {FFT}; \draw[-stealth](FFT.north west)--(FFT.north east); - \draw[thick, ->,] (codiert)++(-1,0) +(0.05,0.5) -- +(-0.1,-0.1) -- +(0.1,0.1) -- +(0,-0.5); %Arrows \draw[thick, ->] (signal.east) to (codiert.west); \draw[thick, ->] (codiert.south) to (empfangen.north); @@ -86,10 +95,10 @@ %item \node[circle, draw, fill =lightgray] at (signal.north west) {1}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2+3}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {4}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {5}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {6}; - \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {7}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (codiert.north west) {2}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (empfangen.north west) {3}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (decodiert.north west) {4}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (syndrom.north west) {5}; + \node[circle, draw, fill =lightgray] at (locator.north west) {6}; \end{tikzpicture} \end{document} \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From f93391f38bb4fcc1aaad4a22fa23fca78375cf82 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Sat, 7 Aug 2021 11:19:04 +0200 Subject: save --- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 96 +++++++++++++++---------- buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt | 96 +++++++++++++++++++++++++ 8 files changed, 729 insertions(+), 39 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 7620df1..c071b5e 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -5,60 +5,78 @@ \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, -und so jeweilige Fehler zu erkennen. + also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einen Fehler zu erkennen. +Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll, +dann werden die Daten drei oder vierfach versendet. Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. -Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, -zu Übertragen und Fehler zu erkennen. + zu Übertragen und Fehler zu erkennen. Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, -man kann sogar einige Fehler korrigieren. + man kann sogar einige Fehler korrigieren. Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. -Auch eine Variante wäre die Daten nach einer Fehlerhaften sendung, nochmals zum senden auffordern(auch hier wird doppelt und dreifach gesendung), -was bei Reed-Solomon-Code-Anwendungen nicht immer sinnvoll ist. +Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. Anwendungen finden sind im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben. \subsection{Polynom-Ansatz \label{reedsolomon:section:polynomansatz}} \rhead{Polynom-Ansatz} -Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. -Diese Polynomfunktion bei bestimmten Werten errechnet und diese Punkte dann überträgt. -\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, -welche uns dann das Polynom +Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. +In deieser Art arbeitet der Reed-Solomon-Code. +Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen. +\begin{beispiel} Nehmen wir zum Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, + welche uns dann das Polynom \begin{equation} p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} \label{reedsolomon:equation1} \end{equation} -ergeben. +ergibt. +\par +Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. +Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte, + das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren. +Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, + sie kann nachgeschaut werden oder als Funktion angewendet werden. +Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}. +Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren? +Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte. Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} -dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. + dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, -mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, -\textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26}, -\textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, -\textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$ -Wenn ein Fehler sich in die Übertragung eingeschlichen hat, muss der Leser/Empfänger diesen erkennen und das Polynom rekonstruieren. -Der Leser/Empfänger weiss, den Grad des Polynoms und dessen \textcolor{darkgreen}{Werte} übermittelt wurden. -Die Farbe blau brauchen wir für die \textcolor{blue}{Daten} welche wir mit der Farbe grün \textcolor{darkgreen}{Übermitteln}. -\end{beispiel} - -\begin{beispiel} -Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Hat es Fehler in der Übertragunge gegeben,in der Abbilbung \ref{fig:polynom} die \textcolor{red}{roten Punkte}). -Erkennt man diese Fehler, da alle korrekten Punkte auf der Parabel liegen müssen. -Die \textcolor{darkgreen}{grünen Punkte} bestimmen die Parabel, und die Fehler können zu den -\textcolor{gray}{Orginalpunkte} rekonstruiert werden. -Ab wie vielen Fehler ist das Polynom nicht mehr erkennbar beim Übertragen von 7 Punkten? -Bei 2 Fehlern kann man noch eindeutig bestimmen, dass das Polynom mit 4 Punkten, -gegenüber dem mit 5 Punkten falsch liegt. \ref{fig:polynom} -Werden es mehr Fehler kann nur erkannt werden, dass das Polynom nicht stimmt. -Das orginale Polynom kann aber nicht mehr gefunden werden. -Da andere Polynome oder das Konkurrenzpolynom, grau gestrichelt in Abbildung \ref{fig:polynom}, das orginal fehlleitet. -Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} nötig. -\end{beispiel} + mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, + \textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26}, + \textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, + \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$ +Nun wird durch drei der 7 Punkte das Polynom eindeutig bestimmbar und + alle anderen müssen auf diesem Polynom liegen. +Dabei gingen wir von keinem Fehler aus, + hat es Fehler in der Übertragunge gegeben. +Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: +\begin{enumerate} + \item \textit{Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten. + Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein, + ansonsten ist der Fehler ein Orginalpunkt und somit kein Fehler. + Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. + \par Orginal mit 6 Punkte > 3 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden + Damit ist klar das unser Polynom mit 6 Punkten richtig ist und unser Fehler kann rekonstruiert werden. + \item \textit{Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden. + Da der zweite Fehler frei wählbar ist kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. + Nun haben wir, wie in unserer Grafik \ref{fig:polynom}, ein Polynom mit 5 übereinstimmenden und eines mit 4 Punkten. + Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen welches das original Polynom ist. + \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden + \item \textit{Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden. + Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. + Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen. + Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden. + \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom nicht gefunden + \item \textit{Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden. + \item \textit{Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und + somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht. +\end{enumerate} \begin{figure}%[!ht] \centering @@ -71,13 +89,13 @@ Um das Konkurrenzpolynom auszuschliessen, währen mehr \textcolor{darkgreen}{Üb \section{Fehlerkorekturstellen bestimmen \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, -muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. + muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, -brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$. + brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$. Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel. \begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden. Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom, -maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. + maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen. \end{beispiel} Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung @@ -86,7 +104,7 @@ Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, =2 \label{reedsolomon:equation2} \end{equation} -zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. + zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. \begin{table} \centering diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt new file mode 100644 index 0000000..4a481d8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/codiert.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,284 +1,131.570790435043 +2,41.9840308053375 +3,12.1189172092243 +4,23.8408857476069 +5,69.1793197789512 +6,24.0186013379153 +7,37.3066577242559 +8,18.2010889773887 +9,12.3214904922455 +10,15.6627133315015 +11,24.5237955316204 +12,32.1114345314062 +13,44.9845039238714 +14,13.5324640263625 +15,10.1736266929292 +16,4.58257569495584 +17,23.217268502288 +18,16.5769107917917 +19,6.89948680823017 +20,4.84567134895776 +21,10.4219666223433 +22,43.6179140616243 +23,35.9073375743642 +24,15.0332963783729 +25,21.7594021268945 +26,23.2496572716993 +27,17.9815599423852 +28,11.3577742151117 +29,38.467599433197 +30,28.3035029562577 +31,9.54321919833388 +32,21.377558326432 +33,17.6292439561917 +34,12.6951848921471 +35,20.0667752354841 +36,22.9097309529208 +37,8.78894645948548 +38,13.360682005498 +39,25.1757616314718 +40,38.0357773686457 +41,18.4633287776253 +42,19.0584505869806 +43,10.8631093309173 +44,12.6147770818983 +45,12.5398140021274 +46,34.901983501949 +47,22.3480442021702 +48,6 +49,22.3480442021702 +50,34.901983501949 +51,12.5398140021274 +52,12.6147770818983 +53,10.8631093309173 +54,19.0584505869806 +55,18.4633287776253 +56,38.0357773686457 +57,25.1757616314718 +58,13.360682005498 +59,8.78894645948548 +60,22.9097309529208 +61,20.0667752354841 +62,12.6951848921471 +63,17.6292439561917 +64,21.377558326432 +65,9.54321919833388 +66,28.3035029562577 +67,38.467599433197 +68,11.3577742151117 +69,17.9815599423852 +70,23.2496572716993 +71,21.7594021268945 +72,15.0332963783729 +73,35.9073375743642 +74,43.6179140616243 +75,10.4219666223433 +76,4.84567134895776 +77,6.89948680823017 +78,16.5769107917917 +79,23.217268502288 +80,4.58257569495584 +81,10.1736266929292 +82,13.5324640263625 +83,44.9845039238714 +84,32.1114345314062 +85,24.5237955316204 +86,15.6627133315015 +87,12.3214904922455 +88,18.2010889773887 +89,37.3066577242559 +90,24.0186013379153 +91,69.1793197789512 +92,23.8408857476069 +93,12.1189172092243 +94,41.9840308053375 +95,131.570790435043 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt new file mode 100644 index 0000000..f6221e6 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/decodiert.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,6.05208333333333 +1,6.02602539785853 +2,0.0261327016093151 +3,5.98927158561317 +4,4.019445724874 +5,0.0247005083663722 +6,4.97798278395618 +7,1.95246440445439 +8,0.974000110512201 +9,2.00528527696027 +10,1.00071804528155 +11,1.97630907888264 +12,0.0232923747656228 +13,6.01302820392331 +14,3.03567381915226 +15,5.02435590137329 +16,7.00526061008995 +17,5.00739608089369 +18,5.02211514480064 +19,4.02175864806658 +20,1.00236543833726 +21,4.98147315261261 +22,8.97728828610336 +23,8.98481304394618 +24,2.98958333333333 +25,1.98491220960989 +26,5.97728835934715 +27,5.98144124907561 +28,4.00163839998525 +29,2.02176249296313 +30,9.02210713874162 +31,1.00742763919872 +32,1.00557258081044 +33,1.02435888848794 +34,2.03577412756745 +35,6.01302820392331 +36,5.97917574041123 +37,0.976310374034338 +38,9.00062625447998 +39,7.00515849238528 +40,6.97396416790894 +41,0.95256880864368 +42,8.97794719866783 +43,9.01850701506487 +44,10.0194409579917 +45,8.98926601525997 +46,7.9866590265379 +47,5.02603060999077 +48,2.05208333333333 +49,4.02603841132848 +50,0.986882897867895 +51,0.0177592928994285 +52,9.01944131204563 +53,3.0185365665612 +54,2.97803642439316 +55,2.95243072164649 +56,4.97396651395488 +57,6.00516695947321 +58,0.0143895905726619 +59,7.97630812771393 +60,5.97917574041123 +61,9.01298821331865 +62,3.03567381915226 +63,4.02435609145793 +64,0.0275599094902563 +65,0.0115837187254191 +66,0.025877761014238 +67,0.0224618032819697 +68,0.04410594689944 +69,0.0474504002669341 +70,0.0227694695500626 +71,0.0271436638090525 +72,0.0104166666666667 +73,0.0271436638090523 +74,0.0227694695500608 +75,0.0474504002669343 +76,0.0441059468994397 +77,0.0224618032819701 +78,0.0258777610142379 +79,0.0115837187254183 +80,0.027559909490256 +81,0.0245124379481793 +82,0.0499782237195209 +83,0.0401432022864265 +84,0.0232923747656228 +85,0.0237974288564099 +86,0.0143895905726624 +87,0.0271745729691685 +88,0.0275599094902567 +89,0.0515501672184983 +90,0.0358255004834542 +91,0.024700508366373 +92,0.0210194725405171 +93,0.0177592928994296 +94,0.0261327016093158 +95,0.0314909067039411 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt new file mode 100644 index 0000000..38c13b0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/empfangen.