From ac99d04b9ceb71b0de0ae16e67addcd8ba587533 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 9 Sep 2021 07:36:20 +0200
Subject: =?UTF-8?q?headers=20f=C3=BCr=20spannung?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 buch/papers/spannung/teil2.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index 8bf1968..b260b6f 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -233,7 +233,7 @@ Die Normalspannung $\sigma_{22}$ lässt sich zum Beispiel als
 berechnen.
 
 \section{Reduzierte Spannungs- und Dehnungsgleichungen}
-
+\rhead{Reduzierte Spannungs- und Dehnungsgleichungen}
 Man betrachte nun die Eigenschaften des Elastizitätstensors.
 Dieser ist quadratisch und symmetrisch, die verschiedenen Einträge wechseln sich aber miteinander ab.
 Es ergeben sich keine Blöcke mit einheitlichen Einträgen.
-- 
cgit v1.2.1


From c4468301f6dab4099c485349a3fd97bd1baf3282 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Thu, 9 Sep 2021 09:11:54 +0200
Subject: typos

---
 buch/papers/spannung/teil2.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index b260b6f..ddd591f 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -4,7 +4,7 @@ Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D-Spannungszustand
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.30\linewidth,keepaspectratio]{papers/spannung/Grafiken/infinitesimalerWuerfel.png}
-	\caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchen}
+	\caption{Beispiel eines Spannungszustandes; Vergrösserung eines infinitesimalen Bodenteilchens}
 	\label{fig:infinitesimalerWuerfel}
 \end{figure}
 Ein Tensor 0.~Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D-Spannungszustand beschreiben.
-- 
cgit v1.2.1


From d98f38c1c5ef49bcdf1e4954b0d2f040d2a007c6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?Andreas=20M=C3=BCller?= <andreas.mueller@ost.ch>
Date: Fri, 10 Sep 2021 10:48:56 +0200
Subject: typos spannung

---
 buch/papers/spannung/teil2.tex | 33 ++++++++++++++++++++++++---------
 1 file changed, 24 insertions(+), 9 deletions(-)

(limited to 'buch/papers/spannung/teil2.tex')

diff --git a/buch/papers/spannung/teil2.tex b/buch/papers/spannung/teil2.tex
index ddd591f..fec0120 100644
--- a/buch/papers/spannung/teil2.tex
+++ b/buch/papers/spannung/teil2.tex
@@ -8,13 +8,13 @@ Durch komplexe Spannungsausbreitungen im Boden entstehen im 3D-Spannungszustand
 	\label{fig:infinitesimalerWuerfel}
 \end{figure}
 Ein Tensor 0.~Stufe, sprich ein Skalar, kann lediglich den 1D-Spannungszustand beschreiben.
-Um den 3D-Spannungszustandes als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt.
+Um den 3D-Spannungszustand als ein mathematisches Objekt darstellen zu können, wird ein Tensor 2.~Stufe, sprich eine Matrix, eingesetzt.
 Die Spannungen sind durch die zwei Indizes
 \(
 i, j\in\left\{1, 2, 3\right\}
 \)
 definiert.
-Daher ergeben sich die neun Spannungen.
+Daher ergeben sich die $9$ Spannungen.
 Die nachfolgenden Zusammenhänge sind in \cite{spannung:Voigtsche-Notation} beschrieben.
 Dieser Spannungstensor kann schliesslich mit $3^2$ Einträgen als $3\times3$ Matrix mit
 \[
@@ -48,7 +48,7 @@ Der Dehnungstensor ist ebenfalls ein Tensor 2.~Stufe und kann somit auch als $3\
 \]
 dargestellt werden und beschreibt den gesamten Dehnungszustand.
 
-Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welches ein Spaltenvektor ist.
+Der Spannungs- und Dehnungstensor 2.~Stufe kann je in einen Tensor 1.~Stufe überführt werden, welcher ein Spaltenvektor ist.
 Man darf Zeile um Zeile in eine Spalte notieren, sodass es einen Spaltenvektor ergibt.
 So ergibt sich der Spannungsvektor
 
@@ -114,8 +114,8 @@ Dieser ist im 1D-Spannungszustand ein Tensor 0.~Stufe und somit ein Skalar, der
 
 Dieser Elastizitätstensor 4.~Stufe kann als Tensor 2.~Stufe, sprich als Matrix, dargestellt werden.
 So wird die Spannungsgleichung stark vereinfacht, da nun eine Matrix auf einen Vektor operiert.
-Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen neun Dehnungen mit Konstanten erfassen.
-Dies bedeutet um eine von neun Spannungen berechnen zu können müssen alle neun Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden.
+Dieser Tensor muss für eine Spannung jeden Einfluss aus allen $9$ Dehnungen mit Konstanten erfassen.
+Dies bedeutet um eine von $9$ Spannungen berechnen zu können müssen alle $9$ Dehnung mit unterschiedlichen Faktoren summiert werden.
 Es ergeben sich $9^2$ Einträge, welches mit den vier Indizes
 \(
 i, j, k, l\in\left\{1, 2, 3\right\}
@@ -354,14 +354,19 @@ beziehungsweise
 	\sigma_{12}
 \end{pmatrix}
 =
+%\left(
+%\begin{array}{ccc|ccc}
 \begin{pmatrix}
 	C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} \\
 	C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} \\
 	C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} \\
+%\hline
 	C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} \\
 	C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312} \\
 	C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212}
 \end{pmatrix}
+%\end{array}
+%\right)
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{11} \\
 	\varepsilon_{22} \\
@@ -417,14 +422,19 @@ Dies ergibt die Spannungsgleichung, welche weit möglichst vereinfacht ist:
 \end{pmatrix}
 =
 \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
-\begin{pmatrix}
+\left(
+\begin{array}{ccc|ccc}
+%\begin{pmatrix}
 	1- 2\nu & \nu     & \nu     & 0           & 0           & 0\\
 	    \nu & 1- 2\nu & \nu     & 0           & 0           & 0\\
         \nu & \nu     & 1- 2\nu & 0           & 0           & 0\\
+\hline
           0 & 0       & 0       & \frac{1}{2} & 0           & 0\\
           0 & 0       & 0       & 0           & \frac{1}{2} & 0\\
           0 & 0       & 0       & 0           & 0           & \frac{1}{2}
-\end{pmatrix}
+%\end{pmatrix}
+\end{array}
+\right)
 \begin{pmatrix}
 	\varepsilon_{11}\\
 	\varepsilon_{22}\\
@@ -468,14 +478,19 @@ Durch einige Berechnungsschritte erhält man die Dehnungsgleichung:
 \end{pmatrix}
 =
 \frac{1}{E}
-\begin{pmatrix}
+\left(
+\begin{array}{ccc|ccc}
+%\begin{pmatrix}
 	   1 & -\nu & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
 	-\nu &    1 & -\nu & 0      & 0      & 0     \\
 	-\nu & -\nu &    1 & 0      & 0      & 0     \\
+\hline
  	   0 &    0 &    0 & 2+2\nu & 0      & 0     \\
 	   0 &    0 &    0 &      0 & 2+2\nu & 0     \\
 	   0 &    0 &    0 &      0 & 0      & 2+2\nu
-\end{pmatrix}
+%\end{pmatrix}
+\end{array}
+\right)
 \begin{pmatrix}
 	\sigma_{11}\\
 	\sigma_{22}\\
-- 
cgit v1.2.1

