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Date: Fri, 28 May 2021 15:06:26 +0200
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 buch/papers/spannung/teil0.tex | 106 ++++++++++++++++++++++++++---------------
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index 2f4d23b..be837ac 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil0.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex
@@ -1,56 +1,84 @@
-\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}}
-\rhead{Spannungsausbreitung}
-Anhand untenstehendem Bild kann ein einfaches Beispiel betrachtet werden.
-Es gibt eine Flächenlast (Kraft), diese wird auf den Boden abgetragen.
-Diese Last muss dann vom Boden aufgenommen werden.
-Im Boden entsteht nebst der Eigenspannung eine weitere Spannung durch diese Last (Zusatzspannung).
-Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist abhängig von $(x,y,t)$.
-Je nach dem, wo man sich im Boden befindet variert die Spannung.
-Mit der Tiefe wird die Zusatzspannung geringer.
-Die Ausbreitung der Zusatzspannung im Boden hat die Form einer Zwiebel.
-Durch Untersuchung der Spannung an verschiedenen Punkten im Boden, kann man eine Funktion abtragen.
-Dasselbe macht man auch mit der Dehnung. Es zeigt sich, dass die Form der beiden Funktionen gleich ist.
-Dies erklärt sich dadurch, dass die Spannung und die Dehnung proportional zueinander sind.
-\begin{figure}
-	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild4.png}
-	\caption{Ausbreitung der Spannung im Boden}
-	\label{fig:Bild4}
-\end{figure}
+\section{Einachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Einachsiger Spannungsustand}}
+\rhead{Einachsiger Spannungszustand}
+Ein Spannungszustand beschreibt alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken (siehe Abbildung 1.4).
+Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material.
+Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt.
+Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist.
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png}
-	\caption{Funktionen Spannung und Dehnung}
-	\label{fig:Bild5}
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png}
+	\caption{Infinitesimales Bodenelement mit den 9 Spannungen}
+	\label{fig:infintesimaler-wurfel}
 \end{figure}
 
-Anhand eines etwas schwierigeren Beispiels sieht man,
-dass die Spannungsausbreitung nicht immer ganz einfach ist.
-Man hat hier eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen wurde.
-Was aber immer noch gilt ist, dass die Spannung $\sigma$ von drei Variablen abhängig ist $(x,y,t)$.
-Ansätze um die Spannungsausbreitung zu berechnen gibt es je nach Bodentyp verschiedene.
+Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten die selben Spannungen aufweisen.
+Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$ muss sich zwingend im Gleichgewicht befinden.
+So sind insgesamt 9 verschiedene Spannungen möglich, wobei 3 Normal- und 6 Schubspannungen sind.
+Normalspannung wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche.
+Alle Beträge dieser 9 Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand.
+Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetz berechnet werden.
 
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png}
-	\caption{Beispiel Lastauftrag auf Boden}
-	\label{fig:Bild3}
+	\includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png}
+	\caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe}
+	\label{fig:infintesimaler-wurfel}
 \end{figure}
 
-Die Spannungsausbreitung ist uns jedoch gegeben, es geht nicht darum, dies genauer zu untersuchen.
-Durch die Spannungsausbreitung und das Elastizitätsmodul kann man eine Dehnung berechnen.
-Anhand dieser Dehnung kann man mit einem Integral wiederum die Setzung berechnen.
+Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung).
+Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand.
+Nach Hooke gilt:
+\[
+F
+\sim
+\Delta l
+\]
+.
+Teilt man beide Seiten mit den Konstanten $A$ und $l_0$ erhält man
+\[
+\frac{F}{A}
+=
+\sigma
+\sim
+\]
 \[
 \varepsilon
 =
-\frac{\sigma}{E}
+\frac{\Delta l}{l_0}
+\]
+und somit
+\[
+\sigma
+\sim
+\varepsilon
+\]
+.
+Mit:
+\[
+l_0
+=
+\text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]}
+\]
+\[
+A
+=
+\text{Fläche [\si{\meter\squared}]}
+\]
+
+Diese Beziehung gilt bei linear elastischen Materialien, welche reversibel sind und nicht dauerhaft verformt werden.
+Es ist praktisch die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$.
+Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit
+\[
+\sigma
+=
+E\cdot\varepsilon
 \]
+beschreiben.
+Im Falle, dass der E-Modul nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise mit
 \[
-s
+E
 =
-\int_{0}^{\infty}\varepsilon\enspace dt
+\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}
 \]
-Die Setzung zu bestimmen ist in der Geotechnik sehr wichtig.
-Besonders ungleichmässige Setzungen können bei Bauwerken Probleme ergeben.
-Es gilt also die Bauwerke so zu dimensionieren, dass es verträgliche Setzungen gibt.
\ No newline at end of file
+ausgedrückt werden.
\ No newline at end of file
-- 
cgit v1.2.1