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,284 +1,131.570790435043 +2,41.9840308053375 +3,12.1189172092243 +4,23.8408857476069 +5,69.1793197789512 +6,23.6290258699579 +7,37.3066577242559 +8,18.2010889773887 +9,12.3214904922455 +10,15.6627133315015 +11,24.5237955316204 +12,32.1114345314062 +13,44.9845039238714 +14,13.5324640263625 +15,10.1736266929292 +16,4.58257569495584 +17,23.217268502288 +18,16.5769107917917 +19,6.89948680823017 +20,5.55320238736303 +21,10.4219666223433 +22,43.6179140616243 +23,35.9073375743642 +24,15.0332963783729 +25,21.7594021268945 +26,23.2496572716993 +27,17.9815599423852 +28,11.3577742151117 +29,38.467599433197 +30,28.3035029562577 +31,9.54321919833388 +32,21.377558326432 +33,17.6292439561917 +34,12.6951848921471 +35,20.0667752354841 +36,22.9097309529208 +37,8.78894645948548 +38,13.360682005498 +39,25.1757616314718 +40,38.0357773686457 +41,18.4633287776253 +42,19.0584505869806 +43,10.8631093309173 +44,12.6147770818983 +45,12.5398140021274 +46,34.901983501949 +47,22.3480442021702 +48,6 +49,22.3480442021702 +50,34.901983501949 +51,12.5398140021274 +52,12.6147770818983 +53,10.8631093309173 +54,19.0584505869806 +55,18.4633287776253 +56,38.0357773686457 +57,25.1757616314718 +58,13.360682005498 +59,8.78894645948548 +60,22.9097309529208 +61,20.0667752354841 +62,12.6951848921471 +63,17.6292439561917 +64,21.377558326432 +65,9.54321919833388 +66,28.3035029562577 +67,38.467599433197 +68,11.3577742151117 +69,17.9815599423852 +70,23.2496572716993 +71,21.7594021268945 +72,15.0332963783729 +73,35.9073375743642 +74,44.6135417384784 +75,10.4219666223433 +76,4.84567134895776 +77,6.89948680823017 +78,16.5769107917917 +79,23.217268502288 +80,4.58257569495584 +81,10.1736266929292 +82,13.5324640263625 +83,44.9845039238714 +84,32.1114345314062 +85,24.5237955316204 +86,15.6627133315015 +87,12.3214904922455 +88,18.2010889773887 +89,37.3066577242559 +90,24.0186013379153 +91,69.1793197789512 +92,23.8408857476069 +93,12.1189172092243 +94,41.9840308053375 +95,131.570790435043 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt new file mode 100644 index 0000000..23f1a83 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/fehler.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0 +1,0 +2,0 +3,0 +4,0 +5,0 +6,2 +7,0 +8,0 +9,0 +10,0 +11,0 +12,0 +13,0 +14,0 +15,0 +16,0 +17,0 +18,0 +19,0 +20,2 +21,0 +22,0 +23,0 +24,0 +25,0 +26,0 +27,0 +28,0 +29,0 +30,0 +31,0 +32,0 +33,0 +34,0 +35,0 +36,0 +37,0 +38,0 +39,0 +40,0 +41,0 +42,0 +43,0 +44,0 +45,0 +46,0 +47,0 +48,0 +49,0 +50,0 +51,0 +52,0 +53,0 +54,0 +55,0 +56,0 +57,0 +58,0 +59,0 +60,0 +61,0 +62,0 +63,0 +64,0 +65,0 +66,0 +67,0 +68,0 +69,0 +70,0 +71,0 +72,0 +73,0 +74,1 +75,0 +76,0 +77,0 +78,0 +79,0 +80,0 +81,0 +82,0 +83,0 +84,0 +85,0 +86,0 +87,0 +88,0 +89,0 +90,0 +91,0 +92,0 +93,0 +94,0 +95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt new file mode 100644 index 0000000..b28988c --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/locator.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0.0301224340567056 +1,0.141653026854885 +2,0.138226631799377 +3,0.0339903276086929 +4,0.310585462557496 +5,0.551427312631385 +6,0.628514858396814 +7,0.51102386251559 +8,0.275861355940449 +9,0.0502396354182268 +10,0.090185502547573 +11,0.110759344849756 +12,0.0684618905063001 +13,0.0362855426992259 +14,0.0697096919781468 +15,0.109288539370248 +16,0.0923187999496653 +17,0.0512198536768088 +18,0.274192386987782 +19,0.51349614953654 +20,0.633154426602466 +21,0.553283743533942 +22,0.307840573214514 +23,0.0341664350328392 +24,0.140270857957 +25,0.138527177682831 +26,0.029637547736156 +27,0.0816962563186052 +28,0.0944383203811073 +29,0.0263932110686261 +30,0.0585881348402056 +31,0.0737117341599984 +32,0.0239973937701886 +33,0.0464215468420038 +34,0.0616218854220964 +35,0.0221963086695009 +36,0.0390764778127646 +37,0.0537637218396934 +38,0.0208333333333332 +39,0.0343107696069045 +40,0.0483441215964552 +41,0.0198077862118806 +42,0.0311207395968725 +43,0.0444955089373458 +44,0.0190533549944159 +45,0.0290049795038723 +46,0.0417536642697558 +47,0.0185261550443084 +48,0.0277059929762261 +49,0.0398606084144816 +50,0.0181978813094817 +51,0.0271098219177584 +52,0.0386836665079729 +53,0.0180518611046889 +54,0.0272138992557141 +55,0.0381891287148314 +56,0.0180809085252469 +57,0.0281418959420061 +58,0.0384596362516637 +59,0.0182864418432272 +60,0.0302250788423173 +61,0.0397874837986351 +62,0.0186786556701694 +63,0.0342489348284216 +64,0.0429932815348666 +65,0.0192777878591759 +66,0.0422808966931999 +67,0.0506815964680563 +68,0.0201167847752226 +69,0.0615048274405271 +70,0.0744953894508454 +71,0.021246054596492 +72,0.142602265816215 +73,0.273502052865436 +74,0.325309673287599 +75,0.272705389655349 +76,0.149074257381345 +77,0.0247199397628712 +78,0.0680137859566976 +79,0.075388270873485 +80,0.0273637831604903 +81,0.0407867704453274 +82,0.0632964886441949 +83,0.0309749128751093 +84,0.0315202035072035 +85,0.0627625211892184 +86,0.0360843918243497 +87,0.02794920551495 +88,0.0677921493367236 +89,0.0437167157553067 +90,0.0270640150996317 +91,0.0783380025231622 +92,0.0561293738314281 +93,0.0278742033265809 +94,0.0981443889498639 +95,0.0794543457386548 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt new file mode 100644 index 0000000..c4fa5f8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/signal.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,6 +1,6 +2,0 +3,6 +4,4 +5,0 +6,5 +7,2 +8,1 +9,2 +10,1 +11,2 +12,0 +13,6 +14,3 +15,5 +16,7 +17,5 +18,5 +19,4 +20,1 +21,5 +22,9 +23,9 +24,3 +25,2 +26,6 +27,6 +28,4 +29,2 +30,9 +31,1 +32,1 +33,1 +34,2 +35,6 +36,6 +37,1 +38,9 +39,7 +40,7 +41,1 +42,9 +43,9 +44,10 +45,9 +46,8 +47,5 +48,2 +49,4 +50,1 +51,0 +52,9 +53,3 +54,3 +55,3 +56,5 +57,6 +58,0 +59,8 +60,6 +61,9 +62,3 +63,4 +64,0 +65,0 +66,0 +67,0 +68,0 +69,0 +70,0 +71,0 +72,0 +73,0 +74,0 +75,0 +76,0 +77,0 +78,0 +79,0 +80,0 +81,0 +82,0 +83,0 +84,0 +85,0 +86,0 +87,0 +88,0 +89,0 +90,0 +91,0 +92,0 +93,0 +94,0 +95,0 diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt new file mode 100644 index 0000000..8ca9eed --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/tikz/syndrom.txt @@ -0,0 +1,96 @@ +0,0 +1,0 +2,0 +3,0 +4,0 +5,0 +6,0 +7,0 +8,0 +9,0 +10,0 +11,0 +12,0 +13,0 +14,0 +15,0 +16,0 +17,0 +18,0 +19,0 +20,0 +21,0 +22,0 +23,0 +24,0 +25,0 +26,0 +27,0 +28,0 +29,0 +30,0 +31,0 +32,0 +33,0 +34,0 +35,0 +36,0 +37,0 +38,0 +39,0 +40,0 +41,0 +42,0 +43,0 +44,0 +45,0 +46,0 +47,0 +48,0 +49,0 +50,0 +51,0 +52,0 +53,0 +54,0 +55,0 +56,0 +57,0 +58,0 +59,0 +60,0 +61,0 +62,0 +63,0 +64,0.0275599094902563 +65,0.0115837187254191 +66,0.025877761014238 +67,0.0224618032819697 +68,0.04410594689944 +69,0.0474504002669341 +70,0.0227694695500626 +71,0.0271436638090525 +72,0.0104166666666667 +73,0.0271436638090523 +74,0.0227694695500608 +75,0.0474504002669343 +76,0.0441059468994397 +77,0.0224618032819701 +78,0.0258777610142379 +79,0.0115837187254183 +80,0.027559909490256 +81,0.0245124379481793 +82,0.0499782237195209 +83,0.0401432022864265 +84,0.0232923747656228 +85,0.0237974288564099 +86,0.0143895905726624 +87,0.0271745729691685 +88,0.0275599094902567 +89,0.0515501672184983 +90,0.0358255004834542 +91,0.024700508366373 +92,0.0210194725405171 +93,0.0177592928994296 +94,0.0261327016093158 +95,0.0314909067039411 -- cgit v1.2.1 From 14c4c9bde57c1cd89510719439bdd31374ddc280 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Sat, 7 Aug 2021 14:11:14 +0200 Subject: save --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex | 4 +- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 116 ++++++++++------------ buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf | Bin 1830948 -> 1835588 bytes 4 files changed, 55 insertions(+), 67 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index a975da8..179d90d 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -28,7 +28,7 @@ Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen, 32 Fehler erkennen und 16 Fehler re Mit hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. -\par + \begin{figure} \centering \resizebox{\textwidth}{!}{ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex index 074df05..ca4f398 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \section{Einleitung \label{reedsolomon:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} -Der Reed-Solomon-Code ist entstanden um, -das Problem der Fehler bei der Datenübertragung, zu lösen. +Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S.Reed und Gustave Solomon, im Jahre 1960, entwickelt. +Dabei haben sie das Problem der Fehler bei der Datenübertragung gelöst. In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, Funktion oder Algorithmus des Reed-Solomon-Code erklärt. Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index c071b5e..3061498 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -4,79 +4,69 @@ \section{Idee \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} -Um beim Datenübertragen Fehler zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, - also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einen Fehler zu erkennen. +Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, + also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einzelne Fehler erkennen. Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll, dann werden die Daten drei oder vierfach versendet. Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, - zu Übertragen und Fehler zu erkennen. -Speziell beim Reed-Solomon-Code kann man nicht nur Fehler erkennen, - man kann sogar einige Fehler korrigieren. + zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren. Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. -Der Reed-Solomon-Code macht dies auf eine andere, clevere Weise. -Anwendungen finden sind im Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} -\ref{reedsolomon:section:anwendung} beschrieben. +Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals auffordert. +Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfach Übertragung. +In Anwendungen des Reed-Soöomon-Code \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} +ist dies vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich. +Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise. \subsection{Polynom-Ansatz \label{reedsolomon:section:polynomansatz}} \rhead{Polynom-Ansatz} -Eine Idee ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. -In deieser Art arbeitet der Reed-Solomon-Code. +Eine zentrale Idee des Reed-Solomon-Code ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen. -\begin{beispiel} Nehmen wir zum Beispiel die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, - welche uns dann das Polynom +\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, + welche übertragen werden sollen. Daraus bilden wir das Polynom \begin{equation} p(x) = \textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} \label{reedsolomon:equation1} -\end{equation} -ergibt. +\end{equation}. \par Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte, das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren. -Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, - sie kann nachgeschaut werden oder als Funktion angewendet werden. +Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, + wir brauchen sie als Funktion, die von Punktn ein Polynom errechnet. Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}. Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren? Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte. Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} - dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 dieses Polynomes. -Grafisch sieht man dies dann in Abbildung \ref{fig:polynom}, - mit den Punkten, $p(1),p(2),...,p(7) = (\textcolor{darkgreen}{8}, - \textcolor{darkgreen}{15}, \textcolor{darkgreen}{26}, - \textcolor{darkgreen}{41}, \textcolor{darkgreen}{60}, - \textcolor{darkgreen}{83}, \textcolor{darkgreen}{110})$ -Nun wird durch drei der 7 Punkte das Polynom eindeutig bestimmbar und - alle anderen müssen auf diesem Polynom liegen. -Dabei gingen wir von keinem Fehler aus, - hat es Fehler in der Übertragunge gegeben. + dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 . +In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt, +die \textcolor{darkgreen}{übertragene Werte} des Polynoms sind grün. +Die grünen Punkte bestimmen die Parabel. +Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punktenicht auf der Parabel liegen. +Somit könnendie grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert. +bis zu wivielen Fehler können wir nun korrigieren im Beispiel korrigieren? Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: -\begin{enumerate} - \item \textit{Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten. - Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein, - ansonsten ist der Fehler ein Orginalpunkt und somit kein Fehler. +\begin{itemize} + \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten. + Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. - \par Orginal mit 6 Punkte > 3 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden - Damit ist klar das unser Polynom mit 6 Punkten richtig ist und unser Fehler kann rekonstruiert werden. - \item \textit{Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden. - Da der zweite Fehler frei wählbar ist kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. - Nun haben wir, wie in unserer Grafik \ref{fig:polynom}, ein Polynom mit 5 übereinstimmenden und eines mit 4 Punkten. - Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen welches das original Polynom ist. - \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom gefunden - \item \textit{Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden. + \item Bei \textit{2 Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden. + Da der zweite Fehler frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. + Nun haben wir, ein originles Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. + Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das original Polynom ist. + \item Bei \textit{3 Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden. Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen. Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden. - \par Orginal mit 5 Punkte > 4 Punkte Konkurrenzpolynom, Original Polynom nicht gefunden - \item \textit{Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + \item Bei \textit{4 Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden. - \item \textit{Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und + \item Bei \textit{5 Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht. -\end{enumerate} +\end{itemize} \begin{figure}%[!ht] \centering @@ -85,27 +75,16 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}} \label{fig:polynom} \end{figure} - -\section{Fehlerkorekturstellen bestimmen -\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} -Um zu bestimmen wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, - muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Daten} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. -Die Anzahl \textcolor{blue}{Daten} (ab hier verwenden wir das Wort Nutzlast), die als Polynomkoeffizente $k$ übergeben werden, - brauchen die gleiche Anzahl an Polynomkoeffizententräger, beginnend bei Grad 0 somit ergibt sich der Polynomgrad mit $k-1$. -Für die Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, gehen wir zum Beispiel. -\begin{beispiel} von den Polynom \ref{reedsolomon:equation1} in, welchem wir \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkte} senden. -Durch 3 Punkte wird das Polyom eindeutig bestimmt, nun haben wir mehrere Konkurrenzpolynome, doch mit maximal 2 Fehler liegen auf einem Konkurrenzpolynom, - maximal 4 Punkte und auf unserem orginal 5 Punkte. Ansonsten hatt es mehr Fehler oder unser Konkurrenzpolynom ist das gleiche wie das Original. -Somit können wir nun bestimmen, dass von den \textcolor{darkgreen}{7 Übertragungspunkten$u$} bis zu 2 Fehler korrigiert werden können und 4 Übertragungspunkte zusätzlich gesendet werden müssen. \end{beispiel} -Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, doch mit dieser Gleichung -\begin{equation} - \frac{\textcolor{darkgreen}{u}-\textcolor{blue}{k}}{\textcolor{red}{t}} - =2 - \label{reedsolomon:equation2} -\end{equation} - zeigt sich, dass es $k+2t$ Übertragungspunkte braucht. +\section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen +\label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} +Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, + muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. +Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$. +Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, brauchen redundanz. +Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, + erkennt man almählich ein Muster. \begin{table} \centering \begin{tabular}{ c c | c} @@ -122,8 +101,17 @@ Man könnte auch dies in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} erkennen, \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} \label{tab:fehlerkorrekturstellen} \end{table} +Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem Konkurenzierenden. +Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler 2 übertragungspunkte mehr. +Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl +\begin{equation} + \textcolor{darkgreen}{u}= + \textcolor{blue}{k}2\textcolor{red}{t} + \label{reedsolomon:equation2} +\end{equation}. -Ein Nebeneffekt ist, dass dadurch auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. -Um aus den übertragenen Zahlen wieder die Nutzlastzahlen zu bekommen könnte man eine Polynominterpolation anwenden, -doch die Punkte mit Polynominterpolation zu einem Polynom zu rekonstruieren ist schwierig und fehleranfällig. +Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. +Nun haben wir für jede rekonstruktion des Polynoms, die Polynominterpolation gebraucht. +Diese Polynoiminterpolation ist leider schwierig und fehleranfällig. +Deshalb finden wir eine alternative im nächsten Abschnitt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf index 2666d1e..dc34b2d 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf differ -- cgit v1.2.1 From 00406f140fd8a0680ef9d03a88ec032134e13566 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Sat, 7 Aug 2021 14:22:04 +0200 Subject: + --- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 3061498..2142f88 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -106,7 +106,7 @@ Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler 2 übertragungspunkte mehr. Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{u}= - \textcolor{blue}{k}2\textcolor{red}{t} + \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t} \label{reedsolomon:equation2} \end{equation}. -- cgit v1.2.1 From b147539fdc2367938af08293aa16808adf6260fe Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Sat, 7 Aug 2021 14:22:30 +0200 Subject: plot-green --- buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf | Bin 59617 -> 59772 bytes 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf index 80d17d2..b455da5 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf differ -- cgit v1.2.1 From d223220e4fdd827a5c0dd76e3d7b1453876f3e4b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 8 Aug 2021 11:47:57 +0200 Subject: add image to reedsolomon --- buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile | 7 ++ buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf | Bin 0 -> 59496 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex | 132 +++++++++++++++++++++++++++++++ 3 files changed, 139 insertions(+) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile b/buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile new file mode 100644 index 0000000..1753f37 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/Makefile @@ -0,0 +1,7 @@ +# +# Makefile +# +# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +# +fourier.pdf: fourier.tex + pdflatex fourier.tex diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf new file mode 100644 index 0000000..a1b6e24 Binary files /dev/null and b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex new file mode 100644 index 0000000..af556d1 --- /dev/null +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -0,0 +1,132 @@ +% +% Plot der Übertrangungsabfolge ins FFT und zurück mit IFFT +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{pgfplotstable} +\usepackage{csvsimple} +\usepackage{filecontents} + +\def\plotwidth{7.5cm} +\def\plotheight{5.5cm} +\def\xverschiebung{4.5cm} +\def\yverschiebung{-7cm} +\def\yyverschiebung{-14cm} + +\def\marke#1{ + \coordinate (M) at (-0.8,4.6); + \fill[color=lightgray] (M) circle[radius=0.3]; + \draw (M) circle[radius=0.3]; + \node at (M) {#1}; +} + +\begin{document} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +\draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.4) -- (2.6,-14.3); +\coordinate (B) at (2.6,-1.3); +\node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich}; +\node[color=gray] at (B) [rotate=90,below] {Frequenzbereich}; + +\begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=0cm] + \begin{axis} + [title = {\large Signal\strut}, + xtick={0,32,64,96}, width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[blue,line width=1pt] table[col sep=comma] + {tikz/signal.txt}; + \end{axis} + \marke{1} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=0cm] + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right,ytick={0}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=white] {0}; + \end{axis} + + \begin{axis}[title = {\large Codiert\strut}, axis y line*=left, + xtick={0,32,64,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=black!60!green,line width=1pt] + table[col sep=comma] + {tikz/codiert.txt}; + \end{axis} + \marke{2} + \draw[->,line width=1pt] (3,-0.4) -- node[right] {Übertragung} (3,-2.2); +\end{scope} + +\definecolor{pink}{rgb}{0.6,0.2,1} + +\begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] + \fill[color=pink!20] (4.65,0.35) ellipse (1.1cm and 0.5cm); + \begin{axis}[title = {\large Decodiert\strut}, + xtick={0,32,64,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[blue,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; + \end{axis} + \marke{4} + \draw[color=pink] (4.65,0.35) ellipse (1.1cm and 0.5cm); + \draw[->,color=pink,line width=1pt] + (4.65,-0.15) to[out=-90,in=90] (3,-2.2); +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] + \begin{axis}[title = {\large Empfangen {\color{red} mit Fehler}\strut}, + xtick={0,96}, + axis y line*=left, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=black!60!green,line width=1pt] + table[col sep=comma] + {tikz/empfangen.txt}; + \end{axis} + \begin{axis}[xtick={6,20,74}, axis y line*=right, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[red,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/fehler.txt}; + \end{axis} + \marke{3} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=\yyverschiebung] + \begin{axis}[title = {\large \color{pink}Syndrom\strut}, + xtick={0,32,64,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[pink,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; + \end{axis} + \marke{5} +\end{scope} + +\begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=\yyverschiebung] + % Beschriftung Rechts + \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right, ytick={0.3}, + xtick={0,32,64,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[color=black!60,line width=1pt] {0.3}; + \end{axis} + \begin{axis}[title = {\large Locator\strut},axis y line*=left, + xtick={0,6,20,74,96}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] + \addplot[gray,line width=1pt] + table[col sep=comma] {tikz/locator.txt}; + \end{axis} + \marke{6} +\end{scope} + +% Fourier-Transformations-Pfeile + +\draw[->,line width=1pt] (1.8,2) -- node[above] {DFT\strut} (3.8,2); + +\begin{scope}[yshift=\yverschiebung] +\draw[<-,line