From 46340ee2972d7f59bf87665fd93298a6a937f797 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "User-PC\\User" Date: Fri, 28 May 2021 15:06:26 +0200 Subject: =?UTF-8?q?=C3=9Cberarbeitungen=20/=20Verbesserungen?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- buch/papers/spannung/teil0.tex | 106 ++++++++++++++++++++++++++--------------- 1 file changed, 67 insertions(+), 39 deletions(-) (limited to 'buch/papers/spannung/teil0.tex') diff --git a/buch/papers/spannung/teil0.tex b/buch/papers/spannung/teil0.tex index 2f4d23b..be837ac 100644 --- a/buch/papers/spannung/teil0.tex +++ b/buch/papers/spannung/teil0.tex @@ -1,56 +1,84 @@ -\section{Spannungsausbreitung\label{spannung:section:Spannungsausbreitung}} -\rhead{Spannungsausbreitung} -Anhand untenstehendem Bild kann ein einfaches Beispiel betrachtet werden. -Es gibt eine Flächenlast (Kraft), diese wird auf den Boden abgetragen. -Diese Last muss dann vom Boden aufgenommen werden. -Im Boden entsteht nebst der Eigenspannung eine weitere Spannung durch diese Last (Zusatzspannung). -Diese Zusatzspannung $\sigma$ ist abhängig von $(x,y,t)$. -Je nach dem, wo man sich im Boden befindet variert die Spannung. -Mit der Tiefe wird die Zusatzspannung geringer. -Die Ausbreitung der Zusatzspannung im Boden hat die Form einer Zwiebel. -Durch Untersuchung der Spannung an verschiedenen Punkten im Boden, kann man eine Funktion abtragen. -Dasselbe macht man auch mit der Dehnung. Es zeigt sich, dass die Form der beiden Funktionen gleich ist. -Dies erklärt sich dadurch, dass die Spannung und die Dehnung proportional zueinander sind. -\begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild4.png} - \caption{Ausbreitung der Spannung im Boden} - \label{fig:Bild4} -\end{figure} +\section{Einachsiger Spannungszustand\label{spannung:section:Einachsiger Spannungsustand}} +\rhead{Einachsiger Spannungszustand} +Ein Spannungszustand beschreibt alle Spannungen, welche in einem beliebigen Punkt im Körper wirken (siehe Abbildung 1.4). +Änderungen der äusseren Kräfte verändern die inneren Spannungszustände im Material. +Um alle Spannungen eines Punktes darstellen zu können, wird ein infinitesimales Bodenelement in Form eines Würfels modellhaft vorgestellt. +Man spricht auch von einem Elementarwürfel, da dieser elementar klein ist. \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild5.png} - \caption{Funktionen Spannung und Dehnung} - \label{fig:Bild5} + \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild2.png} + \caption{Infinitesimales Bodenelement mit den 9 Spannungen} + \label{fig:infintesimaler-wurfel} \end{figure} -Anhand eines etwas schwierigeren Beispiels sieht man, -dass die Spannungsausbreitung nicht immer ganz einfach ist. -Man hat hier eine Baugrube mit einem Baugrubenabschluss, wo ein Teil des Bodens abgetragen wurde. -Was aber immer noch gilt ist, dass die Spannung $\sigma$ von drei Variablen abhängig ist $(x,y,t)$. -Ansätze um die Spannungsausbreitung zu berechnen gibt es je nach Bodentyp verschiedene. +Es werden jeweils drei Seiten dieses Würfels betrachtet, wobei die drei gegenüberliegenden Seiten die selben Spannungen aufweisen. +Das infinitesimale Bodenteilchen hat die Koordinaten $1$, $2$, $3$ muss sich zwingend im Gleichgewicht befinden. +So sind insgesamt 9 verschiedene Spannungen möglich, wobei 3 Normal- und 6 Schubspannungen sind. +Normalspannung wirken normal (mit rechtem Winkel) zur angreifenden Fläche und Schubspannungen parallel zur angreifenden Fläche. +Alle Beträge dieser 9 Spannungen am Elementarwürfel bilden den Spannungszustand. +Daraus können die äquivalenten Dehnungen $\varepsilon$ mit Hilfe des Hook'schen Gesetz berechnet werden. \begin{figure} \centering - \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild3.png} - \caption{Beispiel Lastauftrag auf Boden} - \label{fig:Bild3} + \includegraphics[width=0.5\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/Bild1.png} + \caption{1D Spannungszustand aus einer quaderförmigen Bodenprobe} + \label{fig:infintesimaler-wurfel} \end{figure} -Die Spannungsausbreitung ist uns jedoch gegeben, es geht nicht darum, dies genauer zu untersuchen. -Durch die Spannungsausbreitung und das Elastizitätsmodul kann man eine Dehnung berechnen. -Anhand dieser Dehnung kann man mit einem Integral wiederum die Setzung berechnen. +Im einachsigen Spannungszustand herrscht nur die Normalspannung $\sigma_{11}$ (siehe Abbildung). +Das Hook'sche Gesetz beschreibt genau diesen 1D Spannungszustand. +Nach Hooke gilt: +\[ +F +\sim +\Delta l +\] +. +Teilt man beide Seiten mit den Konstanten $A$ und $l_0$ erhält man +\[ +\frac{F}{A} += +\sigma +\sim +\] \[ \varepsilon = -\frac{\sigma}{E} +\frac{\Delta l}{l_0} +\] +und somit +\[ +\sigma +\sim +\varepsilon +\] +. +Mit: +\[ +l_0 += +\text{Länge zu Beginn [\si{\meter}]} +\] +\[ +A += +\text{Fläche [\si{\meter\squared}]} +\] + +Diese Beziehung gilt bei linear elastischen Materialien, welche reversibel sind und nicht dauerhaft verformt werden. +Es ist praktisch die relative Dehnung $\varepsilon$ anzugeben und nicht eine absolute Längenänderung $\Delta l$. +Mithilfe vom Elastizitätsmodul $E$ als Proportionalitätskonstante lässt sich der eindimensionale Fall mit +\[ +\sigma += +E\cdot\varepsilon \] +beschreiben. +Im Falle, dass der E-Modul nicht konstant ist, kann dieser näherungsweise mit \[ -s +E = -\int_{0}^{\infty}\varepsilon\enspace dt +\frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon} \] -Die Setzung zu bestimmen ist in der Geotechnik sehr wichtig. -Besonders ungleichmässige Setzungen können bei Bauwerken Probleme ergeben. -Es gilt also die Bauwerke so zu dimensionieren, dass es verträgliche Setzungen gibt. \ No newline at end of file +ausgedrückt werden. \ No newline at end of file -- cgit v1.2.1