width=1pt] (1.8,2) -- node[above] {DFT$\mathstrut^{-1}$} (3.8,2); +\end{scope} + +\begin{scope}[yshift=\yyverschiebung] +\draw[->,line width=1pt] (1.8,2) -- node[above] {DFT\strut} (3.8,2); +\end{scope} + +\end{tikzpicture} +\end{document} -- cgit v1.2.1 From 08ea2ca03c7cc6dc99550dc0c768ad690b7e96bb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 8 Aug 2021 12:56:13 +0200 Subject: improve spacing --- buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf | Bin 59496 -> 59500 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex | 4 ++-- 2 files changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf index a1b6e24..b200458 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex index af556d1..d5a8d06 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -27,8 +27,8 @@ \draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.4) -- (2.6,-14.3); \coordinate (B) at (2.6,-1.3); -\node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich}; -\node[color=gray] at (B) [rotate=90,below] {Frequenzbereich}; +\node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich\strut}; +\node[color=gray] at (B) [rotate=90,below] {Frequenzbereich\strut}; \begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=0cm] \begin{axis} -- cgit v1.2.1 From 2805ea85b02609e6f7b7c2d511260ed94944722e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 8 Aug 2021 13:34:03 +0200 Subject: mehr Farbe ;-) --- buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf | Bin 59500 -> 59572 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex | 17 +++++++++++++++-- 2 files changed, 15 insertions(+), 2 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf index b200458..6491f08 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex index d5a8d06..bbe0508 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -22,9 +22,14 @@ \node at (M) {#1}; } +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + \begin{document} \begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\fill[color=blue!10] (-5.7,-14.5) rectangle (2.6,5.0); +\fill[color=darkgreen!10] (2.6,-14.5) rectangle (11.1,5.0); + \draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.4) -- (2.6,-14.3); \coordinate (B) at (2.6,-1.3); \node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich\strut}; @@ -33,7 +38,9 @@ \begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=0cm] \begin{axis} [title = {\large Signal\strut}, - xtick={0,32,64,96}, width=\plotwidth,height=\plotheight] + xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, + width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[blue,line width=1pt] table[col sep=comma] {tikz/signal.txt}; \end{axis} @@ -42,12 +49,14 @@ \begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=0cm] \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right,ytick={0}, + axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[color=white] {0}; \end{axis} \begin{axis}[title = {\large Codiert\strut}, axis y line*=left, xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[color=black!60!green,line width=1pt] table[col sep=comma] @@ -60,9 +69,10 @@ \definecolor{pink}{rgb}{0.6,0.2,1} \begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] - \fill[color=pink!20] (4.65,0.35) ellipse (1.1cm and 0.5cm); + %\fill[color=pink!20] (4.65,0.35) ellipse (1.1cm and 0.5cm); \begin{axis}[title = {\large Decodiert\strut}, xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[blue,line width=1pt] table[col sep=comma] {tikz/decodiert.txt}; @@ -76,6 +86,7 @@ \begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] \begin{axis}[title = {\large Empfangen {\color{red} mit Fehler}\strut}, xtick={0,96}, + axis background/.style={fill=white}, axis y line*=left, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[color=black!60!green,line width=1pt] @@ -93,6 +104,7 @@ \begin{scope}[xshift=-\xverschiebung,yshift=\yyverschiebung] \begin{axis}[title = {\large \color{pink}Syndrom\strut}, xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[pink,line width=1pt] table[col sep=comma] {tikz/syndrom.txt}; @@ -104,6 +116,7 @@ % Beschriftung Rechts \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right, ytick={0.3}, xtick={0,32,64,96}, + axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[color=black!60,line width=1pt] {0.3}; \end{axis} -- cgit v1.2.1 From b76522a3dda77a3319d92c901b5e27586686c3d2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com> Date: Sun, 8 Aug 2021 15:53:09 +0200 Subject: chapters updated --- buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex | 69 +++++++++++++++++++++++------ 2 files changed, 56 insertions(+), 15 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex index 8430ebd..eb4e82f 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/codebsp.tex @@ -76,7 +76,7 @@ dar. \subsection{Der Ansatz der diskreten Fouriertransformation \label{reedsolomon:subsection:diskFT}} -In einem vorherigen Abschnitt \textcolor{red}{(???)} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. +Im vorherigen Abschnitt \ref{reedsolomon:section:dtf} haben wir schon einmal die diskrete Fouriertransformation zum Codieren einer Nachricht verwendet. In den endlichen Körpern wird dies jedoch nicht gelingen, da die Eulerische Zahl $e$ in endlichen Körpern nicht existiert. Wir wählen deshalb eine Zahl $a$, die die gleichen Aufgaben haben soll wie $e^{\frac{j}{2 \pi}}$ in der diskreten Fouriertransformation, nur mit dem Unterschied, dass $a$ in $\mathbb{F}_{11}$ ist. Dazu soll die Potenz von $a$ den gesamten Zahlenbereich von $\mathbb{F}_{11}$ abdecken. Dazu ändern wir die Darstellung von \[ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex index 1d196fd..d70125b 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex @@ -3,21 +3,62 @@ % % (c) 2021 Michael Steiner, Hochschule Rapperswil % -\section{Reed-Solomon in Endlichen Körpern +\section{Reed-Solomon in endlichen Körpern \label{reedsolomon:section:endlichekoerper}} \rhead{Reed-Solomon in endlichen Körpern} -\[ -\textcolor{red}{\text{TODO: (warten auf den 1. Teil)}} -\] -Das Rechnen in endlichen Körpern bietet einige Vorteile: +Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass wir die Fehler mittels Approximation suchen und somit keine Konkreten Angaben haben, wo sich Fehler garantiert aufhalten. +Um dies zu ändern wechseln wir vom Komplexen Zahlenraum in den endlichen Körper. +In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. +Zudem beschränken sich die möglichen arithmetischen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. +Wir können also nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. +Dies erleichtert auch die Umsetzung auf ein digitales System, da Computer in der Regel lieber mit ganzen als mit gebrochenen oder komplexen Zahlen arbeiten. -\begin{itemize} - \item Konkrete Zahlen: In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. Zudem beschränken sich die möglichen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. Somit können wir nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. - - \item Digitale Fehlerkorrektur: lässt sich nur in endlichen Körpern umsetzen. - -\end{itemize} +Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren gehen wir im Grunde gleich vor wie im Beispiel aus dem Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}. +Eine Nachricht besteht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil. +Diese Nachricht wird Codiert, übertragen und beim Empfänger wieder decodiert. +In endlichen Körpern können wir jedoch nicht mehr die Fouriertransformation uns zur Hilfe nehmen. +Wir müssen also eine Alternative finden, welche die gleichen Eigenschaften wie die Fouriertransformation aufweist, aber im endlichen Körper verwendet werden kann. +Auch beim decodieren müssen wir uns etwas einfallen lassen, damit die Vorgehensweise mit dem Lokatorpolynom auch in endlichen Körpern funktionieren soll. Die folgenden Abschnitte widmen sich deshalb der genaueren Betrachtung eines Reed-Solomon-Codes und wie er in endlichen Körpern funktioniert. -Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren legen wir fest, dass diese Nachricht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil bestehen muss. Somit ist die zu übertragende Nachricht immer grösser als die Daten, die wir übertragen wollen. Zudem müssen wir einen Weg finden, den Fehlerkorrekturteil so aus den Nutzdaten zu berechnen, dass wir die Nutzdaten auf der Empfängerseite wieder rekonstruieren können, sollte es zu einer fehlerhaften Übertragung kommen. - -Nun stellt sich die Frage, wie wir eine fehlerhafte Nachricht korrigieren können, ohne ihren ursprünglichen Inhalt zu kennen. Der Reed-Solomon-Code erzielt dies, indem aus dem Fehlerkorrekturteil ein sogenanntes ``Lokatorpolynom'' generiert werden kann. Dieses Polynom gibt dem Emfänger an, welche Stellen in der Nachricht feherhaft sind. +% +%Damit all diese Probleme möglichst verständlich +% +% +%Um all diese Probleme und möglichst +% +% +%um Fehler zu erkennen und mittels Lokatorpolynom +% +% +% ein Lokatorpolynom zu finden. +% +% +% +% Eine Nachricht besteht aus einem Nutzdatenanteil und einem Fehlerkorrekturteil, +% +% +% +%In diesem Zahlenraum gibt es nur Natürliche Zahlen und es darf nur Addiert oder Multipliziert werden. +%Der grosse Vorteil an endlichen Körper ist, dass dich der einfacher Digital umsetzen lässt. +% +% +%Dieser Zahlenraum bringt eine Menge von neuen Regeln mit sich. +%So gibt es dort nur Natürliche Zahlen und die Arithmetischen Rechenoperationen sind beschränkt auf die Addition und Multiplikation. +% +% +% +%\[ +%\textcolor{red}{\text{TODO: (warten auf den 1. Teil)}} +%\] +%Das Rechnen in endlichen Körpern bietet einige Vorteile: +% +%\begin{itemize} +% \item Konkrete Zahlen: In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. Zudem beschränken sich die möglichen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. Somit können wir nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. +% +% \item Digitale Fehlerkorrektur: lässt sich nur in endlichen Körpern umsetzen. +% +%\end{itemize} +% +%Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren legen wir fest, dass diese Nachricht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil bestehen muss. Somit ist die zu übertragende Nachricht immer grösser als die Daten, die wir übertragen wollen. Zudem müssen wir einen Weg finden, den Fehlerkorrekturteil so aus den Nutzdaten zu berechnen, dass wir die Nutzdaten auf der Empfängerseite wieder rekonstruieren können, sollte es zu einer fehlerhaften Übertragung kommen. +% +%Nun stellt sich die Frage, wie wir eine fehlerhafte Nachricht korrigieren können, ohne ihren ursprünglichen Inhalt zu kennen. Der Reed-Solomon-Code erzielt dies, indem aus dem Fehlerkorrekturteil ein sogenanntes ``Lokatorpolynom'' generiert werden kann. Dieses Polynom gibt dem Emfänger an, welche Stellen in der Nachricht feherhaft sind. -- cgit v1.2.1 From 8f68f18b9745cec1257e1e1fef9a2c9076839ddd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Sun, 8 Aug 2021 20:17:16 +0200 Subject: trennlinie zwischen Zeit/Frequenzbereich --- buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf | Bin 59572 -> 59767 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex | 6 +++--- 2 files changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf index 6491f08..25e8d6d 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex index bbe0508..d151b2b 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -30,7 +30,7 @@ \fill[color=blue!10] (-5.7,-14.5) rectangle (2.6,5.0); \fill[color=darkgreen!10] (2.6,-14.5) rectangle (11.1,5.0); -\draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.4) -- (2.6,-14.3); +\draw[dashed,line width=2pt,color=lightgray] (2.6,4.9) -- (2.6,-14.4); \coordinate (B) at (2.6,-1.3); \node[color=gray] at (B) [rotate=90,above] {Zeitbereich\strut}; \node[color=gray] at (B) [rotate=90,below] {Frequenzbereich\strut}; @@ -84,7 +84,7 @@ \end{scope} \begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=\yverschiebung] - \begin{axis}[title = {\large Empfangen {\color{red} mit Fehler}\strut}, + \begin{axis}[title = {\large Empfangen {\color{red} mit Fehlern}\strut}, xtick={0,96}, axis background/.style={fill=white}, axis y line*=left, @@ -120,7 +120,7 @@ width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[color=black!60,line width=1pt] {0.3}; \end{axis} - \begin{axis}[title = {\large Locator\strut},axis y line*=left, + \begin{axis}[title = {\large Lokator\strut},axis y line*=left, xtick={0,6,20,74,96}, width=\plotwidth,height=\plotheight] \addplot[gray,line width=1pt] -- cgit v1.2.1 From 89874953eb8c9d2e4ac9bb1cfe77a4e7e2ace9a3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com> Date: Sun, 8 Aug 2021 21:32:38 +0200 Subject: minor improvements --- buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex | 17 +++++++++-------- 1 file changed, 9 insertions(+), 8 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex index d70125b..3019dd7 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/endlichekoerper.tex @@ -6,19 +6,20 @@ \section{Reed-Solomon in endlichen Körpern \label{reedsolomon:section:endlichekoerper}} \rhead{Reed-Solomon in endlichen Körpern} -Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass wir die Fehler mittels Approximation suchen und somit keine Konkreten Angaben haben, wo sich Fehler garantiert aufhalten. -Um dies zu ändern wechseln wir vom Komplexen Zahlenraum in den endlichen Körper. -In endlichen Körpern gibt es weder rationale noch komplexe Zahlen. -Zudem beschränken sich die möglichen arithmetischen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. +Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass wir die Fehler mittels Approximation suchen und somit nur ungefähre Angaben haben, wo sich Fehler aufhalten. +Um dies zu ändern wechseln wir vom komplexen Zahlenraum in endliche Körper. +In endlichen Körpern gibt es keine Approximationen wie bei den rationalen und reellen Zahlen. +Alle Zahlen sind richtig oder falsch, ``fast richtig'' gibt es nicht. +Zudem beschränken sich die arithmetischen Rechenoperationen auf das Addieren und Multiplizieren. Wir können also nur ganze Zahlen als Resultat erhalten. Dies erleichtert auch die Umsetzung auf ein digitales System, da Computer in der Regel lieber mit ganzen als mit gebrochenen oder komplexen Zahlen arbeiten. -Um jetzt eine Nachricht in den endlichen Körpern zu konstruieren gehen wir im Grunde gleich vor wie im Beispiel aus dem Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}. +Um jetzt eine Nachricht in einem endlichen Körpern zu konstruieren gehen, wir im Grunde gleich vor wie im Beispiel aus dem Abschnitt \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}. Eine Nachricht besteht aus einem Nutzdatenteil und einem Fehlerkorrekturteil. -Diese Nachricht wird Codiert, übertragen und beim Empfänger wieder decodiert. -In endlichen Körpern können wir jedoch nicht mehr die Fouriertransformation uns zur Hilfe nehmen. +Diese Nachricht wird codiert, übertragen und beim Empfänger wieder decodiert. +In endlichen Körpern können wir jedoch nicht mehr die Fouriertransformation zur Hilfe nehmen. Wir müssen also eine Alternative finden, welche die gleichen Eigenschaften wie die Fouriertransformation aufweist, aber im endlichen Körper verwendet werden kann. -Auch beim decodieren müssen wir uns etwas einfallen lassen, damit die Vorgehensweise mit dem Lokatorpolynom auch in endlichen Körpern funktionieren soll. Die folgenden Abschnitte widmen sich deshalb der genaueren Betrachtung eines Reed-Solomon-Codes und wie er in endlichen Körpern funktioniert. +Auch beim Decodieren müssen wir uns etwas einfallen lassen, wenn die Vorgehensweise mit dem Lokator auch in endlichen Körpern funktionieren soll. Die folgenden Abschnitte widmen sich deshalb der genaueren Betrachtung eines Reed-Solomon-Codes und wie er in endlichen Körpern funktioniert. % %Damit all diese Probleme möglichst verständlich -- cgit v1.2.1 From 787033c0f57c0890d2c248e95df70281546b3313 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 9 Aug 2021 11:21:36 +0200 Subject: orthofehler korrigiert --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 67 ++++++++++++------------- buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf | Bin 59772 -> 59772 bytes buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 74 ++++++++++++++-------------- 4 files changed, 71 insertions(+), 72 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 179d90d..559ea1b 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -4,15 +4,15 @@ \section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourier-Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} -Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt, -durch die Codierung, auf viele übertragene Werte verteilt werden. +Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt +durch die Codierung auf viele übertragene Werte verteilt werden. Die Decodierung ist in der Lage, den ursprünglichen Datenwert zu rekonstruieren, sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind. \par Die Fourier-Transformation transformiert einen einzelnen Wert, eine Dirac-Funktion, auf ein Spektrum, welches sich über die ganze Frequenzachse erstreckt. -Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist. -Forausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. +Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist, + vorausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. \par Es liegt daher nahe zu versuchen, die Fourier-Transformation für Codierung und Decodierung zu verwenden. @@ -24,15 +24,15 @@ Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist. Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes, der später erklärt wird, analog ist. \par -Der Auftrag ist nun 64 Daten zu übertragen, 32 Fehler erkennen und 16 Fehler rekonstruieren. -Mit hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, +Der Auftrag ist nun 64 Datenwerte zu übertragen, 32 Fehler zu erkennen und 16 Fehler zu rekonstruieren. +Mit Hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. -\begin{figure} +\begin{figure}%[!ht] \centering \resizebox{\textwidth}{!}{ - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/plotfft} + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/reedsolomon/figures/fourier} %\input{papers/reedsolomon/tikz/plotfftraw.tex} } \caption{Übertragungsabfolge \ref{reedsolomon:subsection:sendbsp}} @@ -41,34 +41,33 @@ Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} In der Abbildung \ref{fig:sendorder} wird eine Übertragung Schritt für Schritt illustriert. In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläutert: \begin{enumerate}[(1)] - \item Das Signal ist mit 64 zufälligrn, ganzzahligen Datenwerten, zwischen 0 und 10. + \item Das Signal besteht aus 64 zufälligen, ganzzahligen Datenwerten zwischen 0 und 10. Für die Rekonstruktion werden zusäzlich Datenwert benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu. - Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen - \externaldocument{papers/reedsolomon/idee}\ref{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}. - Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der länge $N =96$. + Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen. + Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der Länge $N =96$. \item Mit der Fourier-Transformation wird der ganze Signalvektor codiert. Dadurch wird jede Informationseinheit auf alle Punkte des Spektrums verteilt. - \item Wir dürfen annehmen, dass bei der Übertragung, nur einzelne übertragene Werte durch Fehler, - verändert werden. + \item Wir dürfen annehmen, dass bei der Übertragung, nur einzelne übertragene + Werte durch Fehler verändert werden. \par - Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 7, 21 und 75(\textcolor{red}{rote Kurve}), - die um einen Betrag verändert werden. + Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 6, 20 und 74 (\textcolor{red}{rote Kurve}), + die um einen Betrag verändert werden. Dieser ist bis zu 150-mal kleiner, als die ursprünglichen codierte Werte. Der Empfänger kennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind. - \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch Inverse Fourier-Transformation vollständig - wiederhergestellt werden. + \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch inverse Fourier-Transformation vollständig + wiederhergestellt werden. Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96. \par - Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen, Werte abweichend von Null, auftreten. + Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen Werte abweichend von Null auftreten. Somit haben wir bereits Fehler erkannt. - \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennenwir das Syndrom. - Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die Inverse Fourier-Transformation erzeugt. - \item Um die Fehler zu rekonstruieren, ann man versuchen, die Information im Syndrom mit Fourier-Transformation zu transformieren. + \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennen wir das Syndrom. + Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die inverse Fourier-Transformation erzeugt. + \item Um die Fehler zu rekonstruieren, kann man versuchen, die Information im Syndrom mit Fourier-Transformation zu transformieren. Da das Syndrom nur ein Teil der Fehlerinformation ist, liefert die Fourier-Transformation eine Approximation der Fehler. - Diese Approximation der Fehler ist genau genug, um die Fehlerstellen zu localisieren. + Diese Approximation der Fehler ist genau genug, um die Fehlerstellen zu lokalisieren. \end{enumerate} Im Beispiel haben wir mit dem Syndrom nur etwa ein Drittel der Fehlerinformation, es ist daher zu erwarten, -dass die Fehlerwerte auch nur ein drittel so gross sind. +dass die Fehlerwerte auch nur ein Drittel so gross sind. \par Damit können die Fehler korrigiert und die Orginaldaten wiederhergestellt werden. Der Rekonstruktionsauftrag ist damit erfolgreich ausgeführt. @@ -87,8 +86,7 @@ Die 7 Übertragungspunkte könnten ein Polynom \end{equation} sechsten Grades bestimmen. Durch die Wahl von $\textcolor{gray}{a_3=0}$, $\textcolor{gray}{a_4=0}$, $\textcolor{gray}{a_5=0}$, $\textcolor{gray}{a_6=0}$ -erzeugen wir die, für die Fehlerkorrektur, -nötige Redundanz, ganz analog zum Schritt (1) im Beispiel. +erzeugen wir die für die Fehlerkorrektur nötige Redundanz, ganz analog zum Schritt (1) im Beispiel. \par Die Analogie geht aber noch weiter. Schreibt man @@ -101,25 +99,24 @@ Die Analogie geht aber noch weiter. {f}_n \cdot e^{-\frac{2\pi j}{N} \cdot kn} ,\label{reedsolomon:DFT} \end{equation} - für die Diskrte-Fourier-Transformation das Polynom + für die diskrete-Fourier-Transformation das Polynom \begin{equation} q(w)= - \frac{{f}_0}{N} + \frac{{f}_1}{N} w^1 + \frac{{f}_2}{N} w^2 + \dots + \frac{{f}_{N-1}}{N} w^{N-1} + \frac{{f}_0}{N} + \frac{{f}_1}{N} w^1 + \frac{{f}_2}{N} w^2 + \dots + \frac{{f}_{N-1}}{N} w^{N-1}. \label{reedsolomon:DFT_polynom} \end{equation} - Im Beispiel werden aber Werte des des Polynoms $q(w)$ für verschieden - \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots , k=N-1\) übermittelt. + Im Beispiel werden aber Werte des Polynoms \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{q(w)}= \frac{\textcolor{blue}{{f}_0}}{N} + \frac{\textcolor{blue}{{f}_1}}{N} w^1 + \frac{\textcolor{blue}{{f}_2}}{N} w^2 + \dots + \frac{\textcolor{blue}{{f}_{63}}}{N} w^{63} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{64}}}{N} w^{64} + \textcolor{gray}{\dots} + \frac{\textcolor{gray}{{f}_{N-1}}}{N} w^{N-1} \label{reedsolomon:DFT_polynom2} \end{equation} -Das syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten) + für verschiedene \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots ,N-1\) übermittelt. +Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten) \par -Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reelen Zahlen. +Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reeleen Zahlen. Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren, -dann müssen wir von den Reelen-Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. -Deshalb haben die Mathematiker einen neuen Körper gesucht und ihn in der Endlichkeit gefunden, -dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. +dann müssen wir von den reeleen Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. +Dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex index ca4f398..04f1fe2 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Einleitung \label{reedsolomon:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} -Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S.Reed und Gustave Solomon, im Jahre 1960, entwickelt. +Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S. Reed und Gustave Solomon im Jahre 1960 entwickelt. Dabei haben sie das Problem der Fehler bei der Datenübertragung gelöst. In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, Funktion oder Algorithmus des Reed-Solomon-Code erklärt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf index b455da5..80adafb 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/figures/plotfft.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 2142f88..26e617c 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -5,18 +5,18 @@ \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, - also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweilige einzelne Fehler erkennen. -Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkennt werden soll und sogar noch das orginal rekonstruiert werden soll, + also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweils einzelne Fehler erkennen. +Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkannt werden soll und sogar noch das Orginal rekonstruiert werden soll, dann werden die Daten drei oder vierfach versendet. Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren. -Der Unterschied des Fehler erkennen und korrigiren, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? -Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch den original Wert rekonstruieren. -Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals auffordert. -Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfach Übertragung. -In Anwendungen des Reed-Soöomon-Code \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} -ist dies vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich. +Der Unterschied des Fehler Erkennens und Korrigirens, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? +Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch die Originalwerte rekonstruiert. +Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals anfordert. +Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfachen Übertragung. +In Anwendungen des Reed-Solomon-Codes Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} + ist diese vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich. Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise. \subsection{Polynom-Ansatz @@ -34,35 +34,35 @@ p(x) \end{equation}. \par Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Bei einer fehlerlosen Übertragung, können wir mit 3 übertragene Werte, +Bei einer fehlerlosen Übertragung können wir mit 3 übertragene Werte das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren. -Weder erkläre noch erläutere ich die Polynominterpolation, - wir brauchen sie als Funktion, die von Punktn ein Polynom errechnet. -Die koeffizente, des rekonstruierten Polynoms, sind dann unsere gesendten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}. +Wir brauchen Polynominterpolation als Methode, um aus Punkte wieder Polynom zu berechnen. +Die Koeffizente des rekonstruierten Polynoms sind dann unsere gesendeten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}. +\par Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren? -Versuchen wir doch mehr Werte zu Übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte. +Versuchen wir doch mehr Werte zu übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte. Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} - dieses 7 Werte \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3\dots 7 . + dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3, \dots , 7. In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt, -die \textcolor{darkgreen}{übertragene Werte} des Polynoms sind grün. + die \textcolor{darkgreen}{übertragenen Werte} des Polynoms sind grün. Die grünen Punkte bestimmen die Parabel. -Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punktenicht auf der Parabel liegen. -Somit könnendie grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert. -bis zu wivielen Fehler können wir nun korrigieren im Beispiel korrigieren? +Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punkte nicht auf der Parabel liegen. +Somit können die grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert. +Bis zu wievielen Fehler können wir nun im Beispiel korrigieren? Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \begin{itemize} - \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten fehlleiten. - Dabei kann aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. - Da 6 übereinstimende grössser als 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. - \item Bei \textit{2 Fehler} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein fehlleitendes Konkurrenzpolynom bilden. + \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurrenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen. + Dabei können aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. + Da 6 > 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. + \item Bei \textit{2 Fehlern} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein Konkurrenzpolynom bilden. Da der zweite Fehler frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. - Nun haben wir, ein originles Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. - Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das original Polynom ist. - \item Bei \textit{3 Fehler} kann genau wie bei 2 Fehler, ein Fehler ein fehlleitendes Polynom mit 2 original Punkten bestimmen werden. + Nun haben wir, ein originales Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. + Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist. + \item Bei \textit{3 Fehlern} kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden. Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. - Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem Originalen. - Das Original Polynom kann nicht mehr gefunden werden. - \item Bei \textit{4 Fehler} Es kann noch erkennt weden das Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem originalen. + Das Originalpolynom kann nicht mehr gefunden werden. + \item Bei \textit{4 Fehlern} Es kann noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden. \item Bei \textit{5 Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht. @@ -75,17 +75,18 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \caption{Polynom $p(x)$ von der Gleichung\eqref{reedsolomon:equation1}} \label{fig:polynom} \end{figure} +\qedhere \end{beispiel} \section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. -Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$. -Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, brauchen redundanz. +Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$. +Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz. Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, erkennt man almählich ein Muster. -\begin{table} +\begin{table}%[!ht] \centering \begin{tabular}{ c c | c} \hline @@ -101,17 +102,18 @@ Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} \label{tab:fehlerkorrekturstellen} \end{table} -Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem Konkurenzierenden. -Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler 2 übertragungspunkte mehr. +Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem konkurenzierenden. +Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler zwei Übertragungspunkte mehr. Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{u}= - \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t} + \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}. \label{reedsolomon:equation2} -\end{equation}. +\end{equation} Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. -Nun haben wir für jede rekonstruktion des Polynoms, die Polynominterpolation gebraucht. +Für die Polynomkoeffizente nach der Übertragung zu rekonstruieren, + haben wir jedes mal die Polynominterpolationmethode angewendet. Diese Polynoiminterpolation ist leider schwierig und fehleranfällig. Deshalb finden wir eine alternative im nächsten Abschnitt. -- cgit v1.2.1 From f54db89a60364ccec5822ab025d2caadb52def8c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Mon, 9 Aug 2021 13:45:45 +0200 Subject: feinheiten --- buch/papers/reedsolomon/Makefile | 2 +- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 2 +- buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf | Bin 0 -> 59770 bytes buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 23 +++++++++++----------- buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf | Bin 1835588 -> 1837295 bytes 5 files changed, 14 insertions(+), 13 deletions(-) create mode 100644 buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/Makefile b/buch/papers/reedsolomon/Makefile index 25fd98b..4be963e 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/Makefile +++ b/buch/papers/reedsolomon/Makefile @@ -24,7 +24,7 @@ SOURCES := \ TIKZFIGURES := \ tikz/polynom2.tex \ - tikz/plotfft.tex + tikz/fourier.tex FIGURES := $(patsubst tikz/%.tex, figures/%.pdf, $(TIKZFIGURES)) diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 559ea1b..7c88c16 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -1,7 +1,7 @@ % % dtf.tex -- Idee mit DFT % -\section{Übertragung mit Hilfe der Diskrten Fourier-Transformation +\section{Übertragung mit Hilfe der diskrten Fourier-Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt diff --git a/buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf new file mode 100644 index 0000000..4995141 Binary files /dev/null and b/buch/papers/reedsolomon/figures/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 26e617c..6ee42ef 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -51,20 +51,20 @@ Somit können die grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit ko Bis zu wievielen Fehler können wir nun im Beispiel korrigieren? Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \begin{itemize} - \item Bei \textit{1 Fehler} können konkurrenzierende Polynome, zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen. + \item[\textit{1 Fehler}:] Bei einem Fehler können konkurrenzierende, aber falsche Polynome zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen. Dabei können aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. Da 6 > 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. - \item Bei \textit{2 Fehlern} kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein Konkurrenzpolynom bilden. - Da der zweite Fehler frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem Konkurrenzpolynom liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. - Nun haben wir, ein originales Polynom mit 5 übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. + \item[\textit{2 Fehler}:] Bei Zwei Fehlern kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein konkurrenzierendes, aber falsches Polynom bilden. + Da der zweite \textcolor{red}{Fehler} frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem \textcolor{gray}{Konkurrenzpolynom} liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. + Nun haben wir, ein \textcolor{blue}{originales Polynom} mit \textcolor{darkgreen}{5} übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist. - \item Bei \textit{3 Fehlern} kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden. + \item[\textit{3 Fehler}:] Bei Drei kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden. Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem originalen. Das Originalpolynom kann nicht mehr gefunden werden. - \item Bei \textit{4 Fehlern} Es kann noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + \item[\textit{4 Fehler}:] Bei Vier, kann es noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden. - \item Bei \textit{5 Fehler} Mit den 2 originalen Punkte kann das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und + \item[\textit{5 Fehler}] Bei Fünf, kann mit den 2 originalen Punkte das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht. \end{itemize} @@ -82,8 +82,8 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. -Die Anzahl \textcolor{blue}{Datenwerte}, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente $k$ und somit den Grad $k-1$. -Die Bestimmung der Anzahl der Fehler $t$, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz. +Die Anzahl Datenwerte, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente \textcolor{blue}{$k$} und somit den Grad $k-1$. +Die Bestimmung der Anzahl der Fehler \textcolor{red}{$t$}, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz. Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, erkennt man almählich ein Muster. \begin{table}%[!ht] @@ -102,9 +102,10 @@ Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, \caption{ Fehlerkorrekturstellen Bestimmung.} \label{tab:fehlerkorrekturstellen} \end{table} +\par Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem konkurenzierenden. -Somit braucht man für die Übertragung pro Fehler zwei Übertragungspunkte mehr. -Wie in der Tabelle ergibt sich diese Übertragungsanzahl +Somit braucht man für die Übertragung pro \textcolor{red}{Fehler} zwei Übertragungspunkte mehr. +Wie in der Tabelle ergibt sich diese \textcolor{darkgreen}{Übertragungsanzahl} \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{u}= \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf index dc34b2d..dfa9eea 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/standalone/standalone.pdf differ -- cgit v1.2.1 From 49646a239bcd153e6fb2b85f5839d2f1853b33f0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= Date: Mon, 9 Aug 2021 14:14:19 +0200 Subject: fix right axis --- buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf | Bin 59767 -> 59721 bytes buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex | 8 +------- 2 files changed, 1 insertion(+), 7 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf index 25e8d6d..7e0198b 100644 Binary files a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf and b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.pdf differ diff --git a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex index d151b2b..7b4ccea 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/tikz/fourier.tex @@ -48,13 +48,7 @@ \end{scope} \begin{scope}[xshift=\xverschiebung,yshift=0cm] - \begin{axis}[axis x line= none, axis y line*=right,ytick={0}, - axis background/.style={fill=white}, - width=\plotwidth,height=\plotheight] - \addplot[color=white] {0}; - \end{axis} - - \begin{axis}[title = {\large Codiert\strut}, axis y line*=left, + \begin{axis}[title = {\large Codiert\strut}, xtick={0,32,64,96}, axis background/.style={fill=white}, width=\plotwidth,height=\plotheight] -- cgit v1.2.1 From 23df345f724b32bb8d5ad6f103c0581458c977a9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: JODBaer Date: Wed, 11 Aug 2021 17:04:24 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=BCbergang=20Endlichek=C3=B6rper=20vereinfacht.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index 7c88c16..d05f60f 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -117,6 +117,6 @@ Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffi \par Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reeleen Zahlen. Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren, -dann müssen wir von den reeleen Zahlen weg und zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. -Dies wird nun im nächsten Abschnitt genauer erklärt. - +dann brauchen wir andere varianten. +Um dieser Aproximation zu entkommen, verlassen wir die reeleen Zahlen und gehen zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. +Dieser bietet uns eingie Vorteile. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1 From 3e51b3ff5e36bc0f03ecf8c0c1342b4a7345b1b7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: michael-OST <75078383+michael-OST@users.noreply.github.com> Date: Wed, 11 Aug 2021 22:45:54 +0200 Subject: first chapters updated --- buch/papers/reedsolomon/dtf.tex | 40 +++++----- buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex | 8 +- buch/papers/reedsolomon/idee.tex | 135 +++++++++++++++++++++------------ 3 files changed, 111 insertions(+), 72 deletions(-) (limited to 'buch/papers/reedsolomon') diff --git a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex index d05f60f..9647775 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/dtf.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \section{Übertragung mit Hilfe der diskrten Fourier-Transformation \label{reedsolomon:section:dtf}} \rhead{Umwandlung mit DTF} -Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunkt +Die Grundidee eines fehlerkorrigierenden Code ist, dass Informationen eines Datenpunktes durch die Codierung auf viele übertragene Werte verteilt werden. Die Decodierung ist in der Lage, den ursprünglichen Datenwert zu rekonstruieren, sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind. @@ -12,22 +12,24 @@ sogar wenn einzelne wenige übertragene Werte beschädigt worden sind. Die Fourier-Transformation transformiert einen einzelnen Wert, eine Dirac-Funktion, auf ein Spektrum, welches sich über die ganze Frequenzachse erstreckt. Aus der Filtertheorie ist bekannt, dass der ursprüngliche Impuls mehr oder weniger rekonstruierbar ist, - vorausgestzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. + vorausgesetzt, es gehen nicht zu viele Frequenzen bei der Übertragung verloren. \par Es liegt daher nahe zu versuchen, die Fourier-Transformation für Codierung und Decodierung zu verwenden. \subsection{Beispiel mit Fehlerkorrektur mit Fourier-Transformation \label{reedsolomon:subsection:sendbsp}} +Das folgende Beispiel soll zeigen, wie die Idee der Fehlerkorrektur umgesetzt wurde. +Die Fehlererkennung des Reed-Solomon-Codes funktioniert nach einem sehr Ähnlichen Prinzip. -Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist. -Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes, -der später erklärt wird, analog ist. +%Das folgende Beispiel soll zeigen, wie Fehlerkorrektur möglich ist. +%Dieses auf eine Art, die der Funktionsweise des Reed-Solomon-Codes, +%der später erklärt wird, analog ist. \par -Der Auftrag ist nun 64 Datenwerte zu übertragen, 32 Fehler zu erkennen und 16 Fehler zu rekonstruieren. +Der Auftrag besteht darin, 64 Datenwerte zu übertragen, 32 Fehler erkennen können und bis zu 16 Fehler zu rekonstruieren. Mit Hilfe der Fourier-Transformation werden die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} transformiert, zu den \textcolor{darkgreen}{grünen Übertragungspunkten}. -Durch eine Rücktransformation könnnen die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. +Durch eine Rücktransformation können die \textcolor{blue}{blauen Datenpunkte} wieder rekonstruiert werden. \begin{figure}%[!ht] \centering @@ -42,8 +44,8 @@ In der Abbildung \ref{fig:sendorder} wird eine Übertragung Schritt für Schritt In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläutert: \begin{enumerate}[(1)] \item Das Signal besteht aus 64 zufälligen, ganzzahligen Datenwerten zwischen 0 und 10. - Für die Rekonstruktion werden zusäzlich Datenwert benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu. - Diese setzen wir willkürlich auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen. + Für die Rekonstruktion werden zusätzliche Datenwerte benötigt, wir fügen deshalb 32 Werte hinzu. + Diese setzen wir willkürlich alle auf Null und nennen sie Fehlerkorrekturstellen. Wir erhalten so einen erweiterten Signalvektor der Länge $N =96$. \item Mit der Fourier-Transformation wird der ganze Signalvektor codiert. Dadurch wird jede Informationseinheit auf alle Punkte des Spektrums verteilt. @@ -52,13 +54,13 @@ In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläut \par Im Beispiel sind dies die Werte an den Stellen 6, 20 und 74 (\textcolor{red}{rote Kurve}), die um einen Betrag verändert werden. - Dieser ist bis zu 150-mal kleiner, als die ursprünglichen codierte Werte. - Der Empfänger kennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind. - \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch inverse Fourier-Transformation vollständig + Dieser ist bis zu 150-mal kleiner als die ursprünglich codierten Werte. + Der Empfänger erkennt daher im allgemeinen nicht, ob und wo Übertragungsfehler aufgetreten sind. + \item Ohne Übertragungsfehler kann der Signalvektor durch die inverse Fourier-Transformation vollständig wiederhergestellt werden. Dazu gehören auch die Nullen an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96. \par - Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen Werte abweichend von Null auftreten. + Sind Übertragungsfehler aufgetreten, werden an diesen Stellen die Werte von Null abweichen. Somit haben wir bereits Fehler erkannt. \item Die Werte an den Fehlerkorrekturstellen 64 - 96, die nicht mehr Null sind, nennen wir das Syndrom. Im Syndrom steckt nur Information über die Fehler, sie werden durch die inverse Fourier-Transformation erzeugt. @@ -69,7 +71,7 @@ In der folgenden Aufzählung werden diese einzelne Schritte erklärt und erläut Im Beispiel haben wir mit dem Syndrom nur etwa ein Drittel der Fehlerinformation, es ist daher zu erwarten, dass die Fehlerwerte auch nur ein Drittel so gross sind. \par -Damit können die Fehler korrigiert und die Orginaldaten wiederhergestellt werden. +Damit können die Fehler korrigiert und die Originaldaten wiederhergestellt werden. Der Rekonstruktionsauftrag ist damit erfolgreich ausgeführt. \subsection{Fourier-Transformation und Polynome\label{reedsolomon:subsection:ftandpolynom}} @@ -113,10 +115,10 @@ Die Analogie geht aber noch weiter. \label{reedsolomon:DFT_polynom2} \end{equation} für verschiedene \( w = e^{-\frac{2\pi j}{N} k}, k=1, \dots ,N-1\) übermittelt. -Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$.(graue koeffizenten) +Das Syndrom entstand durch die Wahl ${f_{64}}=0$ bis ${f}_{N-1}=0$ (graue Koeffizenten). \par -Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reeleen Zahlen. +Die Polynominterpolation und die Fourier-Transformation rechnen beide mit reellen Zahlen. Wenn die Approximation nicht mehr genügend gut ist um die Fehler zu erkennen und rekonstruieren, -dann brauchen wir andere varianten. -Um dieser Aproximation zu entkommen, verlassen wir die reeleen Zahlen und gehen zum endlichen Körpern, oder auch Galios-Körper genannt. -Dieser bietet uns eingie Vorteile. \ No newline at end of file +dann brauchen wir andere Varianten. +Um dieser Approximation zu entkommen, verlassen wir die reellen Zahlen und gehen zum endlichen Körpern, oder auch Galois-Körper genannt. +Dieser bietet uns einige Vorteile. \ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex index 04f1fe2..f99ad82 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/einleitung.tex @@ -7,10 +7,10 @@ \label{reedsolomon:section:einleitung}} \rhead{Einleitung} Der Reed-Solomon-Code wurde von den beiden Mathematiker Irving S. Reed und Gustave Solomon im Jahre 1960 entwickelt. -Dabei haben sie das Problem der Fehler bei der Datenübertragung gelöst. -In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge, -Funktion oder Algorithmus des Reed-Solomon-Code erklärt. -Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen. +Dabei haben sie das Problem der Fehlerhaften Datenübertragung gelöst. +In diesem Abschnitt wird möglichst verständlich die mathematische Abfolge und +Funktionsweise des Reed-Solomon-Code erklärt. +Es wird jedoch nicht auf die technische Umsetzung oder Implementierung eingegangen, jedoch wird im Abschnitt \ref{reedsolomon:section:anwendung} einige Anwendungen des Reed-Solomon-Codes vorgestellt. diff --git a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex index 6ee42ef..daa2913 100644 --- a/buch/papers/reedsolomon/idee.tex +++ b/buch/papers/reedsolomon/idee.tex @@ -5,67 +5,104 @@ \label{reedsolomon:section:idee}} \rhead{Problemstellung} Um Fehler in einer Datenübertragung zu erkennen, könnte man die Daten jeweils doppelt senden, - also immer zwei gleich Werte miteinander und so jeweils einzelne Fehler erkennen. -Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkannt werden soll und sogar noch das Orginal rekonstruiert werden soll, -dann werden die Daten drei oder vierfach versendet. -Doch nur schon um Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach gesendet. -Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, - zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren. -Der Unterschied des Fehler Erkennens und Korrigirens, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? -Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch die Originalwerte rekonstruiert. -Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals anfordert. -Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfachen Übertragung. -In Anwendungen des Reed-Solomon-Codes Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} - ist diese vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich. -Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise. +also den gleiche Wert immer zweimal versenden. +Tritt ein Fehler ein wird sich dies in der Differenz der beiden Werten bemerkbar machen. +Aber wie erkennen wir, welcher nun der richtige ist? Die Lösung ist simpel: Wir übertragen den Wert einfach dreimal. +Wenn jetzt ein Fehler auftritt, kann durch die beiden unveränderten Werten den richtigen bestimmt werden. +Doch was machen wir, wenn bei dieser Übertragung zwei Fehler auftreten? +Oder noch schlimmer: Was wenn zweimal derselbe Fehler auftritt? Die beiden Fehlerhaften Werte überstimmen bei der Evaluierung den gesendeten Datenwert, der dann unwiderruflich verloren geht. +Wir könnten dies noch steigern mit vier, fünf oder mehr gleichen Übertragenen Werte. Dies erhöht zwar die Robustheit der gesendeten Daten, führt aber auch dazu, dass wir durch die Mehrfachübertragung nur sehr wenige Nutzdaten versenden können. +Gerade in unserer heutigen Zeit wäre dies ein enorm grosses Problem und aus diesem Grund wurden alternative Ansätze ausgearbeitet um dieses grundlegende Problem zu lösen. +% +% +%Gerade in der heutigen modernen Zeit bei dem hohen bedarf an Daten würden unsere Kommunikationssysteme bei weitem nicht ausreichen um den einen einzigen Datenwert mehrfach zu übertragen +% +% Gerade in der Heutigen modernen Zeit bei diesem enormen mass an daten die wir alle tagtäglich anfordern Währe dies wohl unmöglich, wenn wir die daten auf diese Weise +% +% +% +% +% +%Wenn es uns gelingt, Fehler nach Ihrer Übertragung zu erkennen, dann könnten wir in einem neuen Ansatz den fehlerhaft empfangenen Wert noch einmal anfordern. +%Wir stellen fest, dass für viele alltägliche Anwendungen völlig ausreichend ist. +% +%Was ist, wenn wir aber eine Datenquelle haben, von der wir nur einmalig lesen können? +% +% +% +%Beim Übertragen von drei Werten können wir maximal 2 Fehler erkennen aber nicht mehr korrigieren. +%Wenn wir noch mehr Werte +% +%Wir Übertragen Ziemlich viele Werte für so wenige Nutzdaten. Hinzu kommt, dass wir bei dieser Vorgehensweise gerade mal bestimmen können, dass überhaupt Fehler aufgetreten sind +% +% +%Wir haben also drei Werte die bestimmt einen Fehler korrigieren können, was ziemlich viele Werte um einen Fehler zu korrigieren. +% +% um so jeweils einzelne Fehler zu erkennen. +%Wenn jedoch mehr als nur ein Fehler erkannt werden und sogar noch das Original rekonstruiert werden soll, dann sollen die Daten drei oder vierfach versendet werden. +%Doch nur schon um einen Fehler zu erkennen werden überproportional viele Daten doppelt und dreifach versendet. +%Das Hauptproblem ist, dass Informationen Fehlerfrei Übertragen werden sollen. Um dies zu erreichen muss gleich nach dem Empfangen Fehler erkannt und korrigiert werden. +% +%Das Problem liegt darin, Informationen oder Zahlen beim Übertragen gleichzeitig noch +% +%Das Problem liegt darin, das Informationen oder Zahlen zu Übertragen und gleichzeitig Fehler zu erkennen +% +% +%Das Problem liegt darin Informationen, Zahlen, zu Übertragen und Fehler zu erkennen und zu korrigieren. +%Der Unterschied des Fehler Erkennens und Korrigirens, ist das beim Erkennen nur die Frage beantwortet wird: Ist die Übertragung fehlerhaft oder nicht? +%Beim Korrigieren werden Fehler erkannt und dann zusätzlich noch die Originalwerte rekonstruiert. +%Eine weitere Möglichkeit wäre, dass der Empfänger nach einer fehlerhaften Übertragung die selben Daten nochmals anfordert. +%Dies führt wieder zu unerwünschten mehrfachen Übertragung. +%In Anwendungen des Reed-Solomon-Codes Abschnitt \externaldocument{papers/reedsolomon/anwendungen} \ref{reedsolomon:section:anwendung} +% ist diese vom Empfänger gesteuerte erneute Übertragen meistens nicht sinnvoll oder sogar unmöglich. +%Der Reed-Solomon-Code macht dies Übertragung auf eine andere, clevere Weise. \subsection{Polynom-Ansatz \label{reedsolomon:section:polynomansatz}} \rhead{Polynom-Ansatz} Eine zentrale Idee des Reed-Solomon-Code ist, aus den Daten ein Polynom zu bilden. -Von dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl Werte übertragen. -\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}, - welche übertragen werden sollen. Daraus bilden wir das Polynom +Mit dieser Polynomfunktion wird dann eine Anzahl von Werten übertragen. +\begin{beispiel} Nehmen wir die Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1} und \textcolor{blue}{5}, welche übertragen werden sollen. Daraus bilden wir das Polynom \begin{equation} p(x) = -\textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5} +\textcolor{blue}{2}x^2 + \textcolor{blue}{1}x + \textcolor{blue}{5}. \label{reedsolomon:equation1} -\end{equation}. +\end{equation} \par -Ein Polynome zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. -Bei einer fehlerlosen Übertragung können wir mit 3 übertragene Werte +Ein Polynom zweiten Grades ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. +Bei einer fehlerlosen Übertragung können wir mit 3 übertragenen Werten das Polynom durch Polynominterpolation volständig rekonstruieren. -Wir brauchen Polynominterpolation als Methode, um aus Punkte wieder Polynom zu berechnen. -Die Koeffizente des rekonstruierten Polynoms sind dann unsere gesendeten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1}, \textcolor{blue}{5}. +Wir brauchen Polynominterpolation als Methode, um aus den Punkten wieder ein Polynom zu bilden. +Die Koeffizente des rekonstruierten Polynoms sind dann unsere gesendeten Zahlen \textcolor{blue}{2}, \textcolor{blue}{1} und \textcolor{blue}{5}. \par Wie können wir nun Fehler erkennen oder sogar korrigieren? -Versuchen wir doch mehr Werte zu übertragen, wir nehmen im Beispiel 7 Werte. +Versuchen wir doch, mehr Werte zu übertragen, wie zum Beispiel 7 Werte. Übertragen werden nun die \textcolor{darkgreen}{grünen Werte} - dieses \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3, \dots , 7. + des \textcolor{blue}{blauen Polynomes} an den Stellen 1, 2, 3, \dots , 7. In Abbildung \ref{fig:polynom} ist das zu den \textcolor{blue}{Datenpunkten} gehörige Polynom blau dargestellt, - die \textcolor{darkgreen}{übertragenen Werte} des Polynoms sind grün. -Die grünen Punkte bestimmen die Parabel. -Damit können die Fehler erkannt werden, weil die empfangenen Punkte nicht auf der Parabel liegen. -Somit können die grauen Punkte auf der Parabel ersetzt werden und sind damit korrigiert. -Bis zu wievielen Fehler können wir nun im Beispiel korrigieren? -Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: +die \textcolor{darkgreen}{übertragenen Werte} des Polynoms sind grün, wobei diese Punkte aufgrund von Übertragungsfehler jetzt eine Parabel darstellen. +Die Fehlerhaften Punkte lassen sich sehr einfach bestimmen, weil diese nicht auf der ursprünglichen Funktion liegen. +Somit können die roten Punkte auf der Parabel durch die grauen ersetzt werden und sind damit korrigiert. + +Bisher konnten wir von 7 Zahlen zwei Fehler erkennen und korrigieren. Können wir in diesem Beispiel noch mehr Fehler korrigieren? +Wir erhöhen dazu die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \begin{itemize} \item[\textit{1 Fehler}:] Bei einem Fehler können konkurrenzierende, aber falsche Polynome zusammen mit zwei originalen Punkten entstehen. Dabei können aber maximal 3 Punkte auf diesem Konkurrenzpolynom sein. - Da 6 > 3 ist haben wir unser original Polynom gefunden. + Da 6 > 3 ist haben wir unser originales Polynom gefunden. \item[\textit{2 Fehler}:] Bei Zwei Fehlern kann ein Fehler mit zwei originalen Punkten ein konkurrenzierendes, aber falsches Polynom bilden. - Da der zweite \textcolor{red}{Fehler} frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem \textcolor{gray}{Konkurrenzpolynom} liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom}. - Nun haben wir, ein \textcolor{blue}{originales Polynom} mit \textcolor{darkgreen}{5} übereinstimmenden und eine konkurrenzierendes mit 4 Punkten. + Da der zweite \textcolor{red}{Fehler} frei wählbar ist, kann dieser auch auf dem \textcolor{gray}{Konkurrenzpolynom} liegen, wie in der Abbilbung \ref{fig:polynom} zu sehen ist. + Nun haben wir, ein \textcolor{blue}{originales Polynom} mit \textcolor{darkgreen}{5} übereinstimmenden und ein konkurrenzierendes mit 4 Punkten. Da 5 noch grösser als 4 ist, können wir sagen, welches das Originalpolynom ist. - \item[\textit{3 Fehler}:] Bei Drei kann genau wie bei 2 oder 1 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmen werden. + \item[\textit{3 Fehler}:] Bei Drei kann genau wie bei 1 oder 2 Fehler, ein konkurenzierendes Polynom mit einem Fehler und zwei originalen Punkten bestimmt werden. Auch hier sind die anderen Fehler frei wählbar und liegen auf dem Konkurrenzpolynom. Nun ist es so das 5 Punkte auf diesem konkurenzierenden Polynom und 4 Punkte auf dem originalen. Das Originalpolynom kann nicht mehr gefunden werden. - \item[\textit{4 Fehler}:] Bei Vier, kann es noch erkannt werden, dass Fehler statt gefunden haben, da 3 orginale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. - Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, dass bedeutet Fehler sind entstanden. - \item[\textit{5 Fehler}] Bei Fünf, kann mit den 2 originalen Punkte das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und - somit auch keine Aussgae gemacht werden ob Fehler statt gefunden haben oder nicht. + \item[\textit{4 Fehler}:] Bei Vier kann noch erkannt werden, dass Fehler aufgetreten sind, da 3 originale Punkte das ursprüngliche Polynom ergeben. + Somit haben wir mindestens 2 verschieden Polynome, was bedeutet, dass Fehler entstanden sind. + \item[\textit{5 Fehler:}] Bei Fünf kann mit den 2 originalen Punkte das Originale Polynom nicht mehr erkannt werden und + somit kann auch keine Aussage mehr gemacht werden, ob Fehler aufgetreten sind oder nicht. \end{itemize} \begin{figure}%[!ht] @@ -80,12 +117,12 @@ Wir erhöhen nun die Fehleranzahl Schritt für Schritt: \section{Anzahl Übertragungswerte bestimmen \label{reedsolomon:section:Fehlerkorrekturstellen}} -Um zu bestimmen, wieviel zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind, um die Fehler zu korrigieren, - muss man zuerst wissen, wieviel \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wieviel \textcolor{red}{Fehler} erkennt werden sollen. -Die Anzahl Datenwerte, ergeben die Anzahl Polynomkoeffizente \textcolor{blue}{$k$} und somit den Grad $k-1$. +Um zu bestimmen, wie viele zusätzliche \textcolor{darkgreen}{Übertragungspunkte} notwendig sind um die Fehler zu korrigieren, + muss man zuerst wissen, wie viele \textcolor{blue}{Datenwerte} gesendet und wie viele \textcolor{red}{Fehler} erkannt werden sollen. +Die Anzahl Datenwerte ergeben die Anzahl Polynomkoeffizenten \textcolor{blue}{$k$} und somit den Grad $k-1$ des Polynoms. Die Bestimmung der Anzahl der Fehler \textcolor{red}{$t$}, welche korrigiert werden können, braucht Redundanz. -Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, - erkennt man almählich ein Muster. +Bilden wir verschieden grosse Polynome und untersuchen diese mit unterschiedlich vielen Fehlern erkennt man allmählich ein Muster. + \begin{table}%[!ht] \centering \begin{tabular}{ c c | c} @@ -105,16 +142,16 @@ Gehen wir die Fehleranzahl mit verschiedenen Übertragungsanzahlen durch, \par Es müssen mehr Punkte auf dem \textcolor{blue}{originalen Polynom} liegen, als auf dem konkurenzierenden. Somit braucht man für die Übertragung pro \textcolor{red}{Fehler} zwei Übertragungspunkte mehr. -Wie in der Tabelle ergibt sich diese \textcolor{darkgreen}{Übertragungsanzahl} +Wie in der Tabelle \ref{tab:fehlerkorrekturstellen} ersichtlich ist ergeben sich diese Anzahl an \textcolor{darkgreen}{Punkte} für die Übertragung. \begin{equation} \textcolor{darkgreen}{u}= \textcolor{blue}{k}+2\textcolor{red}{t}. \label{reedsolomon:equation2} \end{equation} -Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, nicht aber korrigiert. -Für die Polynomkoeffizente nach der Übertragung zu rekonstruieren, - haben wir jedes mal die Polynominterpolationmethode angewendet. -Diese Polynoiminterpolation ist leider schwierig und fehleranfällig. -Deshalb finden wir eine alternative im nächsten Abschnitt. +Ein Nebeneffekt ist, dass auch $2t$ Fehler erkannt werden können, die aber nicht korrigiert werden können. +Um die Polynomkoeffizenten nach der Übertragung zu rekonstruieren, haben wir jedes mal die Polynominterpolationsmethode angewendet. +Diese Polynominterpolation ist leider schwierig zu berechnen und sehr fehleranfällig. +Es wäre daher einfacher, wenn wir eine alternative Vorgehensweise finden könnten. + -- cgit v1.2.